ANALISIS TEKNIK

KONVOLUSI. PERSAMAAN INTEGRAL BAB 6 BAGIAN 6.5

HALIM

P2201215004

6.5 KONVOLUSI. PERSAMAAN INTEGRAL

Konvolusi memiliki hubungan dengan perkalian transformasi. kita tahu bahwa

L(f + g) = L(f) + L(g).

Hasil dari suatu Transformasi umumnya berbeda dari hasil faktor yang telah ditransformasikan,

L(fg) ≠ L(f)L(g) Pada umumnya

Seperti ini diambil f = dan g = 1 kemudian

fg = ,

Tetapi L(f) = 1/(s - 1) dan L(1) = 1/s diperoleh

L(f)L(g) = 1/(

Menurut teorema berikutnya, jawaban yang benar bahwa L(f)L(g) adalah transformasi dari konvolusi dari f dan g, merupakan notasi standar f * g dan didefinisikan oleh integral

h(t) = (f * g)(t) = (1)

TEOREMA 1

Teorema Konvolusi

jika dua fungsi f dan g memenuhi asumsi pada adanya teorema pada Bab.6.1 sehingga transformasinya f dan g ditemukan, hasil dari H=FG ditransformasikan oleh h yang telah disepakati pada persamaan (1)

CONTOH 1 KONVOLUSI

Diketahui H(s)-1/[(s - a)s]. dicari h(t)

Penyelesaian 1/(s - a) mempunyai invers f(t) = dan 1/s mempunyai invers g(t) dengan f() = dan g(t - ) = 1 dengan demikian kita peroleh jawaban dari persamaan (1)

h(t) =

bila dicek, hitungH(s) = L(h)(s) =

CONTOH 2 KONVOLUSI

Diketahui H(s) = 1/(. Dicari h(t)

Penyelesaian invers dari 1/( adalah (sint)/ maka dari persamaan (1) dan rumus trigonometri pada persamaan (11) pada app 3.1 dengan x = dan y = kita peroleh

h(t) = = = =

Sesuai dengan rumus 21 pada tabel Bagian.6.9

Disini kita mengintegrasikan untuk menetapkan lebih t dari sampai ke dan kemudian lebih dari 0 sampai . Ini adalah daerah biru pada Gambar. 139. Menurut asumsi pada f dan g urutan integrasi dapat dibalik (lihat Referensi. [A5] untuk pembuktian menggunakan konvergensi seragam). kemudian kita mengintegrasikan lebih awal dari 0 sampai t dan selanjutnya t dari 0 sampai ∞ , yaitu,

F(s)G(s)

Pembuktian lengkapnya

Gambar. 139

Dari definisi tersebut selanjutnya kita segera mengetahui bahwa konvolusi memiliki sifat

f * g = g * f Hukum Komulatif

f * (g1 + g2) = f * g1 + f * g2 Hukum Distributif

(f * g) * = f * (g * ) Hukum Assosiatif

f * 0 = 0 * f = 0

CONTOH 3Sifat yang tidak biasa dari konvolusi

f = f * 1 ≠ f pada umumnya. Misalnya;

t * 1 =

(f * f) (t) 0 mungkin tidak ditentukan, misalnya pada contoh 2 dengan = 1 maka diperoleh,

sin t * sin t =

Gambar 140. contoh 3

CONTOH 4 RESPON DARI SISTEM GETARAN TEREDAM UNTUK GELOMBANG KUADRAT TUNGGAL

Menggunakan konvolusi. menentukan respon dari sistem massa-pegas teredam dimodelkan dengan

y” + 3y’ + 2y = r(t). , r(t) = 1 jika 1 < 1< t < 2 dan 0

sebaliknya, y(0) = y’(0) = 0.

PENYELESAIAN DENGAN KONVOLUSI.

Fungsi transfer dan inversnya (kebalikan) adalah

Q(s) = maka q(t) =

Maka integral konvolusi (3) adalah (kecuali untuk batas integrasi)y(t) =

=

=

Sekarang terdapat titik penting dalam penanganan konvolusi r() = 1 hanya jika 1 < < 2 maka jika t < 1, integralnya adalah nol. Jika 1 < t < 2, kita memperoleh integral dari = 1 (bukan 0) ke t hal ini menghasilkan (dengan dua tanda pertama dari batas atas)

y(t) =

=

Jika t > 2, kita peroleh integral dari = 1 hingga ke 2 (sampai ke t). Hal ini menghasilkan

y(t) =

PERSAMAAN INTEGRAL

Konvolusi juga membantu dalam memecahkan persamaan integral tertentu. yaitu, persamaan dimana fungsi y(t) tidak diketahui muncul dalam integral (dan mungkin juga diluar integral).

CONTOH 5

Sebuah Persamaan Integral Volterra Dari Jenis Kedua

Selesaikan persamaan integral Volterra dari jenis kedua

y(t) -

Penyelesaian. Dari persamaan (1) kita melihat bahwa persamaan yang diberikan dapat ditulis sebagai konvolusi. y - y * sin t = t. penulisan Y = L(y) dengan menerapkan teorema konvolusi, kita peroleh

Y(s) – Y(s)

Penyelesaiannya : Y(s) = dan diperoleh jawabannya y(t) = t +

CONTOH 6

Persamaan Integral Volterra Yang Lain Dari Jenis Kedua

Selesaikan persamaan integral volterra ini

Y(t)-

Penyelesaian. dengan (1) kita dapat menuliskan y - (1+ t) * y = 1 - sin t. dituliskan Y = L(y) kita peroleh dengan menggunakan teorema konvolusi dan kemudian menyamakan penyebutnya

Y(s)

maka Y(s)

dihapus pada kedua sisinya,

sehingga penyelesaian untuk Y yang disederhanakan

dan penyelesaiannya adalah y(t) = cosh t

» LAMPIRAN

TERIMA KASIH