Smart Solution

UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2012/2013

Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013

Matematika SMA (Program Studi IPA)

Disusun oleh :

Pak Anang

Halaman 54 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

2. 8. Menyelesaikan masalah program linear.

Program Linear

Definisi Langkah Penyelesaian Sebuah metode yang digunakan untuk 1. Buat model matematika. memecahkan masalah yang berkaitan 2. Lukis grafik model matematika. dengan optimasi linear (nilai optimum) 3. Tentukan daerah penyelesaian. 4. Cari titik pojok daerah penyelesaian. 5. Substitusi titik pojok ke fungsi objektif. 6. Pilih nilai optimum. Konsep yang dibutuhkan

Pertidaksamaan Linear Contoh Soal Program Linear Dua Variabel dan Penyelesaiannya 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 ≥ 𝑎𝑏 Sebuah area parkir dengan luas 3.750 m2, dan maksimal hanya dapat ditempati 300 kendaraan yang terdiri atas sedan dan bus. Jika luas sebuah sedan 5 m2 dan bus 15 m2, biaya parkir sebuah sedan dan sebuah bus adalah Rp2.000 dan Rp5.000, maka berapa jumlah sedan dan bus yang parkir supaya pendapatan parkirnya menjadi maksimal!

Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 ≤ 𝑎𝑏𝑝𝑥 + 𝑞𝑦 ≤ 𝑝𝑞

𝑥 ≥ 0𝑦 ≥ 0

Model Matematika Sebuah area parkir dengan luas 3.750 m2, dan maksimal hanya dapat ditempati 300 kendaraan yang terdiri atas sedan dan bus. Jika luas sebuah sedan 5 m2 dan bus 15 m2, maka tentukanlah model matematikanya !

{

𝑥 + 𝑦 ≤ 300𝑥 + 3𝑦 ≤ 750, bentuk sederhana 5𝑥 + 15𝑦 ≤ 3750𝑥 ≥ 0, jumlah sedan tidak mungkin negatif

𝑦 ≥ 0, jumlah bus tidak mungkin negatif 𝑥, 𝑦 elemen bilangan cacah.

𝒂

𝒃 𝑥

𝑦

O

𝒑

𝒒 𝑥

𝑦

O

𝒂

𝒃

Sedan (𝑥)

Bus (𝑦)

Total

Banyak kendaraan 1 1 300 Luas kendaraan 5 15 3750

Sedan (𝑥)

Bus (𝑦)

Total

Banyak kendaraan 1 1 300 Luas kendaraan 5 15 3750

Biaya Parkir 2.000 5.000

Fungsi kendalanya:

{

𝑥 + 𝑦 ≤ 300𝑥 + 3𝑦 ≤ 750, bentuk sederhana 5𝑥 + 15𝑦 ≤ 3750𝑥 ≥ 0, jumlah sedan tidak mungkin negatif

𝑦 ≥ 0, jumlah bus tidak mungkin negatif 𝑥, 𝑦 elemen bilangan cacah.

Fungsi Objektif: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2.000𝑥 + 3.000𝑦 Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan: Titik potong garis 𝑥 + 𝑦 = 300 dan 𝑥 + 3𝑦 = 750: 𝑥 = 225 dan 𝑦 = 75 Jadi titik pojoknya adalah: (0, 0), (300, 0), (225, 75), dan (0, 250). Uji titik pojok: (𝑥, 𝑦) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2.000𝑥 + 3.000𝑦 (0, 0) 2.000(0) + 3.000(0) = 0

(300, 0) 2.000(300) + 3.000(0) = 600.000 (225, 75) 2.000(225) + 3.000(75) = 675.000 (0, 250) 2.000(0) + 3.000(250) = 750.000

Jadi, pendapatan maksimal adalah Rp750.000 untuk parkir 250 bus.

𝟐𝟓𝟎

𝟕𝟓𝟎 𝑥

𝑦

O

𝟑𝟎𝟎

𝟑𝟎𝟎

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 55

TRIK SUPERKILAT: Dalam mengerjakan soal UN Matematika SMA, materi soal Program Linear memang tipe soal yang menghabiskan banyak waktu. Ya! Penyelesaian Program Linear ini membutuhkan perhitungan yang banyak dan perhitungannya harus dilakukan dengan cermat karena membutuhkan ketelitian tinggi dalam menggambar sketsa grafik, menguji titik untuk menemukan daerah penyelesaian pertidaksamaan, mencari titik potong dua garis, dan mensubstitusi titik pojok ke fungsi objektif untuk menemukan nilai optimum. Padahal waktu yang diberikan untuk setiap soal UN Matematika SMA itu hanya sekitar 3 menit saja! Penjabaran langkah dasarnya sebagai berikut:

Pertama, adik-adik harus mengubah soal cerita sehingga bisa dituliskan menjadi model matematika dari beberapa fungsi kendala yang membentuk sistem pertidaksamaan linear dan sebuah fungsi objektif. Kedua, adik-adik harus menggambarkan model matematika tersebut ke dalam bidang koordinat Cartesius. Ketiga, dari gambar grafik model matematika, adik-adik harus bisa menentukan daerah penyelesaian dari fungsi kendala dalam bidang koordinat Cartesius. Keempat, daerah penyelesaian dari fungsi kendala berbentuk poligon, dimana titik-titik sudutnya adalah titik pojok. Adik-adik perlu melihat apakah ada titik pojok yang berupa titik potong dua garis yang koordinatnya perlu dicari menggunakan teknik eliminasi dan substitusi dari kedua persamaan garis tersebut. Kelima, titik-titik pojok tersebut merupakan titik ekstrim yang akan kita periksa nilai fungsi objektifnya. Terakhir, nilai terbesar dari fungsi objektif adalah nilai maksimum, sedangkan nilai terkecil dari fungsi objektif adalah nilai minimum. Nah, jika terdapat dua titik pojok yang menghasilkan nilai fungsi objektif yang sama, maka penyelesaian nilai optimum terdapat pada sepanjang ruas garis yang menghubungkan kedua titik pojok tersebut.

Perhatikan gambar di bawah: TRIK SUPERKILAT Model Matematika Grafik Max itu YEX Daerah Penyelesaian Urutkan perbandingan 𝑥 ∶ 𝑦 Titik Pojok Letak Fungsi Objektif Substitusi Titik Pojok Nilai Optimum Nah, sebenarnya metode TRIK SUPERKILAT memotong langkah dasar sampai di model matematika saja. Metode TRIK SUPERKILAT menggunakan modifikasi dari teori gradien untuk menyelesaikan program linear.

Pertama, apabila yang ditanyakan adalah nilai maksimum, maka tuliskan urutan Y-E-X. (Ingat MAX itu huruf akhirnya X, jadi yang ditulis juga harus berakhiran X). Kalau yang ditanyakan adalah nilai minimum, maka urutannya adalah X-E-Y. Kedua, urutkan nilai dari perbandingan koefisien 𝑥 dan koefisien 𝑦 dari semua fungsi kendala maupun fungsi objektif. Urutkan dari nilai yang terkecil menuju ke nilai terbesar. Terakhir lihat dimana letak perbandingan koefisien 𝑥 dan koefisien 𝑦 dari fungsi objektif.

Jika terletak di Y, maka nilai optimal berada di sumbu Y, substitusikan 𝑥 = 0 ke fungsi di sebelahnya. Jika terletak di E, maka nilai optimal berada di perpotongan antara kedua fungsi di sebelahnya. Jika terletak di X, maka nilai optimal berada di sumbu X, substitusikan 𝑦 = 0 ke fungsi di sebelahnya.

Halaman 56 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Tipe Soal yang Sering Muncul

Menentukan nilai optimum fungsi objektif. Contoh Soal: Suatu perusahaan tas dan sepatu memerlukan 4 unsur A dan 6 unsur B perminggu untuk masing-masing hasil produksinya. Setiap tas memerlukan satu unsur A dan dua unsur B, setiap sepatu memerlukan dua unsur A dan dua unsur B. Bila setiap tas untungnya 3000 rupiah, setiap sepatu untungnya 2000 rupiah, maka banyak tas dan sepatu yang dihasilkan per minggu agar diperoleh untung yang maksimal adalah …. a. 2 sepatu b. 3 sepatu c. 3 tas d. 4 tas e. 2 tas dan 2 sepatu

Penyelesaian: Model Matematika

Tas (𝑥) Sepatu (𝑦) Total Unsur A 1 2 4 Unsur B 2 2 6 Untung 3000 2000

Fungsi kendala: 𝑥 + 2𝑦 ≤ 4 (perbandingan koefisien 𝑥 dan 𝑦 adalah 1/2) 2𝑥 + 2𝑦 ≤ 6 (perbandingan koefisien 𝑥 dan 𝑦 adalah 1) Fungsi objektif: maks 3000𝑥 + 2000𝑦 =…. (perbandingan koefisien 𝑥 dan 𝑦 adalah 3/2)

LANGSUNG MASUK KE LANGKAH TRIK SUPERKILAT: Memaksimumkan berarti Y-E-X!!!!!

Sumbu 𝑌 Eliminasi Sumbu 𝑋

Urutkan Perbandingan Koefisien X:Y

Cari perbandingan koefisien 𝑥 dan 𝑦 untuk masing-masing fungsi kendala dan objektif, lalu urutkan dari kecil ke besar.

Sumbu 𝑌 Eliminasi Sumbu 𝑋 1/2 1 3/2

Letak Fungsi Objektif

Perhatikan tabel tadi:

Sumbu 𝑌 Eliminasi Sumbu 𝑋 1/2 1 3/2

Karena fungsi objektif yang perbandingan koefisiennya adalah 3/2 terletak pada kolom Sumbu 𝑋, maka artinya nilai optimum adalah terletak di sumbu X untuk persamaan yang berada disebelahnya (yaitu persamaan dengan perbandingan koefisien bernilai 1) Artinya substitusikan 𝑦 = 0 untuk persamaan 2𝑥 + 2𝑦 = 6 2𝑥 + 2𝑦 = 6

2𝑥 + 2(0) = 6 𝑥 = 3

Jadi, agar keuntungan maksimal maka perusahaan tersebut haruslah menjual 3 tas. Jadi, dapat disimpulkan bahwa nilai maksimum keuntungan adalah Rp9.000,00.

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 57

Menentukan nilai optimum fungsi objektif, ada nilai perbandingan 𝒙 dan 𝒚 yang sama.

Contoh Soal : Seorang anak diharuskan minum dua jenis tablet setiap hari. Tablet jenis I mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B. Tablet jenis II mengandung 10 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam 1 hari anak tersebut memerlukan 25 unit vitamin A dan 5 unit vitamin B. Jika harga tablet I Rp4.000,00 per biji dan tablet II Rp8.000,00 per biji, pengeluaran minimum untuk pembelian tablet per hari adalah ….

Penyelesaian Cara Biasa: Model Matematika

Fungsi kendala: 5𝑥 + 10𝑦 ≥ 25; 3𝑥 + 𝑦 ≥ 5; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0, 𝑥, 𝑦 elemen bilangan cacah. Fungsi objektif: Minimumkan 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4.000𝑥 + 8.000𝑦

Grafik dan Daerah Penyelesaian Titik Pojok

Dua dari tiga titik pojok sudah bisa dilihat pada grafik yaitu (5, 0) dan (0, 5). Sementara satu titik pojok belum diketahui yaitu titik potong kedua garis. Menentukan titik potong kedua garis menggunakan metode eliminasi substitusi: 5𝑥 + 10𝑦 = 25 3𝑥 + 10𝑦 = 25 Substitusi 𝑦 = 2 ke salah satu persamaan: 3𝑥 + 𝑦 = 5 3𝑥 + 2 = 5

3𝑥 = 5 − 2 3𝑥 = 3

𝑥 =3

3

𝑥 = 1 Jadi titik potong kedua kurva adalah di titik (1, 2) Sehingga titik pojok adalah (5, 0), (1, 2), dan (0,5)

Substitusi Titik Pojok Substitusikan titik-titik pojok tersebut ke fungsi objektif untuk mencari titik manakah yang memiliki nilai objektif paling kecil.

Titik pojok (𝑥, 𝑦) Fungsi objektif 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4.000𝑥 + 8.000𝑦 (5, 0) 4.000(5) + 8.000(0) = 20.000 + 12.000 = 20.000 (1, 2) 4.000(1) + 8.000(2) = 04.000 + 16.000 = 20.000 (0, 5) 4.000(0) + 8.000(5) = 20.000 + 40.000 = 40.000

Nilai Optimum

Dari tabel tersebut diperoleh nilai minimum fungsi objektif 𝑓(𝑥, 𝑦) terjadi pada titik (5, 0) dan (1, 2) yaitu dengan pengeluaran sebesar Rp20.000,00.

5 X

Y

5

3

5

2,5

× 3 × 5

15𝑥 + 30𝑦 = 75 15𝑥 + 35𝑦 = 25

25𝑦 = 50

𝑦 =50

25

𝑦 = 2

TRIK SUPERKILAT: Tablet

I Tablet

II Jumlah Perbandingan

koef 𝑥 dan 𝑦 Vitamin

A 5 10 25 1/2

Vitamin B

3 1 5 3/1

Harga 4.000 8.000 1/2 Urutkan perbandingan dari kecil ke besar.

X E Y 1/2 1/2 2/2

Kesimpulan: Perhatikan perbandingan fungsi objektif yang bernilai 1/2 terdapat di X dan E, Di X, artinya nilai optimum diperoleh di perpotongan sumbu X dengan fungsi di dekatnya, yaitu fungsi kendala dengan perbandingan 1/2 . Di E, artinya nilai optimum juga diperoleh dari hasil titik potong antara fungsi kendala dengan perbandingan 1/2 dan 3/1.

Halaman 58 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:

1. Anak usia balita dianjurkan dokter untuk mengkonsumsi kalsium dan zat besi sedikitnya 60 gr dan 30

gr. Sebuah kapsul mengandung 5 gr kalsium dan 2 gr zat besi, sedangkan sebuah tablet mengandung 2 gr

kalsium dan 2 gr zat besi. Jika harga sebuah kapsul Rp.1.000,00 dan harga sebuah tablet Rp.800,00, maka

biaya minimum yang harus dikeluarkan untuk memenuhi kebutuhan anak balita tersebut adalah ....

A. Rp12.000,00

B. Rp14.000,00

C. Rp18.000,00

D. Rp24.000,00

E. Rp36.000,00

2. Seorang pedagang sepeda ingin membeli 25 sepeda untuk persediaan. Ia ingin membeli sepeda gunung

dengan harga Rp1.500.000,00 per buah dan sepeda balap dengan harga Rp2.000.000,00 per buah. Ia

merencanakan tidak akan mengeluarkan uang lebih dari Rp42.000.000,00. Jika keuntungan sebuah sepeda

gunung Rp500.000,00 dan sebuah sepeda balap Rp600.000,00, maka keuntungan maksimum yang

diterima pedagang adalah .... A. Rp13.400.000,00 B. Rp12.600.000,00 C. Rp12.500.000,00 D. Rp10.400.000,00 E. Rp8.400.000,00

3. Seorang ibu hendak membuat dua jenis kue. Kue jenis I memerlukan 40 gram tepung dan 30 gram gula.

Kue jenis II memerlukan 20 gram tepung dan 10 gram gula. Ibu hanya memiliki persediaan tepung

sebanyak 6 kg dan gula 4 kg. jika kue jenis I dijual dengan harga Rp4.000,00 dan kue jenis II dijual

dengan harga Rp1.600,00, maka pendapatan maksimum yang diperoleh ibu adalah .... A. Rp30.400,00 B. Rp48.000,00 C. Rp56.000,00 D. Rp59.200,00 E. Rp72.000,00

Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang.

TRIK SUPERKILAT: Kapsul Tablet Jumlah Perbandingan

koef 𝑥 dan 𝑦 Kalsium 5 2 60 5/2 Zat Besi 2 2 30 2/2 Harga 1.000 800 10/8

Urutkan perbandingan dari kecil ke besar. X E Y

2/2 10/8 5/2

Ternyata fungsi objektif (warna biru) berada di E. Artinya titik minimumnya berada di hasil eliminasi kedua fungsi kendala. (Gunakan metode determinan matriks)

𝑥 =|60 230 2

|

|5 22 2

|=60

6= 10; 𝑦 =

|5 602 30

|

|5 22 2

|=30

6= 5

Jadi nilai minimumnya adalah: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1.000(10) + 800(5) = Rp14.000,00

TRIK SUPERKILAT: (harga dalam ribuan rupiah) Sepeda

gunung Sepeda balap

Jumlah Perbandingan koef 𝑥 dan 𝑦

Jumlah 1 1 25 1/1 Harga 1.500 2.000 42.000 3/4

Untung 500 600 5/6 Urutkan perbandingan dari kecil ke besar.

Y E X 3/4 5/8 1/1

Ternyata fungsi objektif (warna biru) berada di E (titik potong atau hasil eliminasi substitusi dua fungsi kendala) Gunakan metode determinan matriks

𝑥 =|25 1

42.000 2.000|

|1 1

1.500 2.000|=8.000

500= 16;

𝑥 + 𝑦 = 25 ⇒ 16 + 𝑦 = 25 ⇒ 𝑦 = 9;

Jadi nilai maksimum adalah: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 500(16) + 600(9) = Rp13.400

TRIK SUPERKILAT: Kue

jenis I Kue

jenis II Jumlah Perbandingan

koef 𝑥 dan 𝑦

Tepung 40 20 6.000 4/2 Gula 30 10 4.000 3/1

Harga 4.000 1.600 40/16 Urutkan perbandingan dari kecil ke besar.

Y E X 4/2 40/16 3/1

Ternyata fungsi objektif (warna biru) berada di E (titik potong atau hasil eliminasi substitusi dua fungsi kendala) Gunakan metode determinan matriks

𝑥 =|6.000 204.000 10

|

|40 2030 10

|=−20.000

−200= 100;

30𝑥 + 10𝑦 = 4.000 ⇒ 3.000 + 10𝑦 = 4.000 ⇒ 𝑦 = 100;

Jadi nilai maksimum adalah: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4.000(100) + 1.600(100) = Rp560.000

Soal ini tidak ada jawabannya, mungkin maksudnya pilihan jawaban A, B, C, D, dan E kurang satu angka nol.