MOMEN, KEMIRINGAN DAN KURTOSIS

1. MOMEN

Misalkan diberikan  variable  x  dengan  harga-harga:  x1,  x2,  ….,  xn.  Jika  A  =

sebuah bilangan tetap dan r = 0, 1, 2, ……., n, maka momen ke-r sekitar A, disingkat

mr, didefinisikan oleh hubungan:

(1) ……………………………

Untuk A = 0 didapat momen ke-r sekitar nol atau disingkat momen ke-r:

(2) ……………………………   

Dari rumus (2), maka untuk r = 1 didapat rata-rata x ,  Jika A =  x  kita peroleh

momen ke-r sekitar rata-rata, biasa disingkat dengan mr. Jadi didapat:

(3) …………………………...

Untuk r = 2, rumus (3) memberikan varians s2.

Untuk membedakan apakah momen itu untuk sampel atau untuk populasi, maka

dipakai simbul:

mr dan mr untuk momen sampel dan r dan r untuk momen populasi.

Jadi, mr dan mr adalah statistik sedangkan r dan r merupakan parameter.

Jika data telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi, maka rumus-rumus di

atas berturut-turut berbentuk:

(4) ………………………..

(5) ………………………..

(6) ……………………….

dengan n = fi, xi = tanda kelas interval dan fi = frekuensi yang sesuai dengan xi.

Dengan menggunakan cara sandi, rumus 4 menjadi:

(7) ………………………

dengan, p = panjang kelas interval, ci = variable sandi.

Dari      , harga-harga mr untuk beberapa harga r, dapat ditentukan berdasarkan

hubungan:

3. KEMIRINGAN

Kemiringan atau  kecondongan  (skewness)  adalah  tingkat  ketidaksimetrisan

atau kejauhan simetri dari sebuah distribusi. Sebuah distribusi yang tidak simetris akan

memiliki  rata-rata,  median,  dan  modus  yang  tidak  sama  besarnya  (  ≠  Me  ≠  Mo),

sehingga distribusi akan terkonsentrasi pada salah satu sisi dan kurvanya akan miring.

Jika distribusi memiliki ekor yang lebih panjang ke kanan daripada yang ke kiri

maka  distribusi  disebut   miring  ke  kanan  atau  memiliki  kemiringan  positif.

Sebaliknya, jika distribusi memiliki ekor yang lebih panjang ke kiri daripada yang ke

kanan maka distribusi disebut miring ke kiri atau memiliki kemiringan negatif.

Berikut  ini  gambar  kurva  dari  distribusi  yang  miring  ke  kanan  (miring

positif) dan miring ke kiri (miring negatif).

Gambar a Gambar bGambar 1

Kemiringan Distribusi (a) Miring ke kanan (b) Miring ke kiri

Untuk   mengetahui   bahwa   konsentrasi  distribusi   miring   ke   kanan  atau

miring ke kiri, dapat digunakan metode-metode berikut :

1. Koefisien Kemiringan Pearson

Koefisien Kemiringan Pearson merupakan nilai selisih rata-rata dengan modus

dibagi simpangan baku. Koefisien Kemiringan Pearson dirumuskan sebagai berikut:

Keterangan :sk = koefisien kemiringan Pearson

Apabila secara empiris didapatkan hubungan antar nilai pusat sebagai :

Maka rumus kemiringan di atas dapat diubah menjadi :

Jika nilai sk dihubungkan dengan keadaan kurva maka :

1) sk = 0 kurva memiliki bentuk simetris;

2) sk > 0 nilai-nilai terkonsentrasi pada sisi sebelah kanan ( terletak di sebelah

kanan Mo), sehingga kurva memiliki ekor memanjang ke kanan, kurva

miring ke kanan atau miring positif;

3) sk< 0 nilai-nilai terkonsentrasi pada sisi sebelah kiri (   terletak di sebelah kiri

Mo), sehingga kurva memiliki ekor memanjang ke kiri, kurva miring

ke kiri atau miring negatif.

2. Koefisien Kemiringan Bowley

Koefisien kemiringan Bowley berdasarkan pada hubungan kuartil-kuartil (Q1,

Q2 dan Q3) dari sebuah distribusi. Koefisien kemiringan Bowley dirumuskan :

Atau

Keterangan : skB =   koefisien kemiringan Bowley; Q = kuartil

Koefisien   kemiringan   Bowley   sering   juga   disebut   Kuartil   Koefisien

= = 2 ∑(   −   )

Kemiringan.Apabila nilai skB dihubungkan dengan keadaan kurva, didapatkan :

1) Jika Q3 – Q2 > Q2 – Q1 maka distribusi akan miring ke kanan atau miring secara

positif.

2) Jika Q3 – Q2 < Q2 – Q1 maka distribusi akan miring ke kiri atau miring secara

negatif.

3) skB positif, berarti distribusi miringke kanan.

4) skB negatif, nerarti distribusi miring ke kiri.

5) skB = ± 0,10 menggambarkan distribusi yang miring tidak berarti dan skB> 0,30

menggambarkan kurva yang miring berarti.

3. Koefisien Kemiringan Persentil

Koefisien Kemiringan Persentil didasarkan atas hubungan antar persentil (P90,

P50 dan P10) dari sebuah distribusi. Koefisien Kemiringan Persentil dirumuskan :

Keterangan :skP = koefisien kemecengan persentil  , P = persentil

4. Keofisien Kemiringan Momen

Koefisien  Kemiringan Momen  didasarkan  pada  perbandingan  momen  ke-3

dengan  pangkat  tiga  simpang  baku.  Koefisien  menencengan  momen  dilambangkan

dengan α3. Koefisien kemiringan momen disebut juga kemiringan relatif.

Apabila nilai α3dihubungkan dengan keadaan kurva, didapatkan :

1) Untuk distribusi simetris (normal), nilai α3= 0,

2) Untuk distribusi miring ke kanan, nilai α3 = positif,

3) Untuk distribusi miring ke kiri, nilai α3= negatif,

4) Menurut  Karl Pearson, distribusi yang  memiliki nilai α3> ±0,50 adalah distribusi

yang sangat miring

5) Menurut Kenney dan Keeping, nilai α3 bervariasi antara ± 2 bagi distribusi yang

miring.

Untuk mencari nilaiα3, dibedakan antara data tunggal dan data berkelompok.

a. Untuk data tunggal

Koefisien Kemiringan Momen untuk data tunggal dirumuskan :

α3 = koefisien kemiringan momen

b. Untuk data berkelompok

Koefisien kemiringan momen untuk data berkelompok dirumuskan :

5. KERUNCINGAN ATAU KURTOSIS

Keruncingan atau kurrtosis adalah tingkat kepuncakan dari sebuah distribusi yang

biasanya diambil secararelatif terhadap suatu distribusi normal.

Berdasarkan keruncingannya, kurva distribusi dapat dibedakan atas tiga macam,

yaitu sebagai berikut :

1)   Leptokurtik

Merupakan distribusi yang memiliki puncak relatif tinggi.

2)   Platikurtik

Merupakan distribusi yang memiliki puncak hampir mendatar

3)   Mesokurtik

Merupakan distribusi yang memiliki puncak tidak tinggi dan tidak mendatar

Bila distribusi merupakan distribusi simetris maka distribusi mesokurtik dianggap

sebagai distribusi normal.

Untuk mengetahui keruncingan suatu distribusi, ukuran yang sering digunakan

adalah koefisien kurtosis persentil.

1. Koefisien keruncingan

Koefisien keruncingan atau koefisien kurtosis dilambangkan dengan 4 (alpha 4).

Jika hasil perhitungan koefisien keruncingan diperoleh :

1) Nilai lebih kecil dari 3, maka distribusinya adalah distribusi pletikurtik

2) Nilai lebih besar dari 3, maka distibusinya adalah distribusi leptokurtik

3) Nilai yang sama dengan 3, maka distribusinya adalah distribusi mesokurtik

Untuk mencari nilai koefisien keruncingan, dibedakan antara data tunggal dan

data kelompok.

a. Untuk data tunggal

b. Untuk data kelompok

2. Koefisien Kurtosis Persentil

Koefisien Kurtosis Persentil dilambangkan dengan K (kappa). Untuk distribusi

normal, nilai K = 0,263. Koefisien Kurtosis Persentil, dirumuskan :

Contoh soal :

1. Tentukan kemiringan distribusi data berikut dengan menggunakan rumus Pearson jika diketahui data 

sebagai berikut : 8,9,8,7,6,5,4,5,6,5

Penyelesaian :

Data yang telah diurutkan :

4,5,5,5,6,6,7,8,8,9

X = 4+5+5+5+6+6+7+8+8+9

10

X = 6310

= 6,3

Med = ½ (6+6) = 6

Untuk memudahkan perhitungan standar deviasi pada data yang belum dikelompokkan maka dibuat

table distribusi sebagai berikut :

X X2

4 5

5 25

5 25

5 25

6 36

6 36

7 49

8 64

8 64

9 81

Σx = 63 Σx2 = 421

Diperoleh Σx = 63 dan Σx2 = 421S2 = nΣ X2−¿¿

= 10 (421 )−¿¿

=24190

= 2,6

maka standar deviasi (S) = √2,6 = 1,6derajat kemiringan menurut rumus pearson adalah

α = 3(X−Med )

S

= 3(6,3−6)

1,6 = 0,54

jadi α bertanda positif maka distribusi data miring kekanan.

2. Berikut ini adalah data nilai ujian statistik dari 40 mahasiswa sebuah universitas . nilai ujian statistika pada semester 2, 2009

Nilai ujian Frekuensi31 - 40 4

41 - 50 351 - 60 561 - 70 871 - 80 1181 - 90 791 - 100 2Jumlah 40

Tentukan nilai sk dan ujilah arah kemiringannya

Nilai X f u u2 fu f.u2

31 - 40 35,5 4 -4 16 -16 6441 - 50 45,5 3 -3 9 -9 2751 - 60 55,5 5 -2 4 -10 2061 - 70 65,5 8 -1 -1 -8 871 - 80 75,5 11 0 0 0 081 - 90 85,5 7 1 1 7 791 - 100 95,5 2 2 4 4 8Jumlah 40 -32 134

X = M + C ∑ fu

∑ f = 75,5 + 10 (−32

40 ) = 75,5 - 8 = 67,5

s = C √∑ fu2

n−(∑ fu

n )2

= 10 √ 13440

−(−3240 )

2

= 10 (1,62) = 16,2

Me = B + 12

n−(∑ f 2 )0fMe

C=¿60,5 + 12

(40 )−12

8 10 = 60,5 + 10 = 70,5

Mo = L + d1

d1+d2

C=¿70,5 + 4

4+510 = 70,5 + 4,44 = 74,94

Sk = X−Mo

s =

67,4−74,9416,2

=−0,46

3. Tentukanlah derajat kemiringan dari kelompok data dibawah ini: 10,5,4,7,4,6,9,8,12,11,6,10,5,4,3,13

penyelesaian :Median = Q2 = 16

Q1= nilai ke – 1(16+1)

4

= nilai ke-414

jadi,

Q1 = nilai ke-4 + 14

(nilai ke-5 – nilai ke-4)

= 4+14

(5-4)

= 4,25

Q3 = nilai ke-3(16+1)

4

= nilai ke-1234

jadi,

Q3 = nilai ke-12 + 34

( nilai ke-13 – nilai ke-12)

= 10 + 34

(10-10)

= 10maka derajat kemiringan menggunakan rumus Bowley yaitu sebagai berikut :

α= Q3+Q1−Q2

Q3−Q1

= 10+4,25−6

10−4,25 = 1,43

jadi nilai α positif, berarti distribusi data miring ke kanan.

4. Diketahui kelompok data sebagai berikut : 6,4,3,7Tentukan derajat keruncingan dari kelompok data diatas :

Penyelesaian :

X = 3+4+6+7

4 = 5

S2 = Σ ¿¿¿ = (3−5)2+¿¿ = 3,33

Jadi standar deviasi adalah S =√3,33 = 1,82

maka derajat keruncingannya adalah sebagai berikut :

α4 = 1

n S4 Σ(Xi - X )4

= 1

4 (1,824) 16+1+1+16

jadi α kurang dari 3 maka distribusi datanya mempunyai derajat keruncingan paltikurtis.

5. Diketahui kelompok data sebagai berikut :

6,9,4,3,7,8,3,5,4,3,9,7

Tentukanlah derajat kemiringan dengan menggunakan rumus Bowley :

Penyelesaian :

Median = Q2 = 5+6

2 = 5,5

Q1 = nilai ke-1(12+1)

4

= nilai ke-314

jadi , Q1 = nilai ke-3 + ¼ (nilai ke-4 – nilai ke-3)

=3+0,25 = 3,25

Q3 = nilai ke-3(12+1)

4

= nilai ke-914

jadi , Q3 = nilai ke-9 + ¼ (nilai ke-10 – nilai ke-9)

= 7+ ¾ (8-7)

=7,75

Derajat kemiringan menggunakan rumus bowley

α = Q3+Q1−Q2

Q3−Q1 =

7,75+3,25−5,57,75−3,25

= 1,22

jadi α positif yang berarti distribusi datanya miring ke kanan.

6. Tentukanlah derajat kemiringan data dibawah ini dengan menggunakan rumus Pearson :

Kelas Frekuensi

11-13 3

14-16 7

17-19 11

20- 22 17

23-25 2

Jumlah 40

Penyelesaian : untuk memudahkan distribusi derajat kemiringan maka dibuat table distribusi sebagai berikut :

Kelas F U Xi fU fU2 fU3

11-13 3 -2 12 -6 12 -24

14-16 7 -1 15 -7 7 -7

17-19 11 0 18 0 0 0

20-22 17 1 21 17 17 17

23-25 2 2 24 4 8 16

Jumlah 40 8 44 2

dari table diatas diketahui : ƒ = 40 ΣƒU = 8 Σ ƒU2 = 44 dan ΣƒU3 =2

X = Σ ƒ . Xi

Σ ƒ =

74440

= 18,6

Med = Lm + [ n2−Σ ƒi

fm ]. C= 16,5 + [ 40

2−10

11 ] .3= 19,22

Mod = Lmo + d1

d1+d2

.C

= 19,5 + 6

6+15.3 = 20,34

S2 = C2 ¿ = 32¿

= 9 . 1,08 = 9,72S = √9,72 = 3,12 Derajat kemiringan dengan menggunakan rumus pearson :

α = 1S( X−Mod )

= 1

3,12(−1,76) = - 0,59

jadi , α bertanda negative untuk menunjukkan distribusi kearah Kiri.

7. Tentukanlah derajat kemiringan dari data modal perusahaan Citra berikut ini :

Modal f

112-120 4

121-129 5

130-138 8

139-147 12

148-156 5

157-165 4

166-174 2

Penyelesaian :

Modal Xi f (Xi-X )2 f(Xi-X )2 f(Xi-X )3

112-120 116 4 601,4756 2405,9024 -59004,76

121-129 125 5 241,0256 1205,128 -187096,14

130-138 134 8 42,5156 340,6048 -2222,48

139-147 143 12 6,1256 73,5072 181,93

148-156 152 5 131,6756 658,378 7554,89

157-165 161 4 419,2256 1676,9024 34334,58

166-174 170 2 868,7756 1737,5512 51214,32

40 8098 -155037,66

dari table diatas diperoleh :n atau Σƒ = 40 Σƒ(Xi-X )2 = 8098

X = 5621

40 = 140,525

S2 = 8098

29 = 207,64

S=√207,64 = 14,4

maka derajat kemiringan dengan menggunakan rumus momen yaitu :α3 = Σƒ¿¿

=−1550,66119439,36

= -1,29

jadi α bertanda negative maka distribusi datanya miring ke kiri

8. Tentukan derajat keruncingan dari data nilai ujian bahasa inggris 50 mahasiswa Jurusan pendidikan

bahasa inggris universitas Sriwijaya adalah sebagai berikut :

Kelas Titik tengah Frekuensi

20-29 24,5 4

30-39 34,5 7

40-49 44,5 8

50-59 54,5 12

60-69 64,5 9

70-79 74,5 8

80-89 84,5 2

Jumlah 50

Penyelesaian : untuk memudahkan perhitungan derajat keruncingan pada data yang sudah dikelompokkan maka dibuat table perhitungan seperti dibawah ini :

Kelas Xi f f.Xi f(Xi-X ¿2 f(Xi-X ¿4

20-29 24,5 4 98 3457,44 2988472,8

30-39 34,5 7 241,5 2634,52 991527,9

40-49 44,5 8 356 706,88 62459,9

50-59 54,5 12 654 4,32 1,55

60-69 64,5 9 580,5 1011,24 113622,9

70-79 74,5 8 596 3394,88 1440651,3

80-89 84,5 2 169 1872,72 1753540,1

Jumlah 50 2695 13082 7350276,5

dari table diperoleh Σƒ = 50ΣƒXi = 2695Σƒ(Xi - X ) 2 = 13082Σƒ(Xi - X ) 4 = 7350276,5

S2 = 1308249

= 266,9

S = √266,9 = 16,34Maka derajat keruncingan dari data diatas adalah :

α4 = 1

n S4 Σ(Xi - X )4

= 1

50(16,34)4 7350276,5 = 2,6

jadi , α kurang dari 3 maka distribusi data mempunyai data derajat keruncingan platikurtis.

9. Tentukan keruncingan kurva dari data 2, 3, 6, 8, 11Penyelesaian

X = 6 ; s = 3,67

X X - X (X - X)4

2 -4 2563 -3 816 0 016 2 1611 5 625

Jumlah 0 978

α4 = 1n∑ ( x−x )4

s4 =

15

978

(3,67 )4 =

195,6181,4

= 1,08

karena nilainya 1,08 (lebih kecil dari 3) maka distribusinya adalah platikurtik.

10. Tentukan kemiringan kurva dari distribusi frekuensi berikut : Nilai ujian Matematika dasar I dari 111 mahasiswa, 1997

Nilai Ujian frekuensi20,00 - 29,99 430,00 - 39,99 9

40,00 - 49,99 2550,00 - 59,99 4060,00 - 69,99 2870,00 - 79,99 5

Jumlah 111

Penyelesaiankelas Q1 = kelas ke-3

Q1 = B1 + 14

n−(∑ f 1 )of Q1

c= 39,995 + 27,75−13

2510 = 45,895

Kelas Q2 = kelas ke-4

Q2 = B2 + 12

n−(∑ f 2 )of Q2

c = 49,995 + 55,5−38

4010 = 54,37

Kelas Q3 = kelas ke-5

Q3 = B3 + 34

n−(∑ f 3 ) o

f Q3

c = 59,995 + 83,25−78

2810 = 61,87

SkB = Q3−2Q2+Q1

Q3−Q1 =

61,87−2 (54,37 )+45,89561,87−45,895

= -0,06

Karena skB negatif , maka kurva miring ke kiri .

TUGAS STATISTIKAMOMENT , SKEWNESS , KURTOSIS

Oleh :

REY HASTER03091005008

JURUSAN TEKNIK MESINFAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS SRIWIJAYA2012