slide 1 · ppt file · web viewkarena dan ker(t) v ingat bahwa v mrp ruang vektor, sehingga...

17/05/23 02:39 MA-1223 Aljabar Linear 1

Aljabar Linear ElementerMA1223

3 SKSSilabus :Bab I Matriks dan OperasinyaBab II Determinan MatriksBab III Sistem Persamaan LinearBab IV Vektor di Bidang dan di RuangBab V Ruang VektorBab VI Ruang Hasil Kali DalamBab VII Transformasi LinearBab VIII Ruang Eigen


VII Transformasi Linear

Sub pokok Bahasan• Definisi Transformasi Linear • Matriks Transformasi• Kernel dan Jangkauan

Beberapa Aplikasi Transformasi Linear • Grafika Komputer• Penyederhanaan Model Matematis• dan lain lain


Transformasi Linear

Misalkan V dan W adalah ruang vektor, T : V W dinamakan transformasi linear, jika untuk setiap dan berlaku :

Jika V = W maka T dinamakan operator linear

Vba , R

baT.1 bTaT

aT .2 aT


Contoh :Tunjukan bahwa T : R2 R3, dimana

merupakan tranformasi linear.Jawab :

Ambil unsur sembarang di R2, Misalkan

(i) Akan ditunjukan bahwa

yxyx

yx

T

,2

1

uu

u 2

2

1 Rvv

v

vTuTvuT

Rumus Transformasi


Terbukti bahwa

vuT

2

1

2

1

vv

uu

T

22

11

2211

vuvu

vuvu

22

11

2211

vuvu

vuvu

2

1

21

2

1

21

vvvv

uuuu

vΤuΤvuT


(ii) Ambil unsur sembarang

Jadi, T merupakan transformasi linear.

RRu dan2

2

1

uu

u

2

1

21

uuuu

2

1

21

uuuu

2

1

21

uuuu

uΤα


Contoh 2 :Misalkan T merupakan suatu transformasi dari M2x2 ke R yang didefinisikan oleh T(A) = det (A), untuk setiap A M2x2, Apakah T merupakan Transformasi linier.

Jawab :Misalkan

maka untuk setiap R berlaku

det (A) =

2243

21

xM

aaaa

A

43

21

detaaaa

)det(24321

2 Aaaaa


Perhatikan bahwa det(A) ≠ det(A)Jadi T bukan transformasi linier.

Contoh 3 :Diketahui T : P2 (Polinom orde-2) R2, dimana

a. Apakah T merupakan transformasi linear b. Tentukan

caba

cxbxaT )( 2

)1( 2xxT

21 2 3p u u x u x 2

1 2 3q v v x v x

Jawab :a.(i) Ambil unsur sembarang P2,


Sehingga

Perhatikan bahwa

p q 2332211 xvuxvuvu

21 1 2 2 3 3T p q T u v u v x u v x

3311

2211

vuvuvuvu

3131

2121

vvuuvvuu

31

21

31

21

vvvv

uuuu

2321

2321 xvxvvTxuxuuT


Ambil unsur sembarang P2,dan R, sehingga

Jadi, T merupakan transformasi linear

21 2 3p u u x u x

2321 xuxuuTuT

31

21

uuuu

31

21

uuuu

31

21

uuuu

2321 xuxuuT


b.

Suatu transformasi linear T : V W dapat direpresentasikan dalam bentuk :

A dinamakan matriks transformasi dari T.

Contoh :Misalkan, suatu transformasi linear T : R2 R3 didefinisikan oleh :

)1( 2xxT

00

1111

uAuT u untuk setiap

V.

yxyx

yx


Jawab :Perhatikan bahwa

Jadi matriks transformasi untuk T : R2 R3 adalah

Jika T : Rn Rm merupakan transformasi linearmaka ukuran matriks transformasi adalah m x n

yx

yxyx

yx

100111

100111

A


dimana

21 ,vv32: RR

ii uv

222

111

uvvTuvvT

2321222123 xxx uuvv 21 vv

12121 vvuu

Misalkan

basis bagi ruang vektor V dan merupakan transformasi linear

untuk setiap i = 1,2.

Sehingga

Jadi

basis bagi Vmaka ia punya invers

Matriks transformasinya dapat ditentukan dengan cara :Tulis :


100

,1

10

,1

11

321 vvv

13: PR

iii pvAvT

xppxp 2;1;1 321

21

1dan

Contoh 3 :Misalkan

adalah basis bagi R3

Transformasi linear didefinisikan

untuk setiap i = 1,2,3.

Tentukan :Matrix transformasi

Jika


20

2;01

1;1

111 32 BBB xppxp

3,2,1, iii pv

201011

111011001

1

111011001

201011

Jawab :

Definisikan :

Karena

Maka

atau


100010001

111011001

101011001

110010001

~

110011001

100010001

~

221010

110011001

201011

221

010

invers matriks dicari dengan OBE :

Sehingga

Jadi matriks transformasi T adalah


21

1

21

1

11

21

1

221010

2111

xB

ingat bahwa

jadi

Sementara itu,

x

121

1


22 1,,1 xxxxx

210

1 xT

021

2xxT

012

1 2xxT

21 xxT

Contoh 4 :

Jika T : P2 R3 adalah transformasi linear

dimana

Tentukan

.

Diketahui basis dari polinom orde dua adalah

GunakanDefinisi

Membangun


Jawab :Perhatikan bahwa

himpunan 3 polinom tersebut adalah basis bagi polinom orde 2

maka polinom tersebut ditulis nejadi :

Samakan suku-suku sejenis sehingga diperoleh SPL

dengan solusi k1 =0 , k2 = 2, dan k3 = 1. 1

11

32

321

31

kkkkk

kk

23

221

2 111 xxkxxkxkxx


Jadi kombinasi linear diatas berbentuk :

atau

Karena transformasi T bersifat linear maka : 222 12101 xxTxxTxTxxT

012

021

2

054

222 112101 xxxxxTxxT

222 112101 xxxxxxx


Kernel dan JangkauanMisalkan T : V → W merupakan transformasi linear Semua unsur di V yang dipetakan ke vektor nol di Wdinamakan kernel T notasi ker ( T ).atau

Contoh 5 :Trans. Linear T : P2 R2

Perhatikan bahwa

maka

0|)( uTVuTKer

caba

cxbxaT )( 2

)1( 2xxT

00

1111

)(1 2 TKerxx


Sementara itu,

karena

Jelas bahwa vektor nol pada daerah asal transformasi merupakan unsur kernel T. Tetapi, tak semua transformasi linear mempunyai vektor tak nol sebagai unsur kernel T.Teorema :

Jika T : V W adalah transformasi linear maka Ker (T) merupakan subruang dari V

Bukti :Ambil sembarang dan Riil)(, TKerba

)(21 2 TKerxx

011

)21( 2

xxT


1. Karena setiap artinya setiap maka Ker(T) V

2. Perhatikan bahwa artinya setiapoleh karena itu Ker(T) ≠ { }

3. Karena dan Ker(T) VIngat bahwa V mrp ruang vektor, sehingga berlaku

akibatnyaJadi

)(TKera 0sehingga aTVa

)(0 TKer 000 AT

)(, TKerba

Vba 000 bTaTbaT

Tba ker


karena V adalah ruang vektor maka untuk setiap Riil berlaku :

Jadi,

Dengan demikian, terbukti bahwa Jika T : V W adalah transformasi linear makaKer(T ) merupakan subruang dari ruang vektor V

Karena Ker(T ) merupakan subruang

Basis Ker(T).

VaTKera maka)(Karena 4.

)(TKera

00 aTaT


cba

T

022 2

xcbaxcaba

cba

T

Contoh 6 :Diketahui Transformasi linear T : R3 →P2

dengan

Jawab :Perhatikan

bahwa :

=(a + b) + (2a – c)x + (2a + b + c)x2

Tentukan basis dan dimensi Ker(T) dan R(T)


000

22

cbacbba

cba

T

cbacbba

22

112120

011

cba

Ini memberikan

sehingga

Jadi, matriks transformasi bagi T adalah

112120

011A


~000

112120

011

000

110120

011

000

2/1002/110

2/101~

000

100010001

~

Dengan melakukan OBE pada matriks tersebut :

Dengan demikian, Basis ker(T) = { } dan nulitasnya adalah nol.


11

0,

121

,201

222 2121 xx,xx,x

Perhatikan hasil OBE maka basis ruang kolom dari matriks A

adalah :

oleh karena itu, basis jangkauan dari T adalah :

sehingga rank (dimensi basis R(t)) = 3


dcbadcba

dcba

T2

2

Contoh 7 : Diketahui transformasi linear T : R4

R3

didefinisikan oleh :

Tentukan basis kernel dari T dan nulitasnya


Jawab :

dcbadcba

dcba

T2

2

dcba

21112100

0011

21112100

0011A

Jadi


4, 0 R

dcba

vvAvT

00002100

0011~

21112100

0011~A

Basis Ker(T) dan Nulitasnya?

Dengan OBE

Ker(T) adalah ruang solusi dari


0vA

0, ,

21100

001

1

tsts

dcba

dcba

21100

,

001

1

Ker(T) = ruang solusi dari

yaitu

Jadi Basis Ker(T) adalah

Nulitas = Dimensi dari Ker(T) = 2


caba

cba

T2

242 xxxT 222731 xxxT

xT 3

Latihan1. Suatu transformasi T : 3

2 didefinisikan oleh

2. Jika suatu transformansi T : P1 P2 diberikan

oleh : dan

Tentukan

Periksa apakah T merupakan transformasi linear


113

21

T

121

53

T

31

T

(Untuk no. 3 – 5) Suatu transformasi linear, T :R2R3 Yang diilustrasikan sebagai

berikut : dan

3. Tentukan matriks transformasi dari T !

4. Tentukan hasil transformasi,

5. Tentukan basis kernel dan jangkauan dari T !


12211321

1121A

caba

cba

T2

7. Misalkan T : 3 2 didefinisikan oleh

Tentukan basis Ker(T) dan basis R(T) beserta dimensinya !

6. Tentukan rank dan nulitas matriks Transformasi :

• Apakah dengan merupakan

operator linier?


2 2:T P P

2 2T ax bx c cx bx a

• Apakah dengan merupakan transformasi linier?• Apakah dengan merupakan transformasi linier?


2:T P 2T ax bx c a

2 3:T P P T p x xp x

slide 1 · ppt file · web viewkarena dan ker(t) v ingat bahwa v mrp ruang vektor, sehingga...

Documents