resume mekanika struktur i · pdf fileresume materi mata kuliah mekanika struktur i oleh :...

Resume Mekanika Struktur I

Disusun Oleh :

ANDHIKA PRAMADI

(NIM : 14/369981/SV/07488)

Kelas D1

Untuk memenuhi tugas dari Bapak Ir. Tarmono, MT

(NIP : 195401041987031001)

Universitas Gadjah Mada

Yogyakarta

Daftar Isi

Momen Inersia Penampang…………………………………….1

Contoh soal...............................................................................5

Mencari momen inersia benda dengan bidang tak simetris

menggunakan aplikasi titik berat…………………………..….………...5

Mencari momen inersia pada penampang bentuk I (Simetris).....….7

Mencari momen inersia pada penampang bentuk T………....………8

Macam- macam Tegangan………………..……….……………9

Tekanan Tarik dan Tegangan Tekan…….……….……………9

Contoh Soal……………………………………………………….……..10

PR…………………………..…………………….……………………….11

Contoh Soal………………..………………….…………...………….....12

Tekanan Puntir…………..……..………………………………….14

Contoh Soal…………………………………………………………...….15

Resume Materi Mata Kuliah Mekanika Struktur I Oleh : Andhika Pramadi ( 25/D1 ) NIM : 14/369981/SV/07488/D

Momen Inersia Penampang

Bila suatu alat mengalami bending atau puntiran maka penampang alat tersebut akan

mengalami tegangan baik tegangan bending maupun tegangan geser puntir. Untuk menghitung

tegangan-tegangan tersebut maka harus mengetahui besarnya kelembaman (inersia) dari

penampang terhadap pengaruh momen. Kelebaman tersebut disebut momen inersia

penampang.

Momen inersia penampang dapat mengalami putaran terhadap berbagai sumbu, yakni

sumbu X-X dan sumbu Y-Y.

Bila garis gaya tidak pada sumbu X-X atau sumbu Y-Y (tidak menuju titik berat

penampang) maka gaya tersebut akan mengakibatkan puntiran seperti yang dijelaskan

pada penjelasan sebelumnya tentang macam-macam tegangan. Penampang akan

berputar pada sumbu aksial batang, sehingga momen inersia penampang yang

digunakan adalah momen inersia polar (sesuai arah puntiran).

Berikut ini berbagai macam bentuk penampang yang umum beserta persamaan momen inersia

penampangnya :

Rumus :

A = bh

IXX = IX = 1

12∙ bh3

IYY = IY = 1

12∙ hb3

J = IP = IX + IY

= 1

12∙ bh(b2 + h2)

Rumus :

A =𝜋

4D2

IXX = IX = 𝜋

64D4

IYY = IY = 𝜋

64D4

J = IP = IX + IY

= 𝜋

32D4

h

b

C X

Y

C X

Y

D

1


Rumus :

A = bh – b1h1

IXX = IX = 1

12∙ bh3 −

1

12∙ b1h1

3

= 1

12(bh3 − b1h1

3)

IYY = IY = 1

12∙ hb3 −

1

12∙ h1b1

3

= 1

12(hb3 − h1b1

3)

J = IP = IX + IY

= 1

12(bh3 − b1h1

3) +1

12(hb3 − h1b1

3)

Rumus :

A = bh – 𝜋

4D2

IXX = IX = 1

12∙ bh3 −

𝜋64

D4

IYY = IY = 1

12∙ hb3 −

𝜋64

D4

J = IP = IX + IY

= (1

12∙ bh3 −

𝜋64

D4) + (

1

12∙ hb3 −

𝜋64

D4)

Rumus :

A = 𝜋

4D2 –

𝜋

4d2

IX = IY = 𝜋

64(D4 − d4)

J = IP = IX + IY

= 𝜋

32(D4 − d4)

b

b1

h1 h

h

b

D

D

d

C X

Y

C X

Y

C X

Y

2


Rumus :

A = 𝜋

4D2 – s2

IX = IY = (𝜋

64D4 − 1

12s

4)

J = IP = IX + IY

= 2 (𝜋

64D4 − 1

12s

4)

= (𝜋

32D4 − 1

6s

4)

Apabila bentuk penampang tidak simetris/ merupakan batang yang tidak sederhana,

maka sebelum mencari momen inersia penampang harus dicari terlebih dahulu titik

berat penampang tersebut. Misal penampang berbentuk leter L yang ukurannya tidak

simetris.

Untuk mencari titik berat penampang tersebut, penampang harus dipecah terlebih

dahulu menjadi beberapa bagian sehingga setiap bagian merupakan bentuk yang

mudah dicari memon inersia penampangnya.

d

s

C X

Y

C2

C1

C

Y2

f2 f1

X1

X1

Y1

X

Y

d1

d2

0 X0

Y0

Xc1

Yc1

Xc2

Yc2

XC

YC

3


Keterangan :

A1 = b1h1

A2 = b2h2

X1 = YC1 —— Y0

X2 = YC1 —— Y0

Y1 = XC1 —— X0

Y2 = XC1 —— X0

= YC ——Y0

= XC ——X0

d1 = XC1 —— XC

d2 = XC—— XC2

f1 = YC —— YC1

f2 = YC2 —— YC

Rumus :

= X1∙A1+X2∙A2

A1+A2

= Y1∙A1+Y2∙A2

A1+A2

IXC1 = 1

12∙ b1 ∙ h1

3

IXC2 = 1

12∙ b2 ∙ h2

3

IYC1 = 1

12∙ h1 ∙ b1

3

IYC2 = 1

12∙ h2 ∙ b2

3

IXC = (IXC1 + A1∙d12) + (IXC2 + A2∙d2

2 )

IYC = (IYC1 + A1∙f12) + (IYC2 + A2∙f2

2 )

X

Y

X

Y

4

Resume Materi Mata Kuliah Mekanika Struktur I Oleh : Andhika Pramadi ( 25/D1 ) NIM : 14/369981/SV/07488/D Contoh Soal!

Mencari momen inersia benda dengan bidang tak simetris menggunakan aplikasi titik berat.

A1 = 5020 = 1000 mm2

A2 = 3530 = 1050 mm2

X1 = 25 mm

X2 = 65 mm

Y1 = 10 mm

Y2 = 17.5 mm

=X1 ∙ A1 + X2 ∙ A2

A1 + A2

=25 ∙ 1000 + 65 ∙ 1050

1000 + 1050

= 45.49 mm

=Y1 ∙ A1 + Y2 ∙ A2

A1 + A2

=10 ∙ 1000 + 17.5 ∙ 1050

1000 + 1050

= 13.84 mm

Xc1

Yc1

Xc2

Yc2

XC

YC Y0

X0

C2

C

C1

80

20

30

35

d2

d1

Y1

Y2

Y

X

X1

X2

f2 f1

0

X

Y

5

Resume Materi Mata Kuliah Mekanika Struktur I Oleh : Andhika Pramadi ( 25/D1 ) NIM : 14/369981/SV/07488/D d1 = 13.84 – 10 = 3.84 mm

d2 = 17.5 – 13.84 = 3.66 mm

f1 = 45.49 – 25 = 20.49 mm

f2 = 65 – 45.49 = 19.51 mm

IXC1 = 1

12∙ 50 ∙ 203= 33.3∙103 mm4

IXC2 = 1

12∙ 30 ∙ 353= 107.1875∙103 mm4

IYC1 = 1

12∙ 20 ∙ 503

= 208.3∙103 mm4

IYC2 = 1

12∙ 35 ∙ 303

= 78.750∙103 mm4

IXC = (IXC1 + A1∙d12) + (IXC2 + A2∙d2

2 )

= (33.3 ∙ 103 + 1000 ∙ 3.842) + (107.1875 ∙ 103 + 1050 ∙ 3.662 )

= 169.2∙103 mm4

IYC = (IYC1 + A1∙f12) + (IYC2 + A2∙f2

2 )

= (208.3 ∙ 103 + 1000 ∙ 20.492) + (78.750 ∙ 103 + 1050 ∙ 19.512 )

= 1106.6∙103 mm4

6


Mencari momen inersia pada penampang bentuk I (Simetris).

Penyelesaian :

IX = {(1

12b ∙ h2) − 2 (

1

12b′ ∙ h′2)}

= {(1

12100 ∙ 1502) + 2 (

1

1245 ∙ 1302)}

= ((28125000) + 2(8238750))

= 11.65∙106 mm4

IY = {(1

12h ∙ b2) − 2 (

1

12h′ ∙ b′2)}

= {(1

12150 ∙ 1002) + 2 (

1

12130 ∙ 452)}

= {(12500000) + 2(1974375)}

= 10.53∙106 mm4

Xc1

Yc1, Yc2, Yc3, Yc

Xc2 XC

Y0

X0

100

150

10

0

C1

C3

C2

10

C

Xc3

X1

X2

X3

Y1

Y2

Y3

7

Resume Materi Mata Kuliah Mekanika Struktur I Oleh : Andhika Pramadi ( 25/D1 ) NIM : 14/369981/SV/07488/D Mencari momen inersia pada penampang

bentuk T.

Penyelesaian : Y1 = 25 mm Y2 = 87.5 mm

Y3 = 25 mm

A1 = 75 50

= 3750 mm2

A2 = 50 175

= 8750 mm2

A3 = 75 50

= 3750 mm2

ATotal = 16.25 103 mm2

= 0

=Y1 ∙ A1 + Y2 ∙ A2 + Y3 ∙ A3

A1 + A2 + A3

=25 ∙ 3750 + 87.5 ∙ 8750 + 25 ∙ 3750

3750 + 8750 + 3750

= 58.7 mm

IX0 = 2 (1

3∙ 75 ∙ 503) + (

1

3∙ 50 ∙ 753)

= 6250000 + 89322916.67

= 95.6 ∙ 106 mm4 ≈ 96∙106 mm4

IY0 = 2 ((1

3∙ 50 ∙ 1003) + (

1

3∙ 125 ∙ 253))

= 2(16666666.67 + 651041.6667)

= 34.63 ∙ 106 mm4

IX0 = IXC + ATotal( )2

IXC = I0 – ATotal( )2

= 96 ∙ 106 – 16.25 103(58.7)2

= 96 ∙ 106 − 56 ∙ 106

= 40 ∙ 106 mm4

IY0 = IYC + A( )2

IYC = IY0 – A(0)2

= IY0

= 34.63 ∙ 106 mm4 ≈ 35 ∙106 mm4

Y

X0

XC

C2

C1

C3

Y0

C

50

Y2

175

125

75

75

200

25

50

X

Y

Y

Y

X

*Catatan : Pada tipe soal seperti ini bentuk

penampang T memiliki hasil yang sama

dengan bentuk penampang ⊥(pada sumbu

putar yang sama).

8


Macam- Macam Tegangan

Tegangan Tarik dan Tegangan Tekan

Rumus:

𝜎+ =M∙y

I

𝜎− =M∙(−y)

I

ρ=R

P M M

o

garis sumbu

σ- Tekanan

σ+ Tarikan

h

b

garis netral

h/2

h/2

y–

y+

9

Resume Materi Mata Kuliah Mekanika Struktur I Oleh : Andhika Pramadi ( 25/D1 ) NIM : 14/369981/SV/07488/D Contoh Soal!

1. Hitunglah tegangan tekan dan tegangan

tarik pada penampang berikut! (Diketahui

momen pada batang yang bekerja sebesar

1 kNm).

Penyelesaian :

M = 1 kNm = 106 Nmm

y = 25 mm

IX = 1

12∙ 25 ∙ 503

= 260416,67 mm4

≈ 26 ∙ 104 mm4

𝜎+ =M ∙ y

I

=106 ∙ 25

26 ∙ 104

= 96.1 MPa

𝜎− =M ∙ (−y)

I

=106 ∙ 25

26 ∙ 104

= -96.1 N/mm2

= -96.1 MPa

2. Hitunglah tegangan tarik 10 mm dari

bawah benda berikut! (Diketahui momen

pada batang yang bekerja sebesar 1 kNm).

Penyelesaian :

M = 1 kNm = 106 Nmm

y = 15 mm

IX = 1

12∙ 25 ∙ 503

= 260416,67 mm4

≈ 26 ∙ 104 mm4

𝜎+ =M ∙ y

I

=106 ∙ 15

26 ∙ 104

= 57.6 N/mm2

= 57.6 MPa

50

25

50

25

10

10

Resume Materi Mata Kuliah Mekanika Struktur I Oleh : Andhika Pramadi ( 25/D1 ) NIM : 14/369981/SV/07488/D 3. Hitunglah tegangan tarik pada benda

batang dan penampang berikut!

Penyelesaian :

M = RA ∙ 200

= 100 ∙ 200

= 20000 kNmm

M = 20 ∙ 106 Nmm

y = 100 mm

I = 𝜋

64∙ d4

= 𝜋

64∙ 2004

= 78.5 ∙ 106 mm4

𝜎+ =M ∙ y

I

=20 ∙ 106 ∙ 100

26 ∙ 104

= 25.47 N/mm2

≈ 25.5 MPa

PR!

1. Hitunglah tegangan tekan dan tegangan

tarik maksimum!

Penyelesaian :

M = RA ∙ 5

= 1 ∙ 5

= 5 kNm

M = 5 ∙ 106 Nmm

y = 75 mm

*Momen Inersia didapat dari soal sebelumnya

I = 11.65 ∙ 106 mm4

𝜎+ =M ∙ y

I

=5 ∙ 106 ∙ 75

11.65 ∙ 106

= 32.1889 N/mm2

≈ 32 MPa

𝜎− = -32 MPa

P2 = 100 kN

D C

P1 = 100 kN

A B

RA RB

200 200

100 kN 100 kN

d = 200 mm

5 m

A B

RA

1 kN

P = 1 kN

10

150

100

10

11

Resume Materi Mata Kuliah Mekanika Struktur I Oleh : Andhika Pramadi ( 25/D1 ) NIM : 14/369981/SV/07488/D 2. Hitunglah tegangan tarik maksimum dan

tegangan tekan pada jarak 25 mm dari

permukaan atas!

Penyelesaian :

Q = q ∙ L

= 10 ∙ 3

= 30 kN

Menghitung Momen :

MA = MB = 0 kNm

MC = 1

8∙ q ∙ L2

= 1

8∙ 10 ∙ 32

= 11.25 kNm

Maka, M = 1125 ∙ 104 Nmm

y = 75 mm (Maksimum)

-y = 50 mm (Untuk Tegangan pada

jarak 25 mm dari permukaan atas bidang)

IX = 1

12∙ 75 ∙ 1503

= 21093750 mm4

≈ 21 ∙ 106 mm4

𝜎+ =M ∙ y

I

= 1125∙104∙75

21 ∙ 106

= 40.18 N/mm2

≈ 40 MPa

𝜎− =M ∙ (−y)

I

= 1125 ∙ 104 ∙ 50

21 ∙ 106

= 26.79 N/mm2

≈ 27 MPa

Contoh Soal!

4. Hitunglah tegangan tarik benda berikut!

Penyelesaian :

M = 5 kNm = 5 ∙ 106 Nmm

y = 37.5 mm

IX = 1

12∙ 50 ∙ 753

= 1.76 ∙ 106 mm4

Q = 30

kN

FAC=1/2Q

C

D

q =10 kN/m

A B

L = 3 m

RA RB

150

75

5 m

A B

RA

1 kN

P = 1 kN

75

50

12


𝜎+ =M∙y

I

=5 ∙ 106 ∙ 37.5

1.76 ∙ 106

= 106.5 N/mm2 MPa

= 106.5 MPa

13

Resume Materi Mata Kuliah Mekanika Struktur I Oleh : Andhika Pramadi ( 25/D1 ) NIM : 14/369981/SV/07488/D Tegangan Puntir

-Rumus Tegangan Puntir-

𝜏 = T ∙ r

J

T = Ft d

2

J = π

32 d4

J = π

32∙ (d0

4 − d𝑖 4)

J = IP = 1

12∙ b ∙ h(b2 + h2)

r = √(b

2)

2+ (

h

2)

2

Keterangan :

T = Torsi/ Twisting Moment/ Torque/ Momen Puntir….(Nmm)

J = IP = Ix + IY ……………………………………………...(mm4)

r = Jarak dari Sumbu……………………………………..(mm)

r = d/2, Untuk Lingkaran…………………………………..(mm)

τ = Tegangan Puntir…………………………………..(N/mm2)

d

Ft

Solid Shaft

Hollow Shaft

do

di

r

h

b

14


do

di

Contoh Soal!

1. Hitunglah tegangan puntir dengan torsi

sebesar 9.55 kNm dengan penampang

berikut!

Penyelesaian :

T = 9.55 kNm = 9.55 106 Nmm

d = 48.7 mm

𝜏 = T ∙ r

J

𝜏 = T ∙

d2

π32 ∙ d4

𝜏 = 16 ∙ T

π ∙ d3

𝜏 = 16 ∙ T

π ∙ d3

𝜏 = 16 ∙ 9.55 ∙ 106

π ∙ 48.73

𝜏 = 421.1 N/mm2

𝜏 = 421.1 MPa

2. Hitunglah tegangan puntir dengan torsi

9.55 kNm dengan penampang yang

memiliki dua buah diameter dengan

perbandingan diameter dalam dan luar

yakni 1 : 2! (d0 = 48.6 mm)

Penyelesaian :

T = 9.55 kNm = 9.55 106 Nmm

d0 = 48.6 mm

di = 24.3 mm

𝜏 = T ∙ r

J

𝜏 = T ∙ (

d0 − di

2 )

π32 ∙ (d0

4 − di4)

𝜏 = 16 ∙ T ∙ (d0 − di)

π ∙ (d02 + di

2) ∙ (d02 − di

2)

𝜏 = 16 ∙ T ∙ (d0 − di)

π ∙ (d02 + di

2) ∙ (d0 + di) ∙ (d0 − di)

𝜏 = 16 ∙ T

π ∙ (d02 + di

2) ∙ (d0 + di)

𝜏 = 16 ∙ 9.55 ∙ 106

π ∙ (48.62 + 24.32) ∙ (48.6 + 24.3)

𝜏 = 225.98 N/mm2

𝜏 = 225.98 MPa

48.7 mm

T

do

di

15

resume mekanika struktur i · pdf fileresume materi mata kuliah mekanika struktur i oleh :...

Documents