proposal doktor andy final 3

7/21/2019 Proposal Doktor Andy Final 3

1/59

ALJABAR MAX-PLUS BILANGAN KABUR

DAN PENERAPANNYA PADA MASALAH

PENJADWALAN DAN JARINGAN ANTRIAN KABUR

(USULAN PENELITIAN UNTUK PROGRAM DOKTOR)

Diajukan oleh:

M. Andy Rudhito

07/260028/SPA/157

Kepada:

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS GADJAH MADA

Yogyakarta, Agustus 2008

i


2/59

USULAN PENELITIAN




yang diajukan oleh:

M. Andy Rudhito

07/260028/SPA/157

telah disetujui oleh:

Promotor

Prof. Dr. Sri Wahyuni, M.S. Tanggal: ........................................

Ko-promotor

Dr. Ari Suparwanto, M.Si. Tanggal: ........................................

Ko-promotor

Dr. Frans Susilo, S.J. Tanggal: ........................................

ii


3/59

USULAN PENELITIAN




yang diajukan oleh:

M. Andy Rudhito

07/260028/SPA/157

telah direvisi sesuai dengan masukan pada saat ujian komprehensif

dan disetujui oleh tim penguji:

1. Dr. Indah Emilia Wijayanti, M.Si. Tanggal: ........................................

2. Dr. Budi Surodjo, M.Si. Tanggal: ........................................

3. Prof Dr. Widodo, M.S. Tanggal: ........................................

iii


4/59

DAFTAR ISI

Halaman Judul i

Halaman Persetujuan Tim Promotor ii

Halaman Persetujuan Tim Penguji iii

Daftar Isi iv

I. PERUMUSAN MASALAH 1

I.1. Pengantar 1

I.2. Tinjauan Pustaka 4

I.3. Batasan Masalah Penelitian 7

I.4. Perumusan Masalah Penelitian 8

I.5. Keaslian Penelitian 8

II. TUJUAN DAN MANFAAT PENELITIAN 10

II.1. Tujuan Penelitian 10

II.2. Manfaat Penelitian 10

III. METODE PENELITIAN 12

IV. KERANGKA PEMIKIRAN TEORITIS 18

IV. 1. Aljabar Max-Plus Interval 18

IV.1.1. Landasan Teori 18

IV.1.2. Kerangka Pemikiran Teoritis 24

IV.1.3. Hipotesis 26

IV.1.4. Rencana Penelitian 27

IV.1.5. Modal Pengetahuan yang Dibutuhkan 27

IV. 2. Aljabar Max-Plus Bilangan Kabur 28






iv


5/59

v

IV.3. Penerapan pada Masalah Penjadwalan Kabur dan

Jaringan Antrian Kabur 34






V. RANCANGAN JADWAL PENELITIAN 45

DAFTAR PUSTAKA 46

Lampiran: 51

Curriculum Vitae Peneliti 51


6/59

I. PERUMUSAN MASALAH

I.1. Pengantar

Aljabar max-plus (himpunan semua bilangan real Rdilengkapi dengan

operasi max dan plus) telah dapat digunakan dengan baik untuk memodelkan dan

menganalisis secara aljabar masalah-masalah jaringan, seperti masalah:

penjadwalan (proyek) dan sistem antrian, lebih detailnya dapat dilihat pada

Bacelli, et al. (2001), Rudhito, A. (2004), Krivulin, N.K. (2001).

Pemodelan matematika yang dibahas di atas kebanyakan masih berupa

model deterministik, di mana waktu aktifitas dalam jaringan berupa bilangan real

(positip). Model ini mengasumsikan adanya informasi dan pengetahuan yang

sempurna/pasti mengenai waktu aktifitas dalam jaringan tersebut, sementara

dalam kenyataanya ada faktor ketidakpastian. Untuk menangani faktor

ketidakpastian dalam waktu aktifitas ini, model deterministik dikembangkan

menjadi model probabilistik. Dalam model ini waktu aktifitas dipandang sebagai

variabel random dengan distribusi tertentu. Distribusi variabel random ini

biasanya disusun berdasarkan data-data yang diperoleh setelah jaringan

dioperasikan untuk jangka waktu tertentu. Penggunaan aljabar max-plus untuk

model stokastik juga telah dikembangkan, seperti dalam Bacelli, et al. (2001),

Boom, T.J.J., et al. (2003), Heidergott, B. B, et. al. (2005).

Dalam masalah pemodelan dan analisa suatu jaringan di mana waktu

aktifitasnya belum diketahui, misalkan karena masih pada tahap perancangan,

data-data mengenai waktu aktifitas belum diketahui secara pasti maupun

distribusinya. Waktu aktifitas ini dapat diperkirakan berdasarkan pengalaman

1


7/59

maupun pendapat dari para ahli maupun operator jaringan tersebut. Misalkan,

dalam masalah penjadwalan proyek, pimpinan proyek menyatakan: waktu yang

diperlukan untuk menyelesaikan pekerjaan ini sekitar 5 bulan. Seiring dengan

perkembangan teori kabur (fuzzy), konstanta maupun parameter seperti di atas

ditangani sebagai bilangan kabur (fuzzy number). Waktu aktifitas jaringan

dimodelkan dengan bilangan kabur. Untuk masalah penjadwalan yang melibatkan

bilangan kabur dapat dilihat pada Chanas, S., Zielinski, P. (2001) dan Soltoni, A.,

Haji, R. (2007). Sedangkan untuk masalah model jaringan yang melibatkan

bilangan kabur dapat dilihat pada Lthi, J., Haring, G. (1997).

Pemodelan dan analisa pada masalah-masalah jaringan dengan waktu

aktifitas yang bilangan kabur, sejauh peneliti ketahui, belum ada yang

menggunakan pendekatan max-plus aljabar seperti halnya yang telah dilakukan

untuk model deterministik dan probabilistik. Seperti telah diketahui pendekatan

penyelesaian masalah jaringan dengan menggunakan aljabar max-plus dapat

memberikan hasil analitis dan lebih mempermudah dalam komputasinya.

Pendekatan aljabar max-plus untuk menyelesaikan masalah-masalah jaringan

menggunakan konsep-konsep dasar seperti: aljabar max-plus dan perluasannya ke

dalam matriks dan vektor, sistem persamaan linear max-plus dan nilai eigen dan

vektor eigen max-plus, seperti dalam Rudhito (2003). Dengan demikian, untuk

menyelesaikan masalah jaringan dengan waktu aktifitas bilangan kabur, seperti

penjadwalan kabur dan sistem antrian kabur, dengan pendekatan aljabar max-

plus, aljabar max-plus perlu digeneralisasi menjadi aljabar max-plus bilangan

kaburdan konsep-konsep yang terkait di dalamnya.

2


8/59

I.2. Tinjauan Pustaka

Aljabar max-plus secara umum merupakan semiring idempoten komutatif,

yang lebih lanjut merupakan semifield. Konsep-konsep dasar aljabar max-plus

secara lengkap telah dibahas dalam Bacelli, et al. (2001). Secara lebih khusus

dalam Rudhito (2003), telah dibahas konsep-konsep dasar aljabar max-plus untuk

penerapan dalam masalah jaringan, yang meliputi: aljabar max-plus dan

perluasannya ke dalam matriks dan vektor, sistem persamaan linear max-plus dan

interpretasi aljabar max-plus dalam teori graf. Penerapan aljabar max-plus untuk

masalah penjadwalan telah dibahas dalam Rudhito, A. (2004), sedangkan untuk

masalah jaringan antrian telah dibahas dalam Krivulin, N.K. (1996). Secara lebih

khusus dalam Krivulin, N.K (2000) telah dibahas penerapan aljabar max-plus

dalam jaringan antrian yang banyak digunakan dalam penerapan, yaitu tipe Fork-

Join Taksiklik (Acyclic Fork-Join). Analisa waktu siklik layanan (service cycle

times) jaringan antrian tipe tersebut dengan pendekatan max-plus telah dibahas

dalam Krivulin, N.K (2001).

Banyak literatur yang membahas mengenai konsep himpunan kabur, relasi

kabur dan bilangan kabur beserta operasi dan sifat-sifatnya, di antaranya dapat

dilihat dalam Zimmermann, H.J., (1991), Lee, K.H. (2005) dan Susilo, F. (2006).

Operasi-operasi aritmatika seperti +, , , /, max dan min pada bilangan kabur

pada umumnya didefinisikan dengan menggunakan Prinsip Perluasan (Extension

Principle) dan dengan menggunakan potongan- (-cut) yang didasarkan pada

Teorema Dekomposisi. Hal ini dapat dilihat dalam Zimmerman, H.J. (1991) Lee,

K.H. (2005) dan Susilo, F. (2006). Dalam Susilo, F. (2006) dinyatakan bahwa,

3


9/59

setiap bilangan kabur, yang mana merupakan himpunan kabur, dapat dinyatakan

secara tunggal dengan menggunakan potongan--nya. Karena potongan- suatu

bilangan kabur berupa interval tertutup maka operasi-operasi aritmatika pada

bilangan kabur dapat dinyatakan menggunakan operasi-operasi aritmatika selang

tertutup. Ditegaskan juga dalam Susilo, F. (2006) bahwa operasi bilangan kabur

dengan menggunakan Prinsip Perluasan dan dengan menggunakan potongan-

adalah ekivalen.

Pembahasan mengenai semiring telah dikembangkan ke dalam Analisis

Interval Idempoten (Litvinov, G.L., Sobolevskii, A.N. (2001)). Analisis Interval

Idempoten ini membahas semiring dengan elemen-elemennya berupa interval

tertutup. Dalam literatur ini dikatakan bahwa himpunan semua interval tertutup

dalam suatu semiring idempoten juga merupakan semiring idempoten dengan

operasi yang bersesuaian. Ditunjukkan juga bahwa sifat-sifat yang dimiliki

semiring juga dimiliki oleh semiring himpunan semua interval tertutup tersebut.

Dengan demikian aljabar max-plus, yang merupakan semiring dapat

diperluas ke dalam aljabar max-plus interval, di mana elemen-elemennya berupa

interval tertutup dalam aljbar max-plus tersebut. Selanjutnya akan dapat dibahas

juga matriks atas aljabar max-plus interval dan matriks preseden suatu graf

berarah dengan bobot yang berupa interval.

Dengan mempertimbangkan hasil-hasil yang dapat diperoleh dalam

analisis interval idempoten (Litvinov, G.L., Sobolevskii, A.N. (2001)) maka akan

sangat menguntungkan jika pengoperasian bilangan kabur dilakukan dengan

menggunakan potongan-, yang berupa interval tertutup dalam himpunan semua

4


10/59

bilangan real. Selanjutnya dengan didasarkan pada Teorema Dekomposisi,

kiranya dapat dikembangkan struktur aljabar max-plus bilangan kabur dan

perluasannya ke dalam matriks aljabar max-plus bilangan kabur yang diharapkan

akan menjadi dasar pembahasan penelitian ini.

Sebagai dasar dalam pemodelan dan penyelesaian masalah jaringan secara

aljabar, salah satu konsep yang penting adalah sistem persamaan linear. Masalah

sistem persamaan linear dengan bilangan kabur (sistem linear kabur) telah mulai

banyak dibahas dengan operasi dasar penjumlahan dan perkalian pada bilangan

kabur. Dalam Zhang, Q., et. al. (2004) dibahas latar belakang matematik, prinsip-

prinsip dan formulasi yang dapat diimplementasikan secara nyata dalam masalah

rekayasa. Dehghan, M. and Hashemi, B. (2006) membahas penyelesaian sistem

linear kabur dengan menggunakan metode iterasi dengan cara memperluas

algoritma yang telah ada ke dalam versi kabur. Penyelesaian yang lebih umum

untuk sistem linear kabur dengan bilangan kabur trapezium dapat dilihat dalam

Horcik, R. (2006). Skalna, I., et.al. (2007) membahas penyelesaian sistem linear

kabur dengan metode untuk penyelesaian interval luar, metode elemen hingga dan

metode analisis sensitifitas.

Konsep-konsep dalam aljabar max-plus mempunyai interpretasi yang kuat

dengan konsep-konsep dalam teori graf. Perkembangan teori kabur juga telah

berakibat pada perkembangan teori graf kabur. Salah satu tipe dalam graf kabur

adalah graf dengan bobot yang berupa bilangan kabur, sementara titik dan

rusuknya tegas (crisp). Secara lebih lengkap dapat dibaca dalam Blue, M. et.al.

(1997) . Dalam literatur ini dibahas tentang taxonomi graph kabur, permasalahan

5


11/59

standar dalam teori graph dalam versi kabur dan beberapa algoritma

penyelesaiannya dengan menggunakan peringkat (ranking) bilangan kabur.

Eslahchi, C and. Onagh B. N. (2005) menuliskan beberapa konsep dasar graph

kabur dan masalah pewarnaan dan bilangan kromatik yang terkait.

Masalah penjadwalan dalam versi kabur, di mana waktu aktifitasnya

berupa bilangan kabur juga telah dibahas oleh beberapa peneliti. Yao, J.S and

Lin, F.T., (2000) membahas metode peringkat bertanda untuk menyelesaikan

masalah lintasan kritis kabur. Chanas, S., Zielinski, P. (2001) menggunakan

Prinsip Perluasan untuk menyusun metode penghitungan derajat kekritisan

lintasan kabur. Chanas, S. et.al. (2002) membahas generalisasi durasi aktifitas

yang berupa interval ke dalam durasi kabur dan mengembangkan algoritma untuk

menentukan derajat kepastian kritis suatu lintasan dengan memperluas algoritma

standar yang sudah ada dalam masalah lintasan kritis. Penerapan masalah lintasan

kritis kabur dalam sistem operasi kargo bandar udara untuk meningkatkan

pelayanan telah dibahas dalam Han, T.C., et.al. (2006). Soltoni, A., Haji, R.

(2007) secara lebih khusus membahas masalah penjadwalan proyek untuk

bilangan kabur segitiga dengan mendasarkan pada masalah pemrograman linear.

Masalah penjadwalan PERT dengan informasi tentang durasi tugas yang tidak

lengkap telah dibahas dalam Dubois, D. et.al. (2007).

Pembahasan antrian kaburdi mana waktu layanan berupa bilangan kabur

juga telah dibahas oleh beberapa peneliti. Lthi, J., Haring, G. (1997) membahas

jaringan antrian kabur , di mana bilangan maupun parameter yang terlibat dalam

jaringan antrian digantikan dengan bilangan kabur, selanjutnya kinerja jaringan

6


12/59

antrian dievalusi dengan menggunakan pendekatan Analisis Nilai Tengah (Mean

Value Analysis (MVA)). Kao, et.al. (1997) menganalisa antrian kabur dengan

pendekatan pemrograman parametrik, di mana waktu antar kedatangan dan waktu

layanan antrian berupa bilangan kabur. Chen, Shih-Pin (2004) menganalisa

antrian kabur dengan pendekatan pemrograman nonlinear parametrik, di mana

kecepatan kedatangan dan kecepatan layanan antrian berupa bilangan kabur. Ke,

et.al. (2006) membahas model antrian ulangan (retrial) dengan parameter kabur.

Pardo & Fuente (2007) membahas optimisasi model antrian prioritas-disiplin

dengan menggunakan himpunan kabur.

I.3. Batasan Masalah Penelitian

Agar permasalahan dalam penelitian ini dapat terfokus dan sesuai dengan

waktu yang direncanakan, maka perlu dilakukan pembatasan masalah. Batasan-

batasan yang diberikan dala penelitian ini adalah:

1. Bilangan kabur khusus yang akan banyak dibahas adalah bilangan kabur

segitiga, hal ini dengan pertimbangan kemudahan dalam menanganinya.

2. Penerapan aljabar max-plus bilangan kabur dibatasi pada masalah jaringan

kabur lebih lanjut dibatasi pada masalah penjadwalan kabur dan jaringan

antrian kabur.

3. Masalah penjadwalan kaburmeliputi penentuan lintasan kritis kabur, aktifitas

kritis kaburdan waktu ambang (slack) kabur.

4. Jaringan antrian yang akan dibahas adalah jaringan antrian tipe Fork-Join

Taksiklik. Analisis jaringan antrian difokuskan pada waktu siklus layanan.

7


13/59

I.4. Perumusan Masalah Penelitian

Berdasarkan uraian dalam pengantar, tinjauan pustaka dan batasan

masalah di atas, secara umum rumusan masalah penelitian ini adalah: Bagaimana

perluasan aljabar max-plus menjadi aljabar max-plus bilangan kabur dan konsep-

konsep yang terkait di dalamnya untuk menyelesaikan masalah penjadwalan kabur

dan jaringan antrian kabur. Secara terperinci masalah penelitian ini adalah:

1. Bagaimanakah perluasan aljabar max-plus menjadi aljabar max-plus

bilangan kabur?

2. Bagaimanakah perluasan matriks atas aljabar max-plus menjadi matriks atas

aljabar max-plus bilangan kabur?

3. Bagaimanakah eksistensi dan ketunggalan penyelesaian sistem persamaan

linear max-plus bilangan kabur ?

4. Bagaimanakah eksistensi dan ketunggalan nilai eigen dan vektor eigen max-

plus bilangan kabur ?

5. Bagaimanakah penerapan aljabar max-plus bilangan kabur untuk

menyelesaikan masalah penjadwalan kabur ?

6. Bagaimanakah penerapan aljabar max-plus bilangan kabur untuk

menganalisa jaringan antrian kabur?

I.5. Keaslian Penelitian

Berdasarkan kajian yang telah peneliti lakukan, pembahasan aljabar max-

plus dan penerapannya masih sebatas model deterministik dan stokastik.

Pembahasan aljabar max-plus dalam versi kabur maupun dalam himpunan semua

bilangan kabur, sejauh kajian yang telah peneliti lakukan, belum ada yang

8


14/59

membahas. Pembahasan masalah penjadwalan kabur dan jaringan antrian kabur

sejauh ini masih dengan mengembangkan metode yang sudah ada, seperti

algoritma heuristik, PERT-CPM, MVA untuk bilangan kabur dengan

memanfaatkan hasil-hasil pada analisis interval. Penyelesaian masalah di atas

dengan menggunakan pendekatan aljabar, khususnya aljabar max-plus bilangan

kabur, sejauh kajian yang telah peneliti lakukan, belum ada yang membahas.

Dengan demikian penelitian ini merupakan penelitian baru di bidang struktur

aljabar dan penerapannya dalam bidang optimisasi kombinatorik, khususnya riset

operasi.

9


15/59

II. TUJUAN DAN MANFAAT PENELITIAN

II.1. Tujuan Penelitian

Penelitian ini secara umum bertujuan untuk memperluas aljabar max-plus

menjadi aljabar max-plus bilangan kabur dan menerapkannya pada masalah

penjadwalan kabur dan jaringan antrian kabur. Secara terperinci tujuan penelitian

ini adalah:

1. Menghasilkan perluasan aljabar max-plus menjadi aljabar max-plus

bilangan kabur.

2. Menghasilkan perluasan matriks atas aljabar max-plus menjadi matriks atas

aljabar max-plus bilangan kabur.

3. Menghasilkan teori mengenai eksistensi dan ketunggalan penyelesaian

sistem persamaan linear max-plus bilangan kabur.

4. Menghasilkan teori mengenai eksistensi dan ketunggalan nilai eigen dan

vektor eigen max-plus bilangan kabur.

5. Menghasilkan suatu model dan penyelesaian masalah penjadwalan kabur

dengan pendekatan aljabar max-plus bilangan kabur.

6. Menghasilkan suatu model dan analisa pada jaringan antrian kaburdengan

pendekatan aljabar max-plus bilangan kabur.

II.2. Manfaat Penelitian

Hasil penelitian ini diharapkan dapat memberikan beberapa manfaat

sebagai berikut:

10


16/59

1. Memberikan landasan teori bagi peneliti yang berminat mengembangkan

penelitian mengenai jaringan kaburdengan pendekatan aljabar max-plus.

2. Sebagai salah satu referensi bagi peneliti dan praktisi mengenai alternatif

pendekatan penyelesaian masalah penjadwalan kabur dan analisa jaringan

antrian kabur.

3. Sebagai pengembangan ilmu aljabar dan teori kabur, khususnya struktur

aljabar bilangan kabur.

4. Memberikan teori pembanding bagi peneliti yang ingin mengembangkan

teori yang paralel dengan teori ini.

11


17/59

III. METODE PENELITIAN

Penelitian ini merupakan penelitian yang didasarkan pada studi literatur

yang meliputi kajian-kajian secara teoritis. Untuk mencapai tujuan penelitian ini,

langkah awal yang dapat dilakukan adalah mempelajari dan mengkaji secara

mendalam dan menyeluruh terhadap buku dan karya ilmiah yang dijadikan dasar

dan yang membangkitkan masalah pada penelitian ini.

Selain yang membangkitkan masalah, dikaji juga karya-karya ilmiah

pendukung yang dapat memberikan jembatan untuk menyelesaikan masalah

dalam penelitian ini. Pada tahap ini diperlukan ketelitian untuk mengamati

fenomena-fenomena yang muncul untuk dibuat kaitan dengan masalah-masalah

yang akan diselesaikan. Dilihat pula proses generalisasi dan penerapan struktur

aljabar yang telah dilakukan peneliti lain, yang akan digunakan sebagai dasar

penelitian ini. Proses yang analog akan dilakukan pada struktur aljabar dan

masalah yang akan diteliti. Selanjutnya dilakukan penelitian terhadap sifat-sifat

yang disajikan dalam proposisi, lemma, teorema dan akibat yang berlaku dalam

sruktur dan penerapan yang baru ini. Dalam tahap eksplorasi yang terkait dengan

perhitungan-perhitungan teknis penelitian akan mengunakan bantuan program

komputer, yaitu MATLAB, dengan menuliskan sejumlah program yang

dibutuhkan.

Tahap-tahap yang akan dilakukan dalam pelaksanaan penelitian ini

diberikan pada diagram alur berikut:

12


18/59

Diagram Alur Tahap-tahap Pelaksaan Penelitian:

Nilai Eigen dan Vektor

Eigen max-plus .

Bacelli (2001), Rudhito

(2003), dll.

Aljabar max-plus, dan

Matriks atas aljabar

max- plus.Bacelli

(2001), Rudhito (2003),

Sistem persamaan

linear maxplus.Bacelli

(2001), Rudhito (2003),

dll

Himpunan, Teorema

Dekomposisi, bilangan

kabur.Lee(2005),

Analisis interval idempoten.

Litvinov(2001), dll

Susilo (2006), dll.

Penerapan aljabar max-plus

pada masalah penjadwalan.

Bacelli (2001)Rudhito (2004),


pada analisa jaringan

antrian. Krivulin (2001), dll


bilangan kabur pada

masalah penjadwalan kabur.


bilangan kabur pada

analisa jaringan antrian

Masalah penjadwalan kabur.

Chanas (2003), Soltoni

(2007), dll

Masalah jaringan antrian

kabur.Lthi (1997).

dll

Aljabar max-plus interval,

dan Matriks atas aljabar

maxplus interval

Sistem persamaan

linear max-plus

interval

Nilai Eigen dan

Vektor Eigen

max-plus interval

Aljabar max-plus

bilangankaburdan

Matriks atas aljabar

maxplus bilangankabur.

Sistem persamaan

linear max-plus

bilangan kabur

T. I

Nilai Eigen dan

Vektor Eigen max-

plus bil. kabur

T. II

T. III

13


19/59

Secara rinci dapat dijelaskan sebagai berikut:

Dalam diagram di atas, hal-hal dalam kotak yang dicetak tipis menyatakan

landasan teori yang akan diperluas dalam versi kabur. Hal-hal dalam kotak yang

dicetak putus-putus menyatakan landasan teori yang menjadi jembatan dalam

memperluas ke versi interval dan kabur. Sedangkan hal-hal dalam kotak yang

dicetak tebal merupakan masalah antara (T. I) dan masalah utama yang akan

dibahas (T. II dan T. III). Dalam landasan teori dituliskan referensi utama yang

sementara diperoleh, diharapkan sejalan dengan penelitian akan ditelusuri terus

teori pendukungnya. Penelitian ini terdiri dari tiga tahap besar.

TAHAP I ( T. I ) :

Mula-mula dicermati kembali landasan teori yang menjadi dasar dan

jembatan dalam menyelesaikan masalah-masalah pada Tahap I ini secara

komprehensif, sehingga diharapkan diperoleh hasil penelitian yang mendasari

penelitian tahap berikutnya. Tahap-tahap dan rincian rencana kegiatan penelitian

pada tahap ini adalah sebagai berikut.

Aljabar Max-Plus Interval:

Diperhatikan dan diselidiki proses konstruksi dan operasi interval. Selanjutnya

dengan memperhatikan struktur aljabar max-plus, akan dikonstruksikan aljabar

max-plus interval beserta relasi urutan di dalamnya.

Matriks atas Aljabar Max-Plus Interval:

Dengan memperhatikan hasil pada matriks atas aljabar max-plus dan hasil pada

aljabar max-plus interval di atas akan dikonstruksikan aljabar matriks atas aljabar

max-plus interval dan vektor max-plus interval, beserta relasi urutan di dalamnya.

14


20/59

Sistem Persamaan Linear Max-Plus (SPL):

Diperhatikan kembali hasil-hasil pada sistem persamaan max-plus dan hasil pada

dua pembahasan di atas akan dibahas eksistensi dan ketunggalan penyelesaian

SPL max-plus interval. SPL max-plus interval yang dibahas meliputi SPL input-

output dan SPL iteratif max-plus interval. Hasil pembahasan di sini akan

melandasi pembahasan sistem persamaan linear max-plus bilangan kabur.

Nilai Eigen dan Vektor Eigen Max-Plus Interval

Dengan memperhatikan hasil nilai eigen dan vektor eigen max-plus dan hasil-

hasil pembahasan di atas akan dibahas eksistensi dan ketunggalan nilai eigen dan

vektor eigen max-plus interval. Hasil pembahasan di sini akan melandasi

pembahasan sistem persamaan linear max-plus bilangan kabur.

TAHAP II ( T. II ) :

Tahap ini merupakan bagian utama penelitian ini. Penelitian dilakukan

dengan mencermati kembali hasil-hasil yang telah diperoleh dalam Tahap I dan

mengkombinasikannya dengan konsep bilangan kaburdan operasiannya melalui

potongan--nya yang didasarkan pada Teorema Dekomposisi. Tahap-tahap dan

rincian rencana kegiatan penelitian pada tahap ini adalah sebagai berikut.

Aljabar Max-Plus Bilangan Kabur:

Diperhatikan dan diselidiki proses konstruksi dan operasi bilangan kaburmelalui

potongan--nya yang didasarkan pada Teorema Dekomposisi. Selanjutnya dengan

memperhatikan struktur aljabar max-plus interval, akan dikonstruksikan aljabar

max-plus bilangan kabur.

Matriks atas Aljabar Max-Plus Bilangan Kabur:

15


21/59

Diperhatikan kembali hasil pembahasan matriks atas aljabar max-plus interval dan

aljabar max-plus bilangan kabur pada tahap sebelumnya. Selanjutnya akan

dikonstruksikan matriks atas aljabar max-plus bilangan kabur dan vektor max-

plus bilangan kabur beserta operasi dan sifat-sifatnya.

Sistem Persamaan Linear Max-Plus Bilangan Kabur:

Diperhatikan kembali hasil-hasil pada sistem persamaan max-plus interval dan

hasil pada tahap sebelumnya. Selanjutnya akan dibahas penyelesaian sistem

persamaan linear max-plus bilangan kabur, yang meliputi sistem input-output dan

sistem iteratif, beserta sifat-sifat yang terkait.

Nilai Eigen dan Vektor Eigen Bilangan Kabur:

Dengan memperhatikan hasil nilai eigen dan vektor eigen max-plus interval dan

hasil-hasil pembahasan pada tahap sebelumnya akan dibahas nilai eigen dan

vektor eigen max-plus bilangan kabur, serta sifat-sifatnya.

TAHAP III ( T. III ) :

Dalam tahap ini yang akan dibahas penerapan hasil-hasil pada Tahap II di

atas. Tahap-tahap dan rincian rencana kegiatan penelitian pada tahap ini adalah

sebagai berikut.

Penerapan Aljabar Max-Plus Bilangan Kabur pada Masalah Penjadwalan

Kabur: Mula-mula diperhatikan hasil-hasil pada penjadwalan dengan aljabar max-

plus. Selanjutnya dengan dengan jembatan hasil pembahasan penjadwalan kabur

yang telah diperoleh peneliti lain dan hasil-hasil penelitian di atas, akan dilakukan

pembahasan penyelesaian masalah penjadwalan kabur dengan menggunakan

aljabar max-plus bilangan kabur.

16


22/59

Penerapan Aljabar Max-Plus Bilangan Kabur pada Analisa Jaringan Antrian

Kabur:

Terlebih dahulu diperhatikan hasil-hasil pembahasan jaringan antrian type fork-

join taksiklik dengan pendekatan aljabar max-plus. Selanjutnya dengan dengan

jembatan hasil pembahasan jaringan antrian kabur yang telah diperoleh peneliti

lain dan hasil-hasil penelitian di atas, akan dilakukan pembahasan analisa jaringan

antrian type fork-join taksiklik kabur dengan menggunakan aljabar max-plus

bilangan kabur. Pembahasan meliputi pemodelan jaringan antrian dan analisa

waktu layanan siklisnya.

17


23/59

IV. KERANGKA PEMIKIRAN TEORITIS

Dari perumusan masalah, manfaat dan tujuan penelitian maupun

metodologi penelitian, maka dirumuskan kerangka pemikiran teoritis berikut yang

memberikan gambaran bagaimana penelitian ini secara teoritis akan menunjukkan

hubungan antara masalah dan dasar teori yang ada untuk menyelesaikan masalah

yang telah dirumuskan. Kerangka pemikiran teoritis diberikan sesuai dengan

tahap-tahap penelitian yang akan dilakukan, seperti yang diuraikan dalam metode

penelitian, yang meliputi tahap I sampai dengan tahap III.

IV. 1. Aljabar Max-Plus Interval

IV.1.1. Landasan Teori

Untuk mendukung penelitian pada tahap I, diperlukan teori-teori yang

telah dibahas pada aljabar max-plus, matriks atas aljabar max-plus, matriks atas

aljabar max-plus dan teori graf, sistem persamaan linear max-plus, nilai dan

vektor eigen max-plus, dan analisis interval idempoten. Teori-teori tersebut,

berikut ini diberikan dengan meringkas dari Rudhito, A (2003), dengan referensi

utama Bacelli, et.al. (2001), Schutter, B. De.,(1996), dan Schutter, B. De. and

Boom, T., (2000). Untuk analisis interval idempoten, landasan teori akan

diringkas dari Litvinov, G.L., Sobolevskii, A.N. (2001).

Aljabar Max-Plus

Diberikan R:= R{} dengan Radalah himpunan semua bilangan real

dan : = . Pada Rdidefinisikan operasi berikut:

18


24/59

a,b R, ab:= max(a, b) dan ab: = ab.

Telah diketahui bahwa (R, , ) merupakan semiring idempoten komutatif

dengan elemen netral = dan elemen satuan e= 0. Lebih lanjut (R, , )

merupakan semifield, yaitu bahwa (R , , ) merupakan semiring komutatif di

mana untuk setiap aR terdapat a sehingga berlaku a(a) = 0. Kemudian

(R , , ) disebut dengan aljabar max-plus, yang selanjutnya cukup dituliskan

dengan Rmax.

Dalam hal urutan pengoperasian (jika tanda kurang tidak dituliskan),

operasi mempunyai prioritas yang lebih tinggi dari pada operasi . Karena

(Rmax , ) merupakan semigrup komutatif idempoten, maka relasi m yang

didefinisikan pada Rmaxdenganx m ybila dan hanya bilaxy= y merupakan

urutan parsial pada Rmax. Lebih lanjut relasi ini merupakan urutan total pada

Rmax. Karena Rmax merupakan semiring idempoten, maka operasi dan

konsisten terhadap urutan m , yaitu a,b,c Rmax , jika a m b , maka ac

m bc, dan ac m b c. Aljabar max-plus Rmaxtidak memuat pembagi nol

yaitu x, y Rberlaku: jikax y= makax= atauy= .

Matriks atas Aljabar Max-Plus

Operasi dan pada Rmax dapat diperluas untuk operasi-operasi matriks

dalam : = {A = (Aij)AijRmax, untuk i = 1, 2, ..., m dan j = 1, 2, ..., n}.

Dapat ditunjukkan bahwa ( , , ) merupakan semiring idempoten dengan

elemen netral matriks dan elemen satuan matriksE.

nmmaxR

nnmaxR

19


25/59

Telah diketahui bahwa merupakan semimodul atas Rmax.

Didefinisikan := { x = [ x1, x2, ... , xn]T | xi R max, i = 1, 2, ... , n}.

Perhatikan bahwa dapat dipandang sebagai , sehingga merupakan

semimodul atas Rmax. Unsur-unsur dalam disebur vektor atas Rmax. Karena

Rmax merupakan semifield maka untuk setiap x dalam dapat

didefinisikan x= [x1, x2, ... , xn ]T.

nmmaxR

n

maxR

nRmax1

max

nR nmaxR

R

n

maxR

n

max

Relasi m yang didefinisikan pada dengan Anm

maxR m B bila dan

hanya bilaA B=B merupakan urutan parsial pada . Perhatikan bahwa AnmmaxR

m B bila dan hanya bila A B=B bila dan hanya bilaAijBij=Bijbila dan

hanya bila Aij m Bij untuk setiap i danj. Dalam ( , , ), operasi dan

konsistenterhadap urutan

nmmaxR

m , yaitu A,B,C , jikaAn

max

nR m B, makaA

C m BC, danAC m B C .

Matriks atas Aljabar Max-Plus dan Teori Graf

Graf preseden dari matriksA adalah graf berarah berbobot G(A) =

(V, A) denganV= {1, 2, ... , n}, A = {(j, i)|w(i, j) = Aij}. Sebaliknya untuk

setiap graf berarah berbobot G= (V, A) selalu dapat didefinisikan suatu matriks

A denganAij= , yang disebut matriks bobotgraf

G. Suatu rumus bobot rata-rata maksimum sirkuit elementer dalam G(A),

dilambangkan dengan max(A)), adalah max(A) = (

nnmaxR

)

(

ij

ij

,

),nn

maxR

.(jika

jika

A

Aijw

,

,),(

n

k 1 k

1ii

kn

A )(1i

).

20


26/59

Suatu matriks A dikatakan semi-definit jika semua sirkuit dalam

G(A) mempunyai bobot takpositif dan dikatakan definitjika semua sirkuit dalam

G(A) mempunyai bobot negatif. Diberikan A . JikaAsemi-definit, maka

p n,

nnmaxR

nnmaxR

pA m E A ... . Diberikan matriks semi-definit

A , maka dapat didefinisikanA* : = E A... ... .

Suatu matriks A dikatakan irredusibel jika graf presedennya terhubung

kuat. Suatu matriks A irredusibel jika dan hanya jika (A ...

)ij, untuk setiapi, jdengan i j.

1nA

nnmaxR

1n

nA

1nA

A

nn

maxR

nnmaxR

2

A

Sistem Persamaan Linear Max-Plus

DiberikanA R anb nmaxR . r xnn

max d Vekto n

mR disebut penyele-

saiansistem persamaan linear max-plus (input-output) Ax=bjika memenuhi

A x

ax sub

m b. Suatu subpenyelesaian x dari sistem A x = b disebut

subpenyelesaian terbesar sistem A x = b jika x m x

nmax

untuk setiap

subpenyelesaian dari sistem Ax=b. DiberikanA dengan unsur-

unsur setiap kolomnya tidak semuanya sama dengan danb Rn.

x nR

Subpenyelesaian terbesar Ax=bada dan diberikanoleh = (AT

(b)). Jika A semi-definit, maka x* =A* b merupakan suatu penyelesaian

sistem persamaan linear max-plus (iteratif) x =A x b. Lebih lanjut jika A

definit, maka sistem persamaan linear tersebut mempunyai penyelesaian tunggal.

x

21


27/59

Nilai Eigen dan Vektor Eigen Max-Plus

Diberikan A . Skalar Rmax disebut nilai eigen max-plus

matriksAjika terdapat suatu vektor v dengan v n1sehinggaA v=

v. Vektor v tersebut disebut vektor eigen max-plus matriks A yang

bersesuaian dengan . DiberikanA . Skalarmax(A), yaitu bobot rata-rata

maksimum sirkuit elementer dalamG(A), merupakan suatu nilai eigen max-plus

matriksA. UntukB = max(A) A, jika = 0, maka kolom ke-i matriks

nnmaxR

n

maxR

nnmaxR

Bii*B

merupakan vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen max(A). Kolom-

kolom ke-i matriks *B di atas, yang merupakan vektor eigen yang bersesuaian

dengan nilai eigen max(A), disebut vektor-vektor eigen fundamental yang

bersesuaian dengan nilai eigen max(A). Dapat ditunjukkan bahwa kombinasi

linear max-plus vektor-vektor eigen fundamental matriks A juga merupakan

vektor eigen yang berseuaian dengan max(A).

Jika skalar Rmax, merupakan nilai eigen max-plus matriksA, maka

merupakan bobot rata-rata suatu sirkuit dalamG(A), sehingga max(A) merupakan

nilai eigen max-plus maksimum matriks A. Jika matriks irredusibel A

mempunyai nilai eigen max-plusdenganx sebagai vektor eigen max-plus yang

bersesuaian dengan, makaxi untuk setiap i {1, 2, ..., n}. Jika matriksA

irredusibel, maka A mempunyai nilai eigen max-plus tunggal, yaitu

max(A).

nnmaxR

nnmaxR

22


28/59

Analisis Interval Idempoten

Misalkan S adalah himpunan terurut parsial dengan relasi . Suatu

interval (tertutup) dalam S adalah himpunan bagian Syang berbentuk x = [ x , x ]

= {x S x x x }, dengan x , x S berturut-turut disebut batas bawahdan

batas atasinterval [ x , x ]. Misalkan xdan y adalah interval dalam S. Perhatikan

bahwa interval xyjika dan hanya jika y x x y . Secara khusus x = yjika

dan hanya jika x = y dan x = y . Sebuah interval dengan x dengan x = x

merepresentasi suatu elemen dalam S.

Diberikan (S, +, ) adalah suatu semiring idempoten dan tidak memuat

pembagi nol, dengan elemen netral 0. Didefinisikan

I(S) = {x= [ x , x ] x , x S, 0 x x }{[0, 0]}.

Pada I(S) didefinisikan operasi dan dengan

x y= [ x + y , x + y ] dan x y= [ x y , x y] , x, yI(S).

Untuk operasi dan yang didefinisikan pada (I(S) berlaku

x y= [ x + y, x + y ] =inf{zI(S)z x + y} dan

x y = [ x y , x y ] = inf{z I(S)z x y},

x, yI(S), di mana x + y = {t St =x +y ,x x,y y} dan

x y = {t St =x y ,x x,y y}.

Dapat ditunjukkan bahwa (I(S), , ) merupakan semiring idempoten dengan

elemen netral 0I= [0, 0] dan elemen satuan 1I= [1, 1].

23


29/59

IV.1.2. Kerangka Pemikiran Teoritis

Dari rumusan masalah, landasan teori dan pentahapan penelitian di atas,

diberikan kerangka teoritis untuk tahap I penelitian ini sebagai berikut:

i. Karena aljabar max-plus Rmax merupakan semiring idempoten yang tidak

memuat pembagi nol, maka dapat didefinisikan I(Rmax) dengan operasi

maximum dan penjumlahan interval yang bersesuaian di dalamnya. Karena

operasi pada interval didefinisikan komponen demi komponen, maka

kemungkinan besar sifat-sifat operasi pada interval akan merupakan akibat

dari sifat-sifat operasi dari semiring idempoten yang membentuknya. Relasi

urutan pada Rmax dapat diperluas menjadi urutan pada I(Rmax) secara

komponen demi komponen. Karena interval dapat dipandang sebagai

pasangan terurut, maka relasi urutan pada interval hanya merupakan relasi

urutan parsial, bukan urutan total.

ii. Karena operasi pada matriks atas aljabar max-plus merupakan perluasan

operasi pada aljabar max-plus, maka operasi pada aljabar max-plus interval

juga dapat diperluas menjadi operasi pada matriks atas aljabar max-plus

interval. Seperti halnya dalam matriks atas aljabar max-plus, di mana sebagian

besar sifat-sifat operasinya merupakan akibat sifat-sifat operasi pada unsur-

unsurnya, demikian juga akan terjadi pada matriks atas aljabar max-plus

interval. Karena operasi pada interval didefinisikan secara komponen demi

komponen, dan dalam matriks atas aljabar max-plus operasi-operasinya

bersifat konsisten, maka operasi matriks atas aljabar max-plus interval dapat

dilakukan melalui operasi interval matriks yang bersesuaian. Interval matriks

24


30/59

ini merupakan interval dengan batas bawahnya adalah matriks dengan unsur-

unsurnya berupa batas-batas bawah unsur-unsur matriks interval, sedangkan

batas atasnya adalah matriks dengan unsur-unsurnya berupa batas-batas atas

unsur-unsur matiks interval. Karena interval matriks di atas dapat dipandang

sebagai himpunan matriks, maka sifat semi-definit dan irredusibel matriks

interval dapat didefinisikan melalui sifat semi-definit dan irredusibel matriks-

matriks dalam interval matriks yang bersesuaian. Dengan memperhatikan

syarat perlu dan cukup pada sifat semi-definit dan irredusibel matriks atas

aljabar max-plus, dapat ditentukan syarat perlu dan cukup pada sifat semi-

definit dan irredusibel matriks atas aljabar max-plus interval, dengan hanya

memperhatikan sifat semi-definit dan irredusibel batas-batas interval matriks

yang bersesuaian.

iii.Karena operasi-operasi pada matriks atas aljabar max-plus bersifat konsisten,

maka penyelesaian SPL max-plus interval dapat ditentukan melalui

penyelesaian SPL dengan matriks koefisiennya adalah batas-batas interval

matriks yang bersesuaian dengan matriks koefisien SPL max-plus interval

tersebut.

iv. Karena operasi-operasi pada matriks atas aljabar max-plus bersifat konsisten,

maka nilai eigen interval dari suatu matriks max-plus interval dapat

ditentukan melalui nilai eigen max-plus batas-batas interval matriks yang

bersesuaian dengan matriks max-plus interval tersebut. Karena vektor eigen

yang bersesuaian dengan suatu nilai eigen dapat diperoleh dengan melakukan

kombinasi linear vektor-vektor fundamentalnya, maka dapat disusun suatu

25


31/59

vektor eigen interval yang bersesuaian dengan nilai eigen interval yang telah

diperoleh.

IV.1.3. Hipotesis

Berdasarkan kerangka teoritis di atas, diajukan hipotesis-hipotesis untuk

tahap I penelitian ini sebagai berikut:

i. Himpunan I(Rmax) dengan operasi maximum dan penjumlahan interval yang

bersesuaian di dalamnya merupakan semiring idempoten komutatif. Relasi

urutan yang didefinisikan dalam aljabar I(Rmax) di atas merupakan relasi

urutan parsial. Himpunan semua bilangan kabur dengan operasi maximum dan

penjumlahan di dalamnya merupakan semiring idempoten komutatif. Relasi

urutan yang didefinisikan dalam aljabar himpunan semua bilangan kabur di

atas merupakan relasi urutan parsial.

ii. Himpunan semua matriks interval persegi dengan operasi maximum dan

penjumlahan di dalamnya merupakan semiring idempoten. Himpunan semua

interval matriks (dari suatu matriks interval tersebut) dengan operasi

maximum dan penjumlahan di dalamnya juga merupakan semiring idempoten.

Kedua semiring idempoten tersebut isomorfis. Himpunan semua matriks

interval dengan operasi maximum dan perkalian skalar di dalamnya

merupakan semimodul atas aljabar max-plus interval. Himpunan semua

interval matriks (dari suatu matriks interval tersebut) dengan operasi

maximum dan perkalian skalar di dalamnya juga merupakan semimodul atas

aljabar max-plus interval. Kedua semimodul tersebut isomorfis. Suatu matriks

interval semidefinit jika dan hanya jika batas atas interval matriks yang

26


32/59

bersesuaian semidefinit. Suatu matriks interval irredusibel jika dan hanya jika

batas bawah interval matriks yang bersesuaian irredusibel.

iii.Eksistensi dan ketunggalan SPL max-plus interval dijamin berturut-turut oleh

eksistensi dan ketunggalan penyelesaian SPL dengan matriks koefisiennya

adalah batas-batas interval matriks yang bersesuaian dengan matriks koefisien

SPL max-plus interval tersebut.

iv. Eksistensi dan ketunggalan nilai eigen max-plus interval suatu matriks atas

aljabar max-plus interval dijamin berturut-turut oleh eksistensi dan

ketunggalan nilai eigen batas-batas interval matriks yang bersesuaian.

IV.1.4. Rencana Penelitian

Langkah-langkah yang akan ditempuh dalam penelitian tahap I ini adalah:

1.Melakukan perluasan dari aljabar max-plus menjadi aljabar max-plus

interval.

2.Melakukan perluasan dari matriks atas aljabar max-plus menjadi matriks

aljabar max-plus interval.

3.Menyelesaikan sistem persamaan linear max-plus interval.

4.Menentukan nilai eigen dan vektor eigen max-plus interval.

IV.1.5. Modal Pengetahuan yang Dibutuhkan

Untuk mendukung penelitian pada tahap I ini, dibutuhkan modal

pengetahuan yang berupa konsep-konsep dasar pada semiring, semimodul dan

teori graf. Secara lebih rinci pengertian-pengertian dan konsep-konsep dasar

adalah sebagai berikut.

27


33/59

Semiring

Konsep-konsep dasar yang diperlukan meliputi: pengertian dan sifat-sifat

semiring yang meliputi semiring idempoten, semiring komutatif, semifield, relasi

urutan, konsistensi urutan, semiring yang tidak memuat pembagi nol. Di samping

itu juga diperlukan konsep-konsep dasar matriks atas semiring, yang meliputi

operasi matriks dan sifat-sifatnya, operasi perpangkatan, relasi urutan di

dalamnya dan sifat-sifat semiring yang terkait.

Semimodul


semimodul atas semiring, yang juga meliputi relasi urutan di dalamnya. Di

samping itu diperlukan juga konsep-konsep dasar dalam semimodul khusus untuk

matriks atas semiring dan vektor atas semiring.

Teori Graf


graf berarahyang meliputi konsep-konsep dasar titik, busur, lintasan,sirkuit, graf

berarah yang terhubung kuat, matriks adjesens, graf berarah berbobot, graf

preseden, dan bobot suatu lintasan.

IV. 2. Aljabar Max-Plus Bilangan Kabur


Untuk mendukung penelitian pada tahap II, selain hasil-hasil yang

diperoleh dalam tahap I di atas, juga diperlukan teori-teori yang telah dibahas

28


34/59

pada himpunan dan bilangan kabur. Berikut diberikan teori-teori yang diringkas

dari Zimmermann, H.J., (1991), Lee, K.H. (2005) dan Susilo, F. (2006).

Himpunan dan Bilangan Kabur

Teorema Dekomposisi

Jika A adalah potongan- himpunan kabur A~

dalam semesta X dan A~

adalah

himpunan kabur dalam X dengan fungsi keanggotaan A~ (x) = A (x) , di

mana A adalah fungsi karakteristik himpunanA, maka

~=

1][0,

~

A .

Teorema Dekomposisi menyatakan bahwa suatu himpunan kabur dapat

dinyatakan dengan menggunakan potongan-potongan--nya. Sifat-sifat himpunan

tegas dapat digeneralisir ke dalam himpunan kabur melalui representasi potongan-

potongan--nya, dengan mempersyaratkan bahwa sifat tersebut dipenuhi oleh

semua potongan-dari himpunan kabur yang bersangkutan.

Operasi-operasi aritmatika pada bilangan kabur dapat didefinisikan dengan

menggunakan prinsip perluasan (extension principle) atau dengan menggunakan

potongan-. Dengan menggunakan prinsip perluasan dapat didefinisikan operasi-

operasi aritmatika pada bilangan fuzzy, di antaranya adalah operasi maximum dan

penjumlahan berikut. Misalkan a~ dan b~

adalah bilangan-bilangan fuzzy. Operasi

maximum bilangan fuzzy a~ dan b~

, yaitu max( a~ , b~

) adalah bilangan fuzzy

dengan fungsi keanggotaan:)

~,~ bamax{

(z) = min{},ymax{

supxz

a~ (x), b~ (x)}. Operasi

29


35/59

penjumlahan bilangan fuzzy a~ dan b~

, yaitu a~ + b~

adalah bilangan fuzzy dengan

fungsi keanggotaan:)

~~ ba (z) = min{yxz

sup a~ (x), b~ (x)}.

Dengan menggunakan potongan-, operasi maximum dan penjumlahan pada

bilangan fuzzy dapat didefinisikan sebagai berikut:

Misalkan a~ dan b~

adalah bilangan-bilangan fuzzy dengan potongan-berturut-

turut adalah a = [ , a ] dan b = [

a

b ,b ], dengan

a dan a berturut-turut

adalah batas atas dan batas bawah interval a, untuk banalog.

i) Operasi maximum bilangan fuzzy a~ dan b~

, yaitu a~ ~ b~

= max( a~ , b~

)

adalah bilangan fuzzy dengan potongan-:

(ab) := [

a

b , a b ], untuk setiap [0, 1]

ii) Operasi maximum bilangan fuzzy a~ dan b~

, yaitu a~ ~ b~ = a~ + b~

adalah

bilangan fuzzy dengan potongan-:

(ab) := [

a b , a b ], untuk setiap [0, 1].

Dapat ditunjukkan bahwa potongan- yang didefinisikan pada operasi di atas

memenuhi syarat sebagai potongan- dari suatu bilangan kabur, yaitu berupa

interval tersarang (nested interval). Selanjutnya dengan menggunakan Teorema

Dekomposisi diperoleh bahwa a~ ~ b~

= c =~ [0,1]

~ cc , di mana

~ adalah himpunan

kabur dalam R dengan fungsi keanggotaan (x) = (x) , di mana

adalah fungsi karakteristik himpunan (a b). Sedangkan untuk operasi

c~ )ba

(

ba

)(

a~ ~ b~

analog.

30


36/59

Telah diketahui bahwa operasi maximum dan penjumlahan bilangan kabur

dengan menggunakan prinsip perluasan dan dengan menggunakan potongan-

adalah ekivalen. Dalam Hanss, Michael (2005) disebutkan bahwa operasi bilangan

kabur dengan menggunakan potongan- dalam implementasinya tidak lebih

rumit. Sementara dalam Buckley, James J (2005) disebutkan bahwa operasi

bilangan kabur dengan menggunakan potongan- lebih memudahkan pengguna

dan perhitungannya dengan menggunakan komputer. Dengan demikan, dalam

penelitian ini operasi maximum dan penjumlahan bilangan kabur akan

didefinisikan melalui potongan--nya.


Dari rumusan masalah dan landasan teori di atas diberikan kerangka

teoritis sebagai berikut:

i. Karena operasi pada bilangan kabur dengan menggunakan potongan-, yang

berupa interval tertutup, maka sifat-sifat operasi pada bilangan kabur akan

sejalan dengan sifat-sifat operasi pada interval. Relasi urutan pada bilangan

kabur dapat didefinisikan melalui potongan--nya.

ii. Karena operasi bilangan kabur didefinisikan melalui potongan-, maka

operasi dalam matriks atas aljabar max-plus bilangan kabur dapat dilakukan

melalui matriks potongan-yang berupa matriks interval, sehingga hasil-hasil

yang serupa pada matriks interval dapat digunakan.

iii.Karena operasi bilangan kabur didefinisikan melalui potongan-, maka SPL

max-plus bilangan kabur dapat ditentukan melalui SPL potongan--nya, yang

31


37/59

berupa SPL max-plus interval. Sifat interval tersarang potongan--

penyelesaian dapat dijamin karena sifat konsisten operasi-operasi matriks atas

aljabar max-plus.

iv. Karena operasi bilangan kabur didefinisikan melalui potongan-, maka nilai

eigen dan vektor eigen max-plus bilangan kabur dapat ditentukan melalui nilai

eigen potongan--nya. Sifat interval tersarang potongan-- nilai eigen dapat

dijamin karena sifat konsisten operasi-operasi matriks atas aljabar max-plus.

Sifat interval tersarang potongan-- vektor eigen dapat dijamin karena vektor

eigen dapat ditentukan dengan melakukan kombinasi linear vektor-vektor

eigen fundamentalnya.

IV.1.3. Hipotesis

Berdasarkan kerangka teoritis di atas, diajukan hipotesis berikut:

i. Himpunan semua bilangan kabur dengan operasi maximum dan penjumlahan

di dalamnya merupakan semiring idempoten komutatif. Relasi urutan yang

didefinisikan dalam aljabar himpunan semua bilangan kabur di atas

merupakan relasi urutan parsial.

ii. Himpunan semua matriks bilangan kabur persegi dengan operasi maximum

dan penjumlahan di dalamnya merupakan semiring idempoten. Himpunan

semua matriks bilangan kabur dengan operasi maximum dan perkalian skalar

di dalamnya merupakan semimodul atas aljabar max-plus bilangan kabur.

Suatu matriks bilangan kabur semidefinit jika dan hanya jika batas atas

interval matriks yang bersesuaian dengan matriks potongan-, untuk = 0

32


38/59

semidefinit. Suatu matriks bilangan kabur irredusibel jika dan hanya jika batas

bawah interval matriks yang bersesuaian dengan matriks potongan-, untuk

= 0 irredusibel.

iii.Eksistensi dan ketunggalan SPL max-plus bilangan kabur dijamin oleh SPL

potongan--nya, yang berupa SPL max-plus interval, yang menyusunnya.

iv. Eksistensi dan ketunggalan nilai eigen max-plus bilangan kabur dijamin oleh

nilai eigen max-plus matriks potongan--nya, di mana matriks potongan--

nya berupa matriks atas aljabar max-plus interval.


Langkah-langkah yang akan ditempuh dalam tahap II penelitian ini adalah:

1. Melakukan perluasan dari aljabar max-plus interval menjadi aljabar max-

plus bilanganfuzzy.

2. Melakukan perluasan dari matriks atas aljabar max-plus interval menjadi

matriks aljabar max-plus bilanganfuzzy.

3. Menyelesaikan sistem persamaan linear max-plus bilanganfuzzy.

4. Menentukan nilai eigen dan vektor eigen max-plus interval bilangan

fuzzy.

IV.2.5. Modal Pengetahuan Awal yang Dibutuhkan

Untuk mendukung penelitian pada tahap II ini, selain modal pengetahuan

awal yang telah diberikan pada tahap I di atas, juga diperlukan pengertian dan

33


39/59

konsep-konsep dasar pada himpunan dan bilangan kabur. Secara lebih rinci

pengertian-pengertian dan konsep-konsep dasar adalah sebagai berikut.

Himpunan Kabur

Konsep-konsep dasar yang diperlukan meliputi pengertian dan sifat-sifat

dasar himpunan kabur, pendukung (support), tinggi (height), sifat normal,

potongan-, sifat konvekssuatu himpunan kabur.

Bilangan kabur


dasar bilangan kabur, operasi-operasi pada bilangan kabur, bilangan kabur

segitiga.

IV.3. Penerapan Aljabar Max-Plus Bilangan Kaburpada Masalah

Penjadwalan dan Jaringan Antrian Kabur


Untuk mendukung penelitian tahap III, selain hasil-hasil yang diperoleh

dalam tahap IIdi atas, juga diperlukan teori-teori tentang penjadwalan (proyek)

dengan pendekatan aljabar max-plus, pemodelan dan analisa jaringan antrian

dengan pendekatan aljabar max-plus.

Masalah Penjadwalan dengan Pendekatan Aljabar Max-Plus

34


40/59

Teori-teori tentang pemodelan dan analisa penjadwalan proyek

menggunakan aljabar max-plus berikut ini diringkas dari Bacelli, F (2001) dan

Rudhito, A. (2004) serta pengembangan yang telah dilakukan peneliti.

Misalkan = waktu paling awal titiki dapat mulai aktif ,eix

Aij =

.j, i

ij,ij

A

A

)(jika),(

)(jika,titikketitikdariaktifitaswaktu

Diasumsikan bahwaxi= 0, kemudian dapat dituliskan

ex

e

x

i = (1)

.1jika,)(max

1jika,0

1ixA

ie

jijnj

Dengan menggunakan notasi aljabar max-plus persamaan di atas dapat dituliskan

menjadi

i= (2)

1ijika,)(1ijika,0

jijnj1 .

e

xA

Misalkan A adalah matriks bobot graf berarah berbobot jaringan tersebut, xe =

[ , , ... , ]Tdanbe= [0, , ... , ]T, persamaan (2) dapat dituliskan menjadiex1

ex2exn

xe = A xebe (3)

Karena jaringan proyek merupakan graf berarah taksiklik, maka tidak terdapat

sirkuit, sehingga semua sirkuit dalam jaringan mempunyai bobot nonpositif.

Dengan demikian

xe =A*be (4)

merupakan penyelesaian sistem (3) di atas. Karena jumlah titik dalam jaringan

proyek ini adalah n , maka panjang lintasan terpanjangnya tidak akan melebihi

n 1. Dengan demikian dalam hal ini persamaan (4) dapat ditulis menjadi

35


41/59

xe =A*be = (E A... ) be (5)1nA

Perhatikan bahwa (A*)n1 merupakan bobot maksimum lintasan dari titik awal

hingga titik akhir proyek, sehinggaxnmerupakan waktu penyelesaian proyek.

Arah sebaliknya (backward):

Misalkan = waktu paling lambat titik i harus mulai aktif ,lix

Bij =

.)(jika),(

)(jika,titikketitikdariaktifitaswaktu

A

A

j, i

ij,ji

Diasumsikan bahwayn=xn, kemudian dapat dituliskan

l

l

ix = (6)

.1jika,)(min

jika,

1ixB

nixl

jijnj

n

Dengan menggunakan notasi aljabar max-plus persamaan di atas ekivalen dengan

= (7)ix

.1jika,)(max

jika,

jij1

ixB

nix

lnj

n

Perhatikan bahwa matriks B = AT, dengan A adalah matriks bobot graf berarah

berbobot jaringan tersebut. Misalkan z = [z1,z2, ... ,zn]T= xl= [ , , ... ,

]T danbl= [, , ... , xn]T, persamaan (7) dapat dituliskan menjadi z =

ATz bl. (8)

lx1lx2

lxn

Dengan alasan seperti di atas, sistem persamaan (8) mempunyai penyelesaian

z = (AT)* bl. (9)

Dengan demikian diperoleh vektor waktu paling lambat yaituxl = z.

Waktu ambang (slack) untuk titik ke-iadalahsi = , untuk i = 1, 2, ..., n.lxiexi

Jika dituliskan dalam bentuk vektor, diperoleh vektor waktu ambang s =xlxe

36


42/59

Waktu ambang (slack) untuk aktifitas (i, j) Aadalah Sij= Aij.ljxe

ix

Jika dituliskan dalam bentuk matriks akan diperoleh matriks waktu ambang

S =L KA denganLadalah matriks dengan semua kolomnya adalah vektor xl

danK adalah matriks dengan semua barisnya adalah vektor baris (xe)T.

Penjadwalan Kabur

Teori-teori tentang penjadwalan kabur berikut ini diringkas dari Chanas,

S., Zielinski, P. (2001) dan Soltoni, A., Haji, R. (2007).

Misalkan: St~

= waktu proyek dimulai,

je~ =waktu paling awal kabur dari kejadianj,

ijse~ = waktu mulai paling awal kabur aktifitas (i,j),

ij

fe~

= waktu penyelesaian paling awal kabur aktifitas (i,j),

Ft~

= waktu kabur proyek diselesaikan. Waktu paling awal dan

penyelesaian proyek kabur ini dapat diselesaikan dengan menggunakan

perhitungan maju kabur (fuzzy forward pass calculation), melaluipersamaan-

persamaan berikut:

je~ =

)(

)(}{max)(

jP,t~

jP,d~~e~

s

ijijPi , ijse~ = je~ , ijfe~ = ijse~ ~ ijd~ ,

Ft~

= {Vi

max ie~ }.

Misalkan il~

= waktu mulai paling lambat kabur kejadian i.

ijf~l = waktu penyelesaian paling lambat kabur aktifitas (i,j)

ijs~l = waktu mulai paling lambat kabur aktifitas (i,j)

37


43/59

Waktu paling lambat kabur kejadian iini dapat diselesaikan dengan menggunakan

perhitungan mundur kabur (fuzzy backward pass calculation), melaluipersamaan-

persamaan berikut:

il~

=

)(

)(}{min

iS,t~

iS,d~~

e~

F

ijj)i(Sj , ijf

~l = il

~, ijs

~l = ijf~l

~ijd

~

Misalkan ijf~t = waktu ambang total kabur aktifitas (i,j)

ijf~

f = waktu ambang bebas kabur aktifitas (i,j)

ijf~i = waktu ambang independen kabur aktifitas (i,j).

Metode CPM yang sudah dikenal, dapat diterapkan untuk menghitung waktu-

waktu ambang tersebut, melalui persamaan-persamaan berikut:

ijf~t = ijf

~l

~ijfe

~, ijf

~f = je

~~

ijfe~

, ijf~i = je

~~

il~

~

ijd~

.

Pemodelan dan Analisa Jaringan Antrian dengan Pendekatan Aljabar Max-

Plus

Teori-teori tentang pemodelan dan analisa jaringan antrian menggunakan

aljabar max-plusberikut ini diringkas dari Krivulin, N.K., 2000 dan Krivulin,

N.K., 2001, serta pengembangan oleh peneliti.

Misalkan ai(k) = waktu kedatangan pelanggan ke-kpada titik i.

di(k) = waktu keberangkatan pelanggan ke-kpada titik i.

tik = lama waktu layanan untuk pelanggan ke-kpada pelayan i.

38


44/59

Diasumsikan jaringan mulai beroperasi pada nol waktu, yaitu bahwa di(0) = 0 dan

di(k) = untuk semua k 0, i = 1, ..., n. Dinamika antrian pada titik i dapat

dinyatakan dengan

di(k) = max(tik + ai(k), tik + di(k1)) (10)

ai(k) = (11)

.)(jika,

,)(jika)),((max)(

iP

iPkdjiPj

Dengan notasi aljabar max-plus persamaan (10) dan (11) dapat dituliskan sebagai

berikut

di(k) = tik ai(k) tik di(k1) (12)

ai(k) = (13)

.)(jika,,

,)(jika),()(

iP

iPkdjiPj

Misalkan d(k) = [ d1(k), d2(k), ... , dn(k)]T, a(k) = [ a1(k), a2(k), ... , an(k)]

Tdan

Tk= . Persamaan (12) dan (13) di atas dapat dituliskan menjadi

nk

k

t

t

1

d(k) = Tk a(k) Tk d(k 1). (14)

a(k) = G d(k), (15)

dengan matriks G yangunsur-unsur adalah Gij= .

lainyanguntuk,

)(jika,0

iPj

Perhatikan bahwa G merupakan matriks adjesensi dari graf stuktur jaringan

antrian. Dari persamaan (5) dan (6) dapat dituliskan persamaan

d(k) = Tk G d(k) Tk d(k 1). (16)

39


45/59

Diberikan jaringan antrian fork-join tak siklik dengan graf struktur

jaringannya yang mempunyai panjang lintasan terpanjang pdan matriks adjesensi

G. Persamaan state eksplisit jaringan tersebut adalah

d(k) =A(k) d(k 1), (17)

denganA(k)= (E (TkG))p Tk .

Jaringan antrianfork-join taksiklik kapasitas penyangga takhingga, dengan

persamaan state eksplisit jaringan tersebut adalah d(k) =A(k) d(k 1), dengan

k = 1, 2, ..., mempunyai waktu siklus layanan

= ))((max1

lim kdk

iik

= max(A) = (n

k 1 k

1trace ),)(

kA

yaitu bobot rata-rata maksimum sirkuit elementer dalam graf preseden matriks A

tersebut.

Jaringan Antrian Kabur

Dalam Lthi, J., Haring, G. (1997), masalah jaringan antrian kabur

dilakukan dengan memandang waktu dan parameter sebagai bilangan kabur.

Misalkankd

~ = parameter permintaan layanan kabur pada pelayan ke-k,

~ = rata-rata waktu kedatangan kabur jaringan,

ku~ = banyaknya rata-rata pekerjaan kabur pada pelayan ke-k,

kr~ = waktu respon kabur pada pelayan ke-k,

kq~ = panjang antrian rata-rata kaburpada pelayan ke-k.

40


46/59

Bilangan-bilangan kabur di atas berturut-turut dapat dinyatakan potongan- dan

diperoleh hasil, dengan menggunakan aritmatika kabur dan teori antrian, sebagai

berikut: = [

kd

kd ,

kd ] , = [ ,

], = . = [

ku

kd .

kd , kd ]

= / (1 ) = [kr

kd

ku

kd /(1 .

kd ), /(1

kd kd )].

kq = / (1 ) = [

ku

ku /(1 . kd ),

/(1 kd ).

Dengan demikian dalam jaringan fork-join di atas dapat dilakukan dengan

membawa waktu dan parameter ke dalam versi kabur, seperti:

ia~ (k) = waktu kedatangan kabur pelanggan ke-kpada titik i

id~

(k) = waktu keberangkatan kabur pelanggan ke-kpada titik i.

ikt~

= lama waktu layanan kabur untuk pelanggan ke-kpada pelayan i.

~

= waktu siklus layanan kabur.


i. Masalah penjadwalan proyek dapat dimodelkan dengan menerapkan metode

PERT/CPM dengan pendekatan aljabar max-plus ke dalam sistem persamaan

linear iteratif max-plus. Karena penjadwalan kabur dapat dimodelkan dengan

menerapkan metode PERT/CPM ke dalam versi kabur, maka penjadwalan

kabur dapat dimodelkan dengan pendekatan aljabar max-plus bilangan kabur

dengan menyatakannya ke dalam sistem persamaan linear iteratif max-plus

bilangan kabur. Karena penyelesaian model masalah penjadwalan dapat

dilakukan dengan menyelesaikan sistem persamaan linear iteratif max-plus,

41


47/59

maka penyelesaian model masalah penjadwalan kabur dapat dilakukan dengan

menyelesaikan sistem persamaan linear iteratif max-plus bilangan kabur.

ii. Dinamika jaringan antrian fork-join dapat dimodelkan dengan pendekatan

aljabar max-plus ke dalam suatu persamaan state eksplisit yang berupa suatu

sistem persamaan linear max-plus. Karena jaringan antrian kabur adalah

jaringan antrian dengan membawa waktu ke dalam versi waktu kabur, maka

jaringan antrian fork-join kabur dapat dimodelkan dengan pendekatan aljabar

max-plus bilangan kabur dengan menyatakannya persamaan state eksplisitnya

ke dalam sistem persamaan linear max-plus bilangan kabur. Karena analisis

input-output dapat dilakukan dengan menyelesaikan sistem persamaan linear

max-plus, maka analisis input-output penjadwalan kabur dapat dilakukan

dengan menyelesaikan sistem persamaan linear max-plus bilangan kabur.

Lebih lanjut analisis waktu siklus layanan kabur (sifat periodik jaringan) dapat

dilakukan dengan menganalisi nilai eigen max-plus bilangan kabur dari

matriks dalam sistem persamaan linear yang terlibat.

IV.5.3. Hipotesis

i. Masalah penjadwalan kabur dapat dimodelkan dengan pendekatan aljabar

max-plus bilangan kabur ke dalam sistem persamaan linear max-plus bilangan

kabur. Pemodelan masalah penjadwalan kabur di atas dapat dilakukan dengan

menyelesaikan sistem persamaan linear max-plus bilangan kabur.

ii. Dinamika jaringan antrian fork-join kabur dapat dimodelkan dengan

pendekatan aljabar max-plus bilangan kabur dengan menyatakannya

42


48/59

persamaan state eksplisitnya ke dalam sistem persamaan linear max-plus

bilangan kabur. Analisis input-output penjadwalan kabur dapat dilakukan

dengan menyelesaikan sistem persamaan linear max-plus bilangan kabur.

Lebih lanjut analisis waktu siklus layanan kabur dapat dilakukan melalui nilai

eigen max-plus bilangan kabur dari matriks persamaan statenya.


Untuk menyelesaikan masalah kelima dan keenam, maka langkah-langkah

yang akan ditempuh dalam penelitian ini adalah:

1. Memodelkan dan menyelesaikan masalah penjadwalan fuzzy dengan

menggunakan aljabar max-plus bilanganfuzzy.

2. Memodelkan dan menganalisa jaringan antrianfuzzytipefork-jointaksiklik

dengan menggunakan aljabar max-plus bilanganfuzzy.

IV.3.5. Modal Pengetahuan yang Dibutuhkan

Untuk mendukung tahap III penelitian ini, selain modal pengetahuan yang

dibutuhkan dalam tahap I dan II di atas, juga diperlukan pengetahuan dan konsep-

konsep dasar dalam riset operasi, khususnya tentang penjadwalan proyek dan

jaringan antrian dengan fork-join. Secara lebih rinci pengertian-pengertian dan

konsep-konsep dasar adalah sebagai berikut.

43


49/59

Penjadwalan Proyek


dasar jaringan proyek S, aktifitas,waktu aktifitas, lintasankritis, aktifitas kritis.

Jaringan AntrianFork-join


dasar jaringan antrian, prinsipFirst-In First-Out (FIFO), operasi fork, operasi

join, sifat periodik waktu layanan.

44


50/59

V. RANCANGAN JADWAL PENELITIAN

No Kegiatan Waktu Smt

TAHAP I

1 Mengambil kuliah pendukung danmemperdalam landasan teori.

Melakukan perluasan dari aljabar max-plus menjadi aljabar max-plus interval.

Melakukan perluasan dari matriks atasaljabar max-plus menjadi matriks

aljabar max-plus interval.

Sep 2007 Pebr 2008 I

2 Menyelesaikan sistem persamaan linearmax-plus interval. Menentukan nilai eigen dan vektor

eigen max-plus interval.

Mar 2008 Agt 2008 II

TAHAP II

3 Melakukan perluasan dari aljabar max-plus interval menjadi aljabar max-plusbilangan kabur.

Melakukan perluasan dari matriks atasaljabar max-plus interval menjadimatriks aljabar max-plus bilangan

kabur.

Sept 2008 Peb 2009 III

4 Menyelesaikan sistem persamaan linearmax-plus bilangan kabur.

Menentukan nilai eigen dan vektoreigen max-plus interval bilangan kabur.

Mar 2009 Agt 2009 IV

TAHAP III

5 Menerapkan aljabar max-plus bilangankabur pada masalah penjadwalan kabur.

Menerapkan aljabar max-plus bilangankabur pada jaringan antrian kabur.

Sept 2009 Peb 2010 V

6 Menyusun Laporan Keseluruhan. Mar 2010 Agt 2010 VI

45


51/59

DAFTAR PUSTAKA

Bacelli, F., et al. 2001. Synchronization and Linearity. New York: John Wiley &

Sons.

Ban, X., et.al. 2003. Traffic Assignment Model with Fuzzy Travel Time

Perception. 83rd Annual Meeting of the Transportation Research Board.

November 15, 2003.

Blue, M., Bush, B. and Puckett, J. 1997. Application of Fuzzy Logic to Graph

Theory. Los Alomos National Laboratory Report, LA-UR-96-4792.

Boom, T.J.J., et al. 2003. , Identification of stochastic max-plus-linear systems.

Proceedings of the 2003 European Control Conference (ECC'03),

Cambridge, UK, 6 pp., Sept. 2003. Paper 104.

Buckley, James J. 2005., Simulating Fuzzy Systems. Berlin: Spinger-Verlag.

Chanas, S., Zielinski, P. 2001. Critical path analysis in the network with fuzzy

activity times.Fuzzy Sets and Systems. 122 (2001) 195204.

Chanas, S. et.al. 2002. On the Sure Criticality of Task in Activity Networks with

Imprecise Duration.IEEE Transaction on Systems, Man, and Cybernetics-

Part B: Cybernetics, Vol. 32., No. 4 August 2002.

Chen, Shih-Pin. 2004. Parametric nonlinear programming for analyzing fuzzy

queues with finite capacity. European Journal of Operational Research

157 (2004) 429438.

Dehghan, M. and Hashemi, B., 2006. Iterative solution of fuzzy linear systems.

Applied Mathematics and Computation 172 (2006) 645-674.

46


52/59

Dubois, D. et.al. 2007. Criticality analysis of activity-networks under interval

uncertainty. Instytut Matematyka I Informatyki Politechnika Wroclawska.

Raport serii: Preprinty nr 030.

Eslahchi, C and. Onagh B. N. 2005. Vertex-strength of fuzzy graphs.

International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. Volume

2006 (2006).

Han, T.C., et.al. 2006. Application of Fuzzy Critical Path Method to Airports

Cargo Ground Operation System. Journal of Marine Science and

Technology. Vol.14. No.3, pp. 139-146.

Hanss, Michael. 2005. Applied Fuzzy Arithmetic: An Introduction with

Engineering Applications.Berlin: Spinger-Verlag.

Heidergott, B. B, et. al. (2005). Max Plus at Work. Princeton: Princeton

University Press.

Horcik, R. 2006. Solution of System of Linear Equations with Fuzzy Numbers.

Preprint submitted to Elsevier Science. 20 October 2006.

Kao, Chiang. Li, Chang-Chung. Chen, Shih-Pin. 1999. Parametric programming

to the analysis offuzzyqueues.Fuzzy Sets and Systems 107(1999) 93-100.

Ke Jau-Chuan. Huang, Hsin-I. Lin, Chuen-Horng. 2007. On retrial queueing

model with fuzzy parameters.Physica A 374 (2007) 272280.

Krivulin, N.K., 1996. The Max-Plus Algebra Approach in Modelling of Queueing

Networks Proc. 1996 SCS Summer Computer Simulation Conference

(SCSC-96), July 21-25, The Society for Computer Simulation, 485-490.

47


53/59

Krivulin, N.K., 2000. Algebraic Modelling and Performance Evaluation of

Acyclic Fork-Join Queueing Networks. Advances in Stochastic Simulation

Methods, Statistics for Industry and Technology. Birkhauser, Boston, 63-

81.

Krivulin, N.K. 2001. Evaluation of Bounds on Service Cycle Times in Acyclic

Fork-Join Queueing Networks. International Journal of Computing

Anticipatory Systems 9(2001), 94-109.

Lee, K.H. 2005.First Course on Fuzzy Theory and Applications. Berlin: Spinger-

Verlag.

Litvinov, G.L., Sobolevskii, A.N. 2001. Idempotent Interval Anaysis and

Optimization Problems. Reliab. Comput., 7, 353 377 (2001); arXiv:

math.SC/010180.

Lthi, J., Haring, G. 1997. Fuzzy Queueing Network Models of Computing

Systems. Proceedings of the 13th UK Performance Engineering

Workshop, Ilkley, UK, Edinburgh University Press, July 1997.

Pardoa, Mara Jose. Fuente, David de la. 2007. Optimizing a priority-discipline

queueing model using fuzzy set theory. Computers and Mathematics with

Applications 54 (2007) 267281.

Rudhito, Andy. 2003. Sistem Linear Max-Plus Waktu-Invariant. Tesis: Program

Pascasarjana Universitas Gadjah Mada. Yogyakarta.

------------------. 2004. Penerapan Sistem Persamaan Linear Max-Plus

x = A x bpada Masalah Penjadwalan. Math Info Jurnal Ilmiah

48


54/59

Bidang Matematika, Informatika dan Terapannya., Volume 1. No:4 , pp.

14 19.

Schutter, B. De., 1996. Max-Algebraic System Theory for Discrete Event

Systems, PhD thesis Departement of Electrical Enginering Katholieke

Universiteit Leuven, Leuven.

Schutter, B. De. and Boom, T. van den., 2000. Model predictive control for max-

plus-linear discrete-event systems: Extended report & Addendum,

Technical report bds: 99-10a, Faculty of Information Technology and

System, Delft University of Technology, Delft.

Skalna, I., et.al.(2007).Systems of fuzzy equations in structural mechanics. The

University of Texas at El Paso Departement of Mathematical Sciences

Research Reports Series No. 2007-01.

Soltoni, A., Haji, R. 2007. A Project Scheduling Method Based on Fuzzy Theory.

Journal of Industrial and Systems Engineering. Vol. 1, No.1, pp 70 80.

Spring.

Susilo, F. 2006. Himpunan dan Logika Kabur serta Aplikasinya Edisi kedua.

Yogyakarta: Graha Ilmu.

Yao, J.S and Lin, F.T., 2000. Fuzzy Critical Path Method Based on Signed

Distance Ranking of Fuzzy Numbers. IEEE Transactions on Systems,

Man, and Cybernetics-Part A: Sistems and Humans, Vol., 30, No. 1

January 2000.

Zhang , Q., et. al., 2004. Fuzzy analogy of linear systems. Intelligent Control and

Automation,Volume 3, Issue , 15-19 June 2004 Page(s): 2055 - 2059.

49


55/59

Zimmermann, H.J., 1991.Fuzzy Set Theory and Its Applications. Boston: Kluwer

Academic Publishers.

50


56/59

Lampiran:

Curriculum Vitae Peneliti

1. Nama : M. Andy Rudhito, S.Pd., M.Si

2. NPP : P.1629

3. Tempat / Tanggal Lahir : Purworejo/2 Juni 1971

4. Pangkat / Golongan : Penata Tk. I / IIIc

5. Jabatan : Lektor

6. Program Studi / Jurusan : Pendidikan Matematika / Pendidikan MIPA7. Fakultas : FKIP Universitas Sanata Dharma Yogyakarta

8. Riwayat Pendidikan:

i. SD Negeri Pekutan I, Bayan Purworejo, 1978 1984

ii. SMPN 1 Kutoarjo, Purworejo, 1984 1987

iii. SMA Pius Bakti Utama, Bayan Purworejo, 1987 1990

iv. S1: Pendidikan Matematika, FKIP USD, 1990 1995

v. S2: Matematika, UGM, 2000 2003.

9. Pengalaman Mengajar:

i. Aljabar Vektor dan Matriks

ii. Aljabar Linear

iii. Pengantar Teori Probabilitas

iv. Statistika Elementer

10. Pengalaman Penelitian:

1. Metode Respon Teracak: Tinjauan Matematis dan Implikasi

Penggunaannya, Biaya: Kopertis (1998/1999, Mandiri)

2. Graf Euler-Hamilton: Karakteristik, Konsekwensi dan Aplikasinya,

Biaya: LPUSD (1998/1999, Mandiri)

3. Pembelajaran Matematika Berbantuan Microsoft Excel: Suatu Eksplorasi

Penyusunan Template Dan Handout Untuk Topik Grafik Fungsi

Trigonometri, Biaya: LPUSD (2002/ 2003, Anggota)

51


57/59

4. Penyusunan Model Simulasi Pembelajaran Persamaan Kuadrat untuk

Kelas 1 SMA dengan Pendekatan Matematisasi Berjenjang Biaya

LPUSD (2004, Mandiri)

5. Eksplorasi Program Komputer Wingeom Untuk Mendukung Pembelajaran

Geometri Dimensi Tiga Di SMU. Penelitian Dosen Muda, Biaya Dikti

(2005, Mandiri)

6. Perancangan dan Pelaksanaan Model Pembelajaran Matematika yang

Konstruktivistik, Kontekstual dan Kolaboratif Pada Materi Pokok

Trigonometri Di Kelas X SMA, Biaya: LPUSD (2006, Ketua).

7. Tingkat-Tingkat Berpikir Mahasiswa dalam Menerjemahkan Pernyataan

Matematis Berkuantor dari Bentuk Kalimat Biasa Menjadi Bentuk Kalimat

Formal, Biaya: LPUSD (2007, Ketua)

8. Eksplorasi Program Komputer Wingeom 2-Dim untuk Mendukung

Pembelajaran Geometri Di SMP. Biaya: Kopertis Wil V Yogyakarta

(2007, Mandiri)

9. Pengembangan Kurikulum dan Buku Ajar Matematika SMA yang

Mengintegrasikan Pendekatan Konstruktivistik, Kontekstual dan

Kolaboratif melalui Model Pembela-jaran Matematisasi Berjenjang.

Penelitian Hibah Bersaing Tahun I. Biaya: Dikti (2007, Ketua)

11. Pengalaman Penulisan Karya Ilmiah:

1. Kesetimbangan Diri Model Garis Produksi Bucket Brigade.

(Matematika Jurnal Matematika atau Pembelajarannya, Tahun VIII, Edisi

Khusus, Juli 2002, pp. 1020 1024., Mandiri)

2. Pembelajaran Geometri Dimensi Tiga Berbantuan Wingeom. (JMAP

Jurnal Matematika, Aplikasi dan Pembelajarannya, Vol.2 No. 1 Juni 2003,

pp. 21 23., Penulis Kedua).

3. Pembelajaran Matematika Berbantuan Microsoft Excel untuk Topik Grafik

Fungsi Trigonometri. (JMAP Jurnal Matematika, Aplikasi dan

Pembelajarannya, Vol.2 No. 1 Juni 2003, pp. 345 349., Penulis Kedua).

52


58/59

4. Penerapan Sistem Persamaan Linear Max-Plus x = A x b pada

Masalah Penjadwalan. (Math Info Jurnal Ilmiah Bidang Matematika,Informatika dan Terapannya., Volume 1 / No:4 / Januari 2004, pp. 14

19., Mandiri)

5. Potensi Program Maple untuk Mendukung Pembelajaran Matematika di

Perguruan Tinggi. (Prosiding Seminar Nasional Pemanfaatan Teknologi

Informasi dan Komunikasi pada Perguruan Tinggi, FT USD 26-27 Mei

2004., pp. 15 22., Mandiri).

6. Semimodul atas Aljabar Max-Plus. (Sigma Jurnal Sain dan Teknologi,

Vol. 7, No. 2, Juli 2004, pp. 131 139., Mandiri).

7. Pemecahan Masalah Matematika dengan Menggunakan Spreadsheets

Excel. (Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan

MIPA FMIPA UNY 2-3 Agustustus 2004, pp.M-328 M-334, Mandiri).

8. Sistem Persamaan Max-Plus. . (Sigma Jurnal Sain dan Teknologi, Vol. 8,

No. 2, Juli 2005, pp. 158 164., Mandiri).

9. Perancangan dan Pelaksanaan Model Pembelajaran Persamaan Kuadrat

untuk Kelas X SMA dengan Pendekatan Matematisasi Berjenjang. Widya

Dharma, Vol. 16. No. 1, pp. 67-76. Th. 2005., Mandiri)

10.Eksplorasi Program Komputer Wingeom Untuk Mendukung Pembelajaran

Geometri Dimensi Tiga Di SMU. Widya Dharma, Vol. 16. No.2. Th.

2006, pp.125 134., Mandiri).

11.Penerapan Diagram Voronoi pada Masalah Penentuan Wilayah Bisnis.

(Jurnal Penelitian LPPM Universitas Sanata Dharma No. 18, Mei 2006.,

Penulis Kedua).

12.Aljabar Max-Plus Matriks dan Teori Graf. (Sigma Jurnal Sain dan

Teknologi, Vol. 10, No. 2, Juli 2007, pp. 61 70., Mandiri).

13.Perancangan dan Pelaksanaan Model Pembelajaran Matematika yang

Konstruktivistik, Kontekstual dan Kolaboratif Pada Materi Pokok

Trigonometri Di Kelas X SMA. Widya Dharma, Vol. 18. No.2. Th. 2007,

pp.1 10, Penulis Pertama).

53


59/59

14.Semimodul BilanganFuzzyn

Rmax

atas Aljabar Max-Plus BilanganFuzzy

Rmax.Proseding Seminar Nasional Matematika,Permasalahan

Matematika dan Pendidikan Matematika Terkini FMIPA UPI dan

IndoMS, Bandung 8 Desember 2007 (Penulis Pertama).

15.Pemodelan Aljabar Max-Plus Dan Evaluasi Kinerja Jaringan Antrian

Fork-Join Taksiklik Dengan Kapasitas Penyangga Takhingga.Proseding

Seminar Nasional Sain dan Pendidikan Sain, Pembelajaran Sain yang

Menarik dan Menantang FSM UKSW, Salatiga 12 Januari 2008.

(Penulis Pertama).

Yogyakarta, Agustus 2008

(M. Andy Rudhito, S.Pd, M.Si)

proposal doktor andy final 3

Documents