bab ii tinjauan pustaka a. himpunan 1. …repository.ump.ac.id/6179/3/bab ii.pdf8 (ii) dan...
TRANSCRIPT
4
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
A. Himpunan
1. Pengertian Himpunan
Himpunan merupakan konsep mendasar yang terdapat dalam ilmu
matematika. Himpunan adalah kumpulan obyek yang didefinisikan secara
jelas. Ada tiga cara untuk menyatakan himpunan, yaitu:
a. dengan mendaftar anggota-anggotanya;
Contoh:
b. dengan menyatakan sifat yang harus dipenuhi oleh anggotanya;
Contoh: himpunan huruf vokal pada kata MATEMATIKA
c. dengan menggunakan notasi pembentuk himpunan.
Contoh:
Berdasarkan jumlah anggotanya, himpunan dibagi menjadi tiga, yaitu:
a. Himpunan kosong atau himpunan hampa
Himpunan ini dilambangkan dengan , disebut himpunan kosong
karena himpunan ini tidak memiliki anggota.
b. Himpunan berhingga
Himpunan ini mempunyai anggota yang banyaknya berhingga.
Contoh :
c. Himpunan tak berhingga
Himpunan ini mempunyai anggota yang banyaknya tak berhingga.
Karakteristik Ideal Semu Dalam Semigrup..., Marufah Muasyaroh, FKIP, UMP, 2014
5
2. Himpunan Bagian
Terdapat himpunan dan himpunan , jika setiap anggota dari
himpunan merupakan anggota dari himpunan , maka dapat dikatakan
bahwa adalah himpunan bagian (subset) dari dan dilambangkan
dengan . Jika merupakan himpunan bagian dari , dapat juga
ditulis dengan dan dibaca “ adalah superset dari ” atau “
mengandung ”. Selanjutnya dan digunakan jika bukan
himpunan bagian dari . Artinya terdapat satu atau lebih anggota
himpunan yang bukan merupakan anggota himpunan . Himpunan
kosong dianggap sebagai himpunan bagian dari setiap himpunan.
Terdapat beberapa sumber yang membedakan antara himpunan
bagian (subset) dan himpunan bagian murni (proper subset). Himpunan
bagian murni didefinisikan sebagai berikut: himpunan merupakan
himpunan bagian murni dari himpunan jika dan hanya jika dan
. Penelitian ini menggunakan satu istilah saja yaitu himpunan bagian
(subset).
Contoh II.A.2
Diberikan , , dan . Karena setiap anggota
himpunan merupakan anggota himpunan , maka atau dapat
ditulis dengan . Sedangkan pada himpunan terdapat satu anggota
himpunan yaitu yang bukan merupakan anggota himpunan maka
.
Karakteristik Ideal Semu Dalam Semigrup..., Marufah Muasyaroh, FKIP, UMP, 2014
6
Teorema II.A.2
Jika dan , maka .
Bukti
(i) , maka berakibat
(ii) , maka berakibat
Berdasarkan (i) dan (ii) maka berakibat , dengan kata lain
terbukti bahwa .
3. Himpunan Kuasa
Apabila suatu himpunan yang anggotanya berupa himpunan
disebut dengan keluarga himpunan atau kelas himpunan. Himpunan dari
seluruh himpunan bagian suatu himpunan merupakan salah satu contoh
kelas himpunan atau keluarga himpunan. Secara spesifik keluarga dari
semua himpunan bagian dari suatu himpunan disebut dengan himpunan
kuasa dari , dan dilambangkan dengan . Jika terdapat suatu himpunan
berhingga , misalkan banyaknya anggota himpunan adalah , maka
himpunan kuasa dari mempunyai anggota sebanyak .
(Lipschutz, 1981)
4. Himpunan Semesta
Semua himpunan merupakan suatu himpunan bagian dari
himpunan tertentu. Himpunan tertentu yang dimaksud merupakan suatu
himpunan yang dikenal dengan himpunan semesta. Himpunan semesta
dinyatakan dengan notasi atau ( merupakan singkatan dari semesta,
sedangkan merupakan singkatan dari universal).
Karakteristik Ideal Semu Dalam Semigrup..., Marufah Muasyaroh, FKIP, UMP, 2014
7
5. Kesamaan Dua Himpunan
Dua buah himpunan dikatakan sama apabila anggota-anggota himpunan
dari kedua himpunan tersebut sama.
Definisi II.A.5
Himpunan dan himpunan adalah sama jika dan hanya jika
dan . (Theresia, 1989)
6. Operasi Himpunan
Suatu himpunan dapat dikenai oleh operasi yang berlaku pada
himpunan. Operasi-operasi yang berlaku dalam suatu himpunan yaitu:
gabungan/union, irisan/intersect, komplemen, selisih/difference, dan
jumlah/symmetry difference.
a. Gabungan/Union
Salah satu operasi yang berlaku pada himpunan adalah operasi
gabungan/union.
Definisi II.A.6.a
Gabungan dari himpunan dan himpunan adalah himpunan semua
anggota himpunan atau atau kedua-duanya. (Theresia, 1989)
Gabungan dari himpunan dan ditulis dengan yang dibaca
“gabungan dari himpunan dan himpunan ”. Secara singkat definisi
di atas dapat dituliskan sebagai berikut:
Berdasarkan uraian tersebut, maka:
(i) .
Karakteristik Ideal Semu Dalam Semigrup..., Marufah Muasyaroh, FKIP, UMP, 2014
8
(ii) dan masing-masing adalah himpunan bagian dari gabungan
keduanya. dan .
Contoh: Diberikan himpunan dan , maka
.
b. Irisan/Intersect
Selain operasi gabungan/union, dalam himpunan juga berlaku
suatu operasi yang disebut dengan irisan/intersect.
Definisi II.A.6.b
Irisan dari himpunan dan adalah himpunan yang anggota-
anggotanya adalah anggota himpunan dan himpunan . (Theresia,
1989)
Irisan dari himpunan dan ditulis dengan yang dibaca
“irisan dan ”. Secara singkat definisi di atas dapat dituliskan
sebagai berikut:
Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa:
(i) .
(ii) Setiap dan keduanya mengandung sebagai himpunan
bagian.
(iii) Jika tidak ada anggota yang dimiliki bersama oleh dan , maka
Contoh: Diberikan himpunan dan ,
maka .
Karakteristik Ideal Semu Dalam Semigrup..., Marufah Muasyaroh, FKIP, UMP, 2014
9
c. Komplemen Suatu Himpunan
Suatu himpunan yang anggota-anggotanya bukan merupakan
anggota dari suatu himpunan tetapi merupakan anggota himpunan
semesta disebut dengan komplemen dari himpunan dan
dinotasikan dengan atau . Komplemen dari suatu himpunan
dapat ditulis sebagai berikut:
Beberapa hal yang harus diperhatikan terkait dengan komplemen
suatu himpunan yaitu:
(i) Gabungan dari suatu himpunan dengan komplemennya
merupakan himpunan semesta , maka .
Himpunan dan merupakan himpunan yang saling lepas,
maka .
(ii) Komplemen dari himpunan semesta adalah himpunan kosong
dan sebaliknya, maka dan .
(iii) Komplemen dari komplemen himpunan adalah himpunan itu
sendiri, maka .
d. Selisih Dua Himpunan
Operasi lain yang berlaku dalam himpunan adalah selisih.
Selisih dua himpunan dan adalah irisan dari himpunan dan
komplemen atau dapat ditulis sebagai berikut:
Karakteristik Ideal Semu Dalam Semigrup..., Marufah Muasyaroh, FKIP, UMP, 2014
10
Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa:
(i) Suatu himpunan mengandung himpunan atau dengan
kata lain merupakan himpunan bagian dari , maka
.
(ii) Himpunan dan merupakan himpunan-
himpunan yang saling lepas, sehingga irisan dari himpunan-
himpunan tersebut merupakan himpunan kosong .
e. Jumlah Dua Himpunan
Jumlah himpunan dan himpunan ditulis dengan
adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota
himpunan atau tetapi bukan anggota irisan dari himpunan dan
. Jumlah kedua himpunan tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut:
Operasi-operasi yang berlaku dalam himpunan mempunyai
beberapa sifat sederhana yang terdapat dalam teorema-teorema berikut.
Teorema II.A.5.1
Jika himpunan merupakan himpunan bagian dari , maka irisan
dari himpunan dan himpunan adalah himpunan atau .
Bukti
Diketahui bahwa sehingga berlaku maka . Kemudian
untuk menunjukkan bahwa maka ditunjukkan bahwa
dan .
Karakteristik Ideal Semu Dalam Semigrup..., Marufah Muasyaroh, FKIP, UMP, 2014
11
(i) Ambil sembarang maka dan . Karena
maka untuk berakibat , dengan kata lain .
(ii) Untuk sembarang maka karena , dengan kata
lain .
Berdasarkan (i) dan (ii) maka terbukti bahwa dan
berlaku, sehingga .
Teorema II.A.5.2
Jika himpunan merupakan himpunan bagian dari , maka
gabungan himpunan dan himpunan adalah himpunan atau
.
Bukti
Diketahui bahwa sehingga berlaku maka . Kemudian
untuk menunjukkan bahwa maka ditunjukkan bahwa
dan .
(i) Ambil sembarang maka atau . Karena
maka untuk berakibat , dengan kata lain
(ii) Untuk sembarang maka karena , dengan kata
lain
Berdasarkan (i) dan (ii) maka terbukti bahwa dan
berlaku, sehingga .
Karakteristik Ideal Semu Dalam Semigrup..., Marufah Muasyaroh, FKIP, UMP, 2014
12
Teorema II.A.5.3
Jika himpunan merupakan himpunan bagian dari , maka
komplemen dari himpunan merupakan himpunan bagian dari
komplemen himpunan atau .
Bukti
Diketahui bahwa sehingga berlaku maka . Oleh
karena itu apabila diambil sembarang maka , dengan kata
lain .
Teorema II.A.5.4
Jika himpunan merupakan himpunan bagian dari , maka
gabungan antara himpunan dan selisih himpunan dengan himpunan
adalah himpunan atau .
Bukti
Diketahui bahwa sehingga berlaku maka . Untuk
membuktikan bahwa maka dibuktikan bahwa
da .
(i) Ambil sembarang , maka atau .
Jika maka , karena . Sedangkan jika ,
maka tetapi . Oleh karena itu untuk sembarang
berakibat , dengan kata lain
berlaku.
Karakteristik Ideal Semu Dalam Semigrup..., Marufah Muasyaroh, FKIP, UMP, 2014
13
(ii) Untuk sembarang maka belum tentu anggota , karena
Oleh karena itu , dengan kata lain
.
Berdasarkan (i) dan (ii) maka terbukti bahwa dan
berlaku, sehingga .
Selain teorema-teorema di atas terdapat beberapa hukum-hukum
aljabar himpunan. Hukum-hukum aljabar himpunan ini dapat digunakan
untuk membuktikan teorema-teorema yang lain. Hukum-hukum aljabar
himpunan tersebut yaitu:
a. Hukum Idempoten: dan
b. Hukum Asosiatif:
dan
c. Hukum Komutatif: dan
d. Hukum Distributif:
dan
e. Hukum Identitas: dan
f. Hukum Komplemen:
dan
g. Hukum De Morgan: dan
7. Himpunan Berindeks
Suatu himpunan dikatakan sebagai himpunan indeks jika untuk
, terdapat suatu himpunan . Himpunan dari himpunan disebut
Karakteristik Ideal Semu Dalam Semigrup..., Marufah Muasyaroh, FKIP, UMP, 2014
14
dengan himpunan berindeks. Operasi-operasi gabungan dan irisan telah
didefinisikan untuk dua himpunan. Apabila banyaknya anggota himpunan
berindeks berhingga, misalkan banyaknya adalah , maka:
dan
Kedua konsep berikut kemudian secara umum dapat dinyatakan sebagai
berikut: terdapat suatu sehingga dan
untuk .
B. Semigrup
1. Struktur Aljabar
Definisi II.B.1
Suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi dengan operasi-operasi
biner dan memenuhi aksioma tertentu disebut dengan struktur
aljabar atau himpunan yang berstruktur dan ditulis .
(Riyanto, 2011)
Contoh II.B.1
Struktur himpunan bilangan bulat yang dilengkapi dengan operasi
penjumlahan , struktur himpunan bilangan bulat yang dilengkapi
dengan operasi perkalian , atau struktur himpunan bilangan bulat
yang dilengkapi oleh kedua operasi tersebut, penjumlahan dan perkalian
.
Karakteristik Ideal Semu Dalam Semigrup..., Marufah Muasyaroh, FKIP, UMP, 2014
15
2. Operasi Biner
Definisi II.B.2
Suatu operasi pada himpunan tidak kosong disebut dengan operasi
biner jika operasi tersebut bersifat tertutup, yaitu maka
. (Riyanto, 2011)
Contoh II.B.2
Operasi penjumlahan matriks persegi ordo bersifat tertutup pada
, dimana merupakan himpunan matriks persegi ordo
yang elemen-elemen pada matriks tersebut merupakan anggota himpunan
bilangan bulat. Hal tersebut dikarenakan ,
berlaku .
Dalam mendefinisikan ketertutupan suatu operasi yang berlaku
pada suatu struktur aljabar dapat menggunakan tabel Cayley jika
himpunan dalam struktur tersebut merupakan himpunan berhingga. Suatu
struktur aljabar mempunyai nama, agar dalam pendefinisiannya lebih jelas.
Struktur aljabar yang satu dengan yang lainnya mempunyai nama yang
berbeda-beda. Hal tersebut disesuaikan dengan aksioma-aksioma yang
berlaku pada struktur tersebut.
3. Grupoid
Definisi II.B.3
Struktur aljabar yang dilengkapi dengan satu jenis operasi biner
disebut dengan grupoid. (Riyanto, 2011)
Karakteristik Ideal Semu Dalam Semigrup..., Marufah Muasyaroh, FKIP, UMP, 2014
16
Contoh II.B.3
Struktur aljabar merupakan suatu grupoid, karena operasi – bersifat
tertutup pada himpunan bilangan bulat .
4. Semigrup
Definisi II.B.4
Suatu himpunan tak kosong dengan sebuah operasi dinotasikan
dengan , merupakan suatu semigrup jika memenuhi aksioma
berikut.:
(i) Tertutup, jika diambil sembarang dua anggota himpunan maka
hasil operasinya juga merupakan anggota himpunan . Secara
simbolis dapat ditulis maka
(ii) Operasi bersifat asosiatif,
maka . (Riyanto, 2011)
Suatu semigrup disebut dengan semigrup berhingga jika
semigrup tersebut mempunyai anggota yang banyaknya berhingga.
Apabila terdapat suatu semigrup maka untuk sembarang dan
berlaku: sebanyak faktor.
Berikut ini disajikan beberapa contoh dari struktur semigrup.
Contoh II.B.4.1
Diberikan suatu struktur dimana
dan operasi adalah operasi perkalian matriks. Selidiki apakah
merupakan semigrup?
Karakteristik Ideal Semu Dalam Semigrup..., Marufah Muasyaroh, FKIP, UMP, 2014
17
Penyelesaian
Diketahui himpunan dilengkapi dengan
operasi perkalian matriks. Untuk menyelidiki bahwa merupakan
semigrup maka diselidiki apakah operasi perkalian matriks tertutup dan
asosiatif pada himpunan . Ambil sebarang dengan
dan , maka
(i) tertutup
, berlaku
, maka
tertutup terhadap operasi .
(ii) asosiatif
, berlaku
(a)
(b)
Karakteristik Ideal Semu Dalam Semigrup..., Marufah Muasyaroh, FKIP, UMP, 2014
18
Berdasarkan pernyataan (a) dan (b), maka dengan kata lain terbukti
bahwa sifat asosiatif berlaku pada terhadap operasi .
Berdasarkan (i) dan (ii), maka terbukti bahwa merupakan
semigrup.
Contoh II.B.4.2
Diberikan suatu struktur himpunan didefinisikan sebagai berikut
, dimana adalah himpunan bilangan real.
Apakah termasuk semigrup?
Penyelesaian
Himpunan dilengkapi dengan operasi
perkalian biasa membentuk struktur . Kemudian untuk menyelidiki
apakah merupakan semigrup, maka diselidiki apakah operasi perkalian
biasa tertutup dan asosiatif pada himpunan .
(i) Ambil sembarang dimana maka
karena . Dengan kata lain operasi tertutup pada
himpunan .
(ii) Operasi bersifat asosiatif pada himpunan . Karena maka
pada himpunan operasi juga bersifat asosiatif.
5. Subsemigrup
Apabila terdapat suatu himpunan bagian tak kosong dari suatu
semigrup dapat disebut dengan subsemigrup apabila memenuhi aksioma
tertentu. Berikut diberikan definisi subsemigrup.
Karakteristik Ideal Semu Dalam Semigrup..., Marufah Muasyaroh, FKIP, UMP, 2014
19
Definisi II.B.5
Diberikan adalah semigrup dan merupakan himpunan bagian tak
kosong dari , disebut subsemigrup dari jika
dan hanya jika merupakan sebuah semigrup.
Contoh II.B.5.1
Berdasarkan Contoh II.B.4.1 merupakan semigrup dengan
. Jika diberikan struktur , dimana
, maka buktikan bahwa merupakan
subsemigrup dari .
Penyelesaian
Diketahui , maka dan .
Kemudian untuk membuktikan bahwa merupakan subsemigrup
dari , maka ditunjukkan bahwa operasi bersifat tertutup dan asosiatif
pada . Ambil sembarang dengan
dan .
(i) Tertutup
, maka
Karakteristik Ideal Semu Dalam Semigrup..., Marufah Muasyaroh, FKIP, UMP, 2014
20
Karena , maka terbukti bahwa operasi tertutup pada
himpunan .
(ii) Asosiatif
, maka
(a) Ruas kiri
(b) Ruas kanan
Berdasarkan keterangan (a) dan (b) maka diperoleh bahwa
, dengan kata lain operasi
bersifat asosiatif pada .
Menurut (i) dan (ii) maka diperoleh bahwa merupakan semigrup.
Karena dan semigrup, maka terbukti bahwa merupakan
subsemigrup dari semigrup .
Karakteristik Ideal Semu Dalam Semigrup..., Marufah Muasyaroh, FKIP, UMP, 2014
21
Contoh II.B.5.2
Diberikan semigrup dengan merupakan himpunan bilangan asli
dan operasi merupakan operasi penjumlahan biasa. Selidiki apakah
merupakan subsemigrup dari , dengan .
Penyelesaian
Diketahui dan , kemudian untuk menyelidiki apakah
merupakan subsemigrup dari , maka diselidiki apakah operasi tertutup
dan asosiatif pada .
(i) Ambil sembarang , dimana dan dengan
, maka . Karena operasi
tertutup pada maka , sehingga diperoleh
bahwa operasi tertutup pada .
(ii) Asosiatif
Ambil sembarang , karena maka .
Karena merupakan semigrup, maka operasi asosiatif pada ,
sehingga . Berdasarkan keterangan
tersebut, maka diperoleh bahwa operasi asosiatif pada .
Berdasarkan (i) dan (ii) maka diperoleh bahwa merupakan semigrup.
Karena , , dan merupakan semigrup, maka
merupakan subsemigrup dari .
Karakteristik Ideal Semu Dalam Semigrup..., Marufah Muasyaroh, FKIP, UMP, 2014
22
Contoh II.B.5.3
Pada Contoh II.B.4.2 telah diperoleh bahwa merupakan semigrup,
dimana didefinisikan sebagai berikut . Jika
, maka buktikan bahwa merupakan
subsemigrup dari .
Penyelesaian
Diketahui sehingga dan
kemudian untuk membuktikan bahwa merupakan subsemigrup dari ,
maka ditunjukkan bahwa merupakan semigrup.
(i) Ambil sembarang diperoleh bahwa karena
maka sehingga operasi tertutup pada .
(ii) maka . Karena sifat
asosiatif berlaku pada terhadap operasi dan
maka sehingga
, dengan kata lain sifat asosiatif berlaku pada
terhadap operasi .
Berdasarkan (i) dan (ii) maka merupakan semigrup. Karena dan
semigrup, maka terbukti bahwa merupakan subsemigrup dari .
Apabila terdapat dua buah himpunan yang merupakan
subsemigrup, maka irisan dari kedua himpunan tersebut merupakan
subsemigrup. Hal tersebut dituangkan dalam Lemma II.B.5 berikut.
Karakteristik Ideal Semu Dalam Semigrup..., Marufah Muasyaroh, FKIP, UMP, 2014
23
Lemma II.B.5
Jika semigrup, dan subsemigrup dari , dan ,
maka merupakan subsemigrup dari .
Bukti
Diketahui merupakan semigrup sehingga operasi * bersifat tertutup
dan asosiatif pada , struktur dan merupakan subsemigrup dari
sehingga operasi * juga bersifat tertutup dan asosiatif pada himpunan
dan . Selanjutnya, untuk menunjukkan bahwa subsemigrup dari
, maka ditunjukkan bahwa tertutup dan asosiatif
terhadap operasi .
(i) Ambil sembarang maka dan , dan
. Karena dan merupakan subsemigrup dari , maka
dan sehingga . Dengan kata lain
operasi tertutup pada .
(ii) Ambil sembarang maka dan .
Karena dan merupakan subsemigrup dari , maka sifat asosiatif
berlaku pada dan terhadap operasi , sehingga berlaku
dan . Oleh
karena itu . Dengan kata lain sifat
asosiatif berlaku pada terhadap operasi .
Untuk selanjutnya, apabila terdapat suatu himpunan berindeks yang
merupakan subsemigrup dari suatu himpunan, maka irisan dari himpunan
Karakteristik Ideal Semu Dalam Semigrup..., Marufah Muasyaroh, FKIP, UMP, 2014
24
berindeks tersebut juga merupakan subsemigrup. Hal tersebut dituangkan
dalam Teorema II.B.5 berikut.
Teorema II.B.5
Jika semigrup, subsemigrup dari untuk
(finite/infinite), dan , maka merupakan subsemigrup
dari .
Bukti
Diketahui merupakan semigrup sehingga operasi * bersifat tertutup
dan asosiatif pada , struktur merupakan subsemigrup dari untuk
sehingga operasi * juga bersifat tertutup dan asosiatif pada
himpunan , dan . Selanjutnya, untuk menunjukkan bahwa
subsemigrup dari , ditunjukkan bahwa
tertutup dan asosiatif terhadap operasi yang sama dengan operasi yang
berlaku pada dan .
(i) merupakan himpunan bagian dari dan merupakan
subsemigrup dari , maka sifat asosiatif yang berlaku pada , juga
berlaku pada .
(ii) Selanjutnya, untuk menunjukkan ketertutupan terhadap
operasi yang sama pada dan , ambil sembarang
untuk . Karena maka .
Diketahui bahwa merupakan subsemigrup dari , maka
berlaku , dengan demikian . Jadi
operasi tertutup pada himpunan .
Karakteristik Ideal Semu Dalam Semigrup..., Marufah Muasyaroh, FKIP, UMP, 2014
25
C. Ideal
1. Pengertian Ideal
Definisi II.C.1
Diberikan semigrup dan merupakan himpunan bagian tak kosong
dari dengan , maka:
(i) disebut ideal kiri dari , jika ,
(ii) disebut ideal kanan dari , jika , dan
(iii) disebut ideal dua sisi (ideal) dari , jika berlaku keduanya (ideal
kanan dan ideal kiri. (Harju, 1996)
Pada Definisi II.C.1 poin (iii) disebutkan bahwa adalah ideal jika
berlaku ideal kiri dan ideal kanan. Hal ini tidak harus berarti bahwa ideal
kiri sama dengan ideal kanan.
Lemma II.C.1
Sebuah himpunan bagian tak kosong dari semigrup adalah:
(i) Ideal kiri dari semigrup , jika dan maka ,
(ii) Ideal kanan dari semigrup , jika dan maka ,
(iii) Ideal dari semigrup , jika dan maka dan
.
Bukti
Diketahui bahwa dan , maka berdasarkan Definisi II.C.1
diperoleh bahwa:
(i) ideal kiri jika berlaku . Ambil sembarang dan ,
maka terbukti bahwa ,
Karakteristik Ideal Semu Dalam Semigrup..., Marufah Muasyaroh, FKIP, UMP, 2014
26
(ii) ideal kanan jika berlaku . Ambil sembarang dan ,
maka terbukti bahwa , dan
(iii) ideal jika berlaku ideal kanan dan ideal kiri. Berdasarkan (i) dan (ii)
maka terbukti bahwa dan .
2. Pengertian Ideal Semu
Berikut diberikan tentang definisi tentang himpunan yang merupakan
hasil operasi himpunan-himpunan bagian dari semigrup dan definisi ideal
semu dalam semigrup.
Definisi II.C.2.1
Diberikan suatu semigrup dengan operasi , jika dan
maka .
Definisi II.C.2.2
Diberikan suatu semigrup , suatu himpunan disebut dengan ideal
semu dalam semigrup jika merupakan himpunan bagian tak kosong
dari dan berlaku . (Ansari, 2009)
Karakteristik Ideal Semu Dalam Semigrup..., Marufah Muasyaroh, FKIP, UMP, 2014