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SMA332 - CÁLCULO II

Wagner V. L. Nunes

agosto de 2007

Sumário

1 Introdução 5

2 Os Espaços Rn 72.1 Os espaços euclideanos n-dimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Produto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3 Norma de um vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4 Conjuntos abertos, fechados e compactos em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Funções a Valores Vetoriais - Curvas Parametrizadas 19

3.1 Funções de variável real a valores vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2 Curvas Parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4 Funções Reais de Várias Variáveis Reais 39

4.1 Definições Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.2 Funções Reais de Duas Variáveis: Curvas de Nı́vel . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.3 Funções de Três Variáveis: Superf́ıcies de Nı́vel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5 Limite e Continuidade de Funções Reais de Várias Variáveis Reais 51

5.1 Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.2 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6 Funções Diferenciáveis - Derivadas Parciais 67

6.1 Derivadas Parciais de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.2 Derivadas Parciais de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

7 Diferenciabilidade de Funções Reais de Várias Variáveis 79

7.1 Critério Para o Estudo da Diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

7.2 Regra da Cadeia Para Funções de Várias Variáveis Reais . . . . . . . . . . . . . 90

7.3 O Vetor Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

7.4 Plano Tangente e Reta Normal à Superf́ıcies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

7.5 Derivada Direcional de Funções Reais de Várias Variáveis . . . . . . . . . . . . . 109

8 Transformações do Rn no Rm 1178.1 Definições e Propriedades Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

8.2 Exemplos Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

3

4 SUMÁRIO

9 A Fórmula de Taylor Para Funções Reais de Várias Variáveis Reais 1379.1 Fórmula e Polinômio de Taylor para Funções Reais de uma Variável Real . . . . 1379.2 Fórmula e Polinômio de Taylor para Funções Reais de Duas Variáveis . . . . . . 138

10 Máximos e Mı́nimos de Funções Reais de Várias Variáveis Reais 14910.1 Definições e Resultados Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14910.2 Teste do Hessiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15410.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15910.4 Caso Geral: Autovalores da Matriz Hessiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16110.5 Exemplo Aplicado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17010.6 Extremos Globais de Funções em Regiões Fechadas e Limitadas . . . . . . . . . 173

11 Multiplicadores de Lagrange 17911.1 O Problema De Um Vı́nculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

11.1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17911.1.2 Teorema do Multiplicador de Lagrange para Um Vı́nculo . . . . . . . . . 179

Caṕıtulo 1

Introdução

13.08.2007 - 1.aNo que se segue iniciaremos o estudo de funções de várias variáveis reais a valores reais.Começaremos com os seguintes exemplos:Todos sabemos que a temperatura na Terra em um determinado instante varia de acordo

com a localização (x-latitude, y-longitude e z-altitude). Este número real, que chamamos detemperatura, é então função de pelo menos três variáveis além do tempo (já que a temperaturatambém varia de um instante para outro).

Em uma outra situação podemos imaginar um recipiente fechado com um êmbolo contendoum determinado gás. É sabido que a pressão, P dentro do recipiente depende da temperatura,T e do volume, V . A relação entre estas variáveis é dada pela conhecida equação de Clapeyron

P = nRT

V

onde n é o número de mols do gás no recipiente e R é a constante universal dos gases.Novamente nos deparamos com uma situação em que uma quantidade (a pressão) depende

de mais de uma variável (temperatura e volume).Facilmente podemos imaginar muitas outras quantidades que dependem de mais de uma

variável. Estas funções são as entidades que estaremos estudando nessas notas.Até o momento, estudamos funções reias que dependem de apenas bf uma única variável e

para estas procuramos entender como estas funções se comportam (através de seu gráfico).Mais precisamente, se este gráfico exibe saltos ou não (através do conceito de continuidade);

se este gráfico tem ou não ”bicos”(através do conceito de diferenciabilidade) e depois vimos queem muitos casos é posśıvel encontrar a função cuja derivada é uma função dada (através daintegração).

Vimos também inúmeras aplicações dos conceitos acima a problemas f́ısicos.No que se segue vamos seguir a mesma trajetória descrita acima para estudar funções de

mais de uma variável e veremos com algumas aplicações que este estudo nos possibilitará.Antes porém precisaremos de alguns conceitos importantes no desenvolvimento do conteúdo.

5

6 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

Caṕıtulo 2

Os Espaços Rn

17.08.2007 - 2.aNeste caṕıtulo, nosso objetivo é apresentar os espaços euclideanos n-dimensionais, Rn, intro-

duzir uma noção de distância entre dois pontos nestes espaços e algumas de suas conseqüências.Estudamos nos cursos de Cálculo I e de Geometria Anaĺıtica que o conjunto dos números

reais, R, dos vetores do plano, V 2 e dos vetores do espaço, V 3.Vimos também que V 2 e V 3 podem ser identificados com

V 2 ∼ R2 .= { pares ordenados } = {~x = (x1, x2) onde x1, x2 ∈ R}

V 3 ∼ R3 .= { triplas ordenadas } = {~x = (x1, x2, x3) onde x1, x2, x3 ∈ R}desde que fixemos um sistema de coordenadas ortogonais (isto é, (0, ~e1, ~e2, ~e3), onde O é umponto de R3 e {~e1, ~e2, , ~e3} é base ortonormal de V 3; de modo análogo para o caso de R2).

De modo análogo definimos:

Rn .= { n-uplas ordenados } = {~x = (x1, · · · , xn) onde x1, · · · , xn ∈ R}.

Estes conjuntos serão os lugares onde desenvoleremos nosso estudo.

2.1 Os espaços euclideanos n-dimensionais

A seguir introduziremos duas operações em Rn (uma de adição de elementos de Rn e outra demultiplicação de elementos de Rn por números reias).

Definição 2.1.1 Dados ~x = (x1, · · · , xn), ~y = (y1, · · · , yn) ∈ Rn e α ∈ R, definimos:(i) A adição de dois elementos ~x, ~y do Rn, indicada por ~x + ~y do Rn, como sendo o vetor

do Rn definido por:~x + ~y

.= (x1 + y1, x2 + y2, · · · , xn + yn).

(ii) A multiplicação de um elemento ~x ∈ Rn por α ∈ R (denominado escalar), indicada porα~x ∈ Rn, como sendo o vetor do Rn definido por:

α~x.= (αx1, · · · , αxn).

Deste modo temos + : Rn × Rn → Rn e . : R× Rn → Rn.

7

8 CAPÍTULO 2. OS ESPAÇOS RN

Com isto temos a:

Proposição 2.1.1 O conjunto Rn, com as operações de adição e multiplicação por escalaracima, satifaz as seguintes propriedades:

(A-1) Fechamento da adição de vetores: ~x + ~y ∈ Rn, para todo ~x, ~y ∈ Rn;(A-2) Comutativa da adição de vetores: ~x + ~y = ~y + ~x, para todo ~x, ~y ∈ Rn;(A-3) Associativa da adição de vetores: (~x + ~y) + ~z = ~x + (~y + ~z), para todo ~x, ~y, ~z ∈ Rn;(A-4) Elemento neutro da adição de vetores: Existe ~O ∈ Rn tal que ~x+ ~O = ~x para todo ~x ∈ Rn

( ~O.= (0, 0, · · · , 0) ∈ Rn);

(A-5) Elemento oposto da adição de vetores: Dado ~x ∈ Rn, existe −~x ∈ Rn tal que ~x+(−~x) = ~O(se ~x = (x1, x2, · · · , xn) então −~x .= (−x1,−x2, · · · ,−xn) ∈ Rn);

(M-1) Fechamento da multiplicação por escalar por vetores: α~x ∈ Rn, para todo α ∈ R e ~x ∈ Rn;(M-2) Associativa da multiplicação por escalar por vetores: α(β~x) = (αβ)~x, para todo α, β ∈ R

e ~x ∈ Rn;(M-3) Elemento neutro da multiplicação por escalar por vetores: 1.~x = ~x para todo ~x ∈ Rn;(MA) Distributiva da multiplicação por escalar por vetores pela adição de vetores: α(~x + ~y) =

α~x + α~y, para todo α ∈ R e ~x, ~y ∈ Rn;(AM) Distributiva da adição de escalares pela multiplicação por vetor: (α + β)~x = α~x + β~x,

para todo α, β ∈ R e ~x ∈ Rn.Demonstração:

A demostração será deixada para o leitor.¤

Observação 2.1.1

1) Como será visto no curso de Álgebra Linear, isto pode ser resumido dizendo-se que Rncom as operações de adição de vetores e multiplicação de vetor por escalar definidas acimaé um espaço vetorial sobre R.

2) Geometricamente a adição de elementos de Rn pode ser vista como:

-

>̧

~x

~y

~x + ~y

2.2. PRODUTO ESCALAR 9

3) Geometricamente a substração de vetores de Rn pode ser vista como:

-

±

^

~x

~y~x− ~y

4) Das duas obervações acima conclúımos que a adição e a subtração de elementos de Rnpodem ser vistas como as diagonais de um paralelogramo cujos lados são determinadospelos vetores ~x e ~y do Rn.

-

±

^

~x

~y

>

~x− ~y

~x + ~y

2.2 Produto escalar

No espaço vetorial Rn podemos definir uma multiplicação entre elementos do próprio espaçoresultando em um número real, a saber:

Definição 2.2.1 Dados ~x = (x1, x2, · · · , xn) e ~y = (y1, y2, · · · , yn) ∈ Rn, definimos o produtoescalar de ~x por ~y, indicado por ~x • ~y, como sendo o número real dado por:

~x • ~y .= x1y1 + · · ·xnyn ∈ R,

isto é, • : Rn × Rn → R.

Com isto temos a:

Proposição 2.2.1 Dados ~x, ~y, ~z ∈ Rn e λ ∈ R temos que:(PE-1) O produto escalar de vetores é comutativo, isto é, ~x • ~y = ~y • ~x.


(PE-2) O produto escalar de vetores é distributivo em relação a adição de vetores, isto é, (~x +~y) • ~z = ~x • ~z + ~y • ~z.

(PE-3) O produto escalar de vetores é associativo (do produto de vetor por escalar pelo produtoescalar de vetores), isto é, (α~x) • ~y = ~x • (α~y) = α(~x • ~y).

(PE-4) O produto escalar é positivo definido, isto é, ~x • ~x ≥ 0, para todo x ∈ Rn e ~x • ~x = 0 se esomente se ~x = ~0.

Demonstração:Será deixada para o leitor.

¤

Observação 2.2.1 As propriedades acima nos dizem que o produto escalar em um espaçovetorial real é uma forma bilinear simétrica definida positiva (este tipo de funções serãoestudadas no curso de Álgebra Linear).

2.3 Norma de um vetor

Observação 2.3.1 Em R temos uma medida do comprimento de um elemento x ∈ R, ditovalor absoluto ou módulo de x e indicado por |x|. Tal valor determina o quanto este elementodista do elemento 0 ∈ R (a origem).

Do mesmo modo, em R2 definimos o comprimento de um vetor ~x = (x1, x2) ∈ R2, denomi-nada norma do vetor ~x, indicado por ‖~x‖, como sendo ‖~x‖ .=

√x21 + x

22. Tal valor determina

a distância deste elemento à origem O = (0, 0) ∈ R2.De modo similar, vimos no curso de Geometrica Anaĺıtica que em R3 definimos o compri-

mento de um vetor ~x = (x1, x2, x3) ∈ R3, denominada norma do vetor ~x, indicado por ‖~x‖,como sendo ‖~x‖ .=

√x21 + x

22 + x

23. Tal valor determina a distância deste elemento à origem

O = (0, 0, 0) ∈ R3.

De modo geral temos a:

Definição 2.3.1 Para ~x = (x1, x2, · · · , xn) ∈ Rn definimos a norma de ~x, denotada por ‖~x‖,como sendo o número real

‖~x‖ .=√

x21 + · · ·+ x2n.


1) A norma de um vetor determina a distância deste elemento à origem O = (0, 0, · · · , 0) ∈Rn.

2) Se ~x ∈ Rn temos ‖~x‖ =√

~x • ~x.

Com isto temos a:

Lema 2.3.1 (Desigualdade de Cauchy-Schwarz) Dados dois vetores quaisquer ~x, ~y ∈ Rntemos

|~x • ~y| ≤ ‖~x‖ ‖~y‖.

2.3. NORMA DE UM VETOR 11

Demonstração:Para cada t ∈ R, da proposição (2.2.1) segue que 0 ≤ [~x + t~y] • [~x + t~y] = ~x • ~x + ~x • (t~y) +

(t~y) • ~x + (t~y) • (t~y) = ~x • ~x + 2t(~x • ~y) + t2(~y • ~y), isto é,~x • ~x + 2t(~x • ~y) + t2(~y • ~y) ≥ 0.

Logo, da observação (2.3.2) (b) temos que

‖~y‖2 t2 + (2~x • ~y) t + ‖~x‖2 ≥ 0.Esta inequação do segundo grau em t nos garante que discriminante da equação não poderá serpositivo, isto é, ∆ = 4(~x • ~y)2 − 4‖~x‖2‖~y‖2 ≤ 0, ou seja,

|~x • ~y| ≤ ‖~x‖‖~y‖,como queŕıamos demonstrar.

¤Com isto temos as seguintes propriedades para a norma de um vetor:

Proposição 2.3.1 Sejam ~x, ~y ∈ Rn e α ∈ R. Então:(N-1) ‖~x‖ =

√~x • ~x;

(N-2) ‖~x‖ ≥ 0 para todo ~x ∈ Rn e ‖~x‖ = 0 se, e somente se, x = 0.(N-3) ‖α~x‖ = |α|‖~x‖;(N-4) (Desigualdade Triangular) ‖~x + ~y‖ ≤ ‖~x‖+ ‖~y‖.Demonstração:

As demonstrações de (N-1)-(N-3) serão deixadas para o leitor.Faremos a demostração de (N-4).Para isto observemos que:

‖~x + ~y‖2 (N-1)= (x + y) • (x + y) (proposição (2.2.1))= x • x + x • y + y • x + y • y (proposição (2.2.1))=x • x + 2(x • y) + y • y (N-1)= ‖~x‖2 + 2(x • y) + ‖y‖2.

Logo

‖~x + ~y‖2 ≤ ‖~x‖2 + 2|x • y|+ ‖y‖2(lema (2.3.1))

≤ ‖~x‖2 + 2‖x‖ ‖y‖+ ‖y‖2 = (‖~x‖+ ‖~y‖)2,isto é, ‖~x + ~y‖ ≤ ‖~x‖+ ‖~y‖, completando a demostração.

¤

Observação 2.3.3 A desigualdade triangular nos diz que o comprimento de um lado de umtriângulo é sempre menor (eventualmente igual) que a soma da medida dos outros dois ladosdo mesmo.

‖~x‖

‖~y‖

‖~x + ~y‖


Como conseqüência da desigualdade triangular temos o:

Corolário 2.3.1 Sejam ~x, ~y ∈ Rn. Então‖~x− ~y‖ ≥ | ‖~x‖ − ‖~y‖ |.

Demonstração:Podemos supor, sem perda de generalidade, que ‖x‖ ≥ ‖y‖.Da desiguladade triangular temos:

‖~x‖ = ‖(~x− ~y) + ~y‖ ≤ ‖~x− ~y‖+ ‖~y‖ assim | ‖~x‖ − ‖~y‖ | = ‖~x‖ − ‖~y‖ ≤ ‖~x− ~y‖,completando a demostração.

¤

Observação 2.3.4 Suponhamos que ~x e ~y são dois vetores não nulos de Rn, isto é ‖x‖, ‖y‖ 6=0.

Então da desigualdade de Cauchy-Schwarz temos |x • y| ≤ ‖x‖ ‖y‖, ou seja

−1 ≤ x • y‖x‖ ‖y‖ ≤ 1.

Deste modo existe um único θ ∈ [0, π) tal que cos(θ) = x • y‖x‖ ‖y‖ .

Com isto podemos introdizur a:

Definição 2.3.2 Dados ~x e ~y ∈ Rn são dois vetores, não nulos, de Rn definimos o ânguloentre ~x e ~y como sendo θ obtido acima.

Observação 2.3.5 Logo da observação acima temos:

~x • ~y = ‖x‖ ‖y‖ cos(θ).Tendo a noção de ângulo entre vetores podemos definir a noção de ”ortogonalidade” entre

vetores, a saber:

Definição 2.3.3 Dados ~x e ~y ∈ Rn diremos que eles são ortogonais se ~x • ~y = 0 e escreve-remos ~x ⊥ ~y.Observação 2.3.6 Observemos que se ~x e ~y ∈ Rn são dois vetores não nulos de Rn então,~x ⊥ ~y se, e somente se, o ângulo entre eles é de π

2(pois eles são ortogonais se, e somente se

0 = ~x • ~y = ‖x‖ ‖y‖ cos(θ); como ‖x‖ ‖y‖ 6= 0 segue que cos(θ) = 0, ou seja, θ = π2).

Outras propriedades relacionadas com ortogonalidade serão vistas ao longo destas notas.

Vale o teorema de Pitágoras em Rn, isto é,

Teorema 2.3.1 Sejam ~x e ~y ∈ Rn dois vetores de Rn.Os vetores ~x e ~y são ortogonais se, e somente se, ‖~x + ~y‖2 = ‖~x‖2 + ‖~y‖2.

Demonstração:A demosntração deste resultado será deixado para o leitor.

¤20.08.2007 - 3.a

2.4. CONJUNTOS ABERTOS, FECHADOS E COMPACTOS EM RN 13

2.4 Conjuntos abertos, fechados e compactos em Rn

Para estudarmos o comportamento de funções reais a várias variáveis precisaremos de algumasdefinições que estão contidas nesta secção.

Para o que segue vamos considerar Rn munido das operações (adição, multiplicação porescalar, produto interno, norma) definidas na seção anterior.

Começarmos pela:

Definição 2.4.1 Sejam ~x0 = (x1, · · · , xn) ∈ Rn e r ∈ R, r > 0. O conjunto

Br(~x0).= {~x ∈ Rn : ‖~x− ~x0‖ < r}

será dito bola aberta de centro em ~x0 e raio r.

Exemplo 2.4.1

1) Em R (isto é, se n = 1) temos que Br(~x0) = {x ∈ R : |x− x0| < r} = (x0 − r, x0 + r) é ointervalo aberto de comprimento 2r com centro em x0.

-

x0x0 − r x0 + r

︷︸︸︷Br(~x0)

x

2) Em R2 (isto é, se n = 2) temos que Br(~x0) = {(x, y) ∈ R2 : (x− x0)2 + (y − y0)2 < r2} éo conjunto dos pontos do interior à circunferência de centro em ~x0 = (x0, y0) ∈ R2 e raior > 0.

-

6

~x0 :r

Br(~x0)

x

y

x0

y0

c) Em R3 (isto é, se n = 3) temos que Br(~x0) = {(x, y, z) ∈ R2 : (x − x0)2 + (y − y0)2 +(z − z0)2 < r2} é o conjunto dos pontos do interior à superf́ıcie esférica de centro em~x0 = (x0, y0, z0) ∈ R3 e raio r > 0.


~x0

>r

6

-

ª

x

y

z

Br(~x0)

x0

y0

z0

A partir da definição de bola aberta podemos introduzir as seguintes noções:

Definição 2.4.2 Seja A ⊆ Rn não vazio.Diremos que ~x0 ∈ A é um ponto interior de A se existir uma bola aberta de centro em

~x0 interamente condita em A, ou seja, se existir r > 0 tal que Br(~x0) ⊆ A.Diremos que ~x0 ∈ Rn é um ponto de fronteira de A se toda bola aberta de centro em

~x0 intercepta o conjunto A e seu complementar Ac, isto é, para todo r > 0, Br(~x0) ∩ A 6= ∅ e

Br(~x0) ∩ Ac 6= ∅ (onde Ac denota o conjunto complementar de A em Rn).Diremos que ~x0 ∈ Rn é um ponto exterior de A se ele for ponto interior de Ac.Diremos que ~x0 ∈ Rn é um ponto de acumulação de A se toda bola aberta de centro em

~x0 intercepta o conjunto A em, pelo menos, um ponto diferente de ~x0, isto é, para todo r > 0,(Br(~x0) ∩ A) \ {~x0} 6= ∅.

Diremos que ~x0 ∈ A é um ponto isolado de A se ~x0 não é um ponto de acumulação deA.

Exemplo 2.4.2 Seja A = {(x, y) ∈ R2 : −1,≤ x ≤ 1,−1 ≤ y ≤ 1} ∪ {(2, 2)} ⊆ R2.O conjunto acima é formado pelos pontos que estão sobre e dentro do quadrado unido com

conjunto formado pelo ponto (2, 2).


-

6

−1 1

−1

1

(2, 2)

2

2

x

y

Observemos que todos os pontos do conjunto {(x, y) ∈ R2 : −1 < x < 1, −1 < y < 1} sãopontos interiores de A (eles estão dentro do quadrado).

-

6

−1 1

−1

1

x

y

Os pontos do conjunto {(x,−1) ∈ R2 : −1,≤ x ≤ 1} ∪ {(x, 1) ∈ R2 : −1,≤ x ≤ 1} ∪{(−1, y) ∈ R2 : −1,≤ y ≤ 1} ∪ {(1, y) ∈ R2 : −1,≤ y ≤ 1} ∪ {(2, 2)} são pontos de fronteira deA (os pontos sobre os lados quadrado).

Os pontos do conjunto {(x, y) ∈ R2 : −1,≤ x ≤ 1,−1 ≤ y ≤ 1} são pontos de acumulaçãodo conjunto A (são os pontos que estão sobre e dentro do quadrado).

O ponto (2, 2) não é um ponto de acumulação do quadrado (pois a bola de centro em (2, 2)e raio r = 1 não contém nenhum ponto de A diferente de (2, 2)) logo ele será um ponto isoladode A.

Resuminado, na figura abaixo temos que Q é ponto de fronteira, P é ponto interior e R éponto exterior de A.


-

6

−1 1

−1

1

(2, 2)

2

2

x

y

Q

R

P

Em geral temos a:

Proposição 2.4.1 Seja A ⊆ Rn e ~x0 ∈ Rn.Então se ~x0 é ponto de acumulação de A temos que ou ~x0 é ponto interior de A ou ~x0 é

ponto de fronteira de A.

Demonstração:Como ~x0 é ponto de acumulação de A, toda bola Br(~x0) intercepta A em um ponto diferente

de ~x0.Se ~x0 não é ponto interior de A, isto é existe r0 > 0 tal que Br0(~x0) não está contida em A,

ou seja, para todo 0 < s ≤ r0 temos que a bola Bs(~x0) não está contida em A.Logo para todo 0 < s ≤ r0 temos que a bola Bs(~x0) contém pontos de A (pois x0 é ponto

de acumulação de A) e pontos que estão em Ac (pois contém pontos que não estão em A), ouseja, ~x0 é ponto de fronteira de A.

¤Temos também a:

Definição 2.4.3 Seja A ⊂ Rn não vazio.Diremos que A é um conjunto aberto em Rn se todo ponto de A é ponto interior de A.Diremos que A é um conjunto fechado em Rn se seu complementar, Ac, é aberto em

Rn.

Exemplo 2.4.3

1) R2 é um conjunto aberto e fechado em R2.

6

-x

y


2) A = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0} é fechado em R2.

-

6

x

y

3) A = {(x, y) ∈ R2 : x > 0, y > 0} é aberto em R2.

-x

y 6

4) Toda bola aberta de Rn é um conjunto aberto em Rn.

Resolução:A resolução destes exemplos serão deixadas para o leitor.

Exerćıcio 2.4.1 Dê exemplos de conjuntos que não são abertos nem fechados em R2.

Com isto podemos introduzir os seguintes conjuntos:

Definição 2.4.4 Seja A ⊆ Rn.Definimos o fecho de A em Rn, indicado por Ā, como sendo o conjunto formado por todos

os pontos de A juntamente com os pontos de acumulação de A.Definimos a fronteira de A em Rn, indicada por ∂A, como o conjunto formado por todos

os pontos de fronteira de A.

Definimos a interior de A em Rn, indicado poro

A, como o conjunto formado por todosos pontos interiores a A em Rn.


Exerćıcio 2.4.2 Encontre o interior, o fecho e a fronteira dos conjuntos dos exemplos (2.4.2)e (2.4.3).

Com isto temos a:

Proposição 2.4.2 Se A ⊆ Rn então:(a) Ā é fechado em Rn;

(b)o

A é aberto em Rn;

(c) ∂A é fechado em Rn;

(d) Ā = A ∪ ∂A e oA ∩∂A = ∅

Demonstração:A demonstração dessas propriedades serão deixadas para o leitor.

¤Uma caracterização dos conjuntos fechados em Rn é dada pela:

Proposição 2.4.3 Um subconjunto A ⊆ Rn é fechado em Rn se, e somente, se A = Ā.

Demonstração:Se A é fechado se, e somente se, Ac é aberto.Mas, Ac é aberto se, e somente se, todo ponto de Ac é exterior a A, isto é, se, e somente se,

todo ponto de acumulação de A está em A, ou seja, se e somente se, A = Ā.¤

Finalizando as definições temos a:

Definição 2.4.5 Seja A ⊆ Rn.Se para algum r > 0, A ⊆ Br(0), dizemos que A é um conjunto limitado em Rn.Se A é fechado e limitado em Rn ela será dito compacto em Rn.

Exerćıcio 2.4.3 Mostre que o conjunto A do exemplo (2.4.2) é compacto.

Com isto temos o:

Teorema 2.4.1 (Teorema de Bolzano-Weierstrass) Todo subconjunto limitado do Rnque possui infinitos elementos tem pelo menos um ponto de acumulação.

Demonstração:A demonstração deste resultado será omitida e pode ser encontrada em livros de Análise

Matemática (por exemplo, W. Rudin - Principles of Mathematical Analysis).

Caṕıtulo 3

Funções a Valores Vetoriais - CurvasParametrizadas

22.08.2007 - 4.aNeste caṕıtulo trataremos de uma classe importante de funções, a saber as funções reais a

valores vetoriais e as curvas parametrizadas.Denotaremos a base canônica de Rn por {~e1, ~e2, · · · , ~en}, isto é,

~ek = (0, 0, · · · , 0, 1︸︷︷︸k-ésima posição

, 0, · · · , 0) ∈ Rn.

No caso n = 2 podemos indicar ~e1 por ~i e ~e2 por ~j (isto é, ~i = (1, 0) e ~j = (0, 1)).

No caso n = 3 podemos indicar ~e1 por~i, ~e2 por ~j e ~e3 por ~k (isto é,~i = (1, 0, 0), ~j = (0, 1, 0)

e ~e3 por ~k).Começaremos pela:

3.1 Funções de variável real a valores vetoriais

Definição 3.1.1 Sejam A ⊆ R aberto e F1, F2, · · ·Fn : I → R funções reais.Deste modo podemos definir uma função F : A → Rn, onde F (t) .= (F1(t), F2(t), · · · , Fn(t)) =

F1(t)~e1 + F2(t)~e2 + · · ·Fn(t)~en, t ∈ A.Tal função será dita função de uma variável real a valores vetoriais (ou simples-

mente função vetorial).Para cada i ∈ {1, 2, · · · , n}, a função Fi : A → R será dita i-ésima componente de F .

Caso n = 2 :

-6

A

t-

F

6

3F (t) = F1(t)~e1 + F2(t)~e2

-6

~e1

~e2

19

20 CAPÍTULO 3. FUNÇÕES A VALORES VETORIAIS - CURVAS PARAMETRIZADAS

Caso n = 3 :

-

À

6

A

t-

F

6

3F (t) = F1(t)~e1 + F2(t)~e2 + F3(t)~e3

-À

6

~e1~e2

~e3s

Podemos operar com funções vetoriais operando com suas componentes, ou seja:

Definição 3.1.2 Sejam F : A → Rn e G : A → Rn funções vetoriais tais que F (t) =(F1(t), F2(t), · · · , Fn(t)) e G(t) = (G1(t), G2(t), · · · , Gn(t)), t ∈ A.

Definimos a função F + G : A → Rn como sendo(F + G)(t)

.= F (t) + G(t) = (F1(t) + G1(t), F2(t) + G2(t), · · · , Fn(t) + Gn(t))),

t ∈ A (dita função soma da função F com a função G).De modo semelhante definimos a função F −G : A → Rn como sendo

(F −G)(t) .= F (t)−G(t) = (F1(t)−G1(t), F2(t)−G2(t), · · · , Fn(t)−Gn(t)),t ∈ A (dita função diferença da função F pela função G).

Se α ∈ R definimos a função αF : A → Rn como sendo(αF )(t)

.= αF (t) = (αF1(t), αF2(t), · · · , αFn(t)),

t ∈ A (dita função produto da função F pelo número real α).Além disso podemos definir a função F •G : A → R como sendo

(F •G)(t) .= F (t) •G(t) = F1(t)G1(t) + F2(t)G2(t) + · · ·+ Fn(t)Gn(t)),t ∈ A (dita função produto escalar da função F pela função G).

Se n = 3 podemos definira a a função F ×G : A → R3 como sendo

(F×G)(t) .= F (t)×G(t) = (F1(t), F2(t), F3(t))×(G1(t), G2(t), G3(t)) =∣∣∣∣∣∣

~e1 ~e2 ~e3F1(t) F2(t) F3(t)G1(t) G2(t) G3(t)

∣∣∣∣∣∣,

t ∈ A (dita função produto vetorial da função F pela função G).Podemos estudar limites de funções a valores vetoriais estudando o limite de suas compo-

nentes, isto é,

Definição 3.1.3 Seja F : A ⊆ R→ Rn função vetorial tal que F (t) = (F1(t), F2(t), · · · , Fn(t))e t0 ∈ A.

Diremos que existe limite de F (t) quando t tende a t0 e dá L.= (L1, L2, · · · , Ln) se, e

somente se, limt→t0

Fi(t) = Li, para i ∈ {1, 2, · · · , n}.Neste caso escreveremos lim

t→t0F (t) = L.

3.1. FUNÇÕES DE VARIÁVEL REAL A VALORES VETORIAIS 21


(a) A definição acima nos diz que limt→t0

F (t) = (limt→t0

F1(t), limt→t0

F2(t), · · · , limt→t0

Fn(t)), ou seja

para estudarmos limites de funções vetoriais basta sabermos estudar os limites de suasfunções componentes Fi, i ∈ {1, 2, · · · , n}, isto é, de funções reais de uma variável real(estudadas no Cálculo 1).

(b) Como F (t) = F1(t)~e1 + F2(t)~e2 · · · , Fn(t)~en temos que limt→t0

F (t) = L se, e somente se,

limt→t0

[F1(t)~e1 + F2(t)~e2 + · · ·+ Fn(t)~en] = L1 ~e1 + L2 ~e2 · · · , Ln ~en.Resumindo:

limt→t0

F (t) = [limt→t0

F1(t)]~e1 + [limt→t0

F2(t)]~e2 + · · ·+ [limt→t0

Fn(t)]~en

= (limt→t0

F1(t), limt→t0

F2(t), · · · , limt→t0

Fn(t)).

(c) Rigorosamente, a definição de limites para funções vetoriais não é a que demos acima.

A definição que tomamos acima é, na verdade, uma conseqüência da definição originalque é a seguinte: lim

t→t0F (t) = L se, e somente se, dado ε > 0 existe δ > 0 tal que se

0 < |t− t0| < δ então ‖F (t)− L‖ < ε.

Como conseqüência da definição acima e das propriedades de limites de funções reais deuma variável real (estudas no Cálculo 1) temos que:

Proposição 3.1.1 Sejam F : A ⊆ R → Rn e G : A ⊆ R → Rn funções vetoriais, t0 ∈ A eα ∈ R.

Suponhamos que existam limt→t0

F (t) = L e limt→t0

G(t) = M . Então:

(a) existem limt→t0

(F ±G)(t) e limt→t0

(F ±G)(t) = L±M , isto é,

limt→t0

(F ±G)(t) = limt→t0

F (t)± limt→t0

G(t).

(b) existe limt→t0

(αF )(t) e limt→t0

(αF )(t) = αL, isto é,

limt→t0

(αF )(t) = α limt→t0

F (t).

(c) existe limt→t0

(F •G)(t) e limt→t0

(F •G)(t) = L •M , isto é,

limt→t0

(F •G)(t) = limt→t0

F (t) • limt→t0

G(t).

(d) se n = 3, existe limt→t0

(F ×G)(t) e limt→t0

(F ×G)(t) = L×M , isto é,

limt→t0

(F ×G)(t) = limt→t0

F (t)× limt→t0

G(t).


Demonstração:As demostrações dos itens acima serão deixadas a cargo do leitor.Elas são conseqüências da definição (3.1.3) e das propriedades elementares de limites para

funções reais de uma variável real (Cálculo 1).¤

Exemplo 3.1.1 Sejam F : R→ R3 e G : R→ R3 dadas por:

F (t) = sen(t)~e1 + (t2 + 1)~e2 + t~e3 e G(t) = cos(t)~e1 + (t + 1)~e2 + t

3~e3, t ∈ R.

Calcule, se existir, limt→0

(F +G)(t), limt→0

(F −G)(t), limt→0

(2F )(t), limt→0

(F •G)(t) e limt→0

(F ×G)(t).Resolução:

Neste caso temos que:F1(t) = sen(t), F2(t) = t

2 + 1, F3(t) = t,G1(t) = cos(t), G2(t) = t + 1, G3(t) = t

3, t ∈ R.Assimlimt→0

F (t) = limt→0

[ sen(t)~e1 + (t2 + 1)~e2 + t~e3] = [lim

t→0sen(t)]~e1 + [lim

t→0(t2 + 1)]~e2 + [lim

t→0t]~e3 =

0~e1 +1~e2 +0~k = ~e3 (ou ainda limt→0

F (t) = limt→0

( sen(t), t2 +1, t) = (limt→0

sen(t), limt→0

(t2 +1), limt→0

t) =

(0, 1, 0)) elimt→0

G(t) = limt→0

[cos(t)~e1+(t+1)~e2+t3~e3] = [lim

t→0cos(t)]~e1+[lim

t→0(t+1)]~e2+[lim

t→0t3]~e3 = 1~e1+1~e2+

0~e3 =~i+~j (ou ainda limt→0

G(t) = limt→0

(cos(t), t+1, t3) = (limt→0

cos(t), limt→0

(t+1), limt→0

t3) = (1, 1, 0)).

Logo, da proposição acima segue que:limt→0

(F + G)(t) = limt→0

F (t) + limt→t0

G(t) = (0, 1, 0) + (1, 1, 0) = (1, 2, 0);

limt→0

(F −G)(t) = limt→0

F (t)− limt→t0

G(t) = (0, 1, 0)− (1, 1, 0) = (−1, 0, 0);limt→0

(2F )(t) = 2 limt→0

F (t) = 2(0, 1, 0) = (0, 2, 0);

limt→0

(F •G)(t) = limt→0

F (t) • limt→t0

G(t) = (0, 1, 0) • (1, 1, 0) = 0.1 + 1.1 + 0.0 = 1 e

limt→0

(F ×G)(t) = limt→0

F (t)× limt→t0

G(t) = (0, 1, 0)× (1, 1, 0) =∣∣∣∣∣∣

~e1 ~e2 ~e30 1 01 1 0

∣∣∣∣∣∣= (1.0− 0.1)~e1 −

(0.0− 1.0)~e2 + (0.1− 1.1)~e3 = −~e3 = (0, 0,−1).

Tendo a noção de limites para funções de uma variável real a valores vetoriais podemosintroduzir o conceito de continuidade para estas funções. Mais precisamente:

Definição 3.1.4 Seja F : A ⊆ R→ Rn função vetorial e t0 ∈ A.Diremos que F é cont́ınua em t0 se

limt→t0

F (t) = F (t0).

Diremos que F é cont́ınua em I se for cont́ınua em todos os pontos de I.


(a) A definição aciam nos diz que uma função vetorial F é cont́ınua em t0 se:

(i) F está definida em t0;


(ii) existe limt→t0

F (t);

(iii) vale a identidade limt→t0

F (t) = F (t0).

(b) Segue da definição (3.1.3) que uma função vetorial F é cont́ınua em t0 ∈ I se, e somentese, suas componentes, Fi, i ∈ {1, 2, · · · , n} forem cont́ınuas em t0, isto é, F é cont́ınuaem t0 se, e somente se,

limt→t0

Fi(t) = Fi(t0)

para todo i ∈ {1, 2, · · · , n}.(c) Geometricamente, uma função vetorial F é cont́ınua em t0 se, e somente se, a repre-

sentação gráfica do seu gráfico é uma curva sem ”saltos”.

No caso n = 3 temos:

-

À

6

I-

F

6

3

Exemplo 3.1.2 Seja F : R→ R3 dada por F (t) = sen(t)~e1 + (t2 + 1)~e2 + t~e3, t ∈ R.Então F é cont́ınua em R pois F1(t) = sen(t), F2(t) = t2 + 1, F3(t) = t, t ∈ R são funções

(reais de uma variável real) cont́ınuas em R (visto em Cálculo 1).

Como conseqüência da proposição (3.1.1) temos o:

Corolário 3.1.1 Sejam F, G : A ⊆ R→ Rn funções vetoriais cont́ınuas em t0 ∈ A e α ∈ R.Então F ±G, αF , F •G e F ×G são cont́ınuas em t0.

Demonstração:Será deixada a cargo do leitor.

¤Além disso temos a:

Proposição 3.1.2 Sejam f : B → R (função real de uma variável real, B aberto em R)cont́ınua em s0 ∈ B, f(B) ⊆ A aberto em R e F : A ⊆ R → Rn função vetorial cont́ınua emt0 = f(s0).

Então F ◦ f : B → Rn, onde (F ◦ f)(s) .= F (f(s)), s ∈ J , será cont́ınua em s0.

Demonstração:Se F (t) = (F1(t), F2(t), · · · , Fn(t)), t ∈ A então

(F ◦f)(s) = F (f(s)) = (F1(f(s)), F2(f(s)), · · · , Fn(f(s))) = ((F1 ◦f)(s), (F2 ◦f)(s)), · · · , (Fn ◦f)(s), s ∈ B.


Como F é cont́ınua em t0 = f(s0) segue, da observação (3.1.2) item (b), que Fi é cont́ınuaem t0 para i ∈ {1, 2, · · · , n}.

Do Cálculo 1 sabemos que Fi ◦ f será cont́ınua em s0 ∈ B para todo i ∈ {1, 2, · · · , n}.Portanto, a (3.1.2) item (b), implicará F ◦ f será cont́ınua em s0.

¤Podemos tratar da diferenciabilidade de funções vetoriais, a saber:

Definição 3.1.5 Sejam A ⊆ R aberto e F : A → Rn função vetorial tal queF (t) = (F1(t), F2(t), · · · , Fn(t)) e t0 ∈ A.

Diremos que F é diferenciável em t0 se existir o limite limh→0

F (t0 + h)− F (t0)h

.

Neste caso o limite acima será denominado derivada de F em t0 e indicado por F′(t0),

isto é,

F ′(t0).= lim

h→0F (t0 + h)− F (t0)

h.

Diremos que F é diferenciável em A se F for diferenciável em todo ponto de A.

Observação 3.1.3 Seja F : A ⊆ R → Rn uma função vetorial tal que F (t) = F1(t)~e1 +F2(t)~e2 + · · · , +Fn(t)~en (= (F1(t), F2(t), · · · , Fn(t))).

Da observação (3.1.1) item (a), segue que F é diferenciável em t0 ∈ A se, e somente se, asfunções componentes de F , Fi, i ∈ {1, 2, · · · , n}, são diferenciáveis em t0.

Neste caso,

F ′(t0) = F ′1(t)~e1 + F′2(t)~e2 + · · · , +F ′n(t)~en

= (F ′1(t0), F′2(t0), · · · , F ′n(t0))),

isto é, para estudarmos a diferenciabilidade de funções vetoriais basta sabermos estudar a dife-renciabilidade de funções reais de uma variável real (visto no Cálculo 1).

Exemplo 3.1.3 Seja F : R→ R3 dada por F (t) = sen(t)~e1 + (t2 + 1)~e2 + t~e3 t ∈ R.Neste caso F1(t) = sen(t), F2(t) = t

2 + 1, F3(t) = t, t ∈ R,.Observemos que, do Cálculo 1, Fi é diferenciável em R para i = 1, 2, 3 e F ′1(t0) = cos(t),

F ′2(t) = 2t e F′3(t) = 1, t ∈ R.

Logo da observação acima segue que F é diferenciável em R e além disso:F ′(t) = (F ′1(t0), F

′2(t0), F

′3(t0))) = (cos(t), 2t, 1), t ∈ R.

Como conseqüência da proposição (3.1.1) temos a:

Proposição 3.1.3 Sejam F, G : A ⊆ R → Rn funções vetoriais diferenciáveis em t0 ∈ A eα ∈ R.

Então:

(a) F ±G é diferenciável em t0 e

(F ±G)′(t0) = F ′(t0)±G′(t0).

(b) αF é diferenciável em t0 e(αF )′(t0) = αF ′(t0).


(c) F •G é diferenciável em t0 e

(F •G)′(t0) = F ′(t0) •G(t0) + F (t0) •G′(t0).

(d) se n = 3, F ×G é diferenciável em t0 e

(F ×G)′(t0) = F ′(t0)×G(t0) + F (t0)×G′(t0).

Demonstração:As demostrações dos itens acima serão deixadas a cargo do leitor.Elas são conseqüências da observação (3.1.3) e das propriedades elementares de derivação

para funções reais de uma variável real (Cálculo 1).¤

Temos o seguinte resultado que relaciona as noções de continuidade e diferenciabilidade:

Teorema 3.1.1 Sejam F : A ⊆ R→ Rn diferenciável em t0 ∈ A. Então F é cont́ınua em t0.

Demonstração:Será deixada como exerćıcio para o leitor.

¤

Observação 3.1.4 Não vale a rećıproca do resultado acima, isto é, existem funções vetoriaiscont́ınuas em um ponto que não são diferenciáveis nesse ponto (por exemplo, a função F : R→R2 dada´por F (t) .= (t, |t|), t ∈ R é cont́ınua em t = 0 mas não é diferenciável em t = 0, porque?).

Temos um resultado que nos dá condições suficientes para que a composta de uma funçãovetorial com uma função real de variável real seja diferenciável, a saber:

Proposição 3.1.4 Sejam A,B ⊆ R abertos, f : B → R (função real de uma variável real)diferenciável em s0 ∈ B, f(B) ⊆ A e F : A → Rn função vetorial diferenciável em t0 = f(s0).

Então F ◦ f : B → Rn, onde (F ◦ f)(s) .= F (f(s)), s ∈ J , será diferenciável em s0.Além disso,

(F ◦ f)′(s0) = F ′(f(s0))f ′(s0).

Demonstração:A demostraçao segue da observação (3.1.3) e da regra da cadeia para funções de reais de

uma variável real (visto no Cálculo 1) e seus detalhes serão deixados para o leitor.¤

Podemos integrar funções vetoriais, como veremos na:

Definição 3.1.6 Seja F : [a, b] → Rn função vetorial tal que F (t) = (F1(t), F2(t), · · · , Fn(t)).Diremos que F é integrável em [a, b] se, e somente se, cada uma das suas componentes,

Fi, i ∈ {1, 2, · · · , n}, for integrável em [a, b].Neste caso definiremos a integral definida de F em [a, b], indicada por

∫ ba

F (t) dt, como

sendo:


∫ ba

F (t) dt.= [

∫ ba

F1(t) dt]~e1 + [

∫ ba

F2(t) dt]~e2 + · · ·+ [∫ b

a

Fn(t) dt]~en

= (

∫ ba

F1(t) dt,

∫ ba

F2(t) dt, · · · ,∫ b

a

Fn(t) dt).

Observação 3.1.5 A definição de integral definida para funções vetoriais que demos acimanão é a definição original. Na verdade a definição acima é uma conseqüência da definiçãooriginal.

A definição original é semelhante a definição de integral definida para funções reais de umavariável real (que utiliza soma de Riemann), a saber:

”Diremos que uma função F : [a, b] → Rn limitada é integrável em [a, b] se existir L ∈ Rntal que dado ε > 0 existir δ > 0 tal que para toda partição P = {a = x0, x1, · · · , xn = b}, ondea = x0 < x1 < · · · < xn = b, que satisfazendo ‖∆‖ < δ temos |

n∑i=1

f(ci)∆xi − L| < ε, onde‖∆‖ .= max{∆xi .= xi − xi−1 : i = 1, 2, · · · , n} (dito norma da partição P) e qualquer escolhade ci ∈ (xi−1, xi), i ∈ {1, 2, · · · , n}”.

Uma condição suficiente para que uma função vetorial seja integrávell em um intervalo [a, b]é dado pela:

Proposição 3.1.5 Seja F : [a, b] → Rn função vetorial. Se F é cont́ınua em [a, b] então F éintegrável em [a, b].

Demonstração:Se F é cont́ınua em [a, b] então, da observação (3.1.2) item (b), segue que Fi é cont́ınua em

[a, b], i ∈ {1, 2, · · · , n}.Mas, do Cálculo 1, sabemos que Fi é integrável em [a, b], i ∈ {1, 2, · · · , n} (pois elas são

cont́ınuas em [a, b]).Logo, da definição (3.1.6), segue que F será integrável em [a, b].

¤Valem as propriedades básicas para a integral definida de funções vetoriais, a saber:

Proposição 3.1.6 Sejam F : [a, b] → Rn e G : [a, b] → Rn funções vetoriais que são integráveisem [a, b].

Então:

(a) F ±G é integrável em [a, b] e∫ b

a

(F ±G)(t) dt =∫ b

a

F (t) dt±∫ b

a

G(t) dt.

(b) αF é integrável em [a, b] e

∫ ba

(αF )(t) dt = α

∫ ba

F (t) dt.

3.2. CURVAS PARAMETRIZADAS 27

Demonstração:Segue da definição (3.1.6) e das propriedades básicas de integrais definidas de funções reias

de uma variável real (Cálculo 1) e por isso deixaremos a cargo do leitor.¤

Exemplo 3.1.4 Seja F : R→ R3 dada por F (t) = sen(t)~i + (t2 + 1)~j + t~k.Calcule

∫ 10

F (t) dt.

Resolução:Observemos que F é cont́ınua em [0, 1] (pois suas componentes são) e assim:∫ 1

0

F (t) dt = (

∫ 10

sen(t) dt)~i + (

∫ 10

t2 + 1 dt)~j + (

∫ 10

t dt)~k = (− cos(t)|t=1t=0)~i + (t3

3+ t)|t=1t=0~j +

(t2

2)|t=1t=0~k = (1− cos(1))~i +

4

3~j +

1

2~k.

24.08.2007 - 5.a

3.2 Curvas Parametrizadas

Iniciaremos com a:

Definição 3.2.1 Seja [a, b] ⊆ R um intervalo fechado e limitado.Uma aplicação γ : [a, b] → Rn cont́ınua em I será denominada curva parametrizada em

Rn.Se γ(t) = (γ1(t), γ2(t), · · · , γn(t)), t ∈ [a, b], onde γi : [a, b] → R, i = 1, · · · , n (as com-

ponentes de γ), então as equações

x1 = γ1(t)x2 = γ2(t)· · ·xn = γn(t)

serão ditas equações paramétricas da

curva γ.A imagem de [a, b] pela função γ, γ([a, b])

.= {γ(t) : t ∈ [a, b]} ⊆ Rn, será dito traço da

curva γ.Diremos que a curva parametrizada γ : [a, b] → Rn é curva simples se γ(t) 6= γ(s), para

todo t, s ∈ I, t 6= s (sem autointersecções).Diremos que a curva parametrizada γ : [a, b] → Rn é curva fechada se γ(a) = γ(b) (isto

é, o ponto inicial é igual ao ponto final).Diremos que a curva parametrizada γ : [a, b] → Rn é curva fechada simples se γ(a) =

γ(b) e γ(t) 6= γ(s) para t, s ∈ (a, b).


(a) Quando n = 1 temos que γ : [a, b] → R, ou seja uma função real cont́ınua de uma variávelreal definida no intervalo fechado e limitado [a, b].

(b) Se n = 2 temos que uma curva parametrizada em R2 será uma função cont́ınua γ :[a, b] → R2. Seu traço será uma curva em R2 (isto é, uma curva plana).Neste caso podemos escrever γ(t) = (γ1(t), γ2(t)) = γ1(t)~e1 + γ2(t)~e2, t ∈ [a, b] ondeγ1, γ2 : [a, b] → R e {~e1, ~e2} é base canônica do R2 (isto é, ~e1 = (1, 0) e ~e2 = (0, 1)).


Geometricamente o traço de γ será uma curva no plano xOy por isto será dita curvano plano.

6

-

6

a

t

-

γ

γ(t)b

γ(a)

γ(b)

(c) Se n = 3 temos que γ : [a, b] → R3 e seu traço será uma curva em R3.Neste caso podemos escrever γ(t) = (γ1(t), γ2(t), γ3(t)) = γ1(t)~e1 + γ2(t)~e2 + γ3(t)~e3, t ∈[a, b] onde γ1, γ2, γ3 : [a, b] → R e {~e1, ~e2, ~e3} é a base canônica do R3 (isto é, ~e1 = (1, 0, 0),~e2 = (0, 1, 0) e ~e3 = (0, 0, 1)).

Geometricamente o traço de γ será dito curva no espaço.

6

z

γ

6

ª

-t

γ(t)

a

b

γ(a)

γ(b)

(d) Uma curva parametrizada γ : [a, b] → Rn tem um sentido de percurso definido pela funçãoγ.

(e) Ao longo destas notas as curvas parametrizadas consideradas terão seu traço num plano(caso n = 2) ou no espaço (n = 3) (ou seja, serão curvas planas ou espaciais).

(f) Uma curva parametrizada é fechada se, e somente se, ponto final do seu traço coincideco seu ponto inicial do mesmo.


6

z

γ

6

ª

-

b

γ(a) = γ(b)

a

Curva Fechada(g) Uma curva parametrizada é simples se, e somente se, seu traço não tem pontos de auto-

intercecção.

-

À

6

-

6γ

Curva Simples

-

6

ª

-

K β

Curva Não Simples

a b a t1 t2 b

γ(a)

γ(b)

γ(t1) = γ(t2)

γ(a)γ(b)

Como exemplos temos:

Exemplo 3.2.1

(a) γ : [0, 2π] → R2 dada por γ(t) .= (cos(t), sen(t)), t ∈ [0, 2π] é uma curva parametrizadacujo traço é a circunferência de centro na origem e raio 1 do R2, pois neste caso γ1(t) =cos(t) e γ2(t) = sen(t), t ∈ [0, 2π] assim:‖γ(t)‖ =

√(γ1(t))2 + (γ2(t))2 =

√(cos(t))2 + ( sen(t))2 = 1, para todo t ∈ [0, 2π].

6

-

(1, 0) = γ(0) = γ(2π)

6

0

2π

-

γ

t

µγ(t)


Observemos também que γ(0) = γ(2π) = (1, 0) e estes são os únicos pontos onde istoocorre (isto é, em t = 0 e t = 2π).

Logo γ é uma curva parametrizada fechada simples.

Observemos que neste caso as equações paramétricas da curva serão:

{x(t) = cos(t)y(t) = sen(t)

,

t ∈ [0, 2π].(b) γ : [0, π] → R2 dada por γ(t) .= (cos(2t), sen(2t)), t ∈ [0, π] é uma curva parametrizada

cujo traço é a circunferência de centro na origem e raio 1 do R2, pois neste caso γ1(t) =cos(2t) e γ2(t) = sen(2t), t ∈ [0, π] assim:‖γ(t)‖ =

√(γ1(t))2 + (γ2(t))2 =

√(cos(2t))2 + ( sen(2t))2 = 1, para todo t ∈ [0, π].

6

-

(1, 0) = γ(0) = γ(π)

6

0

π

-

γ

Observemos também que γ(0) = γ(π) = (1, 0) e estes são os únicos pontos onde istoocorre (isto é, em t = 0 e t = π).

Logo γ é uma curva parametrizada fechada simples.

Neste caso as equações paramétricas da curva serão:

{x(t) = cos(2t)y(t) = sen(2t)

, t ∈ [0, π].Vale observar que as curvas parametrizadas dos exemplos acima são diferentes mas têmo mesmo traço (eles são percorridos com velocidades diferentes).

(c) γ : [0, 2π] → R2 dada por γ(t) .= (cos(2t), sen(2t)), t ∈ [0, 2π] é uma curva parametrizadacujo traço é a circunferência de centro na origem e raio 1 do R2, pois neste caso γ1(t) =cos(2t) e γ2(t) = sen(2t), t ∈ [0, 2π] assim:‖γ(t)‖ =

√(γ1(t))2 + (γ2(t))2 =

√(cos(2t))2 + ( sen(2t))2 = 1, para todo t ∈ [0, 2π].

Esta percorre duas vezes a circunferência unitária de centro na origem no sentido anti-horário.

6

-

(1, 0) = γ(0) = γ(π) = γ(2π)

6

0

2π

-

γ


Observemos também que γ(0) = γ(π) = γ(2π)(1, 0) logo γ é uma curva parametrizada éfechada mas não é simples.

Neste caso as equações paramétricas da curva serão:

{x(t) = cos(2t)y(t) = sen(2t)

, t ∈ [0, 2π].

Vale observar que as curvas parametrizadas dos exemplos acima são diferentes mas têmo mesmo traço (eles são percorridos com velocidades diferentes).

(d) γ : [0, 2π] → R3 dada por γ(t) .= (cos(t), sen(t), t), t ∈ [0, 2π] é uma curva parametrizadacujo traço está contido no cilindro circular reta que tem como base a circunferência de cen-tro na origem e raio 1 do R2, pois neste caso γ1(t) = cos(t) e γ2(t) = sen(t), γ3(t) = t, t ∈[0, 2π] assim, no plano xOy, temos que

√(γ1(t))2 + (γ2(t))2 =

√(cos(t))2 + ( sen(t))2 =

1, para todo t ∈ [0, 2π].

-

6

0

2π

z

γ

À

6

x

y

z

γ(t)

¼

γ(0)

γ(2π)

o

>

Observemos que γ(t) 6= γ(s) para todo t, s ∈ [0, 2π], t 6= s, logo γ é uma curva (parametrizada)simples.

Esta curva é conhecida como hélice.

Observemos que neste caso as equações paramétricas da curva serão:

x(t) = cos(t)y(t) = sen(t)z(t) = t

,

t ∈ [0, 2π].

Definição 3.2.2 Diremos que a curva parametrizada γ : [a, b] → Rn é diferenciável emt0 ∈ [a, b] se a função (vetorial) γ for diferenciável em t0.

Diremos que a curva parametrizada γ : [a, b] → Rn é diferenciável em I se ela fordiferenciável em todo ponto t ∈ I.


(a) Lembremos que a curva parametrizada γ : [a, b] → Rn é diferenciável em t0 ∈ I se, esomente se, cada uma de suas componentes,γi : [a, b] → R, i = 1, · · · , n, é diferenciávelem t0 ∈ [a, b], onde γ(t) = (γ1(t), γ2(t), · · · , γn(t), t ∈ [a, b] (ver observação (3.1.3)).


Devido a este fato, se k ∈ N, diremos que uma curva parametrizada γ : [a, b] → Rné de classe Ck em [a, b] se as funções γi : [a, b] → R forem de classe Ck para todoi ∈ {1, 2, · · · , n}.No caso acima se a curva for de classe Ck em [a, b] para todo k ∈ N diremos que ela é declasse C∞ em [a, b]

Lembremos, do Cálculo 1, que uma função f : [a, b] → R é de classe Ck em [a, b] sef, f ′, · · · , f (k) forem cont́ınuas em [a, b], onde f (j) denota a j-éisma derivada da funçãof , j ∈ N.

(b) Se a curva parametrizada γ : [a, b] → Rn é diferenciável em t0 ∈ [a, b], podemos dar umainterpretação geométrica para γ′(t0).

Para isto lembremos que da definição (3.1.5) temos que γ′(t0) = limh→0

γ(t0 + h)− γ(t0)h

.

Se h se aproxima de 0, o vetorγ(t0 + h)− γ(t0)

haproximar-se-á do vetor γ′(t0), ou seja

da direção tangente ao traço da curva γ em γ(t0).

6

a

b

z

γ

-

6

ª

µ-1

j

γ(t0)

γ(t0 + h)− γ(t0)

γ′(t0)γ(t0 + h)

-γ(t0+h)−γ(t0)

h, 0 < h < 1

Por isto o vetor γ′(t0) será dito vetor tangente à curva γ em t0.

Vale observar que o vetor é dito vetor tangente à curva em t0 e não tangente à curva noponto γ(t0).

Isto ocore para evitarmos situações em que a curva tem auto-intersecção.Neste caso o vetor tangente à curva num ponto de auto-intersecção não ficaria bem definido

(mas pensando em vetor tangente à curva em t0 estaria bem definido).

6

a

b

z

γ

6

ª

-t1

t2

γ(t1) = γ(t2)

*

Nγ′(t1)

γ′(t2)


No desenho acima, existe γ′(t1) e γ′(t2), são tangentes à curva γ mas não existe o vetortangente à curva no ponto γ(t0) (porque a curva tem auto-intersecção, γ(t1) = γ(t2)).

Na verdade se γ é diferenciável em t0 então γ′(t0) é vetor tangente a curva no ponto γ(t0).

Exemplo 3.2.2

(a) γ : [0, 2π] → R2 dada por γ(t) .= (cos(t), sen(t)), t ∈ [0, 2π] é uma curva parametrizadade classe C∞ em [0, 2π] pois γ1(t) = cos(t) e γ2(t) = sen(t) são de classe C∞ em [0, 2π].

Observemos que γ′(t) = (γ′1(t), γ′2(t)) = (− sen(t), cos(t)), t ∈ [0, 2π].

Logo ‖γ′(t)‖ =√

(γ′1(t))2 + (γ′2(t))

2√

(cos(t))2 + ( sen(t))2 = 1, para todo t ∈ [0, 2π], ouseja os vetores tangentes à curva em t ∈ [0, 2π] são unitários.Além disso, γ(t)•γ′(t) = (cos(t), sen(t))•(− sen(t), cos(t)) = cos(t)[− sen(t)]+ sen(t) cos(t) =0 para todo t ∈ [0, 2π], isto é, os vetores γ(t) e γ′(t) são ortogonais para para todot ∈ [0, 2π].

6

-(1, 0) = γ(0) = γ(2π)

6

0

2π

-γ

i

°

γ(t)

γ′(t)

t

(b) γ : [0, 2π] → R3 dada por γ(t) .= (cos(t), sen(t), t), t ∈ [0, 2π] é uma curva de classe C∞em [0, 2π] (pois suas componentes, γ1, γ2 e γ3 são funções reais de variável real de classeC∞ em [0, 2π]).

Além disso γ′(t) = (− sen(t), cos(t), 1) 6= ~0 para todo t ∈ [0, 2π] (pois ‖γ′(t)‖ =√[− sen(t)]2 + [cos(t)]2 + 12 =

√2 6= 0 para todo t ∈ [0, 2π]).

-

6

0

2π

z

γ

À

6

x

y

z

γ(t)

t

7

k

γ′(t)


Observemos que γ′(t) • (0, 0, 1) = 1, para todo t ∈ [0, 2π].Logo o ângulo, θ(t), entre os vetores γ′(t) e (0, 0, 1) será dado por:

cos(θ(t)) =γ′(t) • (0, 0, 1)‖γ′(t)‖|(0, 0, 1)‖ =

1√2

=

√2

2,

isto é, θ(t) = π4, para todo t ∈ [0, 2π] (ou seja, é constante!).

Entre as curvas parametrizadas diferenciáveis destacaremos uma classe que será importanteno decorrer destas notas, a saber:

Definição 3.2.3 Diremos que a curva parametrizada γ : [a, b] → Rn é regular (ou suave)em I se a função (vetorial) γ for de classe C1 em [a, b] e se γ′(t) 6= ~0 para todo t ∈ [a, b].

27.08.2007 - 6.a

Diremos que a curva parametrizada γ : [a, b] → Rn é regular (ou suave) por partesem [a, b] se exitir uma partição, P = {a = x0, x1, x2, · · · , xn = b}, do intervalo [a, b] tal quea restrição da função γ a cada subintervalo da partição, (xi−1, xi), i ∈ {1, 2, · · · , n}, for umacurva regular (isto é, para cada i ∈ {1, 2, · · · , n} a curva paramentrizada γ : (xi−1, xi) → Rnfor curva regular em (xi−1, xi)).

Observação 3.2.3 Uma curva parametrizada é regular se, e somente se, seu vetor tangentenão se anula nunca.

Pode-se mostrar que se a curva parametrizada é regular então seu traço não tem ”bicos”(ouseja não há mudanças abruptas de direção do vetor tangente à curva).

-

À

6

t0

γ(t0)

-

6γ

-

6

ª

-

K β

a b

γ(a)

γ(b)

a b

γ(a)

γ(b)

Exemplo 3.2.3 No exemplo (3.2.1) item (a) temos que γ é curva (parametrizada plana) re-gular fechada e simples.

Exemplo 3.2.4 No exemplo (3.2.1) item (b) temos que γ é curva (parametrizada no espaço)regular simples.


Exemplo 3.2.5 A curva parametrizada diferenciável γ : [−1, 1] → R2 dada por γ(t) = (t3, t2),t ∈ [−1, 1] não é regular pois ela é de classe C∞ em [−1, 1] mas γ′(t) = (3t2, 2t), t ∈ [−1, 1] eeste se anula em t = 0.

Vale observar que o vetor tangente à curva, γ′(t), só se anula em t = 0, assim γ é umacurva regular por partes (no caso tomamos a partição P de [−1, 1] formada pelos pontos x1 =−1, x2 = 0, x3 = 1).

6

- x

y

-−1 10

γ(−1) γ(1)

γ(0)

M gamma

Exemplo 3.2.6 Seja [a, b] ⊆ R tal que −2, 2 ∈ [a, b].A curva parametrizada diferenciável γ : [a, b] → R dada por γ(t) = (t3− 4t, t2− 4), t ∈ [a, b]

é regular pois é de classe C∞ em [a, b] e γ′(t) = (3t2 − 4, 2t) 6= (0, 0), t ∈ [a, b].Observemos que γ(−2) = γ(2) = (0, 0), logo a curva parametrizada γ não é simples.Além disso, γ′(−2) = (8,−4) e γ′(2) = (8, 4).

6

->

s

γ′(2)

γ′(−2)x

y

γ(a) γ(b)

-

6 γ

a b−2 2

Exemplo 3.2.7 O gráfico de uma função cont́ınua f : [a, b] → R2 pode ser reobtido pelo traçoda curva parametrizada γ : [a, b] → R2 dada por γ(t) .= (t, f(t)), t ∈ [a, b].

Vale observar que se f é uma função diferenciável em [a, b] então γ será curva parametrizadadiferenciável em [a, b] e além disso γ′(t) = (1, f ′(t)) 6= (0, 0), t ∈ [a, b], assim γ será curvaregular.


6

- x

y

γ(a) = (a, f(a))

γ(b) = (b, f(b))

-

6γ

a b

Para finalizar temos a:

Definição 3.2.4 Se γ : [a, b] → Rn é uma curva regular (ou regular por partes) definimos oseu comprimento, que indicaremos por lγ, como sendo:

lγ =

∫ ba

‖γ′(t)‖ dt =∫ b

a

√(γ′1(t))2 + (γ

′2(t))

2 + · · ·+ (γ′n(t))2 dt,

onde γ(t) = (γ1(t), (γ2(t), · · · , (γn(t)), t ∈ [a, b].Observação 3.2.4 Para obter uma motivação para a fórmula acima vamos considerar o casoem que a curva parametrizada diferenciável é plana (isto é, n = 2).

Suponhamos que γ : [a, b] → R2 é dada por γ(t) = (x(t), y(t)), t ∈ [a, b].Consideremos uma partição P .= {t0 = a, t1 < t2 < · · · < tn = b} do intervalo [a, b].Para cada i = 0, 1, · · ·n− 1, o comprimento do i-ésimo arco da curva parametrizada γ que

une os pontos γ(ti) a γ(ti+1) pode ser aproximado pelo comprimento do segmento de reta queune os pontos γ(ti) e γ(ti+1).

6

- x

y

γ(ti)

γ(ti+1)

O comprimento deste segmento é dado por

‖γ(ti+1)− γ(ti)‖ =√

(x(ti+1)− x(ti))2 + (y(ti+1)− y(ti))2.Do Teorema do Valor Médio (Cálculo 1) aplicado as funções x = x(t) e y = y(t) temos que

existem ξi e ηi ∈ (ti, ti+1) tais quex(ti+1)− x(ti) = x′(ξi)(ti+1 − ti) e y(ti+1)− y(ti) = y′(ηi)(ti+1 − ti).


Deste modo temos que:

lγ ∼n−1∑i=0

‖γ(ti+1)− γ(ti)‖ =n−1∑i=0

√[x′(ξi)(ti+1 − ti)]2 + [y′(ξi)(ti+1 − ti)]2

=n−1∑i=0

√[x′(ξi)]2 + [y′(ηi)]2(ti+1 − ti) (∆ti

.=ti+1−ti)=

n−1∑i=0

√[x′(ξi)]2 + [y′(ηi)]2∆ti.

Observemos que o lado direito da expressão acima é a soma de Riemann associada partiçãoP.

Logo fazendo a norma da partição P tender para zero (isto é, |∆i| → 0 para todo i =0, 1, · · · , n) temos que a soma acima vai para a

∫ ba

√[x′(t)]2 + [y′(t)]2 dt, ou seja:

lγ =

∫ ba

√[x′(t)]2 + [y′(t)]2 dt =

∫ ba

‖γ′(t)‖ dt

.

Exemplo 3.2.8 Calcule o comprimento da curva regular por partes γ : [0, 2π] → R2 dada porγ(t) = (cos(t), 0), t ∈ [0, 2π] (como γ′(t) = (− sen(t), 0) ela se anula em t = 0, π e 2π, assimela será regular quando restrita aos intervalos (0, π) e a (π, 2π)).

6

-

γ(0) = γ(2π) = (1, 0)γ(π) = (−1, 0)

--0 2π

γ

Resolução:Podemos ver que o comprimento da curva γ é 4 (duas vezes o comprimento do intervalo

[−1, 1]).Observemos que γ é uma curva parametrizada diferenciável e γ′(t) = (− sen(t), 0), t ∈

[0, 2π], logo ela é regular por partes (só se anula t = 0 e t = 2π).Deste seu comprimento será dado por

lγ =

∫ ba

‖γ′(t)‖ dt =∫ 2π

0

‖(− sen(t), 0)‖ dt =∫ 2π

0

√(− sen(t))2 + 02 dt

=

∫ 2π0

| sen(t)| dt = 2∫ π

0

sen(t), dt = 2[− cos(t)|t=πt=0 ] = 4.

Exerćıcio 3.2.1 Calcule o comprimento da curva parametrizada γ : [0, 2π] → R3 dada porγ(t)

.= (cos(t), sen(t), t), t ∈ [0, 2π] (hélice circular).


-

6

0

2π

z

γ

À

6

x

y

z

γ(t)

t

7

k

γ′(t)

Resolução:

Temos que γ é uma curva regular e γ′(t) = (− sen(t), cos(t), 1) 6= ~0 para todo t ∈ [0, 2π],logo seu comprimento será dado por:

lγ =

∫ ba

‖γ′(t)‖ dt =∫ 2π

0

‖(− sen(t), cos(t), 1)‖ dt =∫ 2π

0

√(− sen(t))2 + (cos(t))2 + 12 dt

=

∫ 2π0

√2 dt =

√2

∫ 2π0

dt = 2√

2 π.

Caṕıtulo 4

Funções Reais de Várias VariáveisReais

4.1 Definições Básicas

Vamos estabelecer a notação para facilitar os estudos do que se segue.Seja n um número natural; isto é, n = 1, 2, 3, · · · .Como vimos no Caṕıtulo I, Rn denota o conjunto das n−uplas ordenadas (x1, · · · , xn) de

números reais.Este conjunto representa as variáveis das quais a quantidade a ser estudada depende (no

caso da temperatura na Terra n = 4, x1 = latitude, x2 = longitude, x3 = altitude e x4 =tempo).

Definição 4.1.1 Se A ⊆ Rn, uma função f : A → R é uma relação que a cada (x1, · · · , xn) ∈A associa um, único, número real indicado por f(x1, · · · , xn).

Diremos que A é o domı́nio da função f , indicado por D(f).A imagem de f , indicado por Im(f), é o subconjunto de R definido por

Im(f).= {f(x1, · · · , xn) : (x1, · · · , xn) ∈ D(f)}.

O gráfico da função f , indicado por G(f), é o subconjunto de Rn+1 definido por

G(f).= {(x1, · · · , xn, f(x1, · · · , xn)) : (x1, · · · , xn) ∈ D(f)}.


(a) Frequentemente não faremos qualquer menção ao domı́nio da função que estaremos ana-lisando. Neste caso o domı́nio será o maior subconjunto para o qual a relação dada fazsentido.

(b) Note que o gráfico de uma função de n variáveis é um subconjunto de Rn+1.Desta forma a sua representação geométrica somente será posśıvel para n = 1 (visto noCálculo I) e o n = 2 que será tratado a seguir.

(c) Nos casos n = 2 e n = 3 denotaremos os elementos de Rn por (x, y) e (x, y, z), respecti-vamente.

39

40 CAPÍTULO 4. FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS REAIS

Exemplo 4.1.1 Seja

f(x, y) =x + y

x− y .

Neste caso o domı́nio não está especificado e portanto este é o o maior subconjunto de R2para o qual a relação dada faz sentido; logo,

D(f) = {(x, y) ∈ R2 : x 6= y}.

Para determinar a imagem basta notar que sobre a reta x− y = 1 a função f assume todosos valores reais e portanto Im(f) = R.

Abaixo temos o desenho do domı́nio da função f .

6

- x

y

x = y

O representação geométrica do gráfico da função f é dada abaixo:

–2–1

01

2

x

–2–1

01

2

y

–20–10

01020

z

Outro exemplo

4.1. DEFINIÇÕES BÁSICAS 41

Exemplo 4.1.2 Seja f(x, y) =√

x− y +√

1− y.É fácil ver que D(f) = {(x, y) ∈ R2 : y ≤ x, y ≤ 1}Abaixo temos o desenho do domı́nio e a representação geométrica do gráfico de f .

-

6

x

y

y = 1

y = x

–1–0.5

00.5

1

x

–1–0.5

00.5

1

y

00.5

11.5

22.5

z

Exemplo 4.1.3 Seja z = f(x, y) dada por

x2 + y2 + z2 = 1, z ≥ 0.

Como z ≥ 0 temos que z = f(x, y) =√

1− x2 − y2.Deste modo D(f)

.= {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1} (pontos que estão no interior e na fronteira

da bola).Abaixo temos o desenho do domı́nio e a representação geométrica do gráfico de f .


6

- x

y

1

–1–0.5

00.5

1

x

–1–0.5

00.5

1

y

0.20.40.60.8

1

A superf́ıcie acima é a calota superior da esfera de centro na origem e raio 1.

Outro exemplo importante é:

Exemplo 4.1.4 Se z = f(x, y) dada por z =√

y − x2.Deste modo D(f)

.= {(x, y) ∈ R2 : x2 ≤ y}.

Abaixo temos o desenho do domı́nio e a representação geométrica do gráfico de f .


-

6y = x2

x

y

–1–0.5

00.5

1

x

00.2

0.40.6

0.81

y

0.20.40.60.8

1

A superf́ıcie acima é a parte no semi-espaço z ≥ 0 do paraboloide de revolução y = x2 + z2.

Uma classe importante de exemplos de funções de várias variáveis é dada pelo:

Definição 4.1.2 Uma função polinomial de duas variáveis e grau p ≥ 0 a valoresreais é uma função f : R2 → R dada por

f(x, y).=

∑m+n≤p

amnxmyn

onde p é um número natural e os coeficientes amn são números reais dados e amn não são todosnulos quando m + n = p.

29.08.2007 - 7.asAlguns exemplos:

Exemplo 4.1.5


a) f(x, y) = x2 + y2, (x, y) ∈ R2 é uma função polinomial de duas variáveis reais.Como foi visto no curso de Geometria Anaĺıtica seu gráfico é o parabolóide de revolução(z = x2 + y2).

–2–1

01

2

x

–2–1

01

2

y

0

2

4

6

8

b) f(x, y) = x2 − y2, (x, y) ∈ R2 é uma função polinomial de duas variáveis reais.Como foi visto no curso de Geometria Anaĺıtica seu gráfico é o parabolóide hiperbólico ousela, z = x2 − y2.

–2–1

01

2

x

–2–1

01

2

y

–4

–2

0

2

4

1.

c) f(x, y) =x2

a2+

y2

b2, (x, y) ∈ R2 é uma função polinomial de duas variáveis reais com

a, b > 0.


Como foi visto no curso de Geometria Anaĺıtica seu gráfico é o parabolóide eĺıptico (z =x2

a2+

y2

b2).

–2–1

01

2

x

–2–1

01

2

y

00.5

11.5

22.5

3

d) Função linear:

Para o caso de duas variáveis a função será do seguinte tipo f(x, y) = ax + by, ondea, b ∈ R são fixados.A representação gráfica do gráfico, neste caso, será um plano em R3 passando pela origem(0, 0, 0) (no caso o plano z = ax + by).

Para n-variáveis uma função linear terá a seguinte lei de associação: f(x1, x2, · · · , xn) =a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn, onde a1, a2, · · · , an ∈ R são fixados.

e) Função linear afim:

Para o caso de duas variáveis a função será do seguinte tipo f(x, y) = ax + by + c, ondea, b, c ∈ R são fixados.A representação gráfica do gráfico, neste caso, será um plano em R3 (no caso o planoz = ax + by + c).

Para n-variáveis ma função linear-afim terá a seguinte lei de associação: f(x1, x2, · · · , xn) =a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn + b, onde a1, a2, · · · , an, b ∈ R são fixados.

Definição 4.1.3 Uma função polinomial de n-variáveis e de grau m é uma função

do tipo: p : Rn → R dada por p(x1, x2, · · · , xn) .=∑

0≤k1+k2+···kn≤mak1k2···knx

k11 x

k22 · · · xknn , onde

k1, k2, · · · , kn são inteiros não negativos e ak1k2···kn ∈ R para (k1, k2, · · · , kn) ∈ Z+×Z+×· · ·Z+,onde ak1k2···kn não são todos nulos quando k1 + k2 + · · ·+ kn = m.

Com isto podemos definir uma outra classe de funções que também serão importantes, asaber:


Definição 4.1.4 Uma função f : Rn → R dada por f(x1, x2, · · · , xn) .= p(x1, x2, · · · , xn)q(x1, x2, · · · , xn) onde

p e q são funções polinomiais de várias variáveis será dita função racional em n-variáveis.Neste caso o domı́nio de f será D(f) = {(x1, x2, · · · , xn) ∈ Rn : q(x1, x2, · · · , xn) 6= 0}.

Definição 4.1.5 Uma função homogênea de grau λ de duas variáveis é toda função f :A ⊆ R2 → R tal que f(tx, ty)=tλf(x, y) para todo t > 0 e (x, y), (tx, ty) ∈ A.

Para n-variáveis a situação é análoga (uma função homogênea de n variáveis deverá satis-fazer à: f(tx1, tx2, · · · , txn)=tλf(x1, x2, · · · , xn) para todo t > 0 e (x1, x2, · · · , xn),(tx1, tx2, · · · , txn) ∈ A, para algum λ ∈ R).Observação 4.1.2

a) f(x, y) = 3x2 + 5xy + y2 é uma função polinomial em duas variáveis, homogênea de grau2, pois f(tx, ty) = 3(tx)2 + 5(tx)(ty) + (ty)2 = t2(3x2 + 5xy + y2) = t2f(x, y), para todot ∈ R e (x, y) ∈ R2 (λ = 2).

b) f(x, y) =xe

xy

x2 + y2é homogênea de grau −1.

De fato, f(tx, ty) =(tx)e

txty

(tx)2 + (ty)2=

1

t

xexy

x2 + y2= t−1f(x, y), para todo t 6= 0 e (x, y) ∈

R2 \ {(0, 0)} (λ = −1).Uma outra classe importante de fuções é dada pela:

Definição 4.1.6 Uma função f : A ⊆ Rn → R será dita limitada em A se existir M ≥ 0tal que |f(x)| ≤ M para todo x ∈ A.

A função acima será dita limitada no ponto p ∈ A se existir r > 0 tal que f é limitadaem A ∩Br(p) \ {p}.Exemplo 4.1.6

(a) Seja f : R2 → R dada por f(x, y) = sen(x2y) + cos(xy2), (x, y) ∈ R2.Então f é limitada em R2, pois se M .= 2 temos que |f(x, y)| = | sen(x2y) + cos(xy2)| ≤| sen(x2y)|+ |cos(xy2)| ≤ 1 + 1 = 2 = M , para todo (x, y) ∈ R2.

(b) Seja f : A.= R2 \ {(0, 0)} → R dada por f(x, y) = 1

x2 + y2, (x, y) ∈ A.

Observemos que f não é limitada em R2 (pois se x → 0 temos que f(x, x2) = 1x2 + x4

→∞) mas ela é limitada em qualquer ponto p ∈ A.De fato, se P0 = (x0, y0) ∈ A então d .= d(P0, 0) = d((x0, y0), (0, 0)) = ‖(x0, y0)−(0, 0)‖ =√

(x0 − 0)2 + (y0 − 0)2 =√

x20 + y20 > 0 (pois (x0, y0) 6= (0, 0)) .

Tomando-se r.=

d

2> 0 temos que se (x, y) ∈ Br(P0) então se (x, y) ∈ Br(P0) temos

d((x, y), (0, 0))(d((x0,y0),(0,0))≤d((x0,y0),(x,y))+d((x,y),(0,0)))≥ d((x0, y0), (0, 0))− d((x0, y0), (x, y))(d((x0,y0),(x,y)) d− r = d− d2

=d

2> 0,

4.2. FUNÇÕES REAIS DE DUAS VARIÁVEIS: CURVAS DE NÍVEL 47

isto é, x2 + y2 = [√

(x− 0)2 + (y − 0)2]2 = ‖(x, y)− (0, 0)‖2 = d((x, y), (0, 0)) > [d2]2.

Logo tomando-se M.= [

2

d]2 ≥ 0 se (x, y) ∈ Br(P0) temos |f(x, y)| = 1

x2 + y2≤ 1

[d2]2

=

[2

d]2 = M , ou seja, f é limitada em em Br(P0), ou seja, é limitada em P0 ∈ A.

Vamos lidar com a primeira dificuldade já observada; isto é, vamos desenvolver formas dedesenhar o gráfico de funções de duas variáveis.

Além disso vamos conhecer algo da geometria do gráfico de funções de três variáveis.

4.2 Funções Reais de Duas Variáveis: Curvas de Nı́vel

Seja z = f(x, y), (x, y) ∈ A ⊆ R2 uma função de duas variáveis.O gráfico de f é, como vimos, o subconjunto de R3 dado por

G(f) = {(x, y, f(x, y)) : (x, y) ∈ A}.A representação geométrica do gráfico de uma função de duas variáveis não é tarefa fácil,

em geral.Um recurso útil é olharmos algumas curvas sobre o gráfico cuja representação geométrica é

mais simples.Uma classe importante de curvas do gráfico de uma função de duas variáveis é dada pela

Definição 4.2.1 Sejam z = f(x, y) uma função e c ∈ R.O conjunto de todos os pontos (x, y) ∈ D(f) tais que f(x, y) = c será denominado curva

de ńıvel de f correspondente ao ńıvel z = c .


(a) O gráfico de f é um subconjunto de R3.Já uma curva de ńıvel é um subconjunto de D(f) e portanto de R2.

(b) f é constante sobre cada curva de ńıvel.

(c) Se c 6∈ Im(f) então a curva de ńıvel c será o conjunto vazio (pois se c 6∈ Im(f) temosque não existe (x, y) ∈ D(f) tal que f(x, y) = c).

(a) Uma curva de ńıvel pode ser interpretada com a intersecção de um palno z = c comsuperf́ıcie determinada pelo gráfico da função dada olhada sua projeção no plano xOy.Veremos isto nos exemplos a seguir.

Exemplo 4.2.1 O gráfico da função constante f(x, y) = k é o plano z = k.Se, por exemplo, k = 5 temos que a represetação gráfica do gráfico de f e suas curvas de

ńıvel serão dadas pelas figuras abaixo.Observemos que neste caso as curvas de ńıvel c = k serão todas as curvas do plano xOy

(isto é, para qualquer curva do plano xOy teremos f(x, y) = k).Se c 6= k não teremos curvas de ńıvel c (pois neste caso f(x, y) = k 6= c).


–10–5

05

10

x

–10–5

05

10

y

4

4.5

5

5.5

6

–4

–2

0

2

4

y

–4 –2 2 4x

Exemplo 4.2.2 Se f(x, y) = ax + by + c, (x, y) ∈ R2 então o gráfico da função z = f(x, y) éo plano de equação geral ax + by + (−1)z + c = 0.

Se, por exemplo, a = 2, b = −3 e c = −1 temos que a represetação gráfica do gráfico de fe suas curvas de ńıvel são dadas na figura abaixo.

–4–2

02

4

x

–4–2

02

4

y

–20–10

01020

–4

–2

0

2

4

y

–4 –2 2 4x

Observemos que neste caso as curvas de ńıvel serão as retas do plano xOy da forma 2x −3y − 1 = c, isto é retas paralelas à reta 2x− 3y = 0.

Exemplo 4.2.3 Sejam a, b números reais não nulos e f(x, y).=

x2

a2+

y2

b2Observemos que se a 6= b o gráfico será um parabolóide eĺıptico e se a = b um parabolóide

de revolução.Se, por exemplo, a = 2 e b = 3, as curvas de ńıvel c serão elipses se c > 0, será o ponto

(0, 0) se c = 0 e o conjunto vazio se c < 0 (basta olhar a equaçãox2

4+

y2

9= c no plano xOy).

4.2. FUNÇÕES REAIS DE DUAS VARIÁVEIS: CURVAS DE NÍVEL 49

–4–2

02

4

x

–4–2

02

4

y

0

2

4

6

8

–4

–2

0

2

4

y

–4 –2 2 4x

Exemplo 4.2.4 Seja f(x, y) =

{1

x2+y2(x, y) 6= (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0).

Neste caso as curvas de ńıvel c de f serão as curvas x2 + y2 =1

cse c > 0, o ponto (0, 0) se

c = 0 e o conjunto vazio se c < 0.

–1–0.5

00.5

1

x

–1–0.5

00.5

1

y

0

100

200

300

400

–0.4

–0.2

0

0.2

0.4

y

–0.4 –0.2 0.2 0.4x

Exemplo 4.2.5 Seja f(x, y) = x2 − y2, (x, y) ∈ R2.O gráfico de f é o parabolóide hiperbólico (sela).As curvas de ńıvel de f são as curvas dadas por x2 − y2 = c, para c ∈ R fixado, isto é,

hipérboles.

–2–1

01

2

x

–2–1

01

2

y

–4

–2

0

2

4

–2

–1

0

1

2

y

–2 –1 0 1 2x


Exemplo 4.2.6 Seja f(x, y) =x

(x2 + y2 + 1)

Neste caso as curvas de ńıvel c de f serão as curvasx

(x2 + y2 + 1)= c se c 6= 0 é tal que

4c2 < 1 as curvas serão circunferências, se 4c2 > 1 o conjunto será vazio, e se c = 0 teremosa reta x = 0 (o eixo dos y’s).

–4–2

02

4

x

–4–2

02

4

y

–0.4–0.2

00.20.4

4.3 Funções de Três Variáveis: Superf́ıcies de Nı́vel

Uma função de três variáveis f : A ⊆ R3 → R tem o seu gráfico em R4 dado por: G(f) ={(x, y, z, f(x, y, z)) : (x, y, z) ∈ A} ⊆ R4.

Para termos uma idéia geométrica do comportamento da função podemos desenhar su-perf́ıcies contidas no seu gráfico (já que não podemos fazer uma representação gráfica do mesmopois este está contido em R4).

Um classe importante de superf́ıcies contidas no gráfico de f são dadas pela

Definição 4.3.1 Sejam f : D(f) ⊆ R3 → R e c ∈ R.O conjunto de todos os (x, y, z) ∈ D(f) tais que f(x, y, z) = c será denominado superf́ıcie

de ńıvel de f correspondente ao ńıvel c.

Exemplo 4.3.1 Seja f(x, y, z) = x2 + y2 − z, (x, y, z) ∈ R3.Então as superf́ıcies de ńıvel de f serão dadas por x2+y2−z = c, ou seja serão parabolóides

de revolução.

–1–0.5

00.5

1

x

–1–0.5

00.5

1

y

0

0.5

1

1.5

2

Caṕıtulo 5

Limite e Continuidade de FunçõesReais de Várias Variáveis Reais

31.08.2007 - 8.aNeste caṕıtulo trataremos do limite de funções reais de duas variáveis. Como veremos, a

definição é semelhante ao caso de funções reais de uma variável real mas com conseqüênciasdiferentes desta última.

5.1 Limite

Definição 5.1.1 Sejam f : A ⊆ Rn → R uma função, ~x0 um ponto de acumulação de A.Diremos que limite de f(~x) quando ~x tente para ~x0 é L ∈ R, denotado por

lim~x→~x0

f(~x).= L

se, e somente se, dado ε > 0, existir δ = δ(~x0, ε) > 0 tal que se 0 < ‖~x − ~x0‖ < δ, ~x ∈ Ateremos |f(~x)− L| < ε.Observação 5.1.1

(a) A norma ‖.‖ acima é a norma usual do Rn e |.| é função módulo na reta R (a normausual em R).

(b) Com isto: lim~x→~x0

f(~x) = L se, e somente se, dado ε > 0 existe δ > 0 tal que f(Bδ(~x0) ∩A\{~x0}) ⊆ (L− ε, L + ε).

-

6

-

6

L

f

L + ε

L− ε

f(~x)~x0

®δ

~x

51

52CAPÍTULO 5. LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS REAIS

(c) No caso em que n = 2 escreveremos lim~x→~x0

f(~x) = L como lim(x,y)→(x0,y0)

f(x, y) = L, isto é,

dado ε > 0, existe δ = δ((x0, y0), ε) > 0 tal que se 0 < ‖(x, y)− (x0, y0)‖ < δ, (x, y) ∈ Ateremos |f(x, y)− L| < ε.

Exemplo 5.1.1 Em cada um dos casos abaixo, mostre que lim(x,y)→(x0,y0)

f(x, y) = f(x0, y0).

(a) f(x, y) = k, (x, y) ∈ R2, onde k ∈ R é uma constante fixada.(b) f(x, y) = x, (x, y) ∈ R2.

Resolução:De (a):

Seja (x0, y0) ∈ R2 fixado.Tomando-se L

.= k = f(x0, y0), dado ε > 0, consideremos δ

.= ε > 0.

Logo, se 0 < ‖(x, y)−(x0, y0)‖ < δ, (x, y) ∈ R2 teremos |f(x, y)−f(x0, y0)| < |k−k| = 0 < ε,isto é, lim

(x,y)→(x0,y0)f(x, y) = k (ou ainda lim

(x,y)→(x0,y0)f(x, y) = f(x0, y0)) para todo (x0, y0) ∈ R2.

Portanto lim(x,y)→(x0,y0)

k = k (ou lim(x,y)→(x0,y0)

f(x, y) = f(x0, y0)) para todo (x0, y0) ∈ R2.De (b):

Seja (x0, y0) ∈ R2 fixado.Tomando-se L

.= x0 = f(x0, y0), dado ε > 0, consideremos δ

.= ε > 0.

Logo, se 0 < ‖(x, y) − (x0, y0)‖ < δ, (x, y) ∈ R2 teremos |f(x, y) − f(x0, y0)| < |x − x0| =√(x− x0)2 ≤

√(x− x0)2 + (y − y0)2 = ‖(x, y)− (x0, y0)‖ < δ = ε, isto é, lim

(x,y)→(x0,y0)f(x, y) =

x0 (ou lim(x,y)→(x0,y0)

f(x, y) = f(x0, y0)) para todo (x0, y0) ∈ R2.Portanto lim

(x,y)→(x0,y0)x = x0 (ou lim

(x,y)→(x0,y0)f(x, y) = f(x0, y0))para todo (x0, y0) ∈ R2.

Exerćıcio 5.1.1 Mostre que lim(x,y)→(x0,y0)

y = y0.

Exemplo 5.1.2 Seja f(x, y) =x2 − y2x2 + y2

, (x, y) ∈ R2 \ {(0, 0)}.Verifique se existe o limite de f(x, y) quando (x, y) tende para (0, 0), isto é, lim

(x,y)→(0,0)f(x, y).

Resolução:Consideremos uma bola de centro em (0, 0) e raio δ > 0 qualquer (isto é, Bδ((0, 0))) e vamos

analisar o comportamento da função f nesta bola.

Notemos que para x 6= 0 temos f(x, 0) = x2 − 02

x2 + 02= 1 e para y 6= 0 temos que f(0, y) =

02 − y202 + y2

= −1, ou seja, temos pontos da bola acima que são levados em 1 e pontos da bola quesão levados em −1.

Desta forma, se tomarmos 0 < ε < 12, para todo δ > 0 temos que f(Bδ(0, 0)\{(0, 0)}) não

pode estar contida em um intervalo de comprimento 2² < 1 (pois teria que conter −1 e 1 eassim seu comprimento deveria ser maior que 2).

Desta forma não pode existir o limite de f quando (x, y) tende para (0, 0), isto é, não existelim

(x,y)→(0,0)f(x, y).

5.1. LIMITE 53

6

- -

6

f

1 = f(x, 0)

−1 = f(0, y)

x

y

(0, 0)

(x, 0)

(0, y)

Este exemplo motiva o seguinte resultado:

Teorema 5.1.1 Sejam f : A ⊆ Rn → R uma função, ~x0 um ponto de acumulação de A.Suponha que exista lim

~x→~x0f(~x) = L.

Sejam I intervalo aberto contendo t0 e ~γ : I → Rn uma curva parametrizada (logo cont́ınua)tal que ~γ(t0) = ~x0, ~γ(t) 6= ~x0 para t 6= t0, ~γ(t) ∈ A para todo t ∈ I \ {t0}. Então

limt→t0

f(~γ(t)) = L.

Demonstração:

Como lim~x→~x0

f(~x) = L temos que dado ε > 0 existe δ1 > 0 tal que 0 < ‖~x− ~x0‖ < δ1, ~x ∈ A,implica |f(~x)− L| < ε (*).

Mas ~γ é curva parametrizada, logo é cont́ınua em t0, assim dado δ1 > 0 existe δ > 0 tal que|t− t0| < δ, teremos ‖~γ(t)− ~x0‖ = ‖~γ(t)− ~γ(t0)‖ < δ1 (**).

Assim se 0 < |t− t0| < δ teremos, por (**), que ‖~γ(t)− ~x0‖ < δ1 (γ(t) ∈ A, t ∈ I \ {t0}) eportanto, por (*), teremos |f(~γ(t))− L| < ε ou seja lim

t→t0f(~γ(t)) = L.

¤


(a) O resultado nos diz que qualquer que seja a curva parmetrizada que escolhamos para nosaproximar de ~x0 (dentro do domı́nio da função f) os valores da função nos pontos destacurva parametrizada sempre vão se aproximar de L (desde que exista o limite lim

~x→~x0f(~x) =

L).


-

6

-

6

~γ(t0) = x0

t

f

-

t0

6~γ

µ L~γ(t)

(b) Sejam ~γ1, ~γ2 : I → Rn duas curvas parametrizadas nas condições do teorema (5.1.1).Se lim

t→t0f(~γ1(t)) = L1 e lim

t→t0f(~γ2(t)) = L2 com L1 6= L2, então não existirá o limite

lim~x→~x0

f(~x).

Esta é uma forma para verificar a não existência do limite.

Podemos verificar a não existência do limite no Exemplo 5.1.2 usando o teorema (5.1.1))(exerćıcio).

(c) Na verdade não precisamos no teorema (5.1.1) que ~γ seja curva parametrizada (isto é,cont́ınua em t0).

Na verdade, basta que limt→t0

~γ(t) = ~x0 (veja a demostração do Teorema acima).

Exemplo 5.1.3 Calcule os limites, caso existam:

(a) lim(x,y)→(0,0)

x2

x2 + y4.

(b) lim(x,y)→(0,0)

y4

x3 + y4.

(c) lim(x,y)→(0,0)

xy2

x2 + y4.

Resolução:

De (a):

Observemos que se considerarmos ~γ1(t) = (t, 0), t ∈ R, ~γ1 será uma curva parametrizadaem R, ~γ1(0) = (0, 0) (neste caso ~x0 = (x0, y0) = (0, 0) e t0 = 0) e lim

t→0f(~γ1(t)) = lim

t→0f(t, 0) =

limt→0

t2

t2 + 04= 1.

5.1. LIMITE 55

¾-(0, 0)

-

6

f

-

M γ1

0

-

6

y

x

Por outro lado se considerarmos ~γ2(t) = (0, t), t ∈ R, ~γ2 também será uma curva parametrizadaem R, ~γ2(0) = (0, 0) e lim

t→0f(~γ2(t)) = lim

t→0f(0, t) = lim

t→003

02 + t4= 0 .

?

6

(0, 0)

-

6

f

-

M γ2

0

-

6

y

x

Do Teorema (5.1.1) segue que não existe lim(x,y)→(0,0)

x2

x2 + y4.

De (b):Observemos que se considerarmos ~γ1(t) = (t, 0), t ∈ R, ~γ1 será uma curva parametrizada em

R, ~γ1(0) = (0, 0) (neste caso ~x0 = (0, 0) e t0 = 0) e limt→0

f(~γ1(t)) = limt→0

f(t, 0) = limt→0

04

t3 + 04= 0.

¾-(0, 0)

-

6

f

-

M γ1

0

-

6

y

x


Por outro lado se considerarmos ~γ2(t) = (0, t), t ∈ R, ~γ2 também será uma curva parametrizadaem R, ~γ2(0) = (0, 0) e lim

t→0f(~γ2(t)) = lim

t→0f(0, t) = lim

t→0t4

03 + t4= 1.

?

6

(0, 0)

-

6

f

-

M γ2

0

-

6

y

x

Do teorema (5.1.1) segue que não existe lim(x,y)→(0,0)

y4

x3 + y4.

De (c):

Observemos que se considerarmos ~γ1(t) = (t, 0), t ∈ R, ~γ1 será uma curva parametrizada emR, ~γ1(0) = (0, 0) (neste caso ~x0 = (0, 0) e t0 = 0) e lim

t→0f(~γ1(t)) = lim

t→0f(t, 0) = lim

t→0t 02

t2 + 04= 0.

¾-(0, 0)

-

6

f

-

M γ1

0

-

6

y

x

Se tentarmos pela curva γ2 = (0, t), t ∈ R, γ2 também será uma curva parametrizada emR, ~γ2(0) = (0, 0) mas lim

t→0f(~γ2(t)) = lim

t→0f(0, t) = lim

t→00t2

02 + t4= 0 e nada poderemos concluir.

Porém se considerarmos ~γ3(t) = (t2, t), t ∈ R, ~γ3 também será uma curva parametrizada

em R, ~γ3(0) = (0, 0) e limt→0

f(~γ3(t)) = limt→0

f(t2, t) = limt→0

t2t2

t4 + t4=

1

2.

5.1. LIMITE 57

(0, 0)

sma332 - calculo ii´szani/sma332/material/notas wagner... · 2.2. produto escalar 9 3)...

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