SKEMA PREDIKTOR-KOREKTOR UNTUKSOLUSI NUMERIK PERSAMAAN GOOD BOUSSINESQ

SKRIPSI

oleh:JULITA AYU ARDHINI

145090401111031

JURUSAN MATEMATIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS BRAWIJAYAMALANG

2018

SKEMA PREDIKTOR-KOREKTOR UNTUKSOLUSI NUMERIK PERSAMAAN GOOD BOUSSINESQ

SKRIPSI

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelarSarjana Matematika

oleh:JULITA AYU ARDHINI

145090401111031

JURUSAN MATEMATIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS BRAWIJAYAMALANG

2018

i

LEMBAR PENGESAHAN SKRIPSI

SKEMA PREDIKTOR-KOREKTOR UNTUKSOLUSI NUMERIK PERSAMAAN GOOD BOUSSINESQ

olehJULITA AYU ARDHINI

145090401111031

Setelah dipertahankan di depan Majelis Pengujipada tanggal 16 Juli 2018 dan dinyatakan memenuhi syarat

untuk memperoleh gelar Sarjana Matematika

Pembimbing

Prof. Dr. Agus Suryanto, M.ScNIP. 196908071994121001

Mengetahui,Ketua Jurusan Matematika

Fakultas MIPA Universitas Brawijaya

Ratno Bagus Edy Wibowo, S.Si, M.Si, Ph.D.NIP. 197509082000031003

iii

LEMBAR PERNYATAAN

Saya yang bertanda tangan di bawah ini:

Nama : Julita Ayu ArdhiniNIM : 145090401111031Jurusan : MatematikaPenulis Skripsi berjudul : Skema Prediktor-Korektor

Untuk Solusi NumerikPersamaan Good Boussinesq

dengan ini menyatakan bahwa:

1. Skripsi ini adalah hasil pemikiran saya, bukan hasilmenjiplak dari tulisan orang lain. Rujukan-rujukan yangtercantum pada Daftar Pustaka hanya digunakan sebagaiacuan.

2. Apabila di kemudian hari Skripsi yang saya tulis terbuktihasil jiplakan, maka saya bersedia menanggung segalaakibat hukum dari keadaan tersebut.

Demikian pernyataan ini dibuat dengan segala kesadaran.

Malang, 19 Juli 2018yang menyatakan,

Julita Ayu ArdhiniNIM. 145090401111031

v

SKEMA PREDIKTOR-KOREKTOR UNTUKSOLUSI NUMERIK PERSAMAAN GOOD BOUSSINESQ

ABSTRAK

Pada skripsi ini dibahas solusi numerik persamaan good Boussinesqnonlinear. Persamaan good Boussinesq merupakan persamaandiferensial parsial nonlinear yang umumnya sulit untuk ditentukansolusi analitiknya, sehingga perlu dilakukan pendekatan numerik.Konstruksi skema numerik yang dihasilkan merupakan skema bedahingga implisit nonlinear. Berdasarkan hasil dan pembahasan, skemabeda hingga stabil dengan syarat dan memiliki kesalahan pemotonganorde empat terhadap waktu dan orde dua terhadap ruang. Untukmendapatkan solusi numerik dari persamaan beda hingga implisitnonlinear diperlukan metode iterasi, dalam skripsi ini digunakanskema prediktor-korektor. Berdasarkan analisis kestabilan vonNeumann, skema prediktor-korektor stabil bersyarat dengan rentangkestabilan lebih lebar daripada skema beda hingga. Denganmelakukan beberapa simulasi menggunakan nilai ukuran langkahspasial dan langkah temporal tertentu dapat ditunjukkan bahwametode yang diusulkan cukup akurat.

Kata kunci: persamaan good Boussinesq, skema prediktor-korektor

vii

PREDICTOR-CORRECTOR SCHEME FOR THENUMERICAL SOLUTION OF GOOD BOUSSINESQ

EQUATION

ABSTRACT

This final project discusses numerical solutions of nonlinear goodBoussinesq equation. Good Boussinesq equation is a nonlinear partialdifferential equation which is generally difficult to determine itsanalytical solution, so numerical approximation is needed. The resultof numerical scheme construction is a nonlinear implicitly finitedifference scheme. Based on the results and discussion, the proposedfinite difference scheme is conditionally stable and the truncationerror is fourth order accurate to time and second order accurate tospace. Iteration method is needed to get the solution of nonlinearimplicity finite difference. In this final project a predictor-correctorscheme is implemented. From the results of von Neumann stabilityanalysis, the predictor-corrector scheme is conditionally stable withthe stability range is wider than finite difference scheme. By takesome simulations using the spatial step size and temporal step size itcan be shown that the proposed method is quite accurate.

Keywords: Boussinesq equations, predictor-corrector schemes.

ix

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur kepada Tuhan Yesus Kristus yang telahmelimpahkan kasih dan karunia-Nya, sehingga penulis dapatmenyelesaikan skripsi yang berjudul Skema Prediktor-Korektor untukSolusi Numerik Persamaan Good Boussinesq dengan lancar dansesuai waktu yang diharapkan. Penulisan skripsi ini diajukan untukmemenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana Sains dibidang Matematika.

Penulis menyadari bahwa skripsi ini tidak terlepas dari bantuan,bimbingan, dan dukungan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, dalamkesempatan ini penulis menyampaikan terima kasih kepada:

1. Prof. Dr. Agus Suryanto, M.Sc selaku dosen pembimbing yangtelah memberikan bimbingan, motivasi, saran dan kesabaranselama penyusunan skripsi ini.

2. Dr. Isnani Darti, S.Si., M.Si selaku dosen penguji, atas segalakritik dan saran yang diberikan untuk perbaikan skripsi ini.

3. Syaiful Anam, S.Si., M.T., Ph.D selaku dosen penguji, atassegala kritik dan saran yang diberikan untuk perbaikan skripsiini.

4. Ratno Bagus Edy Wibowo, S.Si., M.Si., Ph.D selaku KetuaJurusan Matematika dan Dr. Isnani Darti, M.Si selaku KetuaProgram Studi Matematika.

5. Seluruh dosen Jurusan Matematika yang telah menginspirasi,memberikan ilmu pengetahuan yang bermanfaat danmembimbing penulis untuk belajar banyak hal serta seluruh stafTata Usaha Jurusan Matematika atas segala bantuan yangdiberikan.

6. Ibu (Darsiswati) dan seluruh keluarga besar yang selalumemberikan cinta kasih, motivasi, semangat, dukungan, dandoa kepada penulis.

xi

7. Teman-teman Matematika 2014 yang bersama-samamenempuh program studi Matematika Universitas Brawijayadengan luar biasa dan yang memberikan dukungan, motivasi,serta semangat selama penulisan skripsi ini.

8. Cici, Nike, Theda, Anis, Arin, Vita, Tanty, Mbak Astrid, danAs’adah yang selalu memberikan semangat, menghibur penulisketika jenuh, dan selalu mengingatkan apabila penulis berbuatsalah.

9. Semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu.

Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini masihterdapat kekurangan. Untuk itu penulis mengharapkan kritik dansaran dari semua pihak. Kritik dan saran dapat dikirim melalui emailpenulis julitaayuardhini@gmail.com. Semoga skripsi ini dapatbermanfaat bagi pembaca khususnya mahasiswa MatematikaUniversitas Brawijaya.

Malang, 19 Juli 2018

Penulis

xii

DAFTAR ISI

HalamanHALAMAN JUDUL iLEMBAR PENGESAHAN SKRIPSI iiiLEMBAR PERNYATAAN vABSTRAK viiABSTRACT ixKATA PENGANTAR xiDAFTAR ISI xiiiDAFTAR GAMBAR xvDAFTAR TABEL xviiDAFTAR LAMPIRAN xixBAB I PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Rumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

BAB II DASAR TEORI 32.1 Persamaan Diferensial . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Persamaan Diferensial Parsial . . . . . . . . . . . . . 42.3 Deret Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.4 Kesalahan Pemotongan . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.5 Metode Beda Hingga . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.5.1 Pendekatan beda hingga dimensi satu . . . . . 62.5.2 Pendekatan beda hingga dimensi dua . . . . . 7

2.6 Metode Prediktor-Korektor . . . . . . . . . . . . . . . 82.7 Analisis Kestabilan von Neumann . . . . . . . . . . . 82.8 Persamaan Good Boussinesq . . . . . . . . . . . . . . 10

BAB III PEMBAHASAN 113.1 Konstruksi Skema Numerik . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 Analisis Kestabilan Skema Beda Hingga . . . . . . . . 143.3 Kesalahan Pemotongan Skema Beda Hingga . . . . . . 183.4 Skema Prediktor-Korektor . . . . . . . . . . . . . . . 183.5 Analisis Kestabilan Skema Prediktor-Korektor . . . . . 193.6 Simulasi Numerik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.6.1 Solusi Numerik Single-Soliton . . . . . . . . . 233.6.2 Solusi Numerik Double-Soliton . . . . . . . . 26

BAB IV KESIMPULAN 29

xiii

DAFTAR PUSTAKA 31LAMPIRAN 33

xiv

DAFTAR GAMBAR

Gambar 3.1 Solusi persamaan Good Boussinesq saat k =0.005, h = 0.4 dan t = 60. . . . . . . . . . . 24

Gambar 3.2 Solusi persamaan Good Boussinesq saat k =0.01, h = 0.4 dan t = 60. . . . . . . . . . . . 24

Gambar 3.3 Solusi numerik persamaan Good Boussinesqsaat k = 0.005 dan h = 0.4. . . . . . . . . . 25

Gambar 3.4 Solusi persamaan Good Boussinesq dengank = 0.05, h = 0.4 dan A1 = A2 = 0.2. . . . 27

Gambar 3.5 Solusi persamaan Good Boussinesq dengank = 0.05, h = 0.4, A1 = 0.2 dan A2 = 0.4. . 28

xv

DAFTAR TABEL

Tabel 3.1 Kesalahan Numerik Persamaan GoodBoussinesq saat k = 0.005. . . . . . . . . . . 26

Tabel 3.2 Kesalahan Numerik Persamaan GoodBoussinesq saat k = 0.01. . . . . . . . . . . 26

xvii

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran 1. Kesalahan Pemotongan . . . . . . . . . . . . . 33Lampiran 2. Program Simulasi Numerik . . . . . . . . . . . 36

xix

BAB IPENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Gelombang pertama kali diteliti oleh John Scott Russel padatahun 1834 secara eksperimental. Beberapa tahun kemudian J.Boussinesq berhasil menurunkan secara matematis persamaangelombang yang diteliti oleh John Scott Russel. PersamaanBoussinesq pertama kali diperkenalkan oleh J. Boussinesq pada tahun1870. Persamaan Boussinesq merupakan persamaan yangmenggambarkan perambatan gelombang air dangkal dua arah(Whitham, 1999). Persamaan Boussinesq nonlinear ditulis sebagai

∂2u

∂t2=∂2g(u)

∂x2+ q

∂4u

∂x4, (1.1)

dimana g(u) = u(1 + u) dan |q| = 1. Dengan mengambil q = −1persamaan (1.1) menjadi persamaan Good Boussinesq (GB)nonlinear, sementara dengan mengambil q = 1 persamaan (1.1)menjadi persamaan Bad Boussinesq (BB) nonlinear (Ismail danBratsos, 2003).

Model Boussinesq (1.1) merupakan persamaan diferensialparsial nonlinear yang umumnya sangat sulit untuk ditentukan solusianalitiknya, sehingga diperlukan suatu metode numerik untukmenyelesaikan model tersebut. Metode numerik yang telah digunakanuntuk menyelesaikan persamaan Boussinesq adalah method of lineoleh Bratsos (1998). Selain itu, Febrian (2014) dalam skripsinyamelakukan kaji ulang tentang persamaan Boussinesq yang telahdiselesaikan oleh Ismail dan Mosally pada tahun 2014. Padapenelitian tersebut, Febrian menggunakan skema beda hingga ordeempat untuk mendapatkan solusi numerik dari persamaan GoodBoussinesq.

Dalam skripsi ini akan dilakukan kaji ulang tentang persamaangood Boussinesq yang telah diselesaikan oleh Ismail dan Bratsos(2003), yang mana penyelesaian persamaan good Boussinesq

1

menggunakan skema prediktor-korektor. Selanjutnya pembahasanakan dilakukan bagaimana mengonstruksi skema, kestabilan, dankesalahan pemotongan dari persamaan good Boussinesq. Pada bagianakhir dilakukan simulasi numerik dengan menggunakan softwareMatlab untuk mengetahui keakuratan metode prediktor-korektordalam penyelesaian persamaan good Boussinesq.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan, pokokpermasalahan yang dibahas dalam skripsi ini adalah sebagai berikut.

1. Bagaimana konstruksi skema numerik persamaan goodBoussinesq?

2. Bagaimana kestabilan dari skema numerik persamaan goodBoussinesq?

3. Bagaimana kesalahan pemotongan dari skema numerikpersamaan good Boussinesq?

4. Bagaimana hasil simulasi pada skema numerik persamaan goodBoussinesq?

1.3 Tujuan

Tujuan penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut.

1. Mengkonstruksi skema numerik persamaan good Boussinesq.

2. Menentukan kestabilan dari skema numerik persamaan goodBoussinesq.

3. Menentukan kesalahan pemotongan dari skema numerikpersamaan good Boussinesq.

4. Menginterpretasikan simulasi dari skema numerik persamaangood Boussinesq.

2

DAFTAR PUSTAKA

Boyce, W. E dan R. C. DiPrima. 2012. Elementary DifferentialEquation and Boundary Value Problem. John Willey and SonsInc. New York.

Bratsos, A. G. 1998. The Solution of Boussinesq Equation Using theMethod of Lines. Computer Methods in Applied Mechanic andEngineering. 157:33-44.

Chapra, S. C dan R. P. Canale. 2010. Numerical Methods forEngineers. McGraw Hill, Inc. New York.

Cheney, E. W dan D. R. Kincaid. 2012. Numerical Mathematics andComputing. Brooks Cole. USA.

Chung, T. J. 2010. Computational Fluid Dynamics. CambridgeUniversity Press. New York.

Debnath, L. 2012. Nonlinear Partial Differential Equations forScientist and Engineer. Birkhauser. New York.

Febrian, H. 2014. Skema Beda Hingga Orde Empat untuk PersamaanGood Boussinesq. Skripsi. FMIPA Jurusan MatematikaUniversitas Brawijaya.

Finizio, N dan G. Ladas. 1982. An Introduction to DifferentialEquations. Wadsworth Inc. California.

Ismail, M. S dan A. G. Bratsos. 2003. A Predictor-Corrector Schemefor the Numerical Solution of the Boussinesq Equation. Journalof Applied Mathematics and Computing. vol13:11-27.

Lapidus, L dan G. F. Pinder. 1999. Numerical Solution of PartialDifferential Equations in Science and Engineering. John Wileyand Sons, Inc. Toronto.

31

Lapidus, L dan J. H. Seinfeld. 1971. Numerical Solution of OrdinaryDifferential Equations. Academic Press. USA.

Manoranjan, V. S, A. R. Mitchell, dan J. Li. Morris. 1984. NumericalSolutions of the Good Boussinesq Equation. Journal ofIndustrial and Applied Mathematics. vol5:947-957.

Morton, K. W dan D. Mayers. 2005. Numerical Solution of PartialDifferential Equations. Cambridge University Press. New York.

Noye, J. 1982. Numerical Solution of Partial Differential Equation.North-Holland Publishing. Holland.

Ralston, A dan P. Rabinowitz. 2001. A First Course in NumericalAnalysis. Dover Publications, Inc. New York.

Suryanto, A. 2017. Metode Numerik Untuk Persamaan DiferensialBiasa dan Aplikasinya dengan MATLAB. Universitas NegeriMalang. Malang.

Whitham, G.B. 1999. Linear and Nonlinear Waves. John Willey andSons, Inc. California.

32