rangkuman irisan 2 lingkaran

7/23/2019 Rangkuman Irisan 2 Lingkaran

1/12

1. Persamaan Lingkaran

Gambar 2. memperlihatkan irisan kerucut berbentuk lingkaran. Pada gambar itu tampak bahwa

bidang datarnya mengiris seluruh bagian dari selimut dan tegak lurus sumbu kerucut.

Gambar 2. Irisan kerucut berbentuk lingkaran.

Tentunya, Anda masih ingat definisi lingkaran yang telah dipelajari di SMP. Agar Anda ingat kembali,

berikut ini disajikan definisi lingkaran.

Pengertian ingkaran !

ingkaran adalah tempat kedudukan titik"titik yang mempunyai jarak yang sama terhadap satu titik

tertentu.

1.1. Persamaan Lingkaran Berpusat di O (0, 0) dan Berjari-jari r

Amati Gambar #.


2/12

Gambar 3. Lingkaran Berpusat di O (0, 0) dan Berjari-jari r.

$iketahui, titik P%&, y' adalah titik sebarang pada lingkaran . Apabila titik P dipr(yeksikan pada

sumbu"& maka diper(leh titik P) sehingga segitiga *PP) adalah segitiga siku"siku di P).

Pada segitiga *PP) berlaku Te(rema Pythag(ras sebagai berikut.

*P2 + %*P)'2 %P)P'2

r2 ! "2 # $2

ingkaran dapat dituliskan sebagai berikut.

L! -%&, y' &2 y2 + r2/

Pandang titik %&("&, $&) pada 'O%&%&.Pada segitiga tersebut berlaku "&2 # $&

2 ! r&2.

Pandang titik %2("2, $2) pada 'O%2%2.Pada segitiga tersebut berlaku "22 # $2

2 ! r22,dan

seterusnya. Secara umum untuk setiap titik P%&, y' pada lingkaran ini berlaku "2 # $2 ! r2.

0adi, persamaan lingkaran yang berpusat di *%1, 1' dan berjari"jari r adalah !

x2 + y2 = r2.

Contoh Soal 1

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di %1, 1' dengan panjang jari"jari .

Pemahasan 1


3/12

0ari"jari r + sehingga + 2.

0adi, persamaan lingkaran berpusat di %1, 1' dengan jari"jari adalah "2 # $2 + 2.

Contoh Soal !

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik %1, 1' dan melalui titik %34, 35'.

Pen"elesaian !

Persamaan lingkaran berpusat di %1, 1' dengan jari"jari r adalah !

"2 # $2 ! r2 .... %'

*leh karena lingkaran melalui titik %34, 35' maka dengan mensubstitusikan %34, 35' pada persamaan

%', diper(leh !

"2 # $2 ! r2

(*)2 # (+)2 ! r2

r2 + #4 46 + 11

.r + +1

7emudian, r2 + 11 substitusikan pada persamaan %', diper(leh "2 # $2 + 11.

0adi, persamaan lingkarannya adalah "2 # $2 + 11.

1.!. Persamaan Lingkaran dengan Pusat # (a, ) dan Berjari-$ari r

$iketahui, sebuah lingkaran berpusat di titik T%a,b' dengan jari"jari r seperti diperlihatkan pada

Gambar 6.


4/12

Gambar . Lingkaran dengan %usat (a, b) dan Berjari-ari r.

Titik P%&, y' adalah titik sebarang pada lingkaran, garis g adalah garis yang melalui titik pusat T%a, b'

dan sejajar dengan sumbu"&. Pr(yeksi titik P terhadap garis g adalah titik 8 sehingga segitiga TP8

siku"siku di 8.

$iketahui jarak T8 + %& 3 a' dan jarak P8 + %y 3 b'. Pada segitiga TP8 berlaku te(rema Pythag(ras

sebagai berikut.

%2 ! /2 # %/2 r2 ! (" a)2 # ($ b)2

ingkaran dapat dituliskan sebagai berikut!

L 1(", $)(" a)2 # ($ b)2 ! r2

0adi, persamaan lingkaran yang berpusat di T%a, b' dan berjari"jari r adalah !

(" a)2 # ($ b)2 ! r2

Selanjutnya, persamaan tersebut dinamakan persamaan lingkaran standar %baku'.

Contoh Soal %

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di %2,3' dengan jari"jari .

$a&aan %

Persamaan lingkaran standar (" a)2 # ($ b)2 ! r2


5/12

9ntuk pusat %2,3' dengan jari"jari , diper(leh !

(" 2)2 # ($ (&))2 ! (" 2 )2 # ($ # &)2 ! &+

0adi, persamaan lingkarannya adalah (" 2 )2

# ($ # &)2

! &+.

Contoh Soal '

Tentukan persamaan lingkaran standar dengan pusat T %#,36' dan menyinggung garis 6& 3 #y 3 6: +1.

Pen"elesaian '

;umus jarak dari titik T ("&, $&)ke garis a& by c + 1 adalah !

0arak dari pusat T %#,36' ke garis 6& 3 #y 3 6: + 1 adalah jari"jari lingkaran, yaitu !

0adi, persamaan lingkarannya adalah !

(" 3)2 # ($ # )2 ! 2.

1.%. Bentuk mum Persamaan Lingkaran

Anda telah mempelajari persamaan lingkaran yang berpusat di titik T %a, b' dengan jari"jari r, yaitu !

(" a)2 # ($ b)2 ! r2

0ika persamaan tersebut diuraikan maka diper(leh !

&2 3 2a& a2 y2 3 2by b2 + r2

&2 y2 3 2a& 3 2by %a2 b2 3 r2' + 1

"

2

# $

2

# 4" # B$ # 5 ! 0


6/12

dengan A + 32a< = + 32b< dan > + %a2 # b2 r2'< A, =, dan > bilangan real. 0adi,

"2 # $2 A& =y > + 1

adalah persamaan lingkaran yang berpusat di T%a, b' dengan jari"jari r, A + 32a, = + 32b, > + a

2

b

2

3r2, A, =, dan > bilangan real.

>(balah Anda ubah persamaan lingkaran "2 # $2 A& =y > + 1 ke dalam bentuk kuadrat

sempurna. Tuliskan langkah"langkahnya di buku tugas Anda, kemudian kumpulkan pada guru Anda.

0ika bentuk umum persamaan lingkaran itu diubah dalam bentuk kuadrat sempurna maka diper(leh !

"2 # $2 A& =y > + 1

%"2 A&' %$2 =y' + 3 >

$ari persamaan tersebut, diper(leh pusat lingkaran dan jari"jari

lingkaran

Contoh Soal

Tentukan pusat dan jari"jari lingkaran "2 # $23 6& 4y 3 # + 1.

$a&aan

=entuk umum persamaan lingkaran adalah !

"2 # $2 A& =y > + 1

$engan demikian, A + 36, = + 4, dan > + 3#.


7/12

Contoh Soal *

Tentukan pusat dan jari"jari lingkaran 2"2 2$23 6& 32y + 1.

Pen"elesaian *

9bahlah persamaan pada s(al menjadi bentuk umum, seperti berikut.

2"2 # 2$2 " &2$ &0& ! 0 ? &2 y2 3 2& 3 4y 3 % ' + 1

$engan demikian, A + 32, = + 34, dan > + 3 % '

1.'. Posisi #itik terhadap Lingkaran

=entuk ge(metris persamaan lingkaran (" 2)2 # ($ 2)2 ! 6diperlihatkan pada Gambar @.

Gambar . Bentuk ge7metris persamaan lingkaran (" 2)2# ($ 2)2 ! 6.

Pada gambar itu tampak bahwa titik %& %, #' terletak di dalam lingkaran, titik %2%@, 2' terletak pada

lingkaran, sedangkan titik %3%4, 3#' terletak di luar lingkaran.


8/12

Anda dapat mengetahui p(sisi titik P%"&, $&' terhadap lingkaran yang berpusat di T%a, b' berjari"jari r

hanya dengan mengetahui jarak titik P%"&, $&' ke pusat lingkaran T%a, b'.

Gambar *. %7sisi titik %("&, $&) ter8adap lingkaran $ang berpusat di (a, b) berjari-jari r.

0ika jarak titik P%"&, $&' ke pusat lingkaran T%a, b' kurang dari jari"jari lingkaran maka titik P%"&, $&'

berada di dalam lingkaran seperti diperlihatkan pada Gambar 4%a'. Secara matematis ditulis PT B r

%&3 a'2 %y3 b'

2 B r2 atau,

"&2 # $&

2 # 4" B$ 5 9 0

0ika jarak titik P%"&, $&' ke pusat lingkaran T%a, b' sama dengan jari"jari lingkaran maka titik P% "&, $&'

berada pada lingkaran seperti diperlihatkan pada Gambar 4%b'.


9/12

Secara matematis, ditulis PT + r

%&3 a'2 %y3 b'

2 + r2 atau,

"&2 # $&

2 # 4" B$ 5 ! 0

0ika jarak titik P%"&, $&' ke pusat lingkaran T%a, b' lebih dari jari"jari lingkaran maka titik P%"&, $&'

berada di luar lingkaran seperti diperlihatkan pada Gambar 4%c'.

Secara matematis ditulis PT C r

%&3 a'2 %y3 b'

2 C r2 atau,

"&2 # $&

2 # 4" B$ 5 C0

Contoh Soal +

Tentukanlah p(sisi titik A%@, ', =%6, 36', dan >%4, #' terhadap lingkaran dengan persamaan "2 # $23

6& 4y 3 2 + 1.

$a&aan +

Persamaan lingkaran "2 # $23 6& 4y 3 2 + 1 dapat diubah sebagai berikut.

&2 y2 3 6& 4y 3 2 + 1

%&2 3 6&' %y2 4y' 3 2 + 1

%&2 3 6& 6' %y2 4y :' 3 2 + 1 6 : ... kedua ruas ditambah 6 dan :

%& 3 2'2 %y #'2 3 2 + #

(" 2)2 # ($ # 3)2 ! 2

Titik A %@, ' terletak pada lingkaran sebab ( 2)2 # (& # 3)2 ! 2.

Titik = %6, 36' terletak di dalam lingkaran sebab !

( 2)2 # ( # 3)2 9 2.

Titik > %4, #' terletak di luar lingkaran sebab !

(* 2)2 # (3 # 3)2 : 2.

1.. Posisi aris terhadap Lingkaran


10/12

$iketahui garis g! y + m& n, dan lingkaran !

L "2 # $2 # 4" # B$ # 5 ! 0.

Perp(t(ngan garis g dengan lingkaran adalah !

&2 y2 A& =y > + 1

&2 %m& n'2 A& = %m& n' > + 1

&2 m2&2 2mn& n2 A& =m& =n > + 1

(& # m2)"2 # (2mn # 4 # Bm)" # n2 # Bn # 5 ! 0

Dilai diskriminan persamaan kuadrat tersebut adalah !

$ + b2 3 6ac; ! (2mn # 4 # Bm)2 (& # m2) (n2 # Bn # 5)

0ika $ C 1, diper(leh dua buah akar real yang berlainan.

Secara ge(metris, garis g! y + m& n akan mem(t(ng lingkaran &2 y2 A& =y > + 1 di dua titik

yang berlainan, seperti pada Gambar E%a'.

0ika $ + 1, diper(leh dua buah akar real yang sama.

Secara ge(metris, garis g! y + m& n akan mem(t(ng lingkaran &2 y2 A& =y > + 1, di satu

titik. $ikatakan garis g menyinggung lingkaran tersebut, seperti diperlihatkan pada Gambar E%b'.

0ika $ B 1, diper(leh dua buah akar imajiner yang berlainan. Secara ge(metris, garis g ! y + m& n

tidak mem(t(ng atau menyinggung lingkaran &2 y2 A& =y > + 1 seperti diperlihatkan pada

Gambar E%c'.


11/12

Gambar


12/12

&2 y2 + 6 ? &2 m2&2 6m& 6 + 6

(&

# m2)"2 # m" ! 0

$iskriminan ; ! (m)2 (& # m2) (0)

$ + 4 m2

Agar garis g mem(t(ng lingkaran di dua titik maka haruslah $ C 1.

$engan demikian, 4m2 C 1

? m2 C 1

m : 0

0adi, nilai m yang memenuhi adalah m C 1.

!. Persamaan aris Singgung Lingkaran

Anda sekarang sudah mengetahui Persamaan Lingkaran. Terima kasih anda sudah berkunjung

kePerpustakaan>yber.

;eferensi !

$jumanta, F. 2115. Mahir Mengembangkan 7emampuan Matematika 2 ! untuk 7elas H Sek(lah

Menengah Atas I Madrasah Aliyah. Pusat Perbukuan, $epartemen Pendidikan Dasi(nal, 0akarta. p.

2@1.

;eferensi ainnya !
http://perpustakaancyber.blogspot.com/2013/05/persamaan-garis-singgung-lingkaran-melalui-suatu-titik-di-dalam-dan-luar-lingkaran-gradien-contoh-soal-pembahasan-matematika.htmlhttp://perpustakaancyber.blogspot.com/http://perpustakaancyber.blogspot.com/http://perpustakaancyber.blogspot.com/2013/05/persamaan-garis-singgung-lingkaran-melalui-suatu-titik-di-dalam-dan-luar-lingkaran-gradien-contoh-soal-pembahasan-matematika.html

rangkuman irisan 2 lingkaran

Documents