skripsi tentang simulasi orbital atom

7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom

1/70

1

VISUALISASI ORBITAL ATOM HIDROGEN TANPA GANGGUAN DAN

DENGAN GANGGUAN MEDAN LISTRIK (EFEK STARK ATOM

HIDROGEN UNTUK KEADAAN EKSITASI PERTAMA) MENGGUNAKAN

BAHASA PEMROGRAMAN MATLAB

Wahab Abdullah

ABSTRAK

Atom hidrogen merupakan atom yang paling sederhana. Hasil pemecahan

persamaan Schrodinger untuk elektron atom hidrogen menghasilkan fungsi gelombang(orbital) yang bergantung pada jarak dari inti dan angular. Fungsi tersebut mengandungpolinomial Legendre dan polinomial Laguerre. Dalam bahasa pemrograman Matlab

tersedia fungsi khusus dari polinomial tersebut sehingga dapat digunakan untuk

visualisasi orbital atom hidrogen. Hasil visualisasi menunjukkan bahwa

ketergantungan orbital pada jarak dari inti ditentukan oleh bilangan kuantum utama ndan bilangan kuantum orbital l. Ketergantungan pada angular ditentukan oleh bilangan

kuantum orbital ldan bilangan kuantum magnetik m. Untuk keadaan eksitasi pertama,

bila ada gangguan medan listrik luar maka terjadi degenerasi nilai eigen energi yangdikenal dengan efek Stark orde pertama yang menyebabkan terjadinya polarisasi pada

orbital.

Kata kunci: atom hidrogen, orbital, efek Stark, degenerasi.


2/70

2

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Hidrogen, dengan hanya satu elektron, adalah sistem atom yang paling sederhana

yang mungkin. Masalah dari struktur atom hidrogen adalah masalah yang paling

penting dari struktur atom dan molekul, tidak hanya karena perlakuan teoritik dari atom

ini lebih sederhana daripada atom-atom dan molekul-molekul yang lain, tetapi juga

sebagai dasar bagi diskusi untuk banyak sistem atomik yang lebih kompleks (Pauling,

1935: 112). Sehingga masalah atom hidrogen umumnya menjadi materi wajib dalam

buku teks maupun perkuliahan fisika modern dan fisika kuantum.

Walaupun fungsi gelombang untuk elektron atom hidrogen hasil pemecahan

persamaan Schrodinger tidak mempunyai tafsiran fisis, tetapi kuadrat besaran

mutlaknya yang dicari pada suatu tempat tertentu berbanding lurus dengan peluang

(probabilitas) untuk mendapatkan elektron di tempat tersebut. Fungsi gelombang

tersebut ada yang bergantung pada pada jarak dari inti yang disebut fungsi gelombang

radial dan ada yang bergantung pada sudut angular yang disebut fungsi harmonik bola.

Solusi lengkapnya adalah perkalian dari fungsi-fungsi tersebut. Tetapi bila fungsi

besaran kuadrat dari fungsi-fungsi tersebut kita plot maka akan diperoleh hasil berupa

visualisasi orbital atom dari atom hidrogen. Fungsi gelombang elektron atom hidrogen

tersebut dikenal sebagai orbital.

1


3/70

3

Adanya medan listrik luar mengakibatkan adanya pergeseran (degenerasi) energi

pada atom hidrogen (efek Stark) sehingga fungsi gelombang ikut berubah. Pada

keadaan dasar tidak terjadi degenerasi, tetapi pada keadaan eksitasi pertama terjadi

degenerasi yang dikenal sebagai efek Stark orde pertama (linier di dalam medan listrik

).Pada penelitian ini yang divisualisasikan hanya efek Stark pada atom hidrogen pada

keadaan eksitasi pertama.

Salah satu kesulitan dalam visualisasi orbital atom hidrogen adalah fungsinya

mengandung polinom Legendre dan polinom Laguerre. Kesulitan ini dapat diatasi

dengan komputasi menggunakan program Matlab yang menyediakan fungsi khusus

Legendre dan Laguerre. Telah ada yang membuat program komputer untuk

memvisualisasikan orbital atom hidrogen antara lain buatan Kevin Chu dengan bahasa

pemrograman Matlab yang menampilkan plot 3D dari pemecahan persamaan

Schrodinger yang telah diketahui untuk orbital 1s, 2s, 2p_z, 3d_z2

dan 3d_xydan plot

fungsi dan probabilitas radialnya (Chu, 2005). Program dalam matlab yang lain adalah

buatan L. Kocbach yang menampilkan fungsi radial dan fungsi probabilitas radial serta

plot masing-masing (Kocbach, 2005). Ada juga dalam bahasa Maple buatan Takeuchi

yang mendemonstrasikan gambaran 3D dari berbagai variasi orbital atom hidrogen

atau probabilitas dari densitas kemungkinan keberadaan elektron (Takeuchi, 2005).

Program yang dipakai dalam penelitian ini adalah hasil modifikasi dari program

dalam bahasa Matlab buatan Goran Lindblad (Department of Physics Royal Institute

of Technology Stockholm Sweden) yang menampilkan plot fungsi dan probabilitas


4/70

4

radial serta plot 3D beberapa orbital (Lindblad, 2005). Yang menarik dari program ini

adalah control window dan menunya dan banyaknya gejala fisis yang ditampilkan.

B. Rumusan Masalah

Dari latar belakang di atas, maka dirumuskan masalah:

1. Bagaimana membuat program komputer yang dapat memplot orbital atom hidrogen

(baik fungsi radial, probabilitas radial maupun fungsi harmonik bola dan

ketergantungannya terhadap sudut angular) dan orbital atom hidrogen pada keadaan

eksitasi pertama akibat efek Stark dengan bahasa pemrograman Matlab.

2. Bagaimana hasil plot program komputer tersebut di atas.

C. Tujuan Penelitian

1. Membuat program komputer (hasil modifikasi program buatan Goran Lindbald)

yang dapat memplot orbital atom hidrogen (baik fungsi radial, probabilitas radial

maupun fungsi harmonik bola dan ketergantungannya terhadap sudut angular) dan

orbital atom hidrogen pada keadaan eksitasi pertama akibat efek Stark dengan

bahasa pemrograman Matlab.

2. Mengetahui hasil plot program komputer tersebut di atas.


5/70

5

D. Manfaat Penelitian

1. Mengetahui plot orbital atom hidrogen (baik fungsi radial, probabilitas radial

maupun fungsi harmonik bola dan ketergantungannya terhadap sudut angular) dan

orbital atom hidrogen pada keadaan eksitasi pertama akibat efek Stark.

2. Menambah pengetahuan tentang atom hidrogen, karena dengan adanya visualisasi

ini maka akan menambah tafsiran fisisnya.

3. Dapat digunakan untuk membuat media pembelajaran dalam perkuliahan fisika

modern dan fisika kuantum.

E. Batasan Masalah

1. Yang divisualisasikan adalah orbital atom hidrogen (baik fungsi radial, probabilitas

radial maupun fungsi harmonik bola dan ketergantungannya terhadap sudut

angular) dan orbital atom hidrogen pada keadaan eksitasi pertama akibat efek Stark

dengan bahasa pemrograman Matlab.

2. Program yang dipakai adalah modifikasi dari program buatan Goran Lindblad.


6/70

6

BAB II

KAJIAN PUSTAKA

A. Persamaan Scrhodinger Untuk Elektron Dalam Atom Hidrogen

Sebuah atom hidrogen terdiri dari sebuah proton (partikel bermuatan +e) dan

sebuah elektron (partikel bermuatane) yang 1836 kali lebih ringan dari proton. Dalam

pembahasan di sini proton dianggap diam di pusat koordinat dan elektron bergerak

mengelilinginya dibawah pengaruh medan atau gaya Coulumb. Pendekatan lebih baik

dilakukan dengan memandang kedua partikel berotasi di sekitar pusat massa bersama

yang berada (sedikit) di dekat proton, tetapi efek ini diabaikan (Purwanto, 1997:115).

Persamaan Scrhodinger untuk elektron dalam tiga dimensi yang harus dipakai

untuk persoalan atom hidrogen adalah (Beiser, 1992: 204)

02

22

2

2

2

2

2

VE

m

zyx

e

(1)

dengan meadalah massa elektron. Energi potensial Vialah energi potensial listrik dari

suatu muatane pada jarak r dari muatan +e

r

eV

o4

2

(2)

Mengingat sistem mempunyai simetri bola, analisis menjadi lebih sederhana bila

persamaan Schrodinger dinyatakan dalam koordinat bola sehingga pers. (1) menjadi

(setelah mensubstitusikan pers (2))


7/70

7

04

2

sin

1

sinsin

11

2

22

2

22

22

2

2

r

eE

m

r

rrr

rr

o

e

(3)

Persamaan (3) dapat dipisahkan menjadi tiga persamaan yang bebas, masing-masing

hanya mengandung satu koordinat saja. Fungsi gelombang(r,,) mengambil bentuk

perkalian tiga fungsi yang berbeda

rRr ,, (4)

Fungsi R(r) memerikan bagaimana fungsi gelombang elektron berubah

sepanjang vektor jari-jari dari inti, dengan dan konstan. Fungsi ()memerikan

bagaimana fungsi gelombang elektron berubah terhadap sudut zenit sepanjang

meridian pada bola yang berpusat pada inti, dengan r dan konstan. Fungsi ()

memerikan bagaimana fungsi gelombang elektron berubah terhadap sudut azimut

sepanjang garis pada bola yang berpusat pada inti, dengan r dan konstan

(Beiser,1992: 207). Hasil pemisahan variabel dari persamaan (3) adalah:

02

2

2

md

d

(5)

0sin

1sinsin

12

2

mll

d

d

d

d (6)

0

1

4

212

0

2

2

2

R

r

llE

r

em

dr

dRr

dr

d

r

e

(7)

(Beiser, 1992: 209)


8/70

8

B. Solusi Persamaan Scrhodinger Untuk Elektron Dalam Atom Hidrogen

Solusi dari persamaan (5) adalah

2 imimm AeAe (8)

denganAadalah konstanta normalisasi yang besarnya 2/1 .


cosmllmlm PN (9)

m

lP ditentukan dengan rumus Rodrigues untuk polinom Legendre

lml

mlm

l

m

l xdx

dx

lxP 11

!2

1 22/2

(10)

(Boass, 1982:505)

Nlmadalah konstanta normalisasi yang besarnya

!

!

2

12

ml

mllN

lm

(11)

(Yariv, 1982:66)

Fungsi yang berhubungan angular total adalah harmonik bola yaitu

mmlY 1, (12)

dengan *1 mlmml YY (Gate, 1989:17).


122/ l ln

l

nlnl LeNrRrR (13)

Nnladalah konstanta normalisasi yang besarnya


9/70

9

2/1

3

3

0 !2

!12

lnn

ln

na

Nnl (14)

Besar adalah0

2

na

r dengan 22

0 / ema e .

12 lnlL adalah polinom Laguerre terasosiasi yang dapat ditentukan dengan rumus

xLdx

dxL pq

qqq

p 1 (15)

Lp(x) ditentukan dengan rumus

xpp

px

p exdx

dexL (16)

(Boass, 1982:533)

Jadi solusi lengkap persamaan fungsi gelombang elektron atom hidrogen adalah

,,, mlnlnlm YrRr (17)

Jika elektron dijelaskan oleh salah satu fungsi gelombang ini, dikatakan bahwa elektron

itu menempati orbital tersebut. Jadi, elektron yang digambarkan oleh fungsi

gelombang 100disebut menempati orbital dengan n=1, l=0, dan m=0.

C. Bilangan Kuantum

Tiga bilangan kuantum yang timbul dari pemecahan persamaan Scrhodinger

elektron atom hidrogen adalah n, ldan m. Bilangan ndinamakan bilangan kuantum

utama yang besarnya n=1,2,3.dan l dinamakan bilangan kuantum orbital yang

besarnya l=0,1,2,3,,(n-1) dan m dinamakan bilangan kuantum magnetik yang


10/70

10

besarnya m=0, 1, 2, , ,l. Bilangan n menentukan energi total elektron

22

0

2

4

132 n

emE en , bilangan l menentukan besar momentum sudut elektron

terhadap inti 1 llL , dan bilangan m menentukan arah momentum sudut

mLz .

Biasanya keadaan momentum sudut orbital diberi nama dengan huruf suntuk l =

0,puntuk l = 1, duntuk l = 2, funtuk l = 3,guntuk l = 4 dan seterusnya.

D. Peluang Mendapatkan Elektron

Peluang mendapatkan elektron pada titik r, , berbanding lurus dengan2

dengan2222

R . Peluang untuk mendapatkan elektron atom hidrogen pada

suatu tempat antara r dan r + drdari inti ialah (Beiser, 1992: 220)

drRr

dddrRr

dddrrdVdrrP

22

2

0

2

0

222

222

sin

sin

(18)

E. Efek Stark Dalam Atom Hidrogen

Sebelum membahas efek Stark, perlu diketahui dulu tentang teori gangguan

(perturbation theory). Alasan adanya teori gangguan adalah bahwa pada level terendah

dari (solusi) aproksimasi, dapat diketahui bagaimana pergeseran energi dan bagaimana

fungsi eigen berubah akibat perubahan potensial.


11/70

11

Nilai eigen dan set lengkapdari fungsi eigen ternormalisasi untuk Hamiltonian

(tanpa gangguan)Ho

nnno EH

0 (19)

(Gasiorowicz, 2003: 174)

Adanya gangguan mengakibatkan

nnno EHH 1 (20)


Solusinya memberikan (untuk pergeseran orde pertama)

nnnn HE 1

1 (21)

JikaH1hanya tergantung pada r, maka

rrr nnn VrdE 31 (22)


Lebih jauh, persamaan pergeseran orde pertama

j

i

n

i

n

j

n EH 11 (23)

dengan merupakan koefisien. Ini merupakan masalah nilai eigen dimensi terbatas.

Sebagai contoh, jika ada dua garis degenerasi, dan jika kita menggunakan notasi

ji

i

n

j

n hH 1 , persamaan tersebut terbaca

2

1

222121

1

1

212111

n

n

Ehh

Ehh



12/70

12

Aplikasi teori gangguan pada masalah yang nyata adalah efek Stark pada atom

hidrogen. Efek Stark merupakan peristiwa pergeseran tingkat energi atom hidrogen

sebagai akibat gangguan medan listrik yang lemah dan serba sama pada atom tersebut

(Tjia, 1999:93). Hamiltonian tidak terganggu

r

e

mH

o

o42

22

p

(24)

yang fungsi eigennya rnlm . Potensial pengganggu

zeeH r1 (25)


di mana adalah medan listrik. Pergeseran energi dari keadaan dasar yang mana tidak

terdegenerasi diberikan oleh

zrrdezeE 2

100

3

100100

1

100 (26)


Integral ini lenyap karena kuadrat dari fungsi gelombang selalu berupa fungsi genap

sedang potensial pengganggu adalah fungsi ganjil. Jadi (26) menunjukkan tidak adanya

pergeseran energi untuk keadaan dasar yang linier di dalam medan listrik.

Sebagai contoh untuk mengilustrasikan teori gangguan degenerasi adalah efek

Stark pada keadaan eksitasi pertama (n= 2). Untuk sistem yang tak terganggu ada

empat keadaan n = 2 yang energinya sama yaitu 200 , 211 , 210 dan 1,1,2 . Fungsi

dengan l=0 mempunyai paritas genap dan l=1 mempunyai paritas ganjil. Kita ingin

memecahkan persamaan mirip pers. (23). Karena potensial pengganggu dalam z maka


13/70

13

ini hanya berhubungan dengan nilai-m yang sama, adanya paritas membuat potensial

pengganggu berhubungan dengan suku l=1 hingga l=0, yaitu

01,1,21,1,2 z (27)


kemudian matriks pada pers. (23) hanya matriks 2x2.

2

11

2

1

210210200210

210200200200

E

zz

zze (28)

Elemen-elemen diagonal adalah nol, karena paritas, dan elemen-elemen diagonal yang

lain sebanding, karena mereka adalah konjugat kompleks satu sama lain, dan masing-

masing boleh dipilih menjadi real. Kita punya

o

oo

ar

o

a

YYYd

a

r

a

readrrz o

3

3/4.

21

3

22

101000

0

/32

210200

(29)


dan kemudian pers. (28) menjadi

0

3

3

2

1

1

1

Eae

aeE

o

o (30)


Nilai eigen darinya adalah

oaeE 3

1 (31)

dan keadaan eigen yang berkorespondensi ketika dinormalisasi adalah


14/70

14

m = 0

m = +1

m = 0

4 degenerasi

keadaan n = 2

Gambar 2.1. Pola dari pemisahan Stark dari atom hidrogen pada eksitasi

pertama n = 2. Empat garis tebal degenerasi terpisah sebagian oleh efek

Stark. Keadaan m = + 1 tetap degenerasi dan tanpa pergeseran dalam efek

Stark (Gasiorowicz, 2003: 183).

1

1

2

1dan

1

1

2

1 (32)


Jadi efek Stark linier untuk n = 2 menghasilkan pemisahan (splitting) dari level-level

degenerasi seperti pada gambar 2.1.


15/70

15

BAB III

METODE PENELITIAN

Secara garis besar metode penelitian ini ada tiga tahap, yaitu modifikasi program

komputer buatan Goran Lindblad, pengujian program tersebut dan penerapan program.

A. Modifikasi Program

Modifikasi-modifikasi program antara lain sebagai berikut:

1. Tampilan menu yang berbahasa Indonesia untuk memudahkan pengguna.

2. Keterangan keterangan pada m-file berbahasa Indonesia untuk memudahkan

pengembangan lebih lanjut dan penerapan pada program yang lain (karena

tampilan menunya yang menarik).

3. Untuk program fungsi radial dan distribusi probabilitasnya, masukannya bilangan

kuantum utama N dan orbital M, tidak lagi N saja.

4. Untuk program plot 3D atau ketergantungan harmonik bola pada angular,

masukannya tidak lagi L, tetapi L dan M (bilangan kuantum magnetik).

5. Membuat program untuk efek Stark pada atom hidrogen pada keadaan eksitasi

pertama (program ini tidak ada pada program buatan Goran Lindblad). Untuk polt

orbitalnya, dibuat berdasarkan program buatan Goran Lindblad sedangkan plot

probabilitas radialnya berdasarkan program buatan Kevin Chu.


16/70

16

mula

Masukkan nilai N, L

y=radial1(N, L, x')

plot(x,

selesai

y=(x'.*ones).*y

plot(y)

plot(x,y.^2)

Gambar 3.1. Flowchart untuk program menampilkan

grafik fungsi radial dan probabilitasnya.

Berikut adalah flowchart beberapa program hasil penelitian ini.


17/70

17

mula

Masukkan nilai L

x=linspace(0,1)

y1=ylm(L,x)

plot(x, y1)

for n=1:L+1

l1=plot(x, y1(n,:));

axis(x,y);set(l1,LineWidth,2)

plot(x, y1)

1

Gambar 3.2. Flowchart untuk

program harmonik bola.


18/70

18

X=linspace(0,2*pi,200)

y1=ylm(L,cos(X))

for n=1:L+1

selesai

y2=y1(L+n,:).^2;yy=y2.*cos(X); xx=y2.*sin(X);

plot(xx,yy)

Gambar 3.3. Flowchart untuk

program harmonik bola (lanjutan).

1


19/70

19

mula

Masukkan nilai L, M

theta=pi*linspace(0,1,60); phi=2*pi*linspace(0,1,90);

sph=ylm(L,cos(theta));sph=sph(L+M+1,:);

dd=abs(sph' * cos(M*phi));

norm=max(max(dd));dd=dd/norm;

X=dd.*(sin(theta)'*cos(phi));

Y=dd.*(sin(theta)'*sin(phi));

Z=dd.*(cos(theta)'*ones(size(phi)));

selesai

mesh(X,Y,

Gambar 3.4. Flowchart untuk program ketergantunganharmonik bola pada angular.


20/70

20

mula

Masukkan nilai N, L,

M

w=hydrogen(N,L,M,x,y);mm=max(max(abs(w)));

w=30*w./mm;

selesai

surf(x,y,w)

Gambar 3.5. Flowchart untuk program orbital.


21/70

21

mula

Masukkan nilai N1, L1,

M1, N2, L2, M2

w1=hydrogen(N1,L1,M1,x,y);

w2=hydrogen(N2,L2,M2,x,y);mm1=max(max(abs(w1)));

mm2=max(max(abs(w2)));

w1=30*w1./mm1;

w2=30*w2./mm2;w=((1/sqrt(2))*(asinh(w1)-asinh(w2))).^2;

selesai

surf(x,y,w)

Gambar 3.6. Flowchart untuk program efek Stark.

a0=1;r=1/a0 * [-10:0.01:0];

psi_20=((1/(2*a0)) 1.5) * (2+r).*exp(r/2);psi_21=(1/sqrt(3))*((1/(2*a0))^1.5)*r.*exp(r/2);

psi_1=(1/sqrt(2))*(psi_20 - psi_21);

r1=1/a0 * [0:0.01:10];

psi_20=((1/(2*a0)) 1.5) * (2-r1).*exp(-r1/2);psi_21=(1/sqrt(3))*((1/(2*a0))^1.5)*r1.*exp(-r1/2);

psi_2=(1/sqrt(2))*(psi_20 - psi_21);

plot(r, psi_1.^2, r1, psi_2.^2);


22/70

22

B. Pengujian Program

Untuk mengetahui benar atau tidaknya program yang dihasilkan dalam penelitian

ini perlu diadakan pengujian. Pengujian untuk program hasil modifikasi dilakukan

dengan membandingkan gambar hasil program dengan gambar hasil program aslinya,

selain itu juga dibandingkan dengan gambar-gambar yang relevan yang ada pada buku-

buku teks. Di dalam buku teks hanya ada beberapa gambar plot orbital untuk state-state

tertentu, sehingga gambar hasil program yang diuji juga untuk gambar-gambar tertentu.

Meskipun demikian, bila terjadi kecocokan antara gambar hasil program dan gambar

pada buku teks maka dianggap program ini benar dan bisa diterapkan.

Pengujian program HarmonikBola.m dilakukan dengan membandingkan

keluarannya dengan gambar 3.7. Gambar 3.7 ini dibandingkan dengan gambar 4.16

hingga gambar 4.25, setelah dibandingkan terlihat adanya kecocokan sehingga

program HarmonikBola.m dapat dipakai. Beberapa hasil program FungsiAngular.m

(orbital 3D) yaitu gambar 4.26, 4.28 dan 4.30 dibandingkan dengan gambar 3.8, terlihat

juga adanya kecocokan sehingga program FungsiAngular.m juga dapat dipakai. Hasil

program FungsiRadial.m dibandingkan dengan gambar 3.9. Gambar 3.9 ini

dibandingkan dengan gambar 4.7 hingga gambar 4.13. Didapatkan kecocokan dari

hasil perbandingan tersebut, sehingga program FungsiAngular.m dapat diterapkan.

Gambar 3.10 merupakan gambar pembanding hasil program orbital.m (orbital 2D)

yaitu gambar 4.25, 4.27 dan 4.28. Hasil perbandingan tersebut memperlihatkan

kecocokan sehingga program orbital.m dapat dipakai. Untuk program tentang efek

Stark, hasil keluarannya dibandingkan dengan gambar 3.11 yang berasal dari pustaka


23/70

23

Gambar 3.7. Beberapa sketsa distribusi |Ylm|2di bidang z-x

dalam diagram polar (Gasiorowicz, 2003: 141).

internet. Ternyata ada kecocokan antara progam efek Stark dengan gambar 3.11

(seperti yang terlihat pada gambar 4.36 hingga gambar 4.41). Secara umum hasil

pengujian memperlihatkan kecocokan sehingga program hasil penelitian ini benar dan

dapat diterapkan. Di dalam bab IV sebagian dari gambar-gambar berikut ditampilkan

untuk mempermudah dalam melakukan pembandingan.


24/70

24

Gambar 3.8. Representasi polar untuk nilai-nilai absolut dari fungsi

gelombang angular untuk orbitalpdans(Pauling, 1935:150).

Gambar 3.9. Fungsi gelombang radial dan distribusi probailitas atom

hidrogen (Pauling, 1935: 142-143).


25/70

25

Gambar 3.11. Efek Stark orbital atom H eksitasi pertama serta

probabilitas radialnya (www.physics.csbsju.edu/QM/H.10.html,2006).

Gambar 3.10. Orbital pzdan pxdalam 2D (Tung, Khoe Yao, 2003: 292-301).
http://www.physics.csbsju.edu/QM/H.10.htmlhttp://www.physics.csbsju.edu/QM/H.10.html


26/70

26

C. Penerapan Program

Setelah melakukan modifikasi dan pengujian program, maka dilakukan penerapan

program untuk mendapatkan gambar-gambar hasil program kemudian dijelaskan arti

fisisnya seperti yang ada pada bab IV.


27/70

27

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

Secara garis besar hasil penelitian ini ada dua macam, yaitu program komputer

dalam bahasa MATLAB dan hasil terapan program komputer tersebut. Pembahasan

juga ada dua macam, yaitu pembahasan program komputer dan pembahasan hasil

terapan program secara fisis. Dibahas juga keunggulan dan keterbatasan program hasil

penelitian.

A. Program Komputer dan Pembahasan

Pada penelitian ini dihasilkan 19 file-file program yang dapat dilihat pada lampiran

2. File-file tersebut merupakan modifikasi dari file-file buatan Goran Lindblad dan satu

file tambahan untuk menampilkan orbital atom hidrogen pada eksitasi pertama di

dalam medan listrik (efek Stark). Berikut akan dibahas beberapa file.

1. File AtomHidrogen.m

File ini adalah menu untuk program-program beberapa eigenstate (keadaan eigen)

atom hidrogen. Dengan file ini kita dapat memanggil file-file: HarmonilBola.m

(tombol Harmonik Bola), FungsiAngular.m (tombol Orbital Atom 3D),

FungsiRadial.m (tombol Fungsi Gelombang Radial), orbital.m (tombol Orbital

Atom 2D) dan file EfekStark.m (tombol EfekStark). File AtomHidrogen.m ini juga

dilengkapi dengan tombol BERHENTI untuk keluar dari program.


28/70

28

Gambar 4.1. Tampilan menu program AtomHidrogen.m.

Gambar 4.2. Tampilan menu program HarmonikBola.m.

2. File HarmonikBola.m

File HarmonikBola.m menampilkan harmonik bola untuk = 0.1 dan = 0 (dapat

dilihat pada lampiran 1) dengan masukan bilangan kuantum orbital L. Juga ditampilkan

harmonik bola Y(L, M)dalam plot kuadrat amplitudo dalam diagram polar.


29/70

29

Gambar 4.3. Tampilan menu program FungsiAngular.m.

3. File FungsiAngular.m

File ini menampilkan ketergantungan harmonik bola pada angular dengan masukan

bilangan kuantum angular (orbital) L dan bilangan kuantum magnetik M. Besaran yang

ditampilkan adalah nilai absolut dari bagian real dari fungsi Ylm(,). File ini

menggunakan fungsi file ylm.m. Dalam file aslinya (buatan Goran Lindblad),

masukanya berupa L saja, jadi file tersebut menampilkan nilai absolut Ylm(,)secara

beruntun dan otomatis untuk nilai M = 0 hingga M = L sehingga lebih sulit dalam

penyimpanan gambar serta harus menunggu untuk memperoleh gambar yang kita

inginkan.

4. File FungsiRadial.m

File FungsiRadial.m menampilkan plot fungsi radial, plot fungsi radial dikalikan r

dan plot distribusi probabilitas radial. Fungsi gelombang radial didefinisikan dalam


30/70

30

Gambar 4.4. Tampilan menu program FungsiRadial.m.

bentuk polinomial Laguerre dan dihitung dengan menggunakan algoritma dalam fungsi

file radial1.m dan laguerre.m. Masukan file ini adalah bilangan kuantum utama N dan

bilangan kuantum orbital L. Berbeda dengan file aslinya yang menampilkan seluruh

fungsi gelombang radial untuk N dengan L = 0 hingga L = N - 1 dalam satu grafik

sehungga sulit untuk mengidentifikasi mana plot fungsi gelombang radial untuk N = 4

dan L = 2 misalnya, karena ada 4 plot (yaitu untuk M = 4 dan L = 0, 1, 2 dan 3).

5. File orbital.m

File ini menamplikan orbital hidrogen dengan masukan bilangan kuantum N, L,

M. File ini menghitung nilai real dari orbital hidrogen untuk = 0 dan amplitudo

digambar dalam colormap.Colormap yang dipakai adalahjet. Bila kita ingin tampilan


31/70

31

Gambar 4.5. Tampilan menu program orbital.m.

warna yang lain kita dapat mengganti colormap tersebut. File orbital.m ini

menggunakan fungsi file hydrogen.m.

6. File EfekStark.m

File ini tidak ada dalam file-file buatan Goran Lingblad. File ini menampilkan

orbital H untuk eksitasi pertama (n= 2) dalam medan listrik untuk = 0 dan amplitudo

digambar dalam colormap. File ini juga menampilkan fungsi distribusi probabilitas

radialnya.


32/70

32

B.

Pembahasan Secara Fisis

Berikut akan dibahas tentang keadaan normal atom hidrogen, fungsi gelombang

radial atom hidrogen, ketergantungan fungsi gelombang pada pada sudut dan ,

orbitals,pdan dserta efek Stark untuk n = 2.

1. Keadaan normal dari atom hidrogen

Sifat-sifat dari atom hidrogen pada keadaan normalnya (n = 1, l = 0, m = 0)

diterangkan oleh fungsi gelombang (gambar 4.7)

oar

o

ea

/

3100

1

Orbital pada keadaan ini disebut juga orbital 1s. Interpretasi fisis mempostulatkan

untuk fungsi gelombang membutuhkan

oar

oea

/2

3

1

sebagai fungsi distribusi probabilitas untuk elektron relatif terhadap inti. Karena

ekspresi ini bebas dari dan , atom hidrogen normal adalah simetri bola. Simetri bola

ini merupakan sifat yang tidak diajukan oleh atom Bohr normal, untuk orbit Bohr

dibatasi ke sebuah bidang tunggal (single plane) (Pauling, 1935: 139).

Dengan menggunakan drRrdrr 22P diperoleh fungsi distribusi radial

oar

o

era

rP /22

3100

4 yang terlihat pada gambar 4.10 adalah fungsi dari r, jarak dari

inti.


33/70

33

Gambar 4.7. Plot fungsi radial untuk N = 1, L

Probabibilitas yang mana elektron tetap di sekitaro

1Adari inti adalah besar, inilah

ukuran dari atom hidrogen yang sama dengan yang diberikan oleh atom Bohr. Jarak

yang paling mungkin dari elektron terhadap inti, yaitu nilai r pada P(r) saat nilai

maksimum adalah tepat jari-jari orbit Bohr normal aountuk hidrogen (Pauling, 1935:

140).

Fungsi2

100

mempunyai nilai maksimum pada r= 0, menunjukkan bahwa posisi

paling mungkin untuk elektron adalah dekat inti, maka dari itu kesempatan elektron

tinggal di dalam volume kecil sangat dekat inti adalah lebih besar daripada kesempatan

elektron tersebut tinggal di elemen volume dengan ukuran yang sama pada jarak yang

lebih besar dari inti (Pauling, 1935: 141).

2. Fungsi gelombang radial atom hidrogen

Fungsi gelombang radial rRnl untuk n = 1, 2 dan 3 dan l = 0 plotnya ditunjukkan

pada gambargambar berikut.


34/70

34

Gambar 4.8. Plot fungsi radial untuk N = 2, L = 0.

Gambar 4.9. Plot fungsi radial untuk N = 3, L = 0.


35/70

35

Gambar 4.10. Fungsi gelombang radial atom hidrogenRnl(r)

untuk n=1, 2 dan 3 dan l= 0 dan 1 (Pauling, 1935: 142).

Pada plot fungsi radial di atas sumbu horisontal merepresentasikan nilai r, oleh

karena itu skala horisontal harus ditingkatkan dengan faktor ndengan tujuan untuk

menunjukkanR(r)sebagai fungsi jarak elektron-inti r.

Gambar 4.10 berikut merupakan gambar pembanding dari gambar 4.7 hingga

gambar 4.9 di atas. Terlihat bahwa antara gambar hasil program dengan gambar yang

ada di buku teks terdapat kecocokan. Dengan demikian program file FungsiRadial.m

untuk plot fungsi radial benar dan dapat dipakai.


36/70

36

Gambar 4.12. Plot kerapatan probabilitas radial untuk

Gambar 4.11. Plot kerapatan probabilitas radial untuk

Fungsi distribusi radial

22

nlP rRrr nl yang direpresentasikan dari fungsi r

dari keadaan-keadaan untuk n = 1, 2 dan 3 dan l= 0 plotnya ditunjukkan pada gambar

gambar berikut.


37/70

37

Gambar 4.13. Plot kerapatan probabilitas radial untuk N=3, L=0.

Dari gambar 4.11 hingga gambar 4.13 dengan melihat puncak-puncak gelombang

dari plot di atas (denga l= 0 untuk n= 1 ada satu puncak, untuk n= 2 ada dua puncak

dan untuk n= 3 ada tiga puncak) kita boleh mengatakan bahwa selama waktu satu

periode elektron mungkin dipertimbangkan, pada keadaan normal (n = 1, l = 0)

membentuk sebuah bola sekitar inti, pada keadaan 2s(n= 2, l= 0) membentuk sebuah

bola dan sebuah lapisan yang lebih luar, pada keadaan 3s (n= 3, l= 0) membentuk

sebuah bola dan dua lapisan yang terpusat demikian seterusnya (Pauling, 1935: 143).

Gambar 4.14 berikut adalah gambar pembanding dari gambar 4.11 hingga gambar

4.13. Seperti pada fungsi radial sebelumnya, terlihat adanya kecocokan antara gambar

hasil program dengan gambar yang ada pada buku teks, sehingga program file

FungsiAngular.m untuk plot probabilitas radial benar dan dapat dipakai.


38/70

38

Gambar 4.14. Fungsi distribusi electron 4r2[Rnl(r)]2untuk

atom hidrogen (Pauling, 1935: 143).

3. Ketergantungan fungsi gelombang pada sudut dan

Fungsi gelombang dengan nilai l yang sama dan nilai m yang berbeda

merepresentasikan keadaan-keadaan dengan momentum angular yang sama tetapi

dengan orientasi-orientasi yang berbeda dalam ruang.

Plot fungsi distribusi pada keadaan-keadaan dengan m= l dan untuk l = 0, 1, 2

dan 3 terlihat pada gambar - gambar berikut (terdapat pula sebagian gambar-gambar

pembanding dari buku teks).


39/70

39

Gambar 4.16. Plot kuadrat amplitudoY(1, 1) dalam diagram polar.

Gambar 4.15. Plot kuadrat amplitude Y (0, 0) dalam diagram polar.


40/70

40

Gambar 4.18. Plot kuadrat amplitudoY (2, 2) dalam diagram polar.

Gambar 4.17. Gambar pembanding untuk kuadrat amplitudoY (1, 1).


41/70

41

Gambar 4.19. Plot kuadrat amplitudoY (3, 3) dalam diagram polar.

Dari gambar-gambar harmonik bola di atas terlihat bahwa lmeningkatkan fungsi

distribusi probabilitas menjadi lebih terkonsentrasi sekitar bidang xy(Pauling, 1923:

147). Hal tersebut ditunjukkan oleh sumbu horisontalnya yang semakin melebar. Hal

ini karena besar momentum sudut yang dimiliki elektron semakin besar ketika lmakin

besar. Terlihat pula bahwa untuk selain l= 0, probabilitas dekat inti adalah kecil, ini

alibat efek sentrifugal (adanya momentum sudut) yang menjauhkan elektron dari inti.

Kelakuan dari fungsi dristibusi untuk nilai-nilai l = 3 dan m = 0, 1, 2 dan 3

ditunjukkan pada gambar-gambar berikut.


42/70

42

Gambar 4.21. Plot kuadrat amplitudo Y (3, 1) dalam diagram polar.

Gambar 4.20. Plot kuadrat amplitudo Y (3, 0) dalam diagram polar.


43/70

43

Gambar 4.23. Plot kuadrat amplitudoY(3, 2) dalam diagram polar.

Gambar 4.22. Gambar pembanding untuk kuadrat amplitudoY (3, 1).

.

Gambar 4.24. Gambar pembanding untuk kuadrat amplitudoY(3, 2).


44/70

44

Gambar 4.25. Plot kuadrat amplitudo Y(3, 3) dalam diagram polar.

Terlihat dari plot-plot kuadrat harmonik bola di atas, bahwa mmenentukan arah

dari momentum sudut elektron, untuk lyang sama, semakin besar mfungsi distribusi

semakin menjauh dari sumbu z.

Dengan melihat gambar hasil program file HarmonikBola.m dengan gambar yang

ada pada buku teks, terlihat adanya kecocokan sehingga program file tersebut dapat

benar dan dapat diterapkan atau digunakan.

Semua gambar di atas adalah untuk ketergantungan pada dengan konstan.

Ketergantungan fungsi distribusi probabilitas pada angular dalam bentuk nyata (dan

) seperti terlihat pada gambar-gambar berikut (bersama dengan gambar-gambar dari

buku teks sebagai pembanding, yaitu gambar 4.27 dan gambar 4.29).


45/70

45

Gambar 4.28. Ketergantungan Y(1, 0) pada angular (dan

Gambar 4.26. Ketergantungan Y(0, 0) pada angular (dan )untuk orbitals.

Gambar 4.27. Gambar pembanding untuk orbitals.


46/70

46

Gambar 4.29. Gambar pembanding untuk Orbital pz.

Yang diamati dari gambar 4.26 dan gambar 4.28 hanyalah tumpahan distribusi

elektron, dengan distribusi ruang yang diberikan oleh probabilitas2

, kita tidak

mungkin mengamati secara langsung gerak elektron di dalam atom hidrogen

(Krane,1992: 280).

Dari perbandingan gambar hasil program FungsiAngular.m dengan gambar dari

buku teks terlihat adanya kecocokan sehingga program tersebut benar dan dapat

digunakan.

4. Orbital s

Kurva rapat elektron untuk orbital 2smengungkapkan dua daerah dengan rapat

elektron tinggi yang terpisah oleh titik nol (gambar 4.12). Titik nol ini disebut simpul,

dan menyatakan daerah dalam ruang yang kebolehjadian menemukan sebuah elektron

sangat kecil. Semua orbital kecuali orbital 1smempunyai simpul (Fessenden, 1997: 2).

Semua orbitalsadalah simetri bola, karena tidak mengandung komponen angular.


47/70

47

5. Orbital p

Sebuah elektron p mempunyai momentum sudut (dengan besaran 2 ), dan

momentum ini mempunyai efek yang besar pada bentuk fungsi gelombang di dekat

inti: orbital pmempunyai amplitudo nol pada r = 0. Hal ini dapat dipahami secara

klasik, berkenaan dengan efek sentrifugal momentum sudut, yang menjauhkan elektron

itu dari intinya. Hal ini juga merupakan sesuatu yang kita duga dari bentuk energi

potensial efektif, yang naik sampai tak terhingga ketika rmenuju nol dan mengeluarkan

fungsi gelombang dari inti.

Efek sentrifugal yang sama, tampak pada semua orbital dengan l > 0,

konsekuensinya amplitudo nol pada inti sehingga peluang menemukan elektron pada

inti adalah nol (Atkins, 1994: 387). Setiap orbital p mempunyai dua cuping yang

terpisah oleh simpul (bidang simpul dalam hal ini) pada inti. Orbital p, dapat

diandaikan mempunyai berbagai orientasi sekeliling inti. Ketiga orbital 2p terdapat

pada sudut yang saling tegak lurus. Orbitalpyang saling tegak lurus kadang-kadang

ditandai sebagaipx,py,pz. Huruf subskripx,y,zyang dapat digambarkan lewat gambar

dari orbitalpini (Fessenden, 1997: 3).

Orbital 2pdibedakan karena tiga nilai myang berbeda. Karena bilangan kuantum

mmenyatakan momentum sudut disekitar sumbu maka perbedaan nilai mmenyatakan

orbital tempat elektron mempunyai momentum sudut yang berbeda disekitar sumbu-z

sembarang, tetapi besaran momentumnya sama (karena lnya sama). Misalnya, orbital


48/70

48

Gambar 4.30. Orbitalp(px).

dengan m = 0 mempunyai momentum sudut di sekitar sumbu-z sama dengan nol.

Orbital ini membentuk f(r) cos, kerapatan elektron yang sebanding dengan cos2

mempunyai nilai maksimum pada kedua sisi inti, sepanjang sumbu-z (untuk = 0 dan

180o). Karena alasan ini, orbital ini disebut pz(gambar 4.28). Orbital dengan m = 1

(yang sebanding dengan iesin ) mempunyai sudut disekitar sumbu-z. Orbital

dengan faktor ie berkaitan dengan rotasi satu arah dan orbital dengan faktor ie ,

berkaitan dengan gerakan dengan arah yang berlawanan. Orbital itu mempunyai

amplitudo nol bila = 0 dan 180o(sepanjang sumbu-z) dan amplitudonya maksimum

pada saat = 90o, yang berada pada bidangxy. Untuk menggambarkan fungsi itu, biasa

diambil kombinasi linier real

yffeef

xffeef

ii

ii

sinsinsin

cossinsin

yang (jika ternormalisasi) disebut orbitalpx(gambar 4.23) danpy(Atkins, 1994: 387).

Karena orbital 2pekuivalen dalam bentuk dan dalam jarak dari inti mereka mempunyai

energi yang sama. Orbital yang memiliki energi yang sama, seperti orbital 2p,

dikatakan terdegenerasi(Fessenden, 1997: 4).


49/70

49

Gambar 4.31. Orbital 2d, terlihat seperti penggabungan dua orbitalp.

6. Orbital d

Jika n = 3, l dapat bernilai 0, 1, atau 2. Hasilnya adalah satu orbital 3s, tiga orbital

3p, dan lima orbital 3d. Kelima orbital dmempunyai m = 2, 1, 0, -1, -2 dan berkaitan

dengan lima momentum sudut yang berbeda disekitar sumbu-z (tetapi besarannya

sama, karena pada setiap kasus l = 2). Berbeda dengan orbitalp, orbital ddengan nilai

m yang berlawanan (sehingga arah gerakannya disekitar sumbu-z juga berlawanan)

dapat digabungkan secara berpasangan seperti pada gambar 4.31 (Atkins, 1994: 387).


50/70

50

Gambar 4.32. Orbital atom hidrogen untuk N=1, L=0 dan M=0.


Terlihat bahwa jarak dari inti lebih lebar dari gambar 4.25

Berikut adalah beberapa gambar orbital atom hidrogen dalam colormap dari

amplitudo hasil dari program file orbital.m.


51/70

51


Gambar 4.35. Gambar pembanding untuk orbital N = 1, L = 1

dan M = 1.


52/70

52

Gambar 4.36. Akibat adanya medan listrik terjadi polarisasi

Dari perbandingan gambar 4.34 dan gambar 4.35 terlihat adanya kecocokan

sehingga program file orbital.m benar dan dapat diterapkan.

7. Efek Stark

Berikut adalah gambar-gambar dari orbital atom hidrogen yang terdegenerasi

dalam medan medan listrik untuk keadaan eksitasi pertama.

Gambar 4.37. Gambar pembanding untuk gambar 4.36.


53/70

53

Gambar 4.38. Plot probabilitas radial untuk gambar 4.29.

Gambar 4.39. Gambar pembanding untuk gambar 4.38.


54/70

54

Gambar 4.41. Probabilitas radial untuk gambar 4.31.

Gambar 4.40. Polarisasi orbital atom H akibat medan listrik. Energi

orbital ini lebih rendah daripada orbital pada gambar 4.29.

Dari perbandingan gambar-gambar hasil program file EfekStark.m di atas dengan

gambar-gambar pembandingnya terlihat adanya kecocokan sehingga program tersebut

benar dan dapat digunakan.


55/70

55

Dari gambar 4.36 hingga gambar 4.41 terlihat bahwa fungsi distribusi

terkonsentrasi pada sumbuzdan terpolarisasi. Dari plot fungsi distribusi radial, terlihat

bahwa probabilitas tertinggi adalah dekat inti.

Untuk mendapatkan beberapa dugaan intuisi dari apa yang terjadi, kembali ke teori

klasik tentang gerak partikel di bawah pengaruh gaya kuadrat terbalik, orbit-orbit

adalah berbentuk elips yang mempunyai pusat tarik-menarik pada salah satu fokus.

Karena partikel bergerak lebih lambat ketika benda lebih jauh dari pusat, partikel

tersebut menghabiskan waktu lebih lama pada salah satu sisi dari pusat daripada sisi

yang lain, jadi sebuah atom bila digambarkan dengan cara ini adalah secara efektif

terpolarisasi. Kombinasi-kombinasi linier 1 dan 2 adalah fungsi gelombang yang

sekurang-kurangnya secara kasar berkorespondensi dengan orbit-orbit Keplerian

klasik. Orbit-orbit itu dikenal sebagai orbit berpolarisasi stasioner, yang muncul hanya

untuk sebuah gaya kuadrat terbalik dan beberapa kasus yang lain. Pada mekanika

kuantum, degenerasi di antara state-state dari lyang berlainan yang mana membuat

segala sesuatu mungkin lenyap sesegera setelah gaya tarik-menarik tidak lagi kuadrat

terbalik. Jadi, gaya kuadrat terbalik bertanggung jawab terhadap keberadaan dari

momen listrik permanen menurut kedua teori (Park, 1992: 229-230).

C. Keunggulan dan Keterbatasan Program

1. Keunggulan

a. Dapat memplot 3D untuk orbital dengan masukan ldan msembarang (harus

diingat batasan dari nilai-nilainya). Dengan demikian kita dapat memperoleh


56/70

56

informasi (gambar-gambar) yang lebih banyak dari yang ada pada buku-buku

teks.

b. Sama dengan poin satu di atas untuk plot fungsi radial dan probabilitasnya

dengan masukan ndan l.

c. Sama dengan poin satu di atas untuk plot harmonik bola dalam diagram polar

dengan masukan l.

d. Sama dengan poin satu di atas untuk plot orbital 2D dengan masukan n,ldan

m.

2. Keterbatasan

a. Tidak dapat menampilkan untuk masukan myang negatif.

b. Tidak dapat menampilkan bentuk matematis (persamaan gelombang).


57/70

57

BAB V

SIMPULAN DAN SARAN

A. Simpulan

1. Penelitian ini menghasilkan program komputer dalam bahasa pemrograman Matlab

yang dapat memvisualisasikan orbital atom hidrogen tanpa gangguan (fungsi radial

dan distribusi probabilitasnya serta ketergantungan harmonik bola pada angular)

dan dengan gangguan medan listrik untuk keadaan eksitasi pertama (efek Stark).

2. Hasil visualisasi menunjukkan:

a.Bentuk orbital atom hidrogen bergantung pada jarak dari inti rdan juga pada

angular (, ). Ketergantungan pada rditentukan oleh state dari elektron dengan

bilangan kuantum utama ndan bilangan kuantum orbital l. Ketergantungan pada

angular ditentukan bilangan kuantum orbital ldan bilangan kuantum magnetik

m.

b.Adanya gangguan medan listrik menyebabkan terjadinya degenerasi nilai eigen

energi untuk keadaan eksitasi pertama (efek Stark orde pertama). Adanya medan

ini menyebabkan terpolarisasinya orbital atom hidrogen.

B. Saran

Program hasil penelitian ini tidak menampilkan bentuk matematis dari persamaan

elektron untuk atom hidrogen (orbital). Perlu dilakukan penelitian lebih lanjut untuk

menampilkan persamaan tersebut serta efek Stark untuk keadaan eksitasi yang lebih

tinggi.


58/70

58

DAFTAR PUSTAKA

Atkins, P.W. 1994.Kimia Fisika (Terjemahan). Jakarta: Erlangga.

Beiser, Arthur. 1992.Konsep Fisika Modern (Terjemahan). Jakarta: Erlangga.

Boass, Mary. 1982.Mathematical Methods in the Physical Sciences. New York: JohnWilley & Sons. Inc.

Chu, Kevin. http: // www.princenton.edu/ ~ktchu/ misc/ archives/ quantum_plots/H_atoms/.Tanggal 12 Desember 2005.

Fessenden, Ralp. 1997.Kimia Organik (Terjemahan). Jakarta: Erlangga.

Gasiorowicz, Sthepen. 2003. Quantum Physics. Third edition. New York: John Wiley& Sons Inc.

http://www.physics.csbsju.edu/QM/H.10.html. Tanggal 12 Desember 2005.

Kocbach. http://www.fi.uib.no/AMOS/hydro/.Tanggal 12 Desember 2005.

Krane, Kenneth. 1992.Fisika Modern (Terjemahan). Jakarta: UI-Press.

Lindblad,Goran.http://www.theophys.kth.se/mathphys/schrodinger.html.Tanggal 12

Desember 2005.

Lindblad,Goran. http://mathphys.physics.kth.se/mathphys/schrod7.ps.gz. Tanggal 12

Desember 2005.

Park, D. 1992. Introduction to the Quantum Theory. Third Edition. New York:

McGraw Hill.

Pauling, Linus. 1935. Introduction to Quantum Mechanics with Applications toChemistry. Tokyo: Kogakusha Company, Ltd.

Purwanto, Agus. 1997.Pengantar Fisika Kuantum.Surabaya: Citra Media.

Takeuchi. http://www.alfredstate.edu/takeuchi/home.html. Tanggal 12 Desember

2005.
http://www.princenton.edu/%20~ktchu/%20misc/%20archives/%20quantum_plots/%20H_atoms/http://www.princenton.edu/%20~ktchu/%20misc/%20archives/%20quantum_plots/%20H_atoms/http://www.physics.csbsju.edu/QM/H.10.html.%20Tanggal%2012%20Desember%202005http://www.fi.uib.no/AMOS/hydro/http://www.theophys.kth.se/mathphys/schrodinger.htmlhttp://mathphys.physics.kth.se/mathphys/schrod7.ps.gzhttp://www.alfredstate.edu/takeuchi/home.htmlhttp://www.alfredstate.edu/takeuchi/home.htmlhttp://mathphys.physics.kth.se/mathphys/schrod7.ps.gzhttp://www.theophys.kth.se/mathphys/schrodinger.htmlhttp://www.fi.uib.no/AMOS/hydro/http://www.physics.csbsju.edu/QM/H.10.html.%20Tanggal%2012%20Desember%202005http://www.princenton.edu/%20~ktchu/%20misc/%20archives/%20quantum_plots/%20H_atoms/http://www.princenton.edu/%20~ktchu/%20misc/%20archives/%20quantum_plots/%20H_atoms/


59/70

59

57

Tjia, M.O. 1999.Mekanika Kuantum.Bandung: Penerbit ITB.

Tung, Khoe Yao. 2003. Visualisasi dan Simulasi Fisika Dengan Aplikasi ProgramMaple. Yogyakarta: Penerbit Andi.

Woodgate, G.K. 1989. Elementary Atomic Structure. London: Oxford University

Press.

Yariv, Amnon. 1982. An Introduction to Theory and Applications of Quantum

Mechanics. New York: John Wiley & Sons. Inc.


60/70

60

LAMPIRAN

PEMECAHAN PERSAMAAN SCHRODINGER UNTUK ELEKTRON DALAM

ATOM HIDROGEN

A. Persamaan Schrodinger untuk Elektron dalam Atom Hidrogen

Persamaan Schrodinger untuk elektron atom hidrogen adalah

EH (1) *

dengan: rVm

He

22

2

2

2

2

2

2

22

zyx

2

2

2222

2

2

2

sin

1sin

sin

11

rrr

rrr

r

eV

o4

2

Bila ditulis lengkap persamaan (1)* menjadi

02

22

2

2

2

2

2

VE

m

zyx

e

(2)*

Dalam koordinat bola (setelah memasukkan nilai V) persamaan (1)* menjadi

04

2

sin

1

sinsin

11

2

22

2

22

22

2

2

r

eE

m

r

rrr

rr

o

e

(3)*

Untuk memecahkan persamaan (3)* digunakan teknik pemisahan variabel

rRr ,, (4)*

Substitusi pers. (4)* ke pers. (3)* diperoleh


61/70

61

04

2

sin

1

sinsin

11

2

22

2

22

22

2

2

Rr

eE

mR

r

R

rr

Rr

rr

o

e

kemudian dibagi dengan R diperoleh

04

2

sin

1

sinsin

11

2

22

2

22

22

2

2

r

eE

m

r

rr

Rr

rRr

o

e

kemudian dikalikan dengan 22

sinr diperoleh

04

sin21

sinsinsin

222

22

2

22

r

eEr

m

r

Rr

rR

o

e

(5)*

misalkan 22

21

m

maka :

1. 022

2

mdd

(6.a)*

2. 04

sin2

sinsinsin

222

2

222

r

eEr

mm

r

Rr

rR o

e

(6.b)*

(6.b)*dibagi dengan 2

sin diperoleh

0sin

sinsin

1

4

212

222

2

2

m

r

eEr

m

r

Rr

rR o

e

misalkan

14

21 2

2

2

2

llr

eEr

m

r

Rr

rR o

e

maka

75


62/70

62

1sin

sinsin

12

2

ll

m

dengan sedikit aljabar diperoleh

0sin

1sinsin

12

2

mll

d

d

d

d (7)*

0

1

4

212

0

2

2

2

R

r

llE

r

em

dr

dRr

dr

d

r

e

(8)*

B. Solusi persamaan (6.a)*

02

2

2

md

d

persamaan karakteristiknya

022 m im , solusinya imim BeAe

Karena tidak ada gelombang pantul maka suku yang ada konsanta B bernilai nol.

Dari gambar terlihat bahwa dan 2 keduanya mengidentifikasi bidang meridian

yang sama sehingga 2 atau

Gambar L.3.1. Sudut dan keduanya

mengidentifikasi bidang meridian yang sama.


63/70

63

2 imimm AeAe (9)*

Karena fungsi gelombang harus bernilai tunggal maka untuk memenuhi pers (9) *, m

harus berupa bilangan bulat.

m = 0, 1, 2, 3, ,l (10)*

Syarat normalisasi

2

0

*1d memberikan

2

1A .

C. Solusi persamaan (7)*

0sin1sinsin1

2

2

mlldd

dd

misal:

cosz dan zP maka ddz sin ,

221sin z dan

sin

dz

dP

d

dz

dz

dP

d

d

sehingga pers (8)*menjadi

01121 22

2

222

Pzm

lldz

dP

zdz

Pd

z (11)*

Persamaan (11)*identik dengan persamaan Legendre

01

1'2"12

22

y

x

mllxyyx ,

22lm (12)*

yang solusinya

xPdx

dxxP lm

mmm

l

2/21 (fungsi Legendre terasosiasi)

lml

mlm

l

m

l xdx

dx

lxP 11

!2

1 22/2

(formula Rodriguez) (13)*

l= 0, 1, 2, 3,

dengan konstanta normalisasi


64/70

64

!

!

12

221

1 ml

ml

ldxxPml

(14)*

Beberapa referensi mendefinisikan mlP untuk lml dengan

m

lP (Boass, 1982:

505).

Jadi solusi pers (7)*atau pers (11)*

zPNzP mllm

cosmllmPN (15)*

lmN dicari dengan normalisasi dengan bantuan pers (14)*diperoleh

!

!

2

12

ml

mllNlm

(16)*

Dari hubungan lml dan l= 0, 1, 2, 3, diperoleh

m= 0, 1, 2, 3,, l.

l= |m|, |m| + 1, |m| + 2,

D. Solusi persamaan (8)*

0

1

4

212

0

2

2

2

R

r

llE

r

em

dr

dRr

dr

d

r

e

Diasumsikan inti diam dan karenanya energi kinetiknya nol, sehingga dengan

memilih referensi energi nol, keadaan batas dari sistem memiliki energi negatif:

E = -|E|

Dan didefinisikan

2

2 8

Eme

r 0

2

4

2

eme (17)*

maka pers (8)*menjadi

0

4

1112

2

2

R

lldR

d

d

, 0 (18)*


65/70

65

dekat solusinya dapat diaproksimasi dengan 04

12

2

Rd

Rd

yang mempunyai

solusi 2/eR . Solusi 2/e adalah tidak dapat diterima untuk sebuah fungsi eigen,

karena meningkat tanpa batas ketika . Diasumsikan

2/ eLR s (19)*

di manaL()adalah sebuah polinomial

vvo aaaaL ...2

21 (20)*

dengan 0oa dan sadalah bilangan positif (jika s< 0 maka R jika 0 ).

Substitusi pers (19)*ke pers (18)*diperoleh

0111122

22 Lllsss

d

dLs

d

Ld

(21)*

Untuk persaman (21)*, supaya menjaga validnya persamaan maka

011 llss sehinggas = lataus = - l(l+1), karena 0l makas =-l(l+1) tidak

dapat diterima karena perlakuan pada pers (19)* di mana s adalah bilangan positif.

Dengan menggunakans = lmaka pers (21)*menjadi

01122

2 Ll

ddLl

dLd

(22)*

substitusi pers (20)*ke (22)*dan dengan pengaturan koefisien dari diperoleh :

0...1

...32

...3212

1...1262

3

3

2

210

12

321

12

321

13

4

2

32

v

v

v

v

v

v

v

v

vaaaaa

vaaaa

vaaaa

avvaaa

Untuk koefisien 0

0112 01 alal atau 010 2201010

al

la

Untuk koefisien 1


66/70

66

0121221122 alaala atau 111 22111

11a

l

la

Jadi secara umum

vv a

lvv

lva

221

11

(23)*

Deret (20) harus berakhir pada beberapa nilai terbatas dari v. Dengan kata lain,

mengikuti pers (23)* ketika v , vaa vv /1 , jadi , eL akan

divergen. Untuk menjamin pembatasan ekspansi deret (20)*setelah (katakanlah) suku

v+1, dibutuhkan (menurut (23)*) pemenuhan

positifbulatbilangannlv 1 (24)*

Karena nilai terendah vdapat diasumsikan nol, maka

1 ln atau l= 0, 1, 2,, (n-1) (25)*

Dengan meletakkan n pada pers (22)*maka

01122

2

nlnlnl Lln

d

dLl

d

Ld

(26)*

Matematikawan, dengan alasan yang mereka punyai, telah memilih sebuah fungsi

pqL yaitu polinomial Laguerre terasosiasi yang mana memenuhi

0122

2

pq

p

q

p

qLpq

d

dLp

d

Ld

(27)*

sebuah perbandingan dari (26)*dan (27)*menyatakan bahwa

12 l

lnnl LL (28)*

menggunakan (20)*dan (28)*sertas = ldiperoleh

122/ l ln

l

nlnl LeNRR (29)*

Untuk menentukan nilai eigen (yaitu energi), dari keadaan (n, l, m) kita kembali ke

pers (16)*, dengan meletakkan n diperoleh

22

0

2

41

32 n

emE en

(30)*


67/70

67

Menggunakan (30)*pada ekspresi (16)* untuk diperoleh0/2 na . Jadi dengan

meletakkan r memberikan

012/

0 /2/2 0 narLenarNRrR l ln

narl

nlnl

(31)*

Syarat normalisasi memberikan

120

2122

3

2

dLe

N lln

lnl

Menggunakan tabel integral tentu

!1

!2 3

2

0

2122

ln

lnndLe l ln

l

diperoleh (di mana kita menggunakan 0/2 na )

2/1

3

3

0 !2

!12

lnn

ln

naNnl (32)

*

E. Bilangan Kuantum Orbital

Dari persamaan

0

1

4

212

0

2

2

2

R

r

llE

r

em

dr

dRr

dr

d

r

e

(33)*

Persamaan ini hanya mempersoalkan gerak elektron dari aspek radial, yaitu gerak

mendekati atau menjauhi inti, di persamaan tersebut kita melihat E, energi total

elektron. Energi totalEmencakup energi kinetik gerak orbital yang tak berhubungan

langsung dengan gerak radial.

Kontradiksi ini dapat dihilangkan degan jalan pikiran sebagai berikut: Energi

kinetik K elektron tersebut terdiri dari dua bagian, Kradialyang ditimbulkan oleh gerak

mendekati atau menjauhi inti, dan Korbitalyang ditimbulkan oleh gerak mengelilingi

inti. Energi potensial Vdari elektron adalah energi listrik:


68/70

68

r

eV

o4

2

Jadi energi total elektron ialah

r

eKK

VKKE

o

orbitalradial

orbitalradial

4

2

Dengan memasukkan rumusanEke persamaan (33), setelah mengadakan pengaturan

kita peroleh

0

2

12122

2

2

R

mr

KKm

dr

dRr

dr

d

r orbitalradial

Jika kedua suku yang terakhir dalam tanda kurung persegi dalam persamaan itu saling

meniadakan, sehingga kita peroleh apa yang kita inginkan yaitu persamaan diferensial

R(r) hanya mengandung fungsi dari vektor radius rsaja. Jadi disyaratkan

2

2

1

mrKorbital

(34)*

Energi kinetik orbital elektron adalah

2

2

1orbitalorbital mvK

karena momentum sudut elektronLialah

rmvL orbital

maka energi kinetik orbital

2

2

2mr

LKorbital

Jadi persamaan (2)

2

2

2

2

2

1

2 mrmr

L

atau

1L (35)*


69/70

69

Jempol searah denganvektor momentum sudut

Jari tangan searah

dengan gerak rotasional

L

Gambar L.3.2. Aturan tangan kanan untuk momentum sudut.

SepertiE, momentum sudut terkuantisasi dan kekal.Kuantitas

sJx

h

.10054,12

34

merupakan satuan alamiah dari momentum sudut.

F. Bilangan Kuantum Magnetik

Elektron yang mengelilingi inti dapat dipikirkan sebagai sosok arus kecil dan

memiliki dwikutub magnetik. Jadi elektron yang memiliki momentum sudut

berinteraksi dengan medan magnetik eksternal B. Bilangan kuantum magnetik m

memberi spesifikasi arah L dengan menentukan komponen L dalam arah medan.

Gejala ini dikenal dengan kuantisasi ruang.

Jika kita ambil arah medan magnetik sejajar sumbu z, komponen Ldalam arah

itu ialah

mLz (35)*


70/70

70

Gambar L.3.3. Kuantisasi ruang momentumsudut

orbital. Di sini bilangan kuantum orbital l = 2,

sehingga terdapat 2l + 1 = 5 harga yang mungkin

untuk bilangan kuantum magnetic mdengan masing-

Pembuktian persamaan (35)*sebagai berikut, kita punya operator momentum angular

izL^

(36)*

dan persamaan eigen

zLi

(37)*

dimanaLzadalah nilai eigen dari zL

^

. Solusi (37)*

adalah

skripsi tentang simulasi orbital atom

Documents