PROPOSAL TUGAS AKHIR

PENGARUH JUMLAH SUKU FOURIER PADA

PENDEKATAN POLAR UNTUK SISTEM GEOMETRI

KARTESIAN

OLEH :

IRMA ISLAMIYAH

1105 100 056

JURUSAN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER

SURABAYA

2009

LEMBAR PENGESAHAN TUGAS AKHIR

OLEH :

IRMA ISLAMIYAH 1105 100 056

Surabaya, 24 Februari 2010

Menyetujui : Pembimbing ,

Arief Bustomi,MSi NIP. 10730418 199802.1.001

Mengetahui :

Ketua Jurusan Fisika, Koordinator Tugas Akhir,

Drs. Heny Faisal, MSi Lila Yuwana, MSi NIP. 19630921 198903.1.002 NIP. 19750908 200003.1.001

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Persoalan fisika baru dapat terselesaikan apabila dikenai suatu persamaan

differensial yang merupakan representasi matematis dari hukum fisika untuk suatu

persoalan tertentu. Penyelesaian persamaan differensial untuk sistem fisis harus

memperhatikan kondisi syarat batas dari bagian-bagian batas (ujung) dari sistem.

Untuk menggambarkan kondisi dari sistem digunakan 3 sistem koordinat, yaitu

kartesian, silinder dan bola. Dan penggunaan masing-masing koordinat disesuaikan

dengan bentuk geometri sistemnya.

Dalam kehidupan nyata, tidak semua sistem dapat dinyatakan dengan bentuk

geometri kartesian, silinder atau bola. Sehingga, digunakan koordinat polar untuk sistem

geometri kartesian,misalnya.

1.2. Perumusan Masalah

Perumusan masalah dari penelitian tugas akhir ini adalah mencoba

mengembangkan suatu metode analisa untuk suatu sistem dengan bentuk geometri

tertentu menggunakan sistem koordinat yang tidak sesuai dengan geometrinya. Dalam

penelitian ini, akan diteliti suatu sistem dengan geometri kartesian menggunakan sistem

koordinat polar dalam analisanya. Yaitu, dengan menambahkan jumlah suku Fourier pada

pendekatan polar untuk sistem geometri kartesian.

1.3. Batasan Masalah

Batasan Masalah dalam tugas akhir ini adalah menemukan pengaruh penambahan

jumlah suku Fourier pada pendekatan polar untuk geometri kartesian dengan

menggunakan program Matlab 2008.

1.4. Tujuan

Tujuan pada penelitian tugas akhir ini adalah menguji seberapa besar pengaruh

penambahan jumlah suku Fourier pada pendekatan polar untuk geometri kartesian.

1.5. Manfaat

Manfaaat tugas akhir ini adalah untuk memberikan informasi tentang

pengaruh penambahan jumlah suku Fourier pada pendekatan polar untuk geometri

kartesian.

BAB 2

TINJAUAN PUSTAKA

2.1. Transformasi Fourier

• Pada tahun 1822, ahli matematika ,Joseph Fourier, menemukan bahwa: setiap

fungsi periodik dapat dibentuk dari gelombang-gelombang sinus/cosinus yang

dijumlahkan.

Contoh : Sinyal kotak merupakan penjumlahan dari fungsi-fungsi sinus berikut

(lihat gambar 2.1)

• f(x) = sin(x) + sin(3x)/3 + sin(5x)/5 + sin(7x)/7 + sin(9x)/9+sin(11x)/11 …

Hasil dalam transformasi fourier

Gambar 2.1. Sinyal kotak hasil transformasi fourier

Deret fourier fungsi periodik f(x) dengan periode 2l:

f(x) = dx ...(2.1)

dimana:

Cn = dx ...(2.2)

Bila Kn = K = Kn+1 - Kn =

=

Sehingga persamaan (2.1) dan (2.2) dapat ditulis:

f(x) = ...(2.3)

Cn = dx

= dz ...(2.4)

Substitusi persamaan (2.4) ke (2.3)

f(x) = dz

= dz ...(2.5)

Jika l maka

f(x) = dz dk

f(x) = dk dz ...(2.6)

selanjutnya didefinisikan:

F(k) = dz

F(k) = dx ...(2.7)

Sehingga:

f(x) = dk ...(2.8)

persamaan (2.7) dan (2.8) disebut pasangan transformasi fourier.

2.2. Persamaan Differensial Parsial (PDP) Elliptik

Persamaan Poisson dalam bentuk aslinya adalah:

2V = - 1/εo ρ(x,y,z)

Dalam dua dimensi bentuknya menjadi sebagai berikut:

2V/x2 + 2V/y2 = - 1/εo ρ(x,y)

Yang apabila direduksi (ruas kanan = 0) akan menjadi persamaan Laplace:

2V/x2 + 2V/y2 = 0

Di mana V (x,y) adalah potensial listrik.

Persamaan Laplace dapat diselesaikan dengan berbagai macam metode, yaitu: secara

analitik adalah dengan metode pemisahan variabel. Dan dengan metode numerik seperti

metode Jacobi dan Gauss-Seidel.

2.2.1. Metode Pemisahan Variabel

Metode Pemisahan Variabel dimulai dengan memperkenalkan Variabel V (x,y) =

X(x).Y(y). Dan variabel ini disubstitusi ke parsamaan Laplace kemudian dibagi dengan

V (x,y) sehingga menghasilkan:

+ = 0

Karena persamaan ini harus sama dengan nol untuk semua nilai x dan y maka kedua

sukunya bisa disamakan dengan konstan, misalnya:

= -

=

Dimana k adalah tetapan kompleks. Akibatnya, persamaan di atas hanya suatu persamaan

differensial biasa yang memiliki penyelesaian analitis:

X(x) = Cs sin (kx) + Cc cos (kx)

Y(y) = C’s sinh (ky) + C’c cosh (ky)

Dimana C adalah konstan yang bisa dicari apabila syarat awal dan syarat batas diberikan.

Misalkan syarat awal dan syarat batas adalah

V(x,y=0) = V(x=0,y) = V(x=Lx,y) = 0

V(x,y=Ly) = Vo

Maka syarat ini hanya dipenuhi apabila Cc = 0 dan C’c = 0. Kemudian pada x = Lx akan

terpenuhi apabila k = n.π / Lx. Oleh sebab itu, penyelesaian persamaan Laplace adalah

gelombang superposisi:

V(x,y) = sin (nπx/Lx) sinh (nπy/Lx)

Koefisien Cn dapat diperoleh dengan memasukkan nilai syarat batas pada y=Ly, yaitu Vo

sehingga penyelesaian akhirnya adalah:

V(x,y) = Vo sin (nπx/Lx) sinh (nπy/Lx) / sinh (nπLy/Lx)

2.3. Persamaan Laplace

Dalam persoalan listrik statik tertentu yang melibatkan penghantar, ternyata

seluruh muatan terdapat pada permukaan penghantar atau dalam bentuk muatan titik yang

tetap. Dalam hal ini ρ di sebagian besar titik dalam ruang sama dengan nol. Dan di tempat

yang rapat muatannya nol, persamaan Poisson mempunyai bentuk yang lebih sederhana.

2φ = 0

Yang dikenal sebagai persamaan Laplace.

2.3.1. Persamaan Laplace Koordinat Silinder

Ditinjau Persamaan laplace koordinat silinder

2φ = 0

1/r /r (r φ/r) + 1/r2 2φ/2) + 2φ/z2 = 0 ...(2.9)

Langkah ke-1: Separasi Variabel

φ (r,,z) = R (r), (), Z (z) ...(2.10)

Gambar 2.2. Persamaan Laplace dalam koordinat silinder

Substitusi ke pers. 1:

Z/r d/dr (r dR/dr) + RZ/r2 d2/d2 + R d2Z/dz2 ...(2.11)

Langkah ke-2: Pembagian dengan RZ

1/rR d/dr (r dR/dr) + 1/r2 d2/d2 + 1/Z d2Z/dz2 ...(2.12)

Langkah ke-3 :

1/Z d2Z/dz2 = -k2 d2Z/dz2 + k2Z = 0 ...(2.12.a.1)

1/Z d2Z/dz2 = k2 d2Z/dz2 - k2Z = 0 ...(2.12.a.2)

maka pers. 4 menjadi:

r/R d/dr (r dR/dr) + 1/ d2/d2 - k2r2 = 0

r/R d/dr (r dR/dr) + 1/ d2/d2 + k2r2 = 0

Langkah ke-4:

1/ d2/d2 = -m2 d2/d2 + m2 = 0 ...(2.12.b)

sehingga pers. 4 sekarang menjadi :

r d/dr (r dR/dr) – (k2r2 + m2)R = 0 ...(2.12.c.1)

r d/dr (r dR/dr) + (k2r2 – m2)R = 0 ...(2.12.c.2)

pers. (5.c.1) adalah persamaan bessel termodifikasi

pers. (5.c.2) adalah persamaan bessel standart

Solusi pers. 5:

Solusi pers. (5.a.1) untuk konstanta –k2

Z(z) = E1 cos kz + F1 sin kz

E2 eikz + F2 e-ikz

Solusi pers. (5.a.2) untuk konstanta k2

Z(z) = E3 cosh kz + F3 sinh kz

E4 ekz + F4 e-kz

Solusi pers. (5.b)

() = C cos m + D sin m

Solusi pers. (5.c.1) untuk konstanta –k2

R(r) = A1 Im (kr) + B1 Km (kr)

Solusi pers. (5.c.2) untuk konstanta k2

R(r) = A1 Jm (kr) + B1 Nm (kr)

BAB 3

METODOLOGI

Kajian Pustaka

Membuat program Matlab

Uji hasil perhitungan dan program Matlab

Pengambilan data secara analitis dan secara

numerik dengan matlab

Hasil

BAB 4

JADWAL KEGIATAN

Tabel 4.1 Jadwal Perencanaan Kerja

Keterangan Kegiatan: I. Penyusunan Proposal

II. Konsultasi dengan dosen pembimbing

III. Kajian pustaka

IV Pengambilan data

V. Processing data

VI. Penyusunan laporan tugas akhir

No. Jenis Kegiatan

Bulan

februari

maret april mei Juni

1. I

2. II

3. III

4. IV

5. V

6. VI

DAFTAR PUSTAKA

Reitz, John R., Dasar Teori Listrik Magnet, Penerbit ITB, Bandung, 1993

Hayt, william H., Elektromagnetika Teknologi, Penerbit Erlangga, Jakarta, 1991