Smart Solution

UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2012/2013

Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013

Matematika SMA (Program Studi IPA)

Disusun oleh :

Pak Anang

Halaman 136 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

SKL 3. Memahami sifat atau geometri dalam menentukan kedudukan titik, garis, dan bidang, jarak dan sudut.

3. 1. Menghitung jarak dan sudut antara dua objek (titik, garis dan bidang) di ruang.

Dimensi Tiga

Garis Tegak Lurus Bidang

jika garis tersebut ⊥ setiap garis pada bidang “minimal dua garis saja”

Jarak Sudut

Titik dan “Sesuatu” Selain Titik dan “Sesuatu” Syarat keduanya harus sejajar

Jarak Titik dan Titik Jarak Garis dan Garis Sudut Garis dan Garis “berupa garis lurus” “harus tegak lurus” “sudut terkecil”

Jarak Titik dan Garis Jarak Garis dan Bidang Sudut Garis dan Bidang “harus tegak lurus” “harus tegak lurus” “sudut garis dengan proyeksinya”

Jarak Titik dan Bidang Jarak Bidang dan Bidang Sudut Bidang dan Bidang “harus tegak lurus” “harus tegak lurus” “sudut dua garis ⊥ garis potong”

𝜽

𝜽

𝜽

𝜶 𝜶

𝜶

𝜷 𝜷

𝜶

𝜶 𝜶

𝜶

𝜶

𝜶

𝜷

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 137

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Dimensi Tiga

Pada kubus ABCD.EFGH berlaku: Misal sisi kubus adalah 𝑎 cm, Akan diperoleh diagonal-diagonal kubus sebagai berikut:

Diagonal sisi kubus 𝑨𝑪 = 𝒂√𝟐 cm.

Diagonal ruang kubus adalah 𝑬𝑪 = 𝒂√𝟑 cm. Misal titik potong diagonal sisi alas adalah O dan titik potong diagonal sisi atas adalah P, maka akan diperoleh panjang ruas garis berikut:

Ruas garis 𝑶𝑮 = 𝑨𝑷 =𝒂

𝟐√𝟔 cm.

Serta akan diperoleh 𝐸𝐶 ⊥ 𝑂𝐺 dan 𝑂𝐺 ∥ 𝐴𝑃. Perhatikan penampang bidang diagonal ACGE, nah kita bisa mengamati pada diagonal ruang EC, terbagi menjadi tiga bagian yang sama panjang yaitu:

𝑬𝑸 = 𝑸𝑹 = 𝑹𝑪 =𝟏

𝟑𝑬𝑪 =

𝟏

𝟑𝒂√𝟑 cm.

Oke, untuk menghindari hanya sekadar menghafal pola dari ruas garis istimewa pada kubus seperti garis diagonal, garis yang menghubungkan titik potong diagonal sisi dengan titik sudut sisi di depannya, dan pola dari garis diagonal ruang yang terbagi adil tiga bagian, maka Pak Anang tidak menyarankan untuk menghafalnya. Yah syukur-syukur kalau bisa hafal karena terbiasa mengerjakan, itu lebih baik. Namun, alangkah lebih bijak bila adik-adik mampu menguasai teorema Pythagoras plus tripel Pythagorasnya. Masih ingat pembahasan SMART SOLUTION tripel Pythagoras pada bab Vektor? Di halaman selanjutkan akan dibahas tentang TRIPEL PYTHAGORAS!

A B

C D

E F

G H

O

P

A B

C D

E F

G H

O

P

A C

G E

O

P

Q

R

Q

R

Halaman 138 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

LOGIKA PRAKTIS Tripel Pythagoras:

Masih ingat tripel Pythagoras? Asyik….! Pola tripel Pythagoras ini penting bila adik-adik ingin cepat menyelesaikan konsep Pythagoras pada segitiga siku-siku, tanpa harus memakan banyak waktu. Gunakan logika praktis dari pengembangan konsep dasar yang telah adik-adik dapatkan di sekolah. Oke kita mulai trik menghafalnya dulu….

Pada gambar di samping, adik-adik tentu sudah hafal konsep Pythagoras berikut: 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2, dengan catatan pada gambar tersebut sisi 𝑎 adalah sisi terpendek! Seumpama diubah menjadi 𝑎2 = 𝑐2 − 𝑏2, ‘kan ya nggak papa to ya? Hehe… Sama aja! Perhatikan: 𝑎2 = 𝑐2 − 𝑏2

⇒ 𝑎2 = (𝑐 + 𝑏) (𝑐 − 𝑏)⏟ carilahbilanganyang

selisihnyasatu

Jadi disini kita mencari dua bilangan 𝑏, 𝑐 yang selisihnya satu dan jumlah kedua bilangan harus sama dengan kuadrat sisi terpendek! Ini hanya berlaku untuk sisi terpendek ganjil, yaitu 3, 5, 7, 9, dst.

Trik Cepat Hitung Tripel Pythagoras

Tripel Pythagoras yang sering muncul

3 4 5

5 12 13

7 24 25

9 40 41

8 15 17

Pola dasar tripel Pythagoras tersebut juga berlaku untuk kelipatannya.

Contoh:

Maka, untuk menentukan sisi miring, cari FPB dari 10 dan 24 yaitu 2.

Coret semua sisi dengan dibagi 2. Maka akan ditemukan pola dasar dari

tripel Pythagoras yaitu 5, 12, 13.

Jadi, sisi miringnya adalah 2 × 13 = 26 cm.

Selesai!

Cara cepat menghafal bilangan tripel Pythagoras Khusus bilangan ganjil seperti 3, 5, 7, 9, dst… maka tripel Pythagorasnya adalah bilangan tersebut dengan dua bilangan lain yang selisihnya satu dan jumlahnya adalah kuadrat bilangan ganjil tersebut!

Contoh: 32 = 9 maka dua bilangan berurutan yang jumlahnya 9 adalah 4 dan 5. Sehingga tripel Pythagoras yang dimulai oleh angka 3 adalah 3, 4, 5.

52 = 25 maka dua bilangan berurutan yang jumlahnya 25 adalah 12 dan 13, sudah pasti tripel Pythagorasnya 5, 12, 13

3

4

5 5

12

13

𝑎

𝑏

𝑐

10

24

𝑥 5

12

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 139

LOGIKA PRAKTIS Tripel Pythagoras Bentuk Akar: Kalau sebelumnya adalah tripel Pythagoras bentuk biasa, sekarang bagaimana tripel Pythagoras bentuk akar? Sebenarnya prinsip dasar teorema Pythagoras bisa dengan mudah menyelesaikan masalah ini. Namun, apabila mau sedikit kreatif mengembangkan imajinasi, maka ada jalan lain yang lebih menyenangkan. Apa sih Tripel Pythagoras bentuk akar itu????? Lihat konsepnya pada gambar di bawah:

Misal sisi tegak lurus sebuah segitiga siku-siku adalah 𝑎√𝑏 dan 𝑎√𝑐, dan misal sisi miring segitiga siku-siku adalah 𝑥, maka nilai 𝑥 bisa ditentukan oleh:

𝑥2 = (𝑎√𝑏)2+ (𝑎√𝑐)

2

⇒ 𝑥 = √𝑎2𝑏 + 𝑎2𝑐

⇒ 𝑥 = √𝑎2(𝑏 + 𝑐)

⇒ 𝑥 = √𝑎2√𝑏 + 𝑐

⇒ 𝑥 = 𝑎√𝑏 + 𝑐

Jadi jelas bahwa pola bilangan tripel Pythagoras seperti ini:

Tripel Pythagoras bentuk akar

𝑎 √𝑏 𝑎 √𝑐 𝑎 √𝑏 + 𝑐

Contoh:

Penerapan Tripel Pythagoras bentuk akar pada Dimensi Tiga Masih ingat ruas garis AP dan OG pada kubus tadi? Nih gambarnya lihat di bawah:

Perhatikan ∆𝐴𝐸𝑃, 𝐴𝐸 = 𝑎 cm dan 𝐸𝑃 =1

2𝑎√2 cm, maka:

𝐴𝐸 = 𝑎 cm =1

2𝑎√4 cm.

𝐸𝑃 =1

2𝑎√2 cm

Jelas bahwa panjang

𝐴𝑃 =1

2𝑎√6 cm.

𝑎 √𝑐

𝑎 √𝑏

𝑎 √𝑏 + 𝑐

bilangannya harus sama, kalau nggak sama cari FPBnya

jumlahkan saja bilangan di dalam akar

𝑎 √𝑐

𝑎 √𝑏

𝑥

4√4

4√9

4√13 8

12

Cari FPB dari 12 dan 8. FPBnya adalah 4. Berarti jadikan bilangan pokoknya menjadi 4.

Artinya 12 = 4√9 dan 8 = 4√4,

Jadi sisi miring dari segitiga tersebut adalah 4√9 + 4 = 4√13

A B

D

E F

G H

O

P

C

1

2𝑎√4

1

2𝑎√2

E

A

P

Halaman 140 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

KESIMPULAN TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Dimensi Tiga:

Pada soal UN mengenai dimensi tiga, untuk mencari jarak, hal pertama yang harus dilakukan adalah membuat garis bantu sehingga bisa diperoleh sebuah segitiga. Dan kebanyakan bisa diselesaikan dengan menerapkan konsep tripel Pythagoras dan konsep Kesebangunan kelas IX SMP.

Sedangkan untuk mencari sudut, hal pertama yang harus dilakukan adalah mencari titik perpotongan antara kedua objek lalu membuat garis bantu sehingga bisa diperoleh sebuah segitiga. Dan kebanyakan bisa diselesaikan dengan menerapkan konsep tripel Pythagoras, Aturan Sinus dan Kosinus dan konsep Kesebangunan kelas IX SMP.

Trik Superkilat yang lainnya masih akan dipublish nanti…. :) Terus kunjungi http://pak-anang.blogspot.com …..

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 141

Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:

1. Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 12 cm. Jika P titik tengah CG, maka jarak titik P

dengan garis HB adalah ....

A. 8 5 cm

B. 6 5 cm

C. 6 3 cm

D. 6 2 cm

E. 6 cm

2. Pada kubus ABCD.EFGH, panjang rusuk 8 cm. Jarak titik E dengan bidang BGD adalah ....

A. 33

1 cm

B. 33

2 cm

C. 33

4 cm

D. 33

8 cm

E. 33

16 cm

A B

E F

H G

B

D C

P

12 cm

12 cm

C

P

B 12 cm

6 cm

PB = √BC2 + PC2

= √122 + 62

= √144 + 36

= √180

= 6√5 cm

BP dan PH sama panjang, karena BP dan PH adalah garis miring dari segitiga siku-siku dengan sisi 12 cm dan 6 cm.

BP dan PH siku-siku karena BP dan PH berada pada dua sisi yang saling tegak lurus (BCGF dan EFGH).

BH adalah diagonal ruang, BH = 12√3 cm.

Segitiga BPH adalah segitiga sama kaki. Sehingga proyeksi P (titik P′) tepat berada di tengah-tengah BH. Jadi panjang

BP′ = PH = 6√3 cm.

Jarak titik P ke garis HB adalah panjang PP′.

P B

6√5 cm

6√5 cm

P′

P′

PP′ = √BP2 − BP′2

= √(6√5)2− (6√3)

2

= √180 − 108

= √72

= 6√2 cm

A B

E F

H G

B

D C

8 cm

8 cm

A P

E

4√2 cm

8 cm

EP = √EA2 + AP2

= √82 + (4√2)2

= √64 + 32

= √96

= √16√6

= 4√6 cm

Jarak titik ke bidang adalah jarak titik ke proyeksi titik pada bidang.

Buat bidang yang melewati E dan tegak lurus bidang BDG, bidang tersebut adalah bidang diagonal ACGE.

Cari proyeksi titik E pada garis potong kedua bidang (GP) dengan membuat garis yang melewati E dan tegak lurus bidang BDG.

Proyeksi titik E pada bidang BDG adalah E′.

Sehingga jarak titik E ke bidang BDG adalah jarak E ke E’.

Perhatikan segitiga EGP, segitiga tersebut segitiga samakaki, karena

EP = GP = 4√6 cm. Sedangkan EG adalah diagonal sisi, EG = 8√2 cm.

E′

P

A C

G E

P

E′

Perhatikan sudut EGP

sin∠𝐸𝐺𝑃 =𝐸𝐸′

𝐸𝐺=𝑃𝑃′

𝐺𝑃

⇒ 𝐸𝐸′ =𝑃𝑃′

𝐺𝑃∙ 𝐸𝐺

=8

4√6× 8√2

=16

3√3 cm

P′

TRIK SUPERKILAT: Perhatikan bidang diagonal ACGE

EC adalah diagonal ruang, sehingga 𝐸𝐶 = 8√3 cm Jadi,

𝐸𝐸′ =2

3𝐸𝐶 =

2

38√3 =

16

3√3 cm

A C

G E

P

E′

P′

TRIK SUPERKILAT: Perhatikan garis PP’.

Garis tersebut sejajar dengan AC, dimana AC adalah diagonal sisi. 𝐴𝐶 = 12√2 cm Tapi panjangnya PP’ cuma separuh dari AC. Jadi,

𝑃𝑃′ =1

2 12√2 = 6√2 cm

Halaman 142 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

3. Diketahui limas segi empat beraturan P.QRST. Dengan rusuk alas 3 cm dan rusuk tegak

23 cm. Tangen sudut antara garis PT dan alas QRST adalah ....

A. 33

1

B. 2

C. 3

D. 22

E. 32

4. Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan rusuk alas 2 cm dan rusuk tegak 3 cm. Nilai

tangen sudut antara garis TD dan bidang alas ABCD adalah ....

A. 24

1

B. 22

1

C. 23

2

D. 2

E. 22

5. Diketahui limas segitiga beraturan T.ABC dengan rusuk 6 cm. Nilai kosinus sudut antara

garis TC dan bidang ABC adalah ....

A. 36

1

B. 23

1

C. 33

1

D. 22

1

E. 32

1

P

Q R

S T

3 cm

3 cm

3√2 cm

Alas limas bentuknya persegi dengan sisi 3 cm.

Diagonal sisi alas limas adalah TR dan QS. TR = QS = 3√2 cm.

Proyeksi titik P pada bidang QRST adalah di P′. Dimana P′ terletak di perpotongan kedua diagonal alas.

Jadi sudut antara garis PT dan alas QRST adalah sudut yang dibentuk oleh garis PT dengan TR (∠PTR).

Karena pada bidang PRT terdapat segitiga siku-siku PTP’, maka akan lebih mudah menemukan tangen ∠PTR menggunakan segitiga siku-siku tersebut. (∠PTR = ∠PTP’)

P′

P

T P′

3√2 cm

3

2√2 cm

PP′ = √PT2 − TP′2 = √(3√2)2− (

3

2√2)

2

= √18 −9

2= √

27

2=3√3

√2=3

2√6 cm

Tangen sudut antara garis PT dan alas QRST adalah:

tan∠(PT̅̅̅̅ , QRST) =PP′

TP′=

32√6

32√2= √3

√2 cm

T

A B

C D

2 cm

2 cm

√3 cm

Alas limas bentuknya persegi dengan sisi 2 cm.

Diagonal sisi alas limas adalah AC dan BD. AC = BD = 2√2 cm.

Proyeksi titik T pada bidang ABCD adalah di T. Dimana T′ terletak di perpotongan kedua diagonal alas.

Jadi sudut antara garis TD dan alas ABCD adalah sudut yang dibentuk oleh garis TD dengan DB (∠TDB).

Karena pada bidang TBD terdapat segitiga siku-siku TDT’, maka akan lebih mudah menemukan tangen ∠TDB menggunakan segitiga siku-siku tersebut. (∠TDB = ∠TDT’)

T′

T

D T′

√3 cm

TT′ = √TD2 − DT′2 = √(√3)2− (√2)

2= √3 − 2 = 1 cm

Tangen sudut antara garis TD dan alas ABCD adalah:

tan∠(TD̅̅ ̅̅ , ABCD) =TT′

DT′=1

√2=1

2√2

3 cm

Alas limas bentuknya segitiga dengan sisi 6 cm. Dan semua sisi limas adalah segitiga sama sisi dengan rusuk 6 cm.

Perhatikan jika T’ adalah proyeksi T pada alas ABC dan D adalah titik tengah AB, maka CD adalah ruas garis yang melewati T’.

Perhatikan segitiga CDT, karena TT’ tegak lurus CD, maka bidang CDT tegak lurus bidang ABC.

Karena TC berada di CDT dan CDT tegak lurus ABC, maka sudut yang dibentuk oleh garis TC dan bidang ABC adalah sudut antara garis TC dan ruas garis CD.

T

B

D

6 cm

C

A

B

T

T’

D

6 cm

6 cm 6 cm

C

D

T

6 cm

3√3 cm

TD = √TB2 − BD2

= √(6)2 − (3)2

= √27

= 3√3 cm

3√3 cm

3√3 cm

cos ∠(TC̅̅̅̅ , ABC) =TC2 + DC2 − TD2

2 ∙ TC ∙ DC

=62 + (3√3)

2− (3√3)

2

2 ∙ 6 ∙ (3√3)

=36

36√3

=1

3√3

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 143

6. Kubus ABCD.EFGH memiliki rusuk 4 cm. Sudut antara AE dan bidang AFH adalah .

Nilai sin = ....

A. 22

1

B. 32

1

C. 33

1

D. 23

2

E. 34

3

Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang.

Kubus rusuk 4 cm.

EG adalah diagonal sisi,

maka EG = 4√2 cm.

Karena P perpotongan diagonal sisi atas, maka

𝐸𝑃 =1

2𝐸𝐺 ⇒ 𝐸𝑃 = 2√2 cm

Perhatikan garis AE dan bidang AFH yang berwarna biru, sudut yang dibentuk oleh garis AE dan AFH bisa dicari lewat bidang segitiga yang berwarna biru.

P

A

4 cm

2√2 cm AP = √AE2 + EP2

= √(4)2 + (2√2)2

= √16 + 8

= √24

= 2√6 cm

Jika sudut antara AE dan AFH adalah 𝛼 dan ∆𝐴𝐹𝐸 siku-siku di 𝐸, maka

sin 𝛼 =𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑑𝑖𝑑𝑒𝑝𝑎𝑛 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡

𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑚𝑖𝑟𝑖𝑛𝑔⇒ sin 𝛼 =

𝐸𝑃

𝐴𝑃

=2√2

2√6

=1

√3

=1

3√3

A B

E F

H G

D C

4 cm

4 cm

P E