SIFAT ALJABAR DAN URUTAN PADA BILANGAN REAL

SISTEM BILANGAN REAL

Sistem bilangan real adalah suatu lapangan terurut, lengkap didalamnya berlaku hukum

penjumlahan dan perkalian, hukum tersebut dinamakan operasi biner yang dinotasikan oleh

tambah (+) dan titik (.) yang disebut dengan penjumlahan dan perkalian.

Sifat Lapangan Bilangan Real

Pada himpunan bilangan real terdapat 2 operasi biner yang dinotasikan oleh tambah (+) dan titik

(.) yang disebut penjumlahan dan perkalian dengan sifat-sifat berikut:

1. a + b = b + a ∀ a, b ∈ R (sifat komutatif)

2. a + (b + c) = (a + b) + c (sifat assosiatif)3. ∃ 0 ∈ R ∋ a + 0 = a+0 = 0+a = a, ∀ a ∈ R (sifat elemen identitas)4. ∀ a ∈ R ∃(-a) ∈ R ∋ a + (-a) = 0(invers penjumlahan)5. a . b = b . a, ∀ a, b ∈ R (sifat komutatif perkalian)6. a (bc) = (ab) c , ∀ a, b, c ∈ R (sifat assosiatif perkalian)7. ∀ a ∈ R, a ≠ 0, ∃ a−1 ∈ R

∋ a . a−1 = a . 1a = 1 (invers perkalian)

8. ∃ 1 ∈ R dengan 1 ≠ 0 ∋ a . 1 = 1 . a = a, ∀ a ∈ R (identitas perkalian)9. ∀ a, b, c ∈ R, maka berlaku:a (b+c) = ab + ac(b+c)a = ba + ca (elemen kebalikan)Catatan:0 disebut unsur identitas terhadap penjumlahan

a−1 disebut unsur invers terhadap perkalian1 disebut identitas terhadap perkalianTeorema(a)Jika z, a ∈ R ∋ z + a = a, maka z = 0

Arwinda Febri409295

Bukti:Karena a∈ R dan berdasarkan sifat lapangan bilangan real ∃(-a) ∈ R ∋ a + (-a) = 0 dan menurut sifat 3 ∋ a + 0 = a+0 = 0+a = aAkibatnya:z + a = az + a + (-a) = a + (-a) = 0z + 0 = 0, karena z∈ R, makaz + 0 = 0 z = 0 (terbukti)(b)Jika u, b ∈ R, b≠ 0 sehingga u . b = b, maka u = 1Bukti:Karena u, b ∈ R, b ≠ 0

Maka berdasarkan sifat lapangan bilangan real ∃ 1b ∈ R sehingga b . 1

b =

1Akibatnya:u . b = bu . b . 1

b = b . 1

bu . 1 = 1Berdasarkan sifat lapangan bilangan real ∃ 1∈ R, sehinggau . 1 = 1 u = 1 (terbukti)Tugas soal no. 4 halJika a ∈ R sehingga a . a = a, buktikan a = 0 atau a = 1 Bukti:Karena a ∈ R

Maka berdasarkan sifat lapangan bilangan real∃ 1a ∈ R sehingga a . 1

a = 1

a . a = aa . a . 1

a = a .1

a a = 1 (terbukti)Jika a = 0adb: a .0 = 0 (ditambah dengan a) a + a . 0 = a . 0 + a . 1 a + a . 0 = a (0+1) a + a . 0 = a . 1 a + a . 0 = a (ditambah –a) -a + a + a . 0 = a + (-a)Menurut sifat lapangan bilangan real ∃(-a) ∈ R ∋ a + (-a) = 0, sehingga(-a + a) + a . 0 = 00 + a . 0 = 0 a . 0 = 0 (terbukti) Teorema(a)Jika a, b ∈ R ∋ a + b = 0 maka b = -a(b)Jika a, b ∈ R ∋ a . b = 1 maka b = 1

aBukti:(a)Karena a, b ∈ R ∃ -a ∈ R ∋ a + (-a) = 0 dan 0 ∈ R ∋ b+0 = 0+b = bAkibatnya a + b = 0a + (-a) + b = 0 + (-a)0 + b= -a b = -a (terbukti)(b)karena a, b ∈ R ∃ a−1 = 1

a ∈ R a≠ 0 ∋ a . 1

a = 1dan 1 ∈ R ∋ b . 1 = 1 . b = bakibatnya:

a . b = 1(a . 1a) . b = 1 . 1

a 1 . b = 1 . 1a b = 1

a (terbukti)TeoremaMisalkan a ∈ R maka berlaku:1) a . 0 = 02) (-a) . a = -a3) - (-a) = a4) -1 (-1) = 1Bukti:1) a . 0 = 0karena a ∈ R maka ∃ 1, 0∈ R, 1 ≠ 0sehingga a . 1 = 1 . a = aakibatnya:a = a . 1a + a . 0 = a . 1 + a . 0 = a (1 + 0) (sifat distributif) = a . 1a + a . 0 = akarena a ∈ R ∃ -a ∈ R ∋ a + (-a) = 0akibatnya:(-a + a) + a . 0 = (-a + a)0 + a . 0 = 0a . 0 = 0 (terbukti)2) (-1 ) . a = -aBerdasarkan teorema sebelumnya a . 0 = 0Karena 1 ∈ ℝ ∃ -1 ∈ ℝ ∋ 1 + (-1) = 0Akibatnya a . 0 = 0a . (1+ (-1)) = (1+(-1)) 1 a + (-1)a = 0Karena a ∈ℝ ∃ -a ∈ℝ ∋ a + (-a) = 0Akibatnya

(-1) a + 1 a = 0-1a + a + (-a) = 0 + (-a)-1a + (a +(-a)) = 0 + (-a)-1(a) + 0 = -a-1(a) = -a (terbukti)3) - (-a) = aKarena a ∈ ℝ ∃ -a ∈ ℝ ∋ (-a) + a = 0Akibatnya a + (-a) = 0 (dikali -1) -a + - (-a) = 0-a + a + -(-a) = 0 + a 0 + -(-a) = 0 + aKarena a ∈ ℝ ∃ 0 ∈ ℝ ∋ 0 + a = a + 0 = aAkibatnya0 + -(-a) = 0 + a-(-a) = a (terbukti)4) -1 (-1) = 1Karena a ∈ ℝ, a ≠0 ∃ a−1 ∈ ℝ ∋ a . a−1Akibatnyaa . 1

a = (a . 1

a ) (-a . - 1

a )

= (-a . 1a ) (a . -1

a ) = (-1) . (-1)Karena a−1 ¿1

a ∋ a . 1

a= 1

(-1) (-1) = a . 1a (-1) (-1) = 1 (terbukti)

TeoremaMisalkan a, b, c ∈ R berlaku: 11/a1) a ≠ 0 → 1

a ≠ 0 dan = a2) a . b = a. c dan a ≠ 0 → b = c3) a . b = 0 → a = 0 atau b = 0Bukti:

1) karena a ∈ R, a ≠ 0 → 1a ≠ 0

andaikan 1a = 0 maka:

1 = a . 1a = a . 01 = 0 bertentangan dengan sifat lapangan bilangan real yang menyatakan 1 ≠ 0Jadi haruslah 1

a = 0

Mengingat a . 1a = 1

Maka: a = 11/a*) a ∈ R ∃ a−1∈ R a−1= 1

a ≠ 0 ∋ a . a−1 = 1

*) 1a ∈ R ∃ ¿ R ¿= 1

1/a ∋ 1/a ¿= 1Perhatikan bahwa 1a . ¿ = 1

a . 1a . ¿ = a . 1

1 . ¿ = a 11/a = a (terbukti)

2) a, b, c ∈ R, a ≠ 0Karena a ∈ R, a ≠ 0, ∃ a−1= 1a ∈ R ∋ a−1.a = 1Akibatnya

a .b = a . c (dikali 1a )

(a . 1a ) b = (a . 1

a ) c1 . b = 1 . cKarena b, c ∈ R ∃ 1∈ R ∋ b . 1 = 1 . b = b c . 1 = 1 . c = cSehingga berlaku b = c (terbukti)

3) a . b = 0 → a = 0 atau b = 0karena a, b ∈ R ∋ a . a−1 = a . 1a = 1

dan ∋ b . b = b . 1b = 1

akibatnyaa . b = 0

(1a) . (a. b) = (1

a) . 0 (

1a . a) (b) = 0

1 . b = 0b = 0

dengan cara yang sama kedua ruas dikalikan dengan (1b), maka diperoleh

a . b = 0

(a. b) . (1b) = 0 . (1

b) (a) (

1b . b) = 0

a . 1 = 0 a = 0

karena a, b ∈ ℝ ∋ a . a−1 = a . 1a = 1 dan ∋ b . b = b .

1b = 1

Maka berlaku a = 0 atau b = 0 (terbukti)

Bilangan Rasional

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pq

dengan q ≠ 0,

p dan q ∈ℤ atau Q = {PQ ,P ,Q∈Z ,Q≠0}Bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pq

{x∈ R∨x ≠Q } TeoremaTidak ada bilangan rasional x yang memenuhi x2 = 2Bukti:

Andaikan ∃ x ∈ ℚ ∋ x2 = 2Tulis: x = PQ

dan P, Q ∈ℤ, P ≠Q, Q ≠ 0Sehingga P2

Q2 = 2Asumsikan bahwa P dan Q ¿ 0 dan tidak mempunyai faktor sekutu selain 1Perhatikan bahwaP2

Q2 = 2 => P2 = 2 Q2

¿>P2 = bilangan genap¿>P2 bilangan genap

Karena 2 bukan faktor sekutu dari p dan q maka haruslah q nya bilangan ganjilPerhatikan bahwa:P bilangan genap => p = 2m untuk m ∈ ℕ ¿>P2 = 4 m2 = 2 Q2

¿>2m2 = Q2

¿>Q 2 bilangan genap¿>Qbilangan genap

Hal ini bertentangan dengan pernyataan bahwa Q bilangan ganjil, sehingga dapat disimpulkan bahwa tidak ada bilangan rasional yang memenuhi x2 = 2