RUANG BARIS DAN KOLOM MATRIKS,

RANK MATRIK

Disusun Untuk Memenuhi Tugas

Mata Kuliah Aljabar Linear

Dosen Pengampu : Dr. Mariani S

Disusun oleh:

Otto Manurung (0401514009)

Nugraheni Cahyaningrum (0401514011)

Purwanti Wahyuningsih (0401514014)

Khanafi (0401514039)

Rombel : Khusus_B Pendidikan Matematika S2

PENDIDIKAN MATEMATIKA

PROGRAM PASCASARJANA

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

2014

RUANG BARIS DAN KOLOM MATRIK, RANK MATRIKS

1. Ruang Baris dan Kolom Matriks

Diketahui A matriks nm .

nmmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

...

............

...

...

21

22221

11211

Ruang baris matriks terbentuk dari baris-baris A yang disebut dengan vektor-vektor baris A,

yaitu:

mnmmm

n

n

aaar

aaar

aaar

...

............

...

...

21

222212

112111

Ruang kolom matriks terbentuk dari kolom-kolom A yang disebut vektor-vektor kolom A,

yaitu:

1

21

11

1...

ma

a

a

c ,

2

22

12

2...

ma

a

a

c , ... ,

mn

n

n

n

a

a

a

c...

2

1

Definisi :

Jika A matriks nm maka ruang baris dari A adalah ruang bagian dari Rn yang dibangun

oleh vektor-vektor baris dari A, sedangkan ruang kolom dari A adalah ruang bagian dari Rm

yang dibangun oleh vektor-vektor kolom dari A.

Teorema :

Operasi baris elementer tidak mengubah ruang baris sebuah matriks.

Dari teorema tersebut, jelas bahwa ruang baris sebuah matriks A tidak berubah jika

kita mereduksi matriks tersebut kepada bentuk eselon baris. Vektor-vektor baris tak nol dari

matriks A dalam bentuk eselon baris selalu bebas linear sehingga vektor-vektor baris yang

tak nol ini membentuk sebuah basis untuk ruang baris tersebut.

Dari penjelasan tersebut muncul teorema sbb. :

Teorema :

Vektor-vektor baris yang tak nol dalam sebuah bentuk eselon baris dari sebuah matriks A

membentuk sebuah basis untuk ruang baris dari A.

Kalau kita perhatikan, ruang kolom suatu matriks A adalah sama seperti ruang baris

dari transposnya. Jadi untuk mencari basis untuk ruang kolom dari matriks A sama saja

dengan mencari sebuah basis untuk ruang baris dari At.

Contoh :

Diketahui:

4440

1523

1101

A , tentukan:

Ruang baris dan basis untuk ruang baris dari A.

Ruang kolom dan basis untuk ruang kolom dari A.

Jawab :

Ruang baris dari A adalah

4440,1523,1101 321 rdanrr

Untuk menemukan basis untuk ruang baris dilakukan OBE sampai memperoleh bentuk

matriks eselon sebagai berikut : )4(

322

)3(

21 ,2

1,

rrr .

0000

1110

1101

4440

1110

1101

4440

2220

1101

4440

1523

1101

Jadi basis untuk ruang baris dari A adalah {(1, 0, 1, 1 ), ( 0, 1, 1, -1 )}.

Ruang kolom dari A adalah

4

1

1

,

4

5

1

,

4

2

0

,

0

3

1

4321 cdanccc

Untuk menemukan basis untuk ruang kolom dilakukan OBE pada transposenya sampai

diperoleh bentuk matriks eselon baris sebagai berikut: )1(

42

)1(

322

)1(

41

)1(

31 ,,2

1,, rrrrr

000

000

210

031

420

420

210

031

411

451

420

031

Jadi basis untuk ruang kolom dari A adalah { ( 1, 3, 0 ), (0, 1, 2 ) }.

Dari contoh di atas terlihat bahwa dimensi dari ruang baris dan dimensi dari ruang

kolom dari A sama.

2. Rank Matriks

Definisi :

Dimensi ruang baris dan ruang kolom dari suatu matriks A dinamakan rank A

Rank baris dari matriks A adalah dimensi dari ruang baris matriks A. Rank kolom dari

matriks A adalah dimensi dari rang kolom matriks A. Bila rank baris sama dengan rank

kolom maka rank matriks A yaitu r(A) adalah harga atau nilai dari rank baris/rank kolom

matriks A tersebut.

Contoh:

Tentukan rank dari matriks A =

5331

3241

4132

1321

Jawab:

Untuk menentukan Rank Baris Matriks A, dengan mengunakan transformasi elementer

baris r21(-2)

(A); r31(-1)

; r41(-1)

diperoleh matriks

4610

2120

2510

1321

Baris r32(2)

; r42(1)

sehingga diperoleh matriks

61100

61100

2510

1321

Baris r43(-1)

(C);sehingga diperoleh matriks :

0000

61100

2510

1321

Baris ke 4 adalah vektor nol, jadi rank baris matriks A = 3

Dengan Cara yang hampir sama dapat digunakan secara kolom untuk menentukan rank

kolom.

A =

5331

3241

4132

1321

Kolom c21(-2)

; c31(-3)

; c41(-1)

diperoleh matriks :

4611

2121

2512

0001

Kolom c32(-5)

; c42(2)

, diperoleh matriks :

61111

61121

0012

0001

Kolom c43(6/11)

; Sehinga diperoleh matriks :

01111

01121

0012

0001

Kolom ke 4 adalah vektor nol, jadi rank kolom matriks A = 3.

Dari contoh diatas dapat disimpulkan: Rank Baris = Rank kolom.