(1) aljabar matriks - the big family of sh terate · definisi matriks suatu daftar...
TRANSCRIPT
DEFINISI MATRIKS
Suatu daftar bilangan-bilangan real atau
kompleks terdiri atas m baris dan n kolom, m
dan n bilangan bulat positip disebut matriks
ber-ordo mxn
Setiap bilangan dalam matriks disebut entri
atau elemen dari matriks itu.
Notasi untuk matriks digunakan huruf besar,
sedangkan untuk entrinya digunakan huruf
kecil.
mnmmm
n
n
ijmxn
aaaa
aaaa
aaaa
a
321
2232221
1131211
A
Bila A adalah matriks yang ber-ordo mxn,
maka A, bisa ditulis sebagai :
njmiaijmxn
,...3,2,1 ; ,...3,2,1 ;A
A
mnmmmm
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
matriks barisvektor -vektor
321
22322212
11312111
,,,,A
,,,,A
,,,,A
matriks kolomvektor vektor
2
1
)(
2
22
12
)2(
1
21
11
)1( A , ,A ,A
mn
n
n
n
mma
a
a
a
a
a
a
a
a
Transpose matriks A berordo mxn adalah
matriks At berordo nxm yang disusun sbb :
Baris 1 matriks A menjadi kolom 1 matriks At
Baris 2 matriks A menjadi kolom 2 matriks At
.....dan seterusnya…..
Baris m matriks A menjadi kolom m matriks At
TRANSPOSE MATRIKSD
E
F
I
N
I
S
I
Misalkan k skalar, A dan B matriks, At
& Bt transpose matriks A dan B, maka :
1. (At)t = A
2. (A + B)t = At + Bt
3. (k A)t = k At
4. (AB)t = Bt At
SIFAT Transpose Matriks
Matriks yang semua unsurnya sama dengan 0
disebut matriks nol [O].
nniiaaaa
2211
n
1i
disebut trace dari matriks itu.
nnaaa ,,
2211
Jika dalam suatu matriks banyaknya kolom
sama dengan banyaknya baris maka matriks
itu disebut dengan matriks bujursangkar
[Anxn]. Dalam matriks bujursangkar unsur-
unsur disebut unsur-unsur
diagonal , sedangkan
ALJABAR MATRIKS
1• Kesamaan Matriks
2• Penjumlahan Matriks
3• Perkalian Matriks
4• Perpangkatan Matriks
Matriks A dan matriks B dikatakan
sama (A=B), jika dan hanya jika
1. Kesamaan Matriks
1. Ordo matriks A = ordo matriks B
2. Semua elemen yang seletak padamatriks A dan matriks B mempunyai nilaisama aij = bij (untuk semua nilai i dan j)
Penjumlahan matriks terdefinisi jika ordo
masing-masing matriks sama dan
dilakukan dengan cara menjumlahkan
entri yang bersesuaian dalam matriks-
matriks tersebut.
njmi
babaijijijij
,,2,1dan ,2,1
)(BA)(B);(A
2. Penjumlahan Matriks
3. Perkalian Matriks
Jika A adalah matriks mxr dan B adalah
matriks rxn, maka hasilkali AB adalah matriks
mxn yang entri-entrinya ditentukan sbb :
Untuk mencari entri dalam baris i dan kolom j
dari AB, pilih baris i matriks A dan kolom j B.
Kalikanlah entri-entri yang bersesuaian dari
baris dan kolom tersebut bersama-sama dan
kemudian tambahkanlah hasil kali yang
dihasilkan.
Definisi perkalian matriks
mengharuskan bahwa banyaknya
kolom dari faktor pertama A harus
sama seperti banyaknya baris dari
faktor kedua B supaya membentuk
hasilkali AB. Jika kondisi ini tidak
dipenuhi, maka hasil tersebut tidak
dapat didefinisikan.
nkrjmi
bac
cba
n
j
jkijik
ikjkij
,,2,1;,,2,1;,2,1
)(ABC)(B);(A
1
ikc elemen baris ke i dan kolom ke k dari C
Jika A adalah suatu matriks dan k adalah
suatu bilangan real (skalar), maka hasil
kali (product) kA adalah matriks yang
diperoleh dengan mengalikan masing-
masing entri dari A oleh k.
njmi
kakkaijij
,,2,1dan ,2,1
)(Askalar );(A
Perkalian Bil. Real (Skalar) thd Matriks
Jika A adalah matriks bujursangkar (matriks
yang jumlah baris dan jumlah kolomnya
sama), maka
faktorn
1111
0
faktorn
AAA)A(A .3
IA .2
AAAA .1
nn
n
4. Perpangkatan Matriks
Misalkan A, B, C, dan O adalah matriks-matriks
yang berordo sama, maka dalam penjumlahan
matriks :
SIFAT MATRIKS 1
1. Bersifat komutatif A+B=B+A
2. Bersifat asosiatif (A+B)+C=A+(B+C)
3. Tdp matriks identitas (O) A+O=O+A=A
4. Semua matriks A mempunyai –A A+(-A)=O
Misalkan k dan l skalar, A, B, dan C matriks-matriks,
maka perkalian matriks memenuhi sifat berikut :
SIFAT MATRIKS 2
1. Tdk komutatif (kecuali matriks khusus)
2. Assosiatif (AB)C=A(BC)
3. Distributif A(B+C)=AB+AC & (A+B)C=AC+BC
4. k(AB) = (kA)B = A(kB)
5. (k A)(l B) = (k l)(AB)
6. Jika AB = O, belum tentu A=O atau B=O
7. Jika AB = AC, belum tentu B = C
Misalkan k & l skalar, A dan B matriks-matriks
berordo mxn, maka perkalian skalar dengan
matriks memenuhi :
SIFAT MATRIKS 3
1. (k + l)A = k A + l A
2. k(A+B) = k A + k B
3. k(l A) = (k l)A
4. 1A = A
5. (-1)A = -A
Jika k dan l bilangan bulat, A matriks
bujursangkar, maka
kllk
lklk
AA .2
AAA .1
SIFAT MATRIKS 4
JENIS MATRIKS
1. Matriks segitiga atas : matriks bujursangkar
dengan aij = 0 untuk setiap i > j
2. Matriks segitiga bawah : matriks bujursangkar
dengan aij = 0 untuk setiap i < j
3. Matriks diagonal : matriks yang sekaligus
matriks segitiga bawah & matriks segitiga atas
4. Matriks skalar : matriks diagonal dengan
semua elemen diagonalnya sama
JENIS MATRIKS (lanj)
5. Matriks identitas : matriks skalar dgn
elemen diagonalnya sama dengan 1
6. Matriks idempoten : matriks
bujursangkar A dengan sifat A2 = A
7. Matriks nilpoten : matriks
bujursangkar A dengan sifat Ar = 0
untuk suatu bilangan bulat r≥0
JENIS MATRIKS (lanj)
8. Matriks simetri : matriks bujursangkar
dengan sifat A = At
9. Matriks skew simetri : matriks
bujursangkar dengan sifat A = -At
CONTOH 1
Hitunglah hasil tambah dan hasil kali matriks
dengan bilangan dibawah ini.
2152
1204
0121
1- .
1322
3041
2143
2152
1204
0121
.
b
a
1474
4245
2024
1322
3041
2143
2152
1204
0121
.a
2152
1204
0121
2152
1204
0121
1- .b
CONTOH 2
Bila
34
51
23
dan
65
43
21
BA
Hitunglah matriks D sehingga A+B –D = 0
Jawab
99
14
02
34
51
23
65
43
21
0
D
BADDBA
Misal
122
251dan
201
321BA
Tentukan A+B, 3B, -2B, A+2B, 2A+B, A-B,
A-2B, B-A , At , Bt
CONTOH 3
Jawab
121
170
122
251
201
321BA
366
6153
122
25133B
043
1122
244
4102
201
3212BA
244
4102
122
25122B
320
491
122
251
402
6422 BA
323
532
122
251
201
321BA
23
02
11tA
12
25
21tB
323
532
201
321
122
251AB
445
783
244
4102
201
3212BA
Misal
30
11dan
22
11BA
Tentukan At , Bt , (A+B)t dan At+Bt , A+At B+Bt
CONTOH 4
Jawab
31
01dan
21
21tt BA
10
20)(
12
00
30
11
22
11)(
tBA
BA
10
20
31
01
21
21tt BA
41
12
21
21
22
11
tAA
61
12
31
01
30
11tBB
Hitunglah hasilkali matriks-matriks berikut
17
1
3
2
654 a.
CONTOH 5
29
20
3
2
1
651
432 c.
654
181512
12108
654
1
3
2
b.