1) Misalkan x1>1 dan xn+1 =2-1/Xn untuk n>2.tunjukan bahwa (Xn)terbatas dan monoton.dan tentukan limitnya.

Jawab x1> 1

<1

2- >1 (karena jika 2-1=1 sedangkan <1 berarti 2- >1)

x2 = 2- 1<x2<2

X3 = 2- 1<x3<2

dengan induksi akan ditunjukkan benar bahwa xn<2,nN. Untuk n = 1,2 benar Asumsikan benar untuk n = k yaitu xn< 2untuk k N.

Adt benar untuk xn+1

xn+1 = 2-1/xn <2-1/2 = 2/2 = 1Dengan demikian maka xn<2,nN

Dari pernyataan bahwa 1<x2<2 dan 1<x3<2. terlihat bahwa x2, x3 xn monoton pada interval 1 dan 2.sehingga dari kedua pernyataan diatas terbukti bahwa (xn) monoton dan terbatas.

Karena xn+1=2-1/xn,nN dan ke-n dari 1 tail x1dan x punya relasi aljabar dengan suku ke-n dan x maka lim x1 = lim x = x menjadi x1 =2-1/xn

x + 1/x = 2x2 + 1 = 2xx2 - 2x +1 = 0(x-1)2 = 0x = 1jadi limit (xn) = 1

2) Misalkan y1 =1 dan y1+n = .tunjukkan bahwa (yn) konvergen dan tentukan limitnya.

Jawab Y1= 1

y2 = = , y1< y2<2Dengan induksi akan ditentukan benar yn<2, ,nN.1) n=1,2 ,y1< y2<2.benar

2) diasumsikan benar untuk n = k yaitu yk <2, ,kN.adt benar untuk yk+1

yk+1 = < = 2dengan demikian maka benar bahwa yn <yn +1,nN

Akan ditunjukkan dengan induksi bahwa yn<yn+1,nN1) n=1,2 y1 <y2 benar2) yk < yk+1

2 + yk < 2 + yk+1

< yk+1 < yk+2

karena yk < yk+1 menyebabkan , yn+1 < yn+2

berarti bahwa yn < yn+1,nN Karena yn+1 = ,nN maka ke-n dari 1 tail x dari y punya relasi

demean suku ke-n dari y makaLimit y1 = limit y = yJadi, y = y2 = 2 + y

y2 – y – 2 = 0(y + 1) (y - 2) = 0y1 = -1 y2 = 2karena y1 = 1 < y2 < …< yn< 2 berarti yang memenuhi yaitu y = 2

Kesimpulannya:(yn) konvergen sebab monoton (yn < yn+1) dan terbatas (1< yn < 2) serta mempunyai limit yaitu lim (yn) = 2

3) Misalkan a>0 dan z1> 0 didefinisikan zn+1=(a + zn)1/2 untuk nN.Tunjukan bahwa (zn) konvergen dan tentukan limitnya.Jawab

z2 = (a + z1)1/2 > (a + 0)1/2 = z3 = (a + z2)1/2 > (a + )1/2 < a + 1

< (a + )1/2

< z2 < (a + )1/2 < z3

Demean induksi akan ditentukan benar bahwa zn < a + 1. n=1,2, z2 < z3 < a + 1 benar. zn+1 = (a + zn)1/2 < (a + a + 1)1/2 < a +1Dengan demikian maka benar bahwa zn < a + 1.Dari kedua hasil ini berarti bahwa 0 < z1 < z2 < … < zn < a + 1 yang berarti bahwa zn monoton dan terbatas sehingga zn konvergen. karena zn+1= (a + zn)1/2,nN,suku ke-n dari 1 tail z1dari z punya relasi

dengan suku ke-n dari z berarti.Lim z1 = lim z = z.Jadi z =

z2 – z – a =0z = -(-1) ±

2.1=1 ± karena a>0 yang memenuhi yaitu

2

= 1 + 2jadi limit (zn) =1 +

24) Misalkan x1 = a > 0 danxn+1 = xn +1/xn.tentukan jika (xn) konvergen atau divergen.

Jawabx1 = a > 0x2 = a + 1/a > 0.misal a + 1/a = b > a > 0.

x3 = b + 1/b > 0. misal b + 1/b = c > b > 0.Demean demikian maka x1< x2 < x3 < x4 < …Karena konvergen tidak terbatas maka xn divergen.

5) Misalkan (xn) suatu barisan terbatas dan untuk beberapa nN.Misalkan sn = 1 sup { xk = k n}dan tn = { xk= x n}.buktikan bahwa lim(sn) dan tn adalah konvergen.juga buktikan bawa lim(sn)=lim(tn) maka (xn) konvergen.limit (sn) tersebut limit suprimum dari (xn) dan limit (tn) disebut limit inferior dari (xn).Jawab

Diketahui (xn) suatu barisan terbatas dan untuk beberapa misal nN.misal sn =1 sup { xk = k n} dan tn =inf { xk = k n}.maka ditulis tn< bn < sn . sesuai demean sifat bahwa limit suatu barisan hanya satu berarti:

a) Untuk xn monoton naik.lim(xn) = sup { xn = nN} = sup{ xn:k n}.jadi lim (xn) = sn tunggal.demean demikian sn adalah barisan konstanta yang konvergen ke sn.

b) Untuk yn monoton turun.maka lim (xn) = inf { xn: nN}=inf{ xk: kN}.jadi lim (xn) = tn. tn tunggal.demean demikian tn adalah barisan konstanta yang konvergen ke tn.Dari ke dua hasil diatas,terbukti bahwa sn dan tn konvergen.

Misalkan limit (sn) =limit (tn) = x berarti :I. >0 kN jika n>k maka I sn – xI

- < sn – x < II. >0 kN jika nk2 maka I tn – xI

- < tn – x < tn xn sn

tn – x xn - x sn – x- < tn – x xn -x sn - x < - < xn – x < I xn – x I <

Demean demikian berarti karena >0 sebarang maka lim (xn) =x yang menjadikan (xn) konvergen.

6) Misalkan (an) adalah barisan yang naik (bn) suatu barisan yang turun diasumsikan an ≤ bn,nN.Tunjukan bahwa limit (an) < limit (bn) dan karena itu,simpulkan teorema interval sebarang 2.6.1 dari monoton konvergen 2.3.2.JawabDiketahui (an) barisan naik dan (bn).dengan demikian an bn berarti an terbatas di atas dan bn terbatas dibawah.

Misalkan x = sup {an: nN} berarti lim(an) = x y = inf {bn: nN} berarti lim(bn) = y

karena an bn berarti sup (an) inf (bn) sehingga x y.demean kata lain lim (an) lim (bn).

1. teorema monoton konvergen = suatu barisan monoton disebut konvergen jika dan hanya jika terbatas.

2. teorema interval bersarang : jika In :{an, bn}, nN.adalah barisan bersarang dari interval tertutup terbatas maka 1R 1In,

nN.simpulkan : teorema monoton konvergensi jika dan hanya jika teorema interval bersarang.

7) Misalkan A adalah sup Himpunan tak berhingga dari R adalah terbatas diatas dan misalkan u = supA.tunjukan bahwa barisan naik (xn)A,nN u = limit (xn).JawabA adalah himpunan terbatas diatas.n = sup Axn A, nN.karena xn A berarti xn memenuhi sifat m-tail dari A.Dimana jika konvergen ke suatu nilai maka xn juga konvergen ke nilai tersebut.karena n sup n berarti limit (A) = jadi lim (A) = =lim (xn)oleh karena itu terbukti bahwa jika xn N, nN.lim (A) = maka lim (xn) =

8) Buktikan apakah barisan (yn) konvergen atau divergen dimanayn = 1/(n+1) + 1/(n+2) +………+ 1/2n, untuk nN.

JawabKarena yn =1/(n+1) + 1/(n+2) +………+ 1/2n, maka

yn+1 =1/(n+2) + 1/(n+3) +………+ 1/(2n + 2) makayn+1 - yn={1/(n+2) + 1/(n+3) +1/(n+4)+…+ 1/2n + 1/(2n + 1) +1/(2n + 2)}-

{1/(n+1) + 1/(n+2) +………+ 1/2n}.=1/(2n + 1) +1/(2n + 2)- 1/(n + 1)=1/(2n + 1) +(1/2).1/(n + 1) – 1/(n+1)=1/(2n + 1) +1/2(n + 1) = 1/(2n +1)(2n +2)>0

jadi yn+1 – yn >0 yn+1 > yn sehingga (yn) barisan monoton naikpandang

yn = 1/(n + 1) +1/(n + 2)+……+1/2n < 1/n +1/n+…..+1/nyn < 1/n +1/n+…..+1/nyn < n/n = 1, nNakibatnya (yn) terbatas diatas karena (yn) naik dan terbatas diatas maka (yn) konvergen.

9) Misalkan xn =1/12 + 1/22 +……+ 1/n2,untuk beberapa nN.buktikan bahwa (xn) naik dan terbatas sehingga konvergen (petunjuk) : tulis bahwa jika k ≥ 2 maka 1/k2 ≤ 1/k(k-1) =1/(k-1)-1/k.JawabDengan induksi matematika, adt xn < xn+1

n=1,2 maka x1 =1x2 = 1 + 1/ax1 < x2 benar

asumsikan benar untuk n = k.adt benar atau n = k + 1xk = 1 + 1/a +……+ 1/kxk+1 = 1 + 1/a +……+ 1/k + 1/k+1 >(1+1/a+…+1/k)

= 1 + 1/a +……+ 1/k + 1/k+1 >(1+1/a+…+1/k) = xk

jadi benar bahwa xn < xn+1

untuk k≥2 maka 1/k2 ≤ 1/k(k-1) = 1/(k-1)-1/k <1jadi 1/k2 <1sehingga 1/n2 <1 maka k=nN,k≥2

1/n2 < 11+1/n2 < 21+1/n2 <1+1/n2 + 1+1/(n+1)2 <2 berarti1+1/n2 +1/(n+1)2 < 2karena 1/n2 +1/(n+1)2 <1xn < xn+1<2 untuk n ≥ 2jadi (xn) Monoton naik dan terbatas,berarti xn konvergen.

10) Tentukan apakah konvergen dan Tentukan limit dari kasus dibawah ini.a) ((1+1/n)n+1)b) ((1+1/n)2n)c) ((1 + 1/n +1))n

d) ((1-1/n))n