PROGRAM LINEARPROGRAM LINEAR

YOGI MISBAHUDINX TKJ

PROGRAM LINEAR MERUPAKAN SUATU CARA SEBAGAI SOLUSI MASALAH OPTIMASI YAITU

MEMAKSIMUMKAN/MEMINIMUMKAN SUATU BENTUK FUNGSI OFJEKTIF/FUNGSI SASARAN DENGAN KENDALA-KENDALA

BERUPA SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR

PENGERTIAN

MENGGAMBAR PERSAMAAN GARISMENGGAMBAR PERSAMAAN GARIS

Buatlah garis 2x+3y=6Buatlah garis 2x+3y=6

x=0x=0 2(0)+3y=62(0)+3y=6

3y=63y=6

y=2 ,jadi titik (0,2)y=2 ,jadi titik (0,2)

y=0y=0 2x+3(0)=62x+3(0)=6

2x=62x=6

x=3,jadi titik (3,0)x=3,jadi titik (3,0)

(0,2)

y

x(6,0)

x ≥ 0 , y ≥ 0 , x + y ≤ 0 , dan 3x + 8y ≤ 24 untuk x, y є R

DAERAH HIMPUNAN PENYELESAIAN

D H P

Y

3

6

x ≥0

X

60 8y ≥ 0

x + y ≤ 6

.

3x + 8y ≤ 24

PENYELESAIAN SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR x ≥0 , y ≥ 0 , x + y ≤ 6 , dan 3x + 8y ≤ 24 untuk x, y є R

DAPAT DITENTUKAN DENGAN CARA ELIMINASI ATAU SUBSTITUSI DUA GARIS YANG BERPOTONGAN

SEPERTI TAMPAK PADA GAMBAR

TERLEBIH DAHULU SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR DI UBAH KE BENTUKSISTEM PERSAMAAN LINEAR

x = 0 , y = 0 , x + y = 6 , 3x + 8y = 24

Garis x = 0 dan 3x + 8y = 24 berpotongan di titik ( 0 , … )

x = 0 maka 3(0) + 8y = 24 sehingga y =

Garis y = 0 dan x + y = 6 berpotongan di titik ( … , 0 )

y = 0 maka x + (0) = 6 sehingga x = …

Garis x + y = 6 dan 3x + 8y = 24 berpotongan di titik ( … , … )

x = 6 – y maka 3( … ) + 8y = 24

y = … sehingga x = …

6 – y

6

6

6

5

6

5

24

5

24

6

5

6

NILAI MAKSIMUM/MINIMUMNILAI MAKSIMUM/MINIMUM

MENENTUKAN NILAI MAKSIMUM / MINIMUM ATAU NILAI OPTIMAL DARI FUNGSI TUJUAN / FUNGSI SASARAN F(X, Y) SALAH SATU CARANYA DENGAN MENGUJI TITIK-TITIK SUDUT ATAU TITIK-TITIK DISEKITARNYA PADA DAERAH HIMPUNAN PENYELESAIAN

DARI GAMBAR DIPEROLEH 3 BUAH TITIK SUDUT , B(6, 0), DAN C(0, 3) JIKA FUNGSI TUJUANNYA F( x , y ) = 5x + 10y MAKA

UNTUK TITIK

UNTUK TITIK

UNTUK TITIK

),( 524

56A

30)0(10)6(5)0,6()0,6( FB

54)(10)(5),(),( 524

56

524

56

524

56 FA

30)3(10)0(5)3,0()3,0( FC

DIPEROLEH NILAI MAKSIMUMNYA ADALAH 54 DAN NILAI MINIMUMNYA ADALAH 30

CONTOH :

Seorang peternak ayam membutuhkan 2 jenis makanan ayam. Makanan jenis I dalam 1 kg mengandung 9 unit bahan A dan 3 unit bahan B, sedangkan makanan jenis II dalam 1 kg mengandung 3 unit bahan A dan 18 unit bahan B. Setiap hari, 10 ekor ayamnya membutuhkan sekurang-kurangnya 27 unit bahan A dan 30 unit bahan B. Jumlah makanan jenis I dan jenis II untuk 10 ekor ayamnya minimal 5 kg/hari. Harga makanan jenis I adalah Rp 1.000,00/kg dan jenis II adalah Rp2.000,00/kg. Buatlah model matematikanya dan berapa kg masing-masing jenis makanan yang harus dibeli agar pengeluarannya minimum serta berapa pengeluaran minimumnya.

Jawab :

MODEL

MATEMATIKA

Model matematika adalah bahasa matematika yang menterjemahkan masalah program linear

Model matematika berupa kendala-kendala dan fungsi tujuan

NILAI MAKSIMUM/MINIMUMNILAI MAKSIMUM/MINIMUM

MENENTUKAN NILAI MAKSIMUM / MINIMUM ATAU NILAI OPTIMAL DARI FUNGSI TUJUAN / FUNGSI SASARAN F(X, Y) SALAH SATU CARANYA DENGAN MENGUJI TITIK-TITIK SUDUT ATAU TITIK-TITIK DISEKITARNYA PADA DAERAH HIMPUNAN PENYELESAIAN

DARI GAMBAR DIPEROLEH 3 BUAH TITIK SUDUT , B(6, 0), DAN C(0, 3) JIKA FUNGSI TUJUANNYA F( x , y ) = 5x + 10y MAKA

UNTUK TITIK

UNTUK TITIK

UNTUK TITIK

),( 524

56A

30)0(10)6(5)0,6()0,6( FB

54)(10)(5),(),( 524

56

524

56

524

56 FA

30)3(10)0(5)3,0()3,0( FC

DIPEROLEH NILAI MAKSIMUMNYA ADALAH 54 DAN NILAI MINIMUMNYA ADALAH 30

Misalkan banyak makanan jenis I = x dan jenis II = y Misalkan banyak makanan jenis I = x dan jenis II = y

Jenis IJenis I Jenis IIJenis II Kapasitas/Kapasitas/KebutuhanKebutuhan

Banyak Banyak makananmakanan

xx yy 55

Bahan ABahan A 99 33 2727

Bahan BBahan B 33 1818 3030

BiayaBiaya 1.0001.000 2.0002.000

Model Matematikanya adalahModel Matematikanya adalah

x ≥ 0 x ≥ 0

y ≥ 0 y ≥ 0 x + y ≥ 5 x + y ≥ 5 9x + 3y ≥ 27 dan 9x + 3y ≥ 27 dan 3x + 18y ≥ 30 3x + 18y ≥ 30

PERHATIKAN TAMPILAN

Kita akan mencoba menentukan daerah Himpunan Penyelesiandari pertidaksamaan :

x ≥0 , y≥ 0 , 7x+2y<14 dan 3x+6y≤18

1. Gbr. x≥0

Y

X>0X<0

2.Gbr. y≥0

XO

y>0

Y<

0

3.Gbr. 7x+2y<14

.(2,0)

.(0,7)

7x+2y=14

7x+2y<147x+2y>14

4.Gbr.3x+6Y≤18

.(6,0)

.(0,3)

3X+6Y=18 3X+6Y>18

3X+6Y<18

DHP

Daerah himpunan penyelesaian adalah daerah yang tidak diarsir

PERHATIKAN TAMPILAN Kita akan mencoba menentukan daerah Himpunan Penyelesiandari pertidaksamaan :

x ≥0 , y≥ 0 , 7x+2y<14 dan 3x+6y≤18

1. Gbr. x≥0

Y

X>0X<0

2.Gbr. y≥0

XO

y>0

Y<

0

3.Gbr. 7x+2y<14

.(2,0)

.(0,7)

7x+2y=14

7x+2y<14

7x+2y>14

4.Gbr.3x+6Y≤18

.(6,0)

.(0,3)

3X+6Y=18 3X+6Y>18

3X+6Y<18

DHP

Daerah himpunan penyelesaian adalah daerah yang tidak diarsir

3x+6y=18

SOAL DAN JAWABAN|SOAL DAN JAWABAN|1.1. Tanah seluas 10.000 m2 akan dibangun rumah tipe A dan Tanah seluas 10.000 m2 akan dibangun rumah tipe A dan

tipe B. Untuk tipe A diperlukan 100 m2 dan dan tipe B tipe B. Untuk tipe A diperlukan 100 m2 dan dan tipe B diperlukan 75 m2. Jumlah rumah yang akan dibangun diperlukan 75 m2. Jumlah rumah yang akan dibangun paling banyak 125 unit. Keuntungan rumah tipe A adalah paling banyak 125 unit. Keuntungan rumah tipe A adalah Rp. 6.000.000,00/unit dan tipe B adalah Rp. Rp. 6.000.000,00/unit dan tipe B adalah Rp. 4.000.000,00/unit. Keuntungan maksimum yang dapat 4.000.000,00/unit. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh daru penjualan rumah tersebut adalah ….diperoleh daru penjualan rumah tersebut adalah ….

a.a. Rp. 550.000.000,00.Rp. 550.000.000,00.

b.b. Rp. 600.000.000,00.Rp. 600.000.000,00.

c.c. Rp. 700.000.000,00.Rp. 700.000.000,00.

d.d. Rp. 800.000.000,00.Rp. 800.000.000,00.

e.e. Rp. 900.000.000,00.Rp. 900.000.000,00.

Jawaban :BJawaban :B

SOAL DAN JAWABANSOAL DAN JAWABAN2.2. Suatu tempat parkir yang luasnya 300 mSuatu tempat parkir yang luasnya 300 m22 digunakan untuk digunakan untuk

memarkir sebuah mobil dengan rata – rata 10 mmemarkir sebuah mobil dengan rata – rata 10 m22 dan untuk dan untuk bus rata – rata 20 mbus rata – rata 20 m22 dengan daya tampung hanya 24 dengan daya tampung hanya 24 kendaraan. Biaya parkir untuk mobil Rp. 1.000,00/jam dan kendaraan. Biaya parkir untuk mobil Rp. 1.000,00/jam dan untuk bus Rp. 3.000,00/jam. Jika dalam satu jam tempat untuk bus Rp. 3.000,00/jam. Jika dalam satu jam tempat parkir terisi penuh dan tidak ada kendaraan yang dating parkir terisi penuh dan tidak ada kendaraan yang dating dan pergi, hasil maksimum tempat parkir iru adalah ….dan pergi, hasil maksimum tempat parkir iru adalah ….

a.a. Rp. 15.000,00.Rp. 15.000,00.

b.b. Rp. 30.000,00.Rp. 30.000,00.

c.c. Rp. 40.000,00.Rp. 40.000,00.

d.d. Rp. 45.000,00.Rp. 45.000,00.

e.e. Rp. 60.000,00.Rp. 60.000,00.

Jawaban :DJawaban :D

SOAL DAN JAWABANSOAL DAN JAWABAN3.3. Nilai maksimum fungsi obyektif 4x + 2y pada himpunan Nilai maksimum fungsi obyektif 4x + 2y pada himpunan

penyelesaian system pertidaksamaan x + y 4, x + y 9, –penyelesaian system pertidaksamaan x + y 4, x + y 9, –2x + 3y 12, 3x – 2y 12 adalah …. 2x + 3y 12, 3x – 2y 12 adalah ….

a.a. 1616

b.b. 2424

c.c. 3030

d.d. 3636

e.e. 4848

Jawaban :CJawaban :C

SOAL DAN JAWABANSOAL DAN JAWABAN4.4. Nilai maksimum fungsi sasaran Z = 6x + 8y dari system Nilai maksimum fungsi sasaran Z = 6x + 8y dari system

pertidaksamaan 4x + 2y 60, 2x + 4y 48, x 0, y 0 adalah pertidaksamaan 4x + 2y 60, 2x + 4y 48, x 0, y 0 adalah ….….

a.a. 120120

b.b. 118118

c.c. 116116

d.d. 114114

e.e. 112112

Jawaban :AJawaban :A

SOAL DAN JAWABANSOAL DAN JAWABAN5.5. Untuk menambah penghasilan, seorang ibu setiap harinya Untuk menambah penghasilan, seorang ibu setiap harinya

memproduksi dua jenis kue untuk dijual. Setiap kue jenis I memproduksi dua jenis kue untuk dijual. Setiap kue jenis I modalnya Rp. 200,00 dengan keuntungan 40%, sedangkan modalnya Rp. 200,00 dengan keuntungan 40%, sedangkan setiap kue jenis II modalnya Rp. 300,00 dengan keuntungan setiap kue jenis II modalnya Rp. 300,00 dengan keuntungan 30%. Jika modal yang tersedia setipa harinya adalah Rp. 30%. Jika modal yang tersedia setipa harinya adalah Rp. 100.000,00 dan paling banyak hanya dapat memproduksi 100.000,00 dan paling banyak hanya dapat memproduksi 400 kue, maka keuntungan tersbesar yang dapat dicapai ibu 400 kue, maka keuntungan tersbesar yang dapat dicapai ibu tersebut adalah ….tersebut adalah ….

a.a. 30%30%

b.b. 32%32%

c.c. 34%34%

d.d. 36%36%

e.e. 40%40%

Jawaban : CJawaban : C

SOAL DAN JAWABANSOAL DAN JAWABAN6.6. Nilai minimum fungsi obyektif 5x + 10y pada himpunan Nilai minimum fungsi obyektif 5x + 10y pada himpunan

penyelesaian system pertidaksamaan yang grafik penyelesaian system pertidaksamaan yang grafik himpunan penyelesaiannya disajikan pada gambar di himpunan penyelesaiannya disajikan pada gambar di bawah ini adalah ….bawah ini adalah ….

a.a. 400400

b.b. 320320

c.c. 240240

d.d. 200200

e.e. 160160

Jawaban : DJawaban : D