Program Linier dalam Pengambilan Keputusan

Contoh Kasus: Keputusan tentang alokasi dana

Departemen Kehutanan bekerja sama dengan Kantor Menteri Lingkungan Hidup dan Kependudukan, menerima pinjaman dari Bank Dunia sebesar 500 juta dollar Amerika dengan bunga lunak, maka dari itu dana tersebut harus dikelola secara bisnis agar mampu mengembalikan/membayar kembali pinjaman tersebut.

Kegiatan yang akan dilakukan dengan menggunakan dana tersebut ada 5 yaitu:

1. Pembuatan jalan menuju ke tempat rekreasi di tengah hutan dengan menanami tanaman yang indah dipandang mata;

2. Menanami dengan tanaman yang indah di sekeliling kanal;

3. Mengusahakan fasilitas buat rekreasi;

4. Mendirikan perkam pungan buat rekreasi;

5. Mengusahakan kegiatan kerajinan hasil hutan di perkampungan tersebut.

Untuk selanjutnya kita sebutkan saja kegiatan 1, 2, 3, 4, dan 5.

Dinyatakan dalam persentase, masing-masing kegiatan tersebut setiap dolarnya akan memberikan hasil 15, 12, 10, 18, 14. Kegiatan 4 memberikan hasil terbesar dan kegiatan 3 terkecil. Depar temen Kehutanan sudah memutuskan (melalui suatu tim), bahwa pengeluaran untuk

kegiatan 1 tidak boleh lebih dari 100 juta dollar Amerika,

kegiatan 2 paling sedikit 50 juta dollar Amerika,

kegiatan 3 paling sedikit 75 juta dollar Amerika;

kegiatan 4 dan 5 masing-masing, paling sedikit 25 juta dollar Amerika.

Kalau x1, x2, x3, x4, x5 masing-masing adalah jumlah dana yang akan dialokasi ke kegiatan 1, 2, 3, 4, 5, maka persoalan LP (Linear Programming) menjadi:

Cari x1, x1, x2, x3, x4, dan x5 .

s.r.s. : z = 0,15 x1 + 0,12 x2 + 0,10 x3 + 0,18 x4 + 0,14 x5 : maksimum.

d.p. : x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 500

x1 < 100, x2 >= 50, x3 >= 75

x4 >= 25, x5 >= 25

xi >= 0, i= 1, 2, 3, 4, 5.

Keputusan: Berapa x1, x2, x3, x4, dan x5 agar nilai z maksimum.

2.2. BENTUK UMUM PERSOALAN LINEAR PROGRAM MING

Kalau seorang produsen mempunyai m bahan mentah dan ingin memproduksi njenis produk di mana setiap jenis produk meng gunakan semua jenis bahan mentah dengan proporsi tertentu. Dari berbagai jenis produk yang diproduksi akan dijual. Persoalan yang timbul, berapa besarnya masing-masingjenis produksehinggajumlah hasil penjualan, maksimum (sebesar-besarnya atau sebanyak-ba nyaknya).

Kalau = jumlah produk j, j 1, 2,. .., n

h1 = bahan mentah jenis i yang tersedia, i = 1, 2,... , m

= bahan mentah i yang dipergunakan untuk memproduksi 1 unit produk j.

Cj = harga jual 1 unit j.

cjxj = pcncrimaan hasil penjualan produk j, sejumlah xj unit, maka persoalan LP menjadi:Cari x1, x2 . . . ., xn.

s.r.s. : z = c1x1 + c2x2 +... + cjxj +... + cnxn: maksimumd.p. : a11x1 + a12x2 +... + a1jxj +... + a1nxn h1 a21x1 + a,2x2 +... + a2jxj +... + a2nxn _ h2

ai1x1 + ai2x2 + ... + aijxj + ... ainxn _ hi

amixi + am2x2 + .... amjxj +... + amnxn _ hmxj_O, j = 1,2...,n

Ada beberapa cara penulisan persoalan LP, selain seperti di atas yang baru saja diuraikan bisa juga persoalan dinyatakan sebagai berikut:

(i). Cari Xj, j = 1, 2,. . . , n

s.r.s.: z =~ c1x~=maksimum

d.p: aijxj _ hi, i = 1,2,..

Xj_O

(ii). Cari Vektor X

s.r.s : z = C’X : Max

d.p: AX _ Hx_O

X = [x1, x2,.. , xi,.. . , xn] = vektor kolom= [c1, C2,. . . , c1’... cn] = vektor kolom A = [aij], matriks m baris dan n kolom

H = [h1, h2,... , hi , hm] = vektor kolom

o = [0,0,.. . , 0,... ,0] = vektor nol

A disebut matriks koefisien input, C’ = transpose C

(iii). Carl Vektor X

s.r.s. : z = C’X : maksimum

d.p. : x1P1 + x2P2 +... xjPj +... + xnPn _ Po Xj _ 0.

di mana Pj = kolom ke j matriks A

P0 = H, vektor bahan mentah.

(iv). Carl vektor X

s.r.s. : z = x0 =~ cjxj=maksimum

d.p. : x0~ Cjxj=0

aijxj _ h1, i = 1, 2,..., m

xj>=0, j=1, 2,...n

Perumusan persoalan L.P

Secara singkat telah disebutkan syarat-syarat yang harus dipe nuhi agar suatu persoalan dapat dipecahkan dengan teknik LP. Di

bawah ini syarat-syanat itu akan dibahas secara lengkap yaitu sebagai berikut:

(1). Fungsi objektif harus didefinisikan secara jelas dan dinyatakan sebagai fungsi objektif yang linear. Misalnya jumlah hasil pen jualan harus maksimum, jumlah biaya transpor harus mini mum.

(2). Harus ada altennatif pemecahan untuk dipilih salah satu yang terbaik.

(3). Sumben-sumber dan aktivitas mempunyai sifat dapat ditam bahkan (additivity)..

(4). Fungsi objectif dan ketidaksamaan untuk menunjukkan adanya pembatasan harus linear.

(5). Variabel keputusan harus positif, tidak boleh negatif (xj _ 0, untuk semua j).

(6). Sumber-sumber dan aktivitas mempunyai sifat dapat dibagi (divisibility).

(7). Sumber-sumber dan aktivitas mempunyai jumlah yang terbatas (finiteness).

(8). Aktivitas harus proponsional terhadap sumber-sumber. Hal ini benarti ada hubungannya yang linear antara aktivitas dengan sumber-sumber. Katakan misalnya output dinaikkan dua kali, kalau demand naik 1,5 kali maka output harus naik 1, 5 kali, jadi menggunakan prinsip constant returns to scale.

(9). Model Programming deterministik, artinya sumber dan aktivi tas diketahui secara pasti (single-valued expectations). Maka pemecahan persoalan dengan LP mempunyai flow chart seperti ti berikut: