Rasio Estimasi (Bab 7)

Handout ini meliputi ide dasar di balik estimasi rasio, memberikan bentuk dan sifat

dari estimator yang relevan, membandingkan estimasi rasio dengan metode estimasi lainnya dipelajari,

dan memberikan beberapa contoh yang menggunakan estimasi rasio.

Contoh: Mempertimbangkan kembali contoh pertanian di mana kita tertarik untuk memperkirakan:

1. total penduduk ¿= total # pekerja, dan

2. mean populasi ¹ = rata-rata # pekerja per peternakan.

Pada bagian terakhir, kami menggunakan ukuran \ "sebagai variabel tambahan dalam tahap desain penelitian

di mana kami menggunakan PPS sampling untuk memilih peternakan. Ini tidak hanya nyaman (karena kita

tidak memiliki daftar semua peternakan dari mana untuk menarik SRS), tetapi menguntungkan

karena jumlah pekerja berkorelasi positif dengan ukuran. The Hansen-Hurwitz

estimator berdasarkan sampel PPS memiliki varians lebih kecil daripada estimator didasarkan pada SRS

jika ada hubungan positif yang kuat antara variabel ukuran dan variabel respon

(Lihat handout terpisah tentang bagaimana PPS pengambilan sampel tidak relatif terhadap SRS untuk data pertanian).

Cara lain kita bisa menggunakan variabel bantu \ ukuran "adalah dalam tahap estimasi, setelah

kami telah mengumpulkan data dari SRS. Kita bisa melakukan ini adalah melalui estimator ratio. Seperti

PPS sampling, estimator rasio menguntungkan hanya jika ada hubungan positif yang kuat-

kapal antara variabel tambahan dan variabel respon. Speci ¯ Cally, estimasi rasio

optimal ketika ada hubungan linear melalui asal antara dua variabel.

Sangat penting untuk dicatat bahwa dalam rangka untuk menggunakan variabel x tambahan dalam estimator ratio

untuk memperkirakan ¿¹ atau untuk variabel y, maka kita perlu tahu ¿x, total nilai x untuk

Seluruh penduduk. Estimasi rasio karena itu umumnya digunakan ketika variabel tambahan

adalah variabel yang mudah diukur pada seluruh penduduk sedangkan variabel respon

lebih sulit untuk mengukur dan diperoleh dari hanya SRS dari populasi. Beberapa situasi

di mana estimasi rasio mungkin bene ¯ finansial adalah:

Biarkan ² x = lingkar pohon, dan y = volume pohon

Biarkan ² x = total # hewan di sebidang tanah, dan y = # dari yang betina.

Biarkan ² x = volume total dari jarak of ¯ sh, dan y = jumlah ¯ sh di haul tersebut.

Biarkan ² x = perkiraan visual dari% dari beberapa penutup tanah, dan y =% yang sebenarnya dari beberapa

penutup tanah.

Contoh 1: Perhatikan situasi kedua di atas, di mana penduduk terdiri dari N = 20

bidang tanah, dan kami mengambil SRS n = 7 plot, menghitung jumlah hewan dan

jumlah perempuan atas 7 plot. Selain itu, kami juga menghitung jumlah hewan pada semua

31

20 plot, tanpa mengetahui apa jenis kelamin mereka karena mungkin mudah untuk menghitung jumlah

hewan di plot, tapi sulit untuk mengidentifikasi yang perempuan. Asumsikan semua plot yang sama dalam

ukuran. Minat utama di sini adalah dalam memperkirakan baik:

¹ y = jumlah rata-rata perempuan per petak tanah, atau

¿Y = jumlah perempuan = N ¹:

Variabel Respon: yi = jumlah hewan betina pada plot i, i = 1; :::; N,

Auxiliary Variable: xi = jumlah total hewan di plot i, i = 1; :::; N.

Data untuk SRS ukuran 7 diberikan ke kanan:

xi yi yi = xi

10 7 .7

18 12 .67

10 4 .4

12 6 .5

25 19 .76

15 7 .467

10 5 .5

1. Pertama, perkiraan ¹ y; ¿y tanpa menggunakan variabel tambahan:

y =

60

7

= 08:57, s = 5:26; DSE (y) =

sμ

N ¡n

N

¶

s2

n

= 1:60;

b ¿y = Ny = 20 (08:57) = 171:4; SE (b ¿y) = NSE (y) = 32:0:

² Perkiraan ini kemudian akan dibandingkan dengan yang diperoleh melalui estimasi rasio.

2. Memperkirakan proporsi keseluruhan perempuan di semua 20 plot: Sejak yi adalah jumlah fe-

laki-laki dalam plot i dan xi adalah jumlah hewan dalam plot i, maka untuk memperkirakan proporsi

perempuan, kita melihat rasio yi = xi.

² Kami mungkin mempertimbangkan kemudian mengambil rata-rata dari rasio dari sampel. Apa saja

masalah dengan hal ini?

² Lebih baik untuk mengambil rasio berarti, dibandingkan rata-rata rasio.

De ¯ nition: Rasio penduduk R dan r sampel rasio yang diberikan masing-masing sebagai:

R =

¿Y

¿X

=

¹ y

¹ x

; R =

P

yi P

xi

=

y

x

:

² Diharapkan nilai r: E (r) = 6

E (y)

E (x)

=

¹ y

¹ x

= R, sehingga secara umum, r bukanlah objektif

estimator R. Untuk kebanyakan kasus, bagaimanapun, bias kecil.

² Varians dari r: varians ini didekati dengan:

Var (r) ¼

μ

N ¡n

N

¶

1

¹ 2

x

¢

¾ 2

r

n

mana ¾ 2

r =

1

N ¡1

XN

i = 1

(Yi ¡RXi) 2;

32

dengan varians perkiraan yang diberikan oleh:

dVar (r) =

μ

N ¡n

N

¶

1

¹ 2

x

¢

s2r

n

mana s2r

=

1

n ¡1

Xn

i = 1

(Yi ¡RXi) 2:

Sampel berarti x dapat digunakan di tempat ¹ x dalam ekspresi di atas jika ¹ x adalah tidak

dikenal.

² pendekatan ini didasarkan pada serangkaian ekspansi Taylor dari rasio y = x dan akan

akan dibahas kemudian.

² Ketika akan varians ini menjadi kecil?

² Biasanya, karena r estimasi R rasio populasi bias, kita akan menggunakan

MSE (r) = Var (r) + Bias2 (r) untuk membandingkan estimator rasio untuk estimator lainnya.

Namun, bias kuadrat umumnya sangat kecil, sehingga sering diabaikan.

Ingat tabel hewan Perhitungan diberikan sebelumnya, dan mempertimbangkan tabel di bawah ini ditambah

untuk menghitung rasio estimasi dan varians nya:

xi (# binatang) yi (# betina) RXi (yi ¡RXi) 2

10 7

18 12

10 4

12 6

25 19

15 7

10 5

33

² Daripada Vadr (r), mengapa tidak akan kita hanya menggunakan sampel pb proporsi = 60 = 100 =

00:06 dan kesalahan standar berdasarkan rumus SRS?

SE (bp) =

sμ

N ¡n

N

¶ bp (1 ¡bp)

n ¡1

=

sμ

N ¡100

N

¶

: 60 (1 ¡: 60)

100 ¡1

¼: 0416 (N = 350 dengan):

{Ini mengasumsikan kami telah mengambil SRS dari 100 hewan, yang tidak benar. Apa

jenis sampel hewan telah kita diambil?

² Dalam melihat bentuk standard error dari estimator dari r, harus

jelas bahwa estimator akan \ baik "ketika yi ¡RXi adalah \ kecil." Jika yi = RXi,

maka ada hubungan linear antara y & x melalui titik asal.

² ini tampaknya wajar untuk hewan / betina contoh, seperti untuk 0 hewan ada

akan 0 betina. Dan sebagai meningkatnya jumlah hewan, kita akan mengharapkan

jumlah perempuan meningkat secara linear dengan itu.

² Kami bisa, dan harus, menguji hubungan antara x dan y untuk sampel kami dengan

sebar a.

3. Rasio Pengukur of ¹ y

² Seperti yang telah dilakukan di bagian rst ¯ dari contoh ini, y adalah perkiraan (SRS) naif ¹.

² Misalkan kita diberikan:

x = # berarti hewan per plot pada sampel

¹ x = # berarti hewan per plot pada seluruh populasi

y = berarti jumlah perempuan per plot pada sampel

² Gagasan estimator ratio adalah \ menyesuaikan "y estimator naif menggunakan relativitas

tionship antara y & x. Ingat bahwa R = ¹ y = x ¹ sehingga

¹ y =

Ã

¹ y

¹ x

!

¹ x = R ¹ x:

Kami mengganti R oleh estimator yang r = y = x untuk memberikan estimator dari mean populasi

¹ y (rata-rata # betina per plot):

b ¹

r = r ¢ ¹ x = y ¢

¹ x

x

;

dengan varian yang sesuai dan varians estimasi yang diberikan oleh:

Var (b ¹

r) =

=

dVar (b ¹

r) =

μ

N ¡n

N

¶

s2r

n

; Mana s2r

=

1

n ¡1

Xn

i = 1

(Yi ¡RXi) 2:

34

² Perhatikan bahwa kita perlu tahu ¹ x untuk menggunakan estimasi rasio untuk meningkatkan perkiraan

¹ y.

² Sebuah estimator alternatif varians diberikan sebagai persamaan (7) pada halaman 69 dari

teks. Ini estimator alternatif yang lebih kuat dengan nilai x dari varians

estimator yang diberikan di atas.

² Perhatikan bahwa varians estimasi b ¹

r diberikan di atas memiliki bentuk yang sama dengan es-

varians timated dari y (estimator konvensional dari mean), kecuali bahwa s2 adalah

digantikan oleh s2r

. Ini berarti bahwa setiap kali s2r

lebih kecil dari s2, rasio Estima-

tor akan unggul estimator SRS-berbasis konvensional. Ketika ini akan menjadi

benar?

4. Rasio Pengukur of ¿y

Karena total populasi ¿y = N ¹ y = NR ¹ x = R ¿x, estimator penduduk

total (jumlah total dari perempuan) diberikan oleh:

b ¿r = r ¢ ¿x =

y

x

¿X (di mana x ¿diasumsikan diketahui);

dengan varian yang sesuai dan varians estimasi yang diberikan oleh:

Var (b ¿r) = N2Var (b ¹

r) = N (N ¡n)

¾ 2

r

n

, DVar (b ¿r) = N (N ¡n)

s2r

n

;

mana s2r

diberikan sebelumnya. Misalkan ¿x = 350 (total # hewan). Kemudian:

b ¿r = r ¢ ¿x = (: 6) (350) = 210 perempuan: (Dengan SRS, b ¿= 171:4):

dVar (b ¿r) = N (N ¡n)

s2r

n

= 20 (20 ¡7)

4:813

7

= 178:77; sehingga:

SE (b ¿r) =

p

178:77 = 13:37: (Dengan SRS, SE (b ¿) = 32.0):

² Perbandingan kesalahan standar untuk y dan perkiraan rasio menekankan

keuntungan yang bisa didapat dengan estimasi rasio ketika respon dan variabel tambahan

yang berhubungan linier melalui titik asal.

35

Contoh 2: Dalam sebuah penelitian untuk memperkirakan kadar gula total dari truk jeruk, sebuah

sampel acak dari n = 10 buah jeruk yang dijus dan ditimbang. Data untuk 10 jeruk

diberikan dalam tabel di bawah ini dan ditampilkan dalam plot kadar gula terhadap berat badan. Jumlah

Gula Konten Berat Orange

Orange (dalam pound) (dalam pound)

1 .021 .40

2 .030 .48

3 .025 .43

4 .022 .42

5 .033 .50

6 .027 .46

7 .019 .39

8 .021 .41

9 .023 .42

10 .025 .44

X10

i = 1

yi =: 246

X10

i = 1

xi = 4:35 0,40 0,42 0,44 0,46 0,48 0,50

0,020 0,024 0,028 0,032

Oranye Berat

Gula Konten

Gula Konten vs Berat - Contoh Jeruk

berat semua jeruk, diperoleh rst ¯ berat truk dimuat dan kemudian dibongkar, adalah

ditemukan £ 1800. Perkiraan ¿y, kandungan gula total untuk jeruk, dan tempat

terikat pada kesalahan estimasi. Dalam contoh ini, kandungan gula dari jeruk (y) adalah

respon dan berat jeruk (x) adalah variabel tambahan.

² Perhatikan bahwa jika kita mengabaikan berat variabel tambahan di sini, kita tidak dapat memperkirakan total

kadar gula ¿y seperti yang diminta menggunakan ide dasar SRS, karena kita tidak tahu pop-

modulasi ukuran N = total # jeruk. (Yaitu: estimator biasa ¿y adalah: b = ¿Ny, namun

di sini kita tidak tahu N).

² sini kemudian, adalah kasus di mana kita harus menggunakan estimator ratio.

² Apa yang kita ketahui?

² Varians diperkirakan b ¿r adalah: dVar (b ¿r) = N (N ¡n)

s2r

n

. Setiap masalah di sini?

Apa yang kita lakukan?

36

Computing:

r =

y

x

=

P

yi P

xi

=

: 246

04:35

=: 05655;

s2r

=

1

n ¡1

Xn

i = 1

(Yi ¡RXi) 2 =

1

9

[(: 021 ¡: 05655 (: 40)) 2 + ¢ ¢ ¢ + (: 025 ¡: 05655 (: 44)) 2]

= (: 00.241) 2;

dVar (b ¿r) = 2 ¿

x

dVar (r) ¼ (1800) 2 1

(: 435) 2

(: 00.241) 2

10

= 9:949 =) SE (b ¿r) = 03:15 pound:

² Sebuah 95% perkiraan con ¯ dence Interval untuk kadar gula total ¿y adalah:

b ¿r § t9 (: 975) ¢ SE (b ¿r) = 101:79 § (2:262) (3:15) = (94:66; 108:92) pon

Baru! Klik kata di atas untuk mengedit dan melihat terjemahan alternatif. Tutup

Google Terjemahan untuk Bisnis:Perangkat Penerjemah