slide himpunan ii

logo

HIMPUNAN

Kusbudiono

Fakultas Matematika dan ILmu Pengetahuan AlamJurusan Matematika

2011

logo

Definisi dan Jenis-jenis Himpunan Relasi Himpunan Operasi Himpunan Sifat-sifat Lanjut Relasi Himpunan bagian

Outline

1 Definisi dan Jenis-jenis HimpunanDefinisi HimpunanJenis-jenis HimpunanSoal-soal Latihan

2 Relasi HimpunanSoal-soal Latihan

3 Operasi HimpunanOperasi Dasar HimpunanSifat-sifat Operasi HimpunanOperasi Jumlah dan Selisih HimpunanSoal-soal Latihan

4 Sifat-sifat Lanjut Relasi Himpunan bagian

logo


Operasi Dasar Himpunan

Operasi dasar himpunan

Ada tiga operasi dasar dalam himpunan yaitu: operasi unerkomplemen (()c), operasi biner irisan (∩) dan gabungan (∪).Ketiga operasi ini ekuivalen dengan operasi negasi, konjungsidan disjungsi pada logika. Selain itu pada himpunan jugadikenal operasi selisih dan perkalian himpunan.

logo



Operasi Komplemen

Definisi (Operasi Komplemen)Komplemen suatu himpunan adalah himpuan yangberanggotakan unsur-unsur dari semesta pembicaraan yangtidak menjadi unsur himpuan bersangkutan.

Ac = {x |x ∈ U ∧ x 6∈ A}

logo



Operasi Komplemen

ContohJika U = {1,2,3, · · · ,10} A = {1,3,5} dan B = {5,7,9}

maka1 Ac = {2,4,6,7,8,9,10}2 Bc = {1,2,3,4,6,8,10}

Ilustrasi grafis komplemen himpunan diberikan pada Gambar 3.

logo



Operasi Komplemen

A

A A

Gambar: Diagram Venn untuk Ac

logo



Operasi Irisan

Definisi (Operasi Irisan)Irisan dua buah himpunan adalah himpunan yangberanggotakan unsur-unsur yang menjadi unsur bersamakedua himpunan.

A ∩ B = {x |x ∈ A ∧ x ∈ B}

Teorema

A ⊆ B ⇔ A ∩ B = A

logo



Operasi Irisan

A

B

Gambar: Diagram Venn A ∩ B

logo



Operasi Irisan

Contoh

Jika U = {1,2,3, · · · ,10} A = {1,3,5} dan B = {5,7,9} makaA ∩ B = {5}Diagram Venn irisan dua himpunan diberikan pada Gambar 4.

logo



Operasi Gabungan

Definisi (Operasi Gabungan)Gabungan dua buah himpunan adalah himpunan yangberanggotakan semua unsur-unsur yang menjadi unsur salahsatu atau kedua himpunan.

A ∪ B = {x |x ∈ A ∨ x ∈ B}

logo



Operasi Gabungan

A

B

Gambar: Diagram Venn A ∪ B

logo



Operasi Gabungan

Contoh

Jika U = {1,2,3, · · · ,10} A = {1,3,5} dan B = {5,7,9} makaA ∪ B = {1,3,5,7,9} Ilustrasi diagram Venn dari gabunganhimpunan diberikan pada Gambar 5.

logo


Sifat-sifat Operasi Himpunan

Teorema (Komplemen Ganda)Untuk sembarang himpunan A berlaku:

(Ac)c = A (1)

Teorema ( Sifat Komutatif/ Pertukaran)Untuk sembarang himpunan A dan B berlaku:

A ∩ B = B ∩ A (2a)

A ∪ B = B ∪ A (2b)

logo



Teorema ( Sifat Asosiatif/ Pengelompokan)Untuk sembarang himpunan A,B dan C berlaku:

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C (3a)

(A ∪ B) ∪ C = A ∩ (B ∪ C) (3b)

Teorema ( Sifat Identitas)Terdapat identitas untuk interseksi (∅) dan identitas untukgabungan (U) dan untuk setiap himpunan A berlaku

A ∩ U = A dan A ∩ ∅ = ∅ (4a)

A ∪ U = U dan A ∪ ∅ = A (4b)

logo



Teorema ( Sifat Komplemen)Untuk setiap A terdapat dengan tunggal Ac sehingga

(A ∩ Ac) = ∅ (5a)

(A ∪ Ac) = U (5b)

Teorema (Komplemen identitas)

∅c = U (6a)

Uc = ∅ (6b)

logo



Teorema (Hukum De Morgan)Untuk sembarang himpunan A dan B berlaku

(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc (7a)

(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc (7b)

Teorema ( Hukum Distributif)Untuk sembarang himpunan A,B dan C berlaku:

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (8a)

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (8b)

logo



Teorema ( Sifat Idempoten)Untuk sembarang himpunan A berlaku

A ∩ A = A (9a)

A ∪ A = A (9b)

logo


Operasi Jumlah dan Selisih Himpunan

Operasi Selisih

Definisi (Operasi Selisih)Selisih dua buah himpunan adalah himpunan yangberanggotakan unsur-unsur yang menjadi unsur himpunanpertama yang tidak menjadi unsur himpunan pengurang.

A/B = A− B = {x |x ∈ A ∧ x 6∈ B}

Teorema

A/B = A ∩ Bc

logo



Operasi Jumlah

Definisi (Operasi Jumlah)Jumlah dua himpunan adalah himpunan yang beranggotakansemua unsur yang menjadi anggota salah satu himpunan.

A + B = {(x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ x 6∈ (A ∩ B)}

logo



ContohJika A = {1,3,5,7,9} dan B = {4,5,6,8,10} maka

1 A ∩ B = {5}2 A ∪ B = {1,3,4,5,6,7,8,9,10}3 A/B = {1,3,7,9}4 B/A = {4,6,8,10}5 A + B = {1,2,3,4,6,7,8,9,10}

logo



A

B

A

B

Gambar: Diagram Venn A/B dan A + B

logo



Beberapa sifat yang terkait dengan opersi selisih dan jumlahserta hubungannya dengan operasi dasar sebelumnyadiberikan pada teorema-teorama berikut. Ilustrasi dapatmenggunakan diagram Venn sedangkan pembuktian secaraformal dapat menggunakan definisi kesamaan dua himpunan.

logo



TeoremaUntuk sembarang himpunan A,B

A + B = (A ∪ B)/(A ∩ B)

TeoremaUntuk sembarang himpunan A,B

A + B = (A/B) ∪ (B/A)

logo



Teorema (Komutatif jumlah)Untuk sembarang himpunan A,B

A + B = B + A

Teorema (Distributif Selisih)Untuk sembarang himpunan A,B,C

(A ∪ B)/C = (A/C) ∪ (B/C) (10a)

(A ∩ B)/C = (A/C) ∩ (B/C) (10b)

logo



Definisi (Partisi himpunan)Himpunan A dan B dikatakan partisi dari himpunan C jika danhanya jika A dan B saling lepas dan gabungannya samadengan C.

A,B partisi dari C ↔[(A ∩ B = ∅) ∧ (A ∪ B = C)

]

slide himpunan ii

Documents