RANGKAIAN DENGAN SUMBER SINUSOIDAL

RANGKAIAN DENGAN SUMBER SINUSOIDAL

2.1SUMBER SINUSOIDALDalam bidang teknik kelistrikan, fungsi paksa sinusoidal menjadi penting karena daya listrik dan sinyal telekomunikasi biasanya ditransmisikan sebagai gelombang sinusoidal atau sinusoidal yang termodifikasi. Fungsi paksa menyebabkan respon paksa sedangkan respon alami disebabkan sifat internal rangkaian. Respon alami akan berkurang setelah beberapa waktu tetapi respon paksa kontinyu sampai waktu tak terbatas. Pada bab ini akan dibahas respon keadaan tunak dari rangkaian dengan fungsi paksa berbentuk sinusoidal.

Jika fungsi paksa berbentuk :

(2.1)

atau jika merupakan sumber arus:

(2.2)

Vm,Im adalah amplitudo sinusoidal yaitu nilai maksimum fungsi; ( adalah frekuensi radian

Gelombang sinusoidal bersifat periodik yang bisa dilihat dari rumus:

(2.3)

dimana T adalah perioda.

Lawan dari perioda T didefinisikan sebagai frekuensi atau jumlah siklus perdetik diberi lambang f, dimana :

Hubungan antara frekuensi dan frekuensi radian adalah:

(2.4)

Untuk sumber tegangan dengan nilai maksimum Vm, dinyatakan :

(2.5)

dimana :

( adalah sudut phasa; yang seharusnya dalam bentuk radian tetapi dalam dunia kelistrikan akan lebih memudahkan apabila dinyatakan dalam derajat.

Contoh kita dapat menuliskan :

atau dalam bentuk lain

Sketsa dari persamaan 2.5 ditunjukkan pada gambar 2.1, dimana bentuk gelombang dasar sinusoidal ditunjukkan dengan garis potong-potong sedangkan gelombang sinusoidal dengan penundaan sebesar ( derajat ditunjukkan dengan garis tebal. Kurva tebal merupakan kurva putus-putus yang tergeser kesebelah kiri sebesar sebesar (/( detik atau ( derajat. Karena itu titik puncak pada kurva tebal terjadi ( derajat lebih dulu dari titik yang sama pada kurva putus-putus. Kita dapat katakan bahwa Vmsin((t + () mendahului Vm sin (t sebesar ( derajat.

Jika bentuk gelombang sinus tegangan :

dan bentuk gelombang sinus arus :

Artinya tegangan v mendahului arus i sebesar 30( atau (/6 rad.

Gambar 2.1. Dua gelombang sinuoidal yang berbeda phasa

Catatan:

Apabila kita akan menggunakan fungsi cosinus dalam menyatakan bentuk gelombang sinusoidal tidak menjadi masalah karena :

(2.6)

atau

(2.7)

sehingga:

CONTOH 2-1

Jika tegangan jatuh pada elemen adalah v = 3 cos3t V, dan arus yang melalui elemen tsb sebesar i = -2sin(3t+10() A. Tentukan hubungan sudut antara v dan I?

Penyelesaian:

Fungsi cos pada arus terlebih dulu kita ubah ke dalam bentuk sinus :

karena:

maka:

Karena v = 3 cos 3t, maka dikatakan arus mendahului tegangan sebesar 100( atau tegangan tertinggal oleh arus sebesar 100(.

Jika Fungsi paksa dari rangkaian sinusoidal adalah:

akan menghasilkan respon paksa dalam bentuk:

(2.8)

Persamaan (2.8) dapat juga dituliskan dalam bentuk:

Dari segi tiga dibawah ini :

Dari gambar diatas :

Persamaan diatas dituliskan kembali :

(2.9)

dimana

Karena itu jika rangkaian mempunyai fungsi paksa dalam bentuk V0cos(t, respon paksa yang dihasilkan adalah:

2.2RESPON RANGKAIAN RL TERHADAP FUNGSI PAKSA SINUSOIDALSebagai contoh penentuan respon dari rangkaian dengan sumber sinusoidal, kita ambil rangkaian RL seperti gambar dibawah ini:

Gambar 2.3 Rangkaian RL dengan sumber sinusoidal

Persamaan dari rangkaian diatas:

(2.10)

Dengan bentuk fungsi paksa seperti diatas, kita asumsikan solusi respon paksa :

(2.11)

Substitusikan solusi asumsi diatas ke persamaan (2.10), dan kita turunkan sehingga didapat:

Samakan koefisien cos(t, kita dapatkan:

Samakan koefisien sin(t, kita dapatkan:

dimana kita dapatkan:

dan

Persamaan respon paksa (2.11) kita tuliskan kembali :

atau

EMBED Equation.3 (2.12)

dimana :

Jadi respon paksa keadaan tunak dapat kita tulis dalam bentuk:

(2.13)

dimana:

2.3FUNGSI PAKSA DALAM BENTUK EKSPONENSIAL KOMPLEKJika sinyal dalam bentuk eksponensial:

(2.14)

Dengan rumus Euler dapat kita tuliskan:

dimana :

Kembali ke gambar 2.3, bila sumber rangkaian RL diganti dengan bentuk eksponensial persamaan (2.10) menjadi:

(2.15)

Karena sumber adalah eksponensial, kita coba solusi dalam bentuk :

(2.16)

Substitusikan ke persamaan (2.15) menghasilkan:

Bagi dengan Aej(t, didapat :

Substitusikan nilai A ke persamaan (2.16):

Jika :

Hasilnya sama dengan respon paksa yang didapat pada persamaan (2.12), yaitu:

(2.17)

Jadi bila i adalah respon lengkap terhadap fungsi paksa komplek vs, maka if = Re( i) adalah respon terhadap fungsi paksa Re (vs).

Dari persamaan (2.15) kita dapatkan:

atau

dan karena itu:

(2.18)

Jika rangkaian bereksitasi komplek seperti pada gambar 2.4:

Gambar 2.4 Rangkaian umum dengan eksitasi komplek

Kita coba solusi untuk gambar diatas:

Solusi Respon paksa secara umum dalam bentuk sinus adalah:

(2.19)

Persamaan (2.18) kita tulis kembali:

(2.20)

Samakan Persamaan (2.19) dan (2.20):

untuk memenuhi persamaan diatas harga A = Imej(Jadi didapat :

(2.21)CONTOH 2-2Tentukan respon paksa dari rangkaian orde dua :

Penyelesaian:

Pertama kita ubah dulu sumber diatas menjadi bentuk eksponensial komplek:

Respon komplek harus memenuhi persamaan :

(2.22)

Sehingga respon paksa harus dalam bentuk:

(2.23)

Substitusikan i1 diatas ke persamaan (2.22), dan kita ambil turunannya :

Kita bagi dengan ej2t didapatkan :

Substitusikan ke persamaan (2.23)

Jadi respon paksa rangkaian orde dua yang dicari adalah:

2.1 Sumber Sinusoidal

2.2 Respon Rangkaian Rl Terhadap Fungsi Paksa Sinusoidal

2.3 Fungsi Paksa Dalam Bentuk Eksponensial Komplek

(

C

A

B

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

_1134635803.unknown

_1134647862.unknown

_1134668703.unknown

_1134670415.unknown

_1134671434.unknown

_1134672332.unknown

_1220385781.vsdDC

w

L

i

R

Vmcos

t

_1220386699.vsdDC

q)

w

v1=Vmej(

t+

i1

Rangkaian

_1134672707.unknown

_1134717231.unknown

_1134717344.unknown

_1134672890.unknown

_1134672441.unknown

_1134672215.unknown

_1134672325.unknown

_1134671498.unknown

_1134671002.unknown

_1134671273.unknown

_1134670854.unknown

_1134668863.unknown

_1134670377.unknown

_1134670403.unknown

_1134669882.unknown

_1134668809.unknown

_1134668837.unknown

_1134668776.unknown

_1134668753.unknown

_1134663671.unknown

_1134667383.unknown

_1134668646.unknown

_1134668250.unknown

_1134665877.unknown

_1134667224.unknown

_1134648463.unknown

_1134663231.unknown

_1134647893.unknown

_1134640302.unknown

_1134647123.unknown

_1134647631.unknown

_1134647676.unknown

_1134647204.unknown

_1134647380.unknown

_1134647075.unknown

_1134647111.unknown

_1134646748.unknown

_1134638194.unknown

_1134639761.unknown

_1134640111.unknown

_1134639625.unknown

_1134637597.unknown

_1134638030.unknown

_1134636214.unknown

_1134637427.unknown

_1134582920.unknown

_1134584507.unknown

_1134635580.unknown

_1134635721.unknown

_1134635096.unknown

_1134584022.unknown

_1134584420.unknown

_1134583794.unknown

_1134581339.unknown

_1134581821.unknown

_1134582062.unknown

_1134581610.unknown

_1134580471.unknown

_1134581072.unknown

_1134580350.unknown