segi empat - enimathematic.files.wordpress.com€¦ · web viewjajargenjang. belah ketupat....

SEGI EMPAT

A. SEGI EMPAT

Gambar E. 1

Coba amatilah benda-benda di sekitar kalian, seperti papan tulis,

bingkai foto, ubin/lantai di kelasmu. Berbentuk seperti apakah benda-benda

tersebut? Berapa jumlah sisinya?

Benda-benda tersebut termasuk bangun datar segi empat, karena jumlah

sisinya ada empat buah. Perhatikan Gambar E.1 secara umum, ada enam

macam bangun datar segi empat, yaitu:

(i) Persegi panjang

(ii) Persegi

(iii)Jajargenjang

(iv)Belah ketupat

(v) Layang-layang

(vi)Trapesium

1. Persegi Panjang

a. Pengertian Persegi Panjang

Sisi adalah ruas garis-ruas garis lurus yang membatasi benda

datar secara tertutup tanpa celah dan tidak saling menutupi.

Amatilah benda-benda di sekitar kalian yang berupa meja, buku,

atau bingkai foto di kelasmu. Bagaimana panjang sisinya? Jika benda-

benda tersebut berbentuk persegi panjang.

Perhatikan persegi panjang ABCD pada Gambar E.2.

Gambar E. 2

Jika kalian mengamati persegi panjang pada Gambar E.2

dengan tepat, kalian akan memperoleh bahwa:

(i) Sisi-sisi persegi panjang ABCD adalah AB, BC, CD, dan

AD dengan dua pasang sisi sejajarnya sama panjang, yaitu

AB=CD dan BC=AD.

(ii) Sudut-sudut persegi panjang ABCD adalah DAB, ABC,

BCD, dan CDA dengan DAB=ABC=BCD=CDA=900.

Dengan demikian, dapat disimpulkan sebagai berikut.

b. Menempatkan Persegi Panjang pada Bingkainya

Perhatikan persegi panjang ABCD pada Gambar E.3 berikut!

Gambar E. 3

Jiplaklah persegi panjang ABCD pada selembar karton.

Kemudian guntinglah karton itu menurut sisi AB, BC, CD, dan AD

sehingga diperoleh potongan karton berbentuk persegi panjang.

Persegi panjang adalah bangun datar segi empat yang

memiliki dua pasang sisi sejajar dan memiliki empat

sudut siku-siku.

Selanjutnya, jika kalian putar persegi panjang tersebut maka ada

berapa cara dapat menempati bingkainya kembali? Coba kamu

peragakan Gambar E.4 menunjukkan 4 cara persegi panjang

menempati bingkainya.

Gambar E. 4

(i) Tempatkan persegi panjang pada posisi awal.

(ii) Dari posisi awal, baliklah persegi panjang ABCD menurut

garis PQ, ternyata persegi panjang dapat menempati

bingkainya secara tepat, sehingga AD menempati BC.

(iii) Dari posisi awal, baliklah persegi panjang ABCD menurut

garis RS, ternyata sisi AB dapat menempati sisi DC , sehigga

persegi panjang ABCD dapat menempati bingkainya.

(iv)Dari posisi awal, putarlah persegi panjang ABCD setengah

putaran (18 00), ternyata persegi panjang dapat menempati

bingkainya secara tepat, sehingga sisi AB menempati sisi CD.

Persegi panjang dapat menempati bingkainya kembali dengan

empat cara.

c. Sifat-sifat Persegi Panjang

1) Sifat Sisi-sisi Persegi Panjang

Gambar E. 5

Pada Gambar E.5, persegi panjang ABCD dibalik menurut

sumbu simetri PQ, maka:

Amenempati B ditulis, A → B.

D menempati C, ditulis D →C .

AD→ BC .

Jadi, AD=BC.

Gambar E. 6


sumbu simetri RS, maka:

A menempati D, ditulis A → D.

B menempati C, B→ C.

AB→ DC.

Jadi, AB=DC .

Karena AD=BC dan AB=DC, maka dapat disimpulkan

hal berikut ini.

Dalam setiap persegi panjang, sisi-sisi yang berhadapan

sama panjang

Perhatikan Gambar E.7 berikut!

Gambar E. 7

Ubin-ubin yang berbentuk persegi panjang dapat digeser

sepanjang baris ke kanan atau ke kiri dan sepanjang lajur ke atas

atau ke bawah. Hal ini menunjukkan bahwa dalam persegi

panjang, sisi-sisi yang berhadapan selalu mempunyai jarak yang

tetap. Karena jarak sisi-sisi yang berhadapan selalu tetap, maka

dikatakan sisi-sisi yang berhadapan sejajar.

2) Sifat Sudut-sudut Persegi Panjang

Perhatikan Gambar E.8!

Gambar E. 8

A menempatiB, ditulis A → B.

C menempati D, ditulis C → D.

Jadi, A=B ...................(1)

C=D ...................(2)

Dalam setiap persegi panjang, sisi-sisi yang berhadapan

sejajar.


Gambar E. 9

A menempati D, ditulis A → D.

B menempati C, ditulis B→ C.

Jadi , A=D ………… ………..(3)B=C ....................(4)

Dari bentuk persamaan (1) sampai dengan (4), dapat disimpulkan

sebagai berikut ini.

A=B ............. … ....(1)B=C ....................(4)C=D ....................(2)

Jadi, A=B=C=D.

Selanjutnya, perhatikan Gambar E.10!

Gambar E. 10

Empat buah persegi panjang diletakkan bersisian seperti

ditunjukkan pada Gambar E.10, ternyata keempat bangun itu

dapat menutup bidang datar tanpa celah dan tidak saling

menutupi. Hal ini menunjukkan bahwa empat sudut persegi

panjang membentuk sudut satu putaran penuh (36 0°).

Dalam setiap persegi panjang, tiap-tiap sudutnya sama

besar.

Jadi, besar tiap-tiap sudut persegi panjang ¿ 360°

4=90°.

Berdasarkan sifat-sifat diatas, maka dapat diberikan batasan

berikut.

3) Sifat Diagonal-diagonal Persegi Panjang

Diagonal adalahruas garis yang menghubungkan dua titik

sudut yang tidak terletak pada satu sisi

Gambar E. 11


sumbu PQ, maka:

A → BC → D AC → BD

Jadi, AC=BD.

Dengan demikian, dapat disimpulkan hal berikut ini.

Untuk menyelidiki sifat diagonal lainnya, perhatikan

Gambar E.12 berikut ini!

Dalam setiap persegi panjang, tiap-tiap sudutnya merupakan

sudut siku-siku (9 0°).

Persegi panjang adalah segi empat yang keempat sudutnya

siku-siku dan sisi-sisi yang berhadapan sama panjang dan

sejajar.

Diagonal-diagonal dalam setiap persegi panjang sama

panjang.

Gambar E. 12

Pada letak 2, persegi panjang ABCD diputar 12 putaran

pada pusat O, maka:

O →O A →COA →OC

Jadi, OA = OC.

Pada letak 3, persegi panjang ABCD diputar 12 putaran

pada pusat O, maka:

O →OB→ DOB→ OD

Jadi, OB=OD.

Karena OA=OC dan OB=OD, maka dapat disimpulkan

hal berikut ini.

Diagonal-diagonal dalam setiap persegi panjang berpotongan

dan saling membagi dua sama panjang.

d. Keliling dan Luas Persegi Panjang

1) Keliling Persegi Panjang

Perhatikan Gambar E.13 berikut ini!

Gambar E. 13

Gambar E.13 menunjukkan persegi panjang KLMN dengan

sisi-sisinya KL, LM , MN , dan KN .

Keliling bangun datar adalah jumlah semua panjang sisi

yang membatasi bidang datar tersebut. Dengan demikian, berarti

keliling persegi panjang adalah jumlah panjang semua sisi persegi

panjang.

Tampak bahwa panjang KL=NM=5 satuan panjang dan

panjang LM=KN=3 satuan panjang.

Keliling KLMN =KL+LM +MN+NK

¿ (5+3+5+3 ) satuan panjang¿16 satuan panjang

Selanjutnya, garis KL disebut panjang( p) dan KN disebut

lebar (l).

Jika panjang = p cm, lebar = l cm, dan keliling = K cm,

maka:

Rumus keliling persegi panjang adalah:

K = 2p + 2l atau K = 2 (p + l)

Contoh:

Hitunglah keliling persegi panjang yang berukuran panjang

10 cm dan lebar 6 cm!

Jawab:

Panjang = 10 cm, maka p = 10

Lebar = 6 cm, maka l = 6

K=2(p+l)¿2 ×10+2×6¿20+12¿32

Jadi, keliling persegi panjang tersebut adalah 32 cm.

2) Luas Persegi Panjang

Untuk menentukan luas persegi panjang, perhatikan

kembali Gambar E.14.

Gambar E. 14

Luas bangun datar adalah luas daerah yang dibatasi oleh

sisi-sisi bangun tersebut. Dengan demikian, luas persegi panjang

adalah luas daerah yang dibatasi oleh sisi-sisi persegi panjang itu.

Menghitung luas persegi panjang dapat kita lakukan dengan

cara menghitung jumlah persegi yang ada pada gambar. Persegi

panjang tersebut memiliki panjang KL=MN=5 satuan persegi,

dan lebar LM=KN=3 satuan persegi apabila setiap persegi

mewakili satu satuan luas. Maka cara menghitung luasnya adalah

dengan menghitung seluruh jumlah persegi yang ada.

Jika kita menghitung jumlah persegi yang ada di dalam

persegi panjang di atas, maka hasilnya adalah 15 satuan persegi.

Untuk gambar diatas perhitungannya adalah sebagai berikut:

Luas persegi panjang KLMN=KL LM¿(53)satuan luas

¿15 satuan luas

Jika panjang = p cm, lebar = l cm, dan luas = L cm2, maka:

Rumus untuk luas setiap persegi panjang adalah:

L = p l atau L = pl

Contoh:

Luas sebuah persegi panjang = 60 cm2 dan panjangnya = 10

cm. Hitunglah lebarnya!

Jawab:

Luas = 60 cm2, maka L = 60

Panjang = 10 cm, maka p = 10

L=p l60=10ll=6010 l=6

Jadi, lebar persegi panjang tersebut adalah 6 cm.

2. Persegi

a. Pengertian Persegi

Kalian tentu pernah melihat bentuk-bentuk seperti papan catur,

sapu tangan, atau ubin (lantai). Berbentuk apakah bangun-bangun

tersebut? Bagaimana sisi-sisi bangun tersebut?

Bangun-bangun yang disebutkan di atas adalah bangun yang

berbentuk persegi.

Persegi adalah bangun segi empat yang memilki empat sisi sama

panjang dan empat sudut siki-siku.


Gambar E. 15

Gambar E.15 adalah sebuah persegi ABCD. Bagaimana panjang

setiap sisi dan besar setiap sudut persegi tersebut?

Jika kalian mengamatinya dengan tepat, kalian akan

memperoleh bahwa:(i) Sisi-sisi persegi ABCD sama panjang, yaitu AB=BC=CD=AD

.(ii)Sudut-sudut persegi ABCD sama besar, yaitu

ABC=BCD=CDA=DAB=900.

Dari uraian tersebut dapat kita katakan bahwa persegi

merupakan persegi panjang dengan sifat khusus, yaitu keempat sisinya

sama panjang.

b. Menempatkan Persegi pada Bingkainya

Sebuah persegi dapat menempati bingkainya dengan 8 cara seperti

ditunjukkan pada Gambar 12 berikut ini.

Gambar E. 16

c. Sifat-sifat Persegi

Letak (1), (2), (3), dan (6) pada Gambar E.16 merupakan letak

yang sama dengan letak-letak persegi panjang. Jadi, bangun persegi

merupakan bangun persegi panjang yang khusus, sehingga sifat-sifat

yang dimiliki oleh persegi panjang berlaku untuk persegi.

Sifat-sifat persegi yang dimiliki oleh persegi panjang adalah:

1.) Sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar.

2.) Diagonalnya sama panjang.

3.) Diagonalnya berpotongan membagi dua sama panjang.

Selanjutnya akan diselidiki sifat-sifat lainnya yang dimiliki oleh

persegi:

1) Sifat Sisi-sisi Persegi

Kegiatan Siswa

Gambar E. 17 Gambar E. 18

Pada Gambar E.17, persegi ABCD dibalik menurut diagonal AC,

maka:

A → A C →C

B→ D D → B

AB→ AD CD→ CB

Jadi, AB=AD .....(1)Jadi, CB=CD .....(2)

Pada Gambar E.18, persegi ABCDdibalik menurut diagonal BD,

maka:

A →C A →C

B→ B D → D

AB→CB AD→CD

Jadi, AB=CB ..... (3) Jadi, AD=CD .....(4)

Dari hasil-hasil tersebut diperoleh:

(1) AB=AD(4) AD=CD(2)CB=CD

Jadi, AB=AD=CD=CB

Panjang sisi-sisi setiap persegi adalah sama panjang.

Sudut-sudut dalam setiap persegi dibagi dua sama besar oleh

diagonal-diagonalnya, sehingga diagonal-diagonalnya

merupakan sumbu simetri.

2) Sifat Diagonal-diagonal Persegi

Gambar E. 19

Pada Gambar E.19, persegi ABCD dibalik menurut diagonal

AC, maka:

BAC→ DAC ACB→ ACD

Jadi, BAC→ DAC. Jadi, ACB→ ACD.

Karena BAC=DAC dan ACB=ACD, maka diagonalAC

membagi A dan C menjadi dua bagian yang sama besar.

Gambar E. 20

Pada Gambar E.20, persegi ABCD dibalik menurut diagonal

BD, maka:

ABD CBD ADBCDB

Jadi, ABD=CBD. Jadi, ADB=CDB.

Karena ABD=CBD dan ADB=CDB, maka diagonal BD

membagi B dan D menjadi dua bagian yang sama besar.

Diagonal-diagonal setiap persegi berpotongan membentuk

sudut siku-siku.

Persegi adalah persegi panjang yang keempat sisinya sama

panjang.

Gambar E. 21

Pada Gambar E.21 persegi ABCD diputar 14 putaran searah

jarum jam dengan pusat O, maka:

DOC → AOD COB → DOC

Jadi, DOC=AOD Jadi, COB=DOC.

BOA → COB AOD →BOA

Jadi, BOA=COB. Jadi, AOD=BOA .

Gambar E. 22

Dari hasil-hasil di atas dapat disimpulkan bahwa:

AOD=DOC=COB=BOA

AOD+DOC+COB+BOA=360° (satu putaran penuh)

Jadi, AOD=DOC=COB=BOA=360°

4=90° (sudut siku-siku).

Berdasarkan sifat-sifat persegi, maka dapat diberikan batasan

berikut.

Contoh:

Pada persegi ABCD diketahui panjang sisi AB=12 cm.

a.) Jika panjang AD=(x+4) cm, tentukan nilai x!

b.) Jika besar AOB=3 y°, tentukan nilai y!

Jawab:

a.) Sisi-sisi setiap persegi sama panjang, maka:

AD=ABx+4=12x=12 – 4x=8b.)Diagonal ACdan BD berpotongan membentuk sudut siku-

siku, maka:

AOB=90°3 y°=90° y°=90°

3 y°=30°

Rumus keliling persegi adalah:

K = 4s

d. Keliling Persegi dan Luas Persegi

1) Keliling Persegi


Gambar E. 23

Gambar E.23 menunjukkan bangun persegi KLMN dengan

panjang sisi = KL = 4 satuan.

Keliling persegi adalah jumlah panjang semua sisi persegi.

Keliling KLMN =KL+LM +MN+NK

¿(4+4+4+4)satuan¿16satuan panjang

Selanjutnya, panjang KL=LM=MN=NK disebut sisi(s).

Jika panjang sisi KL = s cm dan keliling persegi = K cm,

maka:

Contoh:

Hitunglah keliling persegi yang panjang sisinya 6 cm!

Jawab:

Panjang sisi = 6 cm, maka s = 6

K=4 s¿4 6¿24

Jadi, keliling persegi tersebut adalah 24 cm.

2) Luas Persegi


Gambar E. 24

Persegi memiliki ukuran panjang dan lebar yang sama,

yang selanjutnya disebut sisi, maka:

Luas persegi KLMN=KL LM¿ (4 4 ) satuanluas¿16 satuan luas

Jika panjang sisi persegi = s cm dan luasnya = L cm2, maka:

Rumus untuk luas setiap persegi adalah:

L = s s atau L = s2

Contoh:

Hitunglah luas persegi yang panjang sisinya 12 cm!

Jawab:

Panjang sisi = 12 cm, maka s = 12

L=s2¿12× 12¿144

Jadi, luas persegi tersebut adalah 144 cm2.

3. Jajargenjang

a. Pengertian Jajargenjang

Segitiga ABC pada Gambar E.25(ii) diputar setengah putaran

pada titik tengah BC, maka ABC dan bayangannya membentuk

bangun jajargenjang ABDC (Gambar E.25(iii)).

Jajargenjang adalah segi empat yang mempunyai dua panjang sisi

yang sejajar dan sama panjang.

Gambar E. 25

Jadi, jajargenjang dapat dibentuk dari sebuah segitiga dan

bayangannya setelah diputar setengah putaran pada titik salah satu

sisinya.

Pada setiap jajargenjang, sisi-sisi yang berhadapan sama

panjang dan sejajar.

b. Sifat-sifat Jajargenjang

1) Perhatikan Gambar E.26!

Gambar E. 26

Jajargenjang ABCD diputar setengah putaran pada O,

maka:

AB→ CD

Jadi, AB=CD dan AB∥CD.

BC → DA

Jadi, BC=DA dan BC ∥DA

Karena AB¿CD dan BC ¿ DA (# dibaca sama dan

sejajar), maka dapat disimpulkan bahwa:

2) Perhatikan Gambar E.27 berikut ini!

Gambar E. 27

Pada Gambar E.27, Jajargenjang ABCD diputar setengah

putaran pada O, maka:

ABC→ CDA. Jadi, ABC=CDA .

BAD → DBC . Jadi, BAD=DBC.

Pada setiap jajargenjang, sudut-dudut yang berhadapan

sama besar.

Pada setiap jajargenjang jumlah besar sudut-sudut yang

berdekatan adalah 1800.

Karena ABC=CDA dan BAD=DBC, maka dapat

disimpulkan bahwa:

3) Pada jajargenjang ABCDGambar E.28, AB∥CD dan AD∥BC.

Gambar E. 28

Karena AB∥CD, maka:

A+D=180° (sudut dalam sepihak)

B+C=180°(sudut dalam sepihak)

Karena AD∥BC dan A dengan B maupun Cdengan D

merupakan sudut dalam sepihak, maka:

A+B=180° (sudut dalam sepihak)

C+ D=180° (sudut dalam sepihak)

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa:

4) Pada Gambar E.29, jajargenjang ABCD diputar setengah


OA →OC OB→ OD

Jadi, OA=OC.Jadi, OB=OD.

Kedua diagonal pada setiap jajargenjang saling membagi

dua sama panjang.

Gambar E. 29

Karena OA=OC dan OB=OD, maka dapat disimpulkan

sebagai berikut.

Contoh:

(1) Pada jajargenjang PQRS yang diagonal-diagonalnya

berpotongan di O, diketahui panjang PQ= 8 cm, PS= 6

cm, QS = 7 cm, dan QPS=58 °.

Gambar E. 30

Tentukanlah:

(a) Panjang QR

(b) Panjang QO

(c) Besar QRS

(d) Besar PQR

Jawab:(a)Panjang QR

QR=PS=6cm

(b) Panjang QO

QO=12

QS=12

×7=3 12

cm

(c) Besar QRS

QRS=QPS=58° (sudut yang berhadapan sama besar)(d)Besar PQR

PQR=180°−QPS=180° – 58°=122° (jumlah besar

sudut yang berpelurus adalah 180°)

c. Keliling dan Luas Jajargenjang

1) Keliling jajargenjang

Keliling bangun datar merupakan jumlah panjang sisi-

sisinya. Hal ini juga berlaku pada jajargenjang.

Gambar E. 31

Pada Gambar E.31

Keliling jajargenjang KLMN=KL+LM +MN+ KN

¿ KL+LM +KL+LM¿2(KL+LM )2) Luas Jajargenjang

Gambar E. 32

Gambar E.32(i) adalah jajargenjang dengan alas a dan

tinggi t, kemudian dipotong melalui garis tinggi t, selanjutnya

dirangkai seperti Gambar 32 (ii). Luas bangun (i) sama dengan

luas bangun (ii), sehingga luas jajargenjang (i) = a t.

Gambar E. 33


Alas jajargenjang merupakan sisi jajargenjang. Tinggi

jajargenjang tegak lurus terhadap alas.

Contoh:

Hitunglah luas jajargenjang dibawah ini!

Jawab:

Alas = 10 cm

Tinggi = 25 cm (tinggi tegak lurus terhadap alas)

Luas jajargenjang=alas tinggi¿1025¿250 cm2

4. Belah Ketupat

a. Pengertian Belah Ketupat

Pada Gambar E.34, segitiga sama kaki ABC dicerminkan

terhadap sumbu garis BC sehingga ABC dan bayangannya (A ’ BC)

membentuk segi empat ABA’ C yang disebut belah ketupat. Jadi,

belah ketupat dibentuk dari segitiga sama kaki dan bayangannya

setelah dicerminkan terhadap alas segitiga itu sebagai sumbu

simetrinya.

Gambar E. 34

Perhatikan ABC dan bayangannya yaitu A ’ BC pada Gambar

E.35. Jika ABC diimpitkan dengan A ’ BC, maka kedua bangun itu

akan saling menutupi dengan tepat. Bangun-bangun seperti itu disebut

bangun-bangun yang sama dan sebangun atau kongruen, yaitu

bangun-bangun yang memiliki bentuk dan ukuran yang sama.

Belah ketupat adalah segi empat yang mempunyai dua pasang

sisi yang sejajar dan semua sisinya sama panjang.

Semua sisi setiap belah ketupat sama panjang

b. Sifat-sifat Belah Ketupat

1) Perhatikan belah ketupat pada Gambar E.36

Gambar E. 36

∆ ABCsama dan sebangun dengan ∆ ADC, maka:

AB=AD.......................(1)

BC=CD . ......................(2)

∆ ABC sama kaki, maka AB=CB.......................(3)

∆ ADCsama kaki, maka CD=AD.......................(4)

Dari persamaan-persamaan diatas diperoleh hubungan berikut:

AB=CB ………………… (3 )BC=CD …………………(2)

CD=AD… ………………(4 )

Jadi, AB=BC=CD=AD.

2) Perhatikanlah belah ketupat ABCD pada Gambar E.37!

Kedua diagonal setiap belah ketupat merupakan sumbu

simetri.

Gambar E. 37

Segitiga sama kaki ABD kongruen dengan segitiga sama

kaki CBD, maka BD merupakan sumbu simetri belah ketupat.

Segitiga sama kaki ABC sama dan sebangun dengan

segitiga sama kaki ADC, maka AC merupakan sumbu simetri

belah ketupat. Karena AC dan BD merupakan sumbu simetri,

maka dapat disimpulkan bahwa:

3) Perhatikanlah Gambar E.38!

Pada letak 2, belah ketupat ABCD dibalik menurut sumbu

simetri BD, maka A →C , sehingga A=C.

Pada letak 3, belah ketupat ABCDdibalik menurut sumbu

simetri AC, maka B→ D, sehingga B=D.

Pada setiap belah ketupat sudut-sudut yang berhadapan

sama besar dan dibagi oleh diagonal-diagonalnya.

Gambar E. 38

Karena A=C, ÐB=D dan kedua diagonal belah ketupat

merupakan sumbu simetri, maka dapat disimpulkan bahwa:

Kedua diagonal setiap belah ketupat saling membagi dua

sama panjang dan saling berpotongan tegak lurus.

4) Perhatikan Gambar E.39!

Gambar E. 39

Pada Gambar E.39, belah ketupat ABCD diputar setengah


OA →OC , sehingga OA=OC

OB→ OD. Sehingga OB=OD

AOB=AOD=12

×1800=900 .

Karena OA=OC, OB=OD dan AOB ¿90 °, maka dapat

disimpulkan hal berikut ini.

c. Keliling dan Luas Belah Ketupat

1) Keliling Belah Ketupat

Gambar E. 40

Jika belah ketupat mempunyai sisi s maka keliling belah

ketupat adalah

K=AB+BC+CD+DAK=s+s+s+s¿4 s2) Luas Belah Ketupat

Gambar E. 41

Segiempat ABCD pada Gambar E.41 merupakan belah

ketupat. Ternyata bangun tersebut dapat dibentuk dari gabungan

segitiga sama kaki ABCdan bayangannya (DBC ) setelah diputar

12 putaran dengan pusat O. Oleh karena itu, ABCD juga

merupakan jajargenjang.

Dari uraian diatas, ternyata belah ketupat merupakan

jajargenjang. Karena belah ketupat juga merupakan jajargenjang

yang mempunyai dua pasang sisi yang sejajar dan sama panjang,

maka luas belah ketupat adalah sebagai berikut.

Perhatikan Gambar E. 42!

Gambar E. 42

Rumus lain dari belah ketupat ditunjukkan seperti berikut ini.


Gambar E. 43

Luas belah ketupat ABCD=Luas ABD+Luas BDC

¿ 12

BD × AO+ 12

BD× OC¿ 12

BD ×(AO+OC )¿ 12

BD × AC

Karena BD dan AC merupakan diagonal, maka:

Luas belah ketupat ABCD=alas× tinggi

Atau

L=a× t atau L=at

Luas belah ketupat = 12 diagonal diagonal (lainnya)

Contoh

(1) Diagonal-diagonal belah ketupat ABCD berpotongan di titik

O. Jika panjang AB=4 cm dan besar ABO=60°, tentukan:

(a) Panjang AD

(b) Besar CBD

(c) Besar BAO

Jawab:

(a) Panjang AD

AD=AB=4 cm (semua sisi sama panjang)

(b) Besar CBD

CBD=ABO=60°

(diagonal membagi sudut menjadi dua sama besar)

(c) Besar BAO

BAO=180°−(60°+90° )=30°

(diagonalnya salingberpotongantegak lurus)

(2) Pada belah ketupat PQRS, panjang diagonal PR :QS=2 :3.

Jika luas belah ketupat tersebut 27 cm2, tentukan panjang

diagonalPR!

Jawab:

Misal panjang diagonal PR=2n cm, maka panjang diagonal

QS=3 n cm.

Luas belah ketupat=12

× PR ×QS=27 12

×2 n×3n=27

3n2=27n2=273 n2=9n=3

Jadi, panjang diagonal PR = 2 3 = 6 cm.

5. Layang-layang

a. Pengertian layang-layang

Gambar E. 44

Kedua segitiga pada Gambar E.44(i) dan (ii) adalah segitiga

sama kaki yang memiliki alas yang sama panjang, yaitu BD. Jika

segitiga ABD dan CBD diimpitkan alasnya, maka terbentuk

bangun segi empat ABCD pada Gambar E.44(iii) yang disebut

layang-layang.

Layang-layang adalah segi empat dengan dua pasang sisi yang

berdekatan sama panjang.

Pada setiap layang-layang, terdapat sepasang sudut

berhadapan yang sama besar.

a. Sifat-sifat layang-layang

1) Perhatikan Gambar E. 45

Gambar E. 45

Layang-layang ABCDdibentuk dari segitiga sama kaki

ABD dan segitiga sama kaki BCD .

ABD sama kaki, maka AB=AD.

BCD sama kaki, maka BC=CD .

Karena AB=AD dan BC=BD, maka dapat disimpulkan

bahwa:

2) ABD sama kaki, maka ABD=ADB .

BCD sama kaki, maka CBD=CDB .

ABD+CBD=ADB+CDB

Jadi, ABC=ADC.

Karena ABC=ADC, maka dapat disimpulkan bahwa:

3) Perhatikan Gambar E. 46!

Pada setiap layang-layang, masing-masing sepasang sisinya

sama panjang.

Gambar E. 46

Segitiga ABD sama kaki dengan AB=AD, maka AO


Segitiga BCD sama kaki dengan BC=CD , maka OC


Karena AODdan DOC saling berpelurus, maka AC

adalah garis lurus yang merupakan sumbu simetri layang-

layang ABCD .

Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa:

4) Perhatikan Gambar E. 47!

Gambar E. 47

Layang-layang ABCD dibalik menurut sumbu simetri

AC , maka OBOD .

Jadi, OB=OD.

AOB=AOD=12

×180°=90°

Pada setiap layang-layang, salah satu diagonalnya


Karena OB=OD dan AOB=90°, maka dapat

disimpulkan bahwa:

b. Keliling dan Luas Layang-layang

1) Keliling Layang-layang

Gambar E. 48

Keliling layang-layang pada Gambar E.48 sebagai berikut.

Keliling (K )=AB+BC+CD+DA¿ x+x+ y+ y¿2 x+2 y

¿2(x+ y )

Pada setiap layang-layang salah satu diagonalnya

membagi dua sama panjang diagonal lain dan tegak lurus

dengan diagonal itu.

2) Luas Layang-layang

Perhatikan Gambar E. 49

Gambar E. 49

Diagonal AC dan BD berpotongan tegak lurus, sehingga:

Luas layang−layang ABC=Luas ABD+LuasBDC

¿ 12

BD × AO+ 12

BD× OC¿ 12

BD ×(AO+OC )¿ 12

BD × AC

Karena BD dan AC merupakan diagonal, maka:

Luas layang-layang = 12 diagonal diagonal (lainnya)

Contoh:

1) Pada layang-layang ABCD berikut, besar DAC=30° dan

CBD=40 °. Tentukan:

(a) Besar ADB(b)Besar ABC

Jawab:

(a) Besar ADB

ADB=180°−( AOD+DAC )¿180°−(90°+30°)¿60°

(b) Besar ABC

ABC=DAC¿ ADB+CBD¿60°+40°¿100°

2) Luas suatu layang-layang adalah 104 cm2. Jika panjang salah

satu diagonalnya 16 cm, hitunglah panjang diagonal yang lain!

Jawab:

Luas layang-layang = 104 cm2, maka L = 104.

Panjang salah satu diagonal = 16 cm, maka d1=16.

L=12

× d1× d2104=12

×16 × d2104=8d2d2=1048 ¿13

Jadi, panjang diagonal yang lain = 13 cm.

6. Trapesium

a. Pegertian Trapesium

Keempat segi empat pada Gambar E.51 berikut ini masing-

masing hanya memiliki sepasang sisi berhadapan yang sejajar. Segi

empat seperti itu disebut trapesium.

Gambar E.51(i) dan (ii) adalah trapesium yang keempat sisinya

tidak sama panjang disebut trapesium sembarang.

Gambar E.51(iii) adalah trapesium yang memiliki sepasang sisi

berhadapan sama panjang, disebut trapesium sama kaki.

Sedangkan Gambar E.51(iv) adalah trapesium yang memiliki

sudut siku-siku, disebut trapesium siku-siku.

b. Sifat-sifat Trapesium

Gambar E. 52

Pada trapesium ABCD Gambar E.52, AB sejajar dengan DC ¿DC),

maka diperoleh:

DAB dengan ADCadalah sudut berpelurus.

Trapesium adalah segi empat dengan tepat sepasang sisi yang

berhadapan sejajar.

Gambar E. 51

Besar DAB+ ADC = 180°

ABC dengan BCD adalah sudut dalam sepihak, sehingga

Besar ABC+BCD = 180°

Berdasarkan jawaban kegiatan siswa diatas, maka dapat disimpulkan

sifat berikut:

Catatan:

AD tidak sejajar dengan BC, maka ∠ ABC+∠BAD ≠ 180° sehingga

∠ ABC dan ∠BAD tidak berdekatan.

c. Keliling dan Luas Trapesium

1) Keliling Trapesium

Keliling trapesium ditentukan dengan cara yang sama

seperti menentukan keliling bangun datar yang lain, yaitu dengan

menjumlahkan panjang sisi-sisi yang membatasi trapesium.

2) Luas Trapesium

Gambar E. 53

Untuk menentukan luas trapesium ABCD pada Gambar

E.53(i), buatlah salah satu diagonalnya, misalnya diagonal BD

sehingga terjadi dua buah segitiga, yaitu segitiga ABD dan

segitiga BCD,

Luas trapesium ABCD=Luas ABD+Luas BCD¿ 12

a ×t + 12

b ×t

¿( 12

a+ 12

b)× t¿ 12

× (a+b ) ×t

Karena a dan b maka:

Luas trapesium = 12 jumlah sisi sejajar tinggi

Pada setiap trapesium, jumlah sudut yang berdekatan di antara

dua sisi sejajar adalah 180°.

Contoh:

Pada trapesium ABCD, panjang AB=6 cm, CD=3 cm, DE=2,6

cm, besar ÐA = 65°, dan ÐC = 130°.

Hitunglah:1) Besar B2) Besar D3) Luas ABCD

Jawab:

1) Besar B

B=180°−C¿1 80°−130°¿50°

2) Besar ÐD

D=180°−A¿1 80°−65°¿115°

3) Luas ABCD

Luas ABCD=12

× ( AB+CD )× DE¿ 12

× (6+3 )× 2,6

¿ 12

×9 × 2,6¿11,7 cm2

B. MENYELESAIKAN MASALAH YANG BERKAITAN DENGAN

SEGI EMPAT

Pada bagian ini akan dibahas mengenai soal-soal yang berhubungan

dengan keliling maupun luas pada bangun-bangun segi empat. Untuk

mempermudah menyelesaikan soal-soal tersebut dapat dilakukan dengan

membuat sketsanya.

Contoh:

a. Sebuah kebun berbentuk persegi dengan panjang sisi 9 m. Jika di

sekeliling keben tersebut akan ditanami pohon pelindung dengan

jarak anatr pohon 1,5 m, berapa batang pohon yang dibutuhkan?

Jawab:

Keliling kebun=keliling persegi¿4 sisi¿4 9¿36 m

Banyak pohon pelindung yangdibutuhkan=36 :1,5¿24 batangb. Sebuah ruangan persegi apanjang berukuran 4 m 3 m. Jika lantai

ruangan itu akan dipasangi ubin berukuran 20 cm 20 cm, berapa

keping ubin yang diperlukan?

Jawab:

Panjang ruangan = 4 m = 400 cm

Lebar ruangan = 3 m = 300 cm

Banyak ubinmenurut ukuran panjang=400:20¿20ubin

Banyak ubinmenurut ukuranlebar=300 :20¿15ubin

Jadi , banyak ubin yang diperlukan seluruhnya=20 15¿300 ubin

c. Atap sebuah rumah dari dua buah bangun berbentuk persegi

panjang yang masing-masing berukuran 9,2 m 4,5 m. Jika tiap

m2 atap tersebut membutuhkan 20 buah genteng, berapa banyakkah

genteng yang dibutuhkan untuk menutup atap rumah tersebut?

Jawab:

Luas atap seluruhnya=(9,2 4,5)2¿82,8 m2

Banyak genteng yang dibutuhkan seluruhnya

¿ luas atapbanyak gentengtiap m2¿82,8 20¿1.656 buah

segi empat - enimathematic.files.wordpress.com€¦ · web viewjajargenjang. belah ketupat....

Documents