program linier

1

hal | http://berbagimedia.wordpress.com

Ringkasan Materi dan Soal-soal SMA Kelas XII IPA Semester 2

PERTIDAKSAMAAN DAN SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINIER A . PERTIDAKSAMAAN LINIER

Bentuk umum dari pertidaksamaan linier adalah : cybxa , dengan konstantadan,, cba .

Relasi dapat diganti dengan , > , atau < . Himpunan penyelesaian dari suatu sistem pertidaksamaan linier dapat digambarkan sebagai daerah pada bidang kartesius . Langkah-langkah menggambar himpunan penyelesaian dari suatu sistem pertidaksamaan linier adalah sebagai berikut :

1. Gambarlah sketsa garis cybxa , jika relasi pertidaksamaannya atau garis digambar

tidak putus-putus , sedangkan jika relasi pertidaksamaannya > atau < garis digambar putus-putus .

2. Tentukan salah satu titik uji pada bidang dengan syarat titik uji tersebut tidak terletak pada

garis cybxa . Substitusikan koordinat dari titik uji tersebut pada pertidaksamaan, jika

memenuhi pertidaksamaan maka daerah di mana titik uji itu terletak diarsir, jika tidak memenuhi maka yang diarsir adalah daerah di mana titik uji tersebut tidak terletak.

3. Daerah yang diarsir adalah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linier yang dimaksud .

Gambarlah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 1232 yx

Koordinat titik potong garis 1232 yx dengan sumbu

x yang diperoleh jika y = 0 , adalah (6 , 0 ) Koordinat titik potong garis 1232 yx dengan sumbu

y yang diperoleh jika x = 0 , adalah (0 , 4 ) Diambil titik O ( 0 , 0 ) sebagai titik uji , kemudian koordinatnya disubstitutikan pada pertidaksamaan

1232 yx , diperoleh : 120.30.2 , jadi daerah di

mana terdapat titik O terletak memenuhi pertidaksamaan tersebut , maka daerah tersebut diarsir . Daerah yang diarsir adalah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 1232 yx .

4

6 x

y

CONTOH

J A W A B

http://berbagimedia.wordpress.com/

2



Gambarlah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut : 1. 2x

2. 4y

3. 13 x

4. 52 y

5. 62 yx

6. 84 yx

7. 1553 yx

8. 2434 yx

9. 93 xy

10. 186 xy

B . SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINIER

HIMPUNAN PENYELESAIAN SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINIER Suatu sistem pertidaksamaan linier adalah himpunan dari beberapa pertidaksamaan linier. Himpunan penyelesaian dari suatu sistem pertidaksamaan linier digambarkan sebagai daerah pada bidang yang memenuhi anggota-anggota dari sistem pertidaksamaan linier tersebut. Langkah-langkah menggambarkan himpunan penyelesaian dari suatu sistem pertidaksamaan linier adalah sebagai berikut : 1. Gambarlah himpunan penyelesaian dari anggota-anggota pertidaksamaan tersebut, untuk

mempermudah menentukan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan tersebut maka yang diarsir adalah daerah yang tidak memenuhi pertidaksamaan .

2. Daerah yang bersih dari arsiran merupakan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier yang dimaksud.

Gambarlah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan berikut : 2054 yx , 2432 yx , 6x , 7y

4

5 6

7

12 x

y

8

CONTOH

J A W A B


3



y

x

y

x

O

Gambarlah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan berikut : 1. 0,0,623,42 yxyxxy

2. 0,0,6,2,102,82 yxyxyxyx

3. 0,0,7032,452,502 yxyxyxyx

4. 0,0,9,153,102 yxyxyxyx

5. 2,3,42,1553 yxyxyx

PERSAMAAN DARI SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINIER Jika suatu sistem pertidaksamaan linier diketahui himpunan penyelesaiannya, maka persamaan dari sistem pertidaksamaan tersebut dapat ditentukan. Hal-hal yang perlu diketahui untuk menentukan persamaan dari suatu sistem pertidaksamaan linier adalah sebagai berikut : 1 . Menentukan persamaan garis yang membatasi penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan

linier tersebut. Ada beberapa cara untuk menentukan persamaan garis yang membatasi suatu sistem pertidaksamaan linier, yaitu :

1. 1. Garis memotong sumbu x di titik 0,a dan memotong sumbu y di titik b,0

Persamaannya :

bayaxb

1.2. Garis melalui titik O ( 0 , 0 ) dan 11 , yx

Persamaannya :

011 xyyx

1.3. Garis melalui titik 11 , yx dan 22 , yx

Persamaannya :

1211211212 yyxxxyyxxxyy


4



CONTOH

2. Menentukan pertidaksamaan yang memenuhi dengan memperhatikan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan tersebut .

Tentukan sistem pertidaksamaan yang penyelesaiannya adalah daerah yang diarsir pada gambar berikut :

Daerah yang diarsir dibatasi oleh garis I , II , III , IV , V , dan VI . Persamaan garis I : y = 5 , daerah yang diarsir terletak di bawah garis tersebut , maka

pertidaksamaan yang pertama adalah 5y

Persamaan garis II : Garis melalui titik ( 7 , 1 ) dan ( 2 , 6 )

Persamaan garis : 1211211212 yyxxxyyxxxyy

5751551677217216 yxyx

84055 yxyx

Daerah yang diarsir terletak di bawah garis tersebut , maka pertidaksamaannya 8 yx

Persamaan garis III : x = 5 , daerah yang diarsir terletak di sebelah kiri garis tersebut , maka pertidaksamaan yang pertama adalah 5x

Persamaan garis IV : y = 1 , daerah yang diarsir terletak di atas garis tersebut , maka pertidaksamaan yang pertama adalah 5y

Persamaan garis V : Garis melalui titik ( 3 , 0 ) dan ( 0 , 4 )

Persamaan garis : 12343.434 yxyxbayaxb

Daerah yang diarsir terletak di atas garis tersebut , maka pertidaksamaannya 1234 yx

Persamaan garis VI : Garis melalui titik ( 0 , 0 ) dan ( 2 , 6 )

Persamaan garis : 03062011 xyxyxyyx

Daerah yang diarsir terletak di atas garis tersebut , maka pertidaksamaannya 03 xy

Jadi sistem pertidaksamaannya adalah : 5y , 8 yx , 5x , 1234 yx , 03 xy

y

x

VI

V

IV

III

II

I

1

4

5

( 2 , 6 )

O 3 5

( 7 , 1 )

J A W A B


5



CONTOH

Tentukan sistem pertidaksamaan yang penyelesaiannya adalah daerah yang diarsir , sbb :

PERTIDAKSAMAAN

C . NILAI OPTIMUM FUNGSI OBYEKTIF

Bentuk umum dari suatu fungsi obyektif adalah : ybxaZybxayxf atau,

Nilai dari suatu fungsi obyektif pada suatu sistem pertidaksamaan linier diperoleh dengan menyulihkan koordinat titik-titik pada himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan tersebut. Ada dua macam nilai optimum yang diperoleh , yaitu : 1. Nilai maksimum 2. Nilai minimum Nilai-nilai optimum tersebut akan diperoleh jika koordinat titik yang disulihkan terletak pada titik sudut dari daerah penyelesaian .

Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum dari fungsi yxZ 2 yang

memenuhi sistem pertidaksamaan : 0,2,8,3035 yxyxyx

12

6 10

12 x 4

x

8

4

−3 7

−8

( 4 , 5 )

( 8 , 3 ) x

x

3 1

5

7

1

. y

2. y

3. y

4.



Grafik himpunan penyelesaian :

Himpunan penyelesaian berbentuk segiempat ABCD Dengan A ( 2 , 0 ) , B ( 6 , 0 ) Koordinat titik C : 5 x + 3 y = 30 × 1 5 x + 3 y = 30 x + y = 8 × 3 3 x + 3 y = 24

2 x = 6 x = 3

x + y = 8 3 + y = 8 y = 5 Jadi C ( 3 , 5 ).

Koordinat titik D :

5 x + 3 y = 30 , untuk x = 2 : 5 . 2 + 3 y = 30 10 + 3 y = 30 3 y = 20 y = 3

20

D ( 2 , 3

20 )

Nilai fungsi yxZ 2 padam titik-titik sudut segiempat ABCD :

Titik yxZ 2

A ( 2 , 0 ) B ( 6 , 0 ) C ( 3 , 5 )

D ( 2 , 3

20 )

20.22

60.26

135.23

3

115

3

46

3

402

3

20.22

Kesimpulan :

Nilai maksimum = 3

115 diperoleh untuk x = 2 dan y =

3

20

Nilai minimum = 2 diperoleh untuk x = 2 dan y = 0

Hitunglah nilai maksimum dan nilai minimum dari fungsi obyektif berikut pada himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linier yang ditentukan : 1. yxZ 36 pada 0,0,564,282 yxyxyx

2. yxZ 4 pada 0,0,19052,32010 yxyxyx

3. yxZ 52 pada 0,0,14412,11793 yxyxyx

4. yxZ 48 pada 0,1846,3448 yyxyx

5. yxZ 73 pada 1000,4010,605 xyyx

C

B A

D

2 6 8

x

y

10

8

J A W A B


CONTOH

D . MODEL MATEMATIKA

Model matematika adalah ungkapan secara matematis dari suatu permasalahan . Model matematika dalam program linier terdiri dari : 1. Definisi variabel 2. Hubungan antar variabel yang berbentuk suatu sistem pertidaksamaan linier 3. Fungsi tujuan

1. Seorang pengusaha roti membuat dua jenis roti , yaitu roti cap ‘Enak’ dan roti cap ‘Sedap’.

Untukmembuat sebuah roti cap ‘Enak’ diperlukan 200 gr tepung dan 10 gr gula, sedangkan roti cap ‘Sedap’ memerlukan 100 gr tepung dan 20 gr gula. Roti cak ‘Enak’ menghasilkan keuntungan Rp 100,- / buah dan roti cap ‘Sedap’ menghasilkan keuntungan Rp. 150,- / buah . Pengusaha tersebut mempunyai persediaan 200 kg tepung dan 100 kg gula, dan bahan-bahan lain dianggap cukup persediannya. Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut, jika pengusaha tersebut ingin memperoleh keuntungan yang sebesar-besarnya !

2. Sehabis sembuh dari sakit, agar kesehatannya cepat pulih, Ali disarankan oleh dokternya agar setiap hari mengkonsumsi vitamin A sekurang-kurangnya 150 gr, vitamin B sekurang-kurangnya 120 gr, dan vitamin C sekurang-kurangnya 300 gr. Oleh karena itu Ali akan mengkonsumsi suplemen vitamin. Ada dua macam suplemen vitamin yaitu : suplemen berbentuk tablet yang mengandung 20 mg vitamin A , 10 mg vitamin B , dan 50 mg vitamin C ; dan suplemen berbentuk kapsul yang mengandung 30 mg vitamin A , 60 mg vitamin B , dan 20 mg vitamin C . Harga suplemen tablet Rp. 500,- / tablet dan harga suplemen kapsul Rp. 750,- / kapsul . Buatlah model matematika dari masalah tersebut jika Ali menginginkan pengeluaran untuk membeli suplemen vitamin sekecil mungkin !.

1. Misal : x = banyaknya roti cap ‘Enak’ yang harus dibuat . y = banyaknya roti cap ‘Sedap’ yang harus dibuat . Tabel :

Jenis roti Kebutuhan Tepung Kebutuhan gula

x

y

200 gr

100 gr

10 gr

20 gr

Persediaan 200000 gr 100000 gr

20002200000100200 yxyx

1000021000002010 yxyx Hubungan antar variabel

0x 0y

Fungsi tujuan : yxZ 150100 ( maksimal ) Fungsi tujuan

Definisi variabel

J A W A B


2. 1. Misal : x = banyaknya suplemen tablet yang harus dibeli . y = banyaknya suplemen kapsul yang harus dibeli. Tabel :

Suplemen Vitamin A Vitamin B Vitamin C

x

y

20 gr

30 gr

10 gr

60 gr

50 mg

20 mg

Kebutuhan 150 gr 120 gr 300 mg

15321503020 yxyx

1261206010 yxyx Hubungan antar variabel

30253002050 yxyx

0x 0y

Fungsi tujuan : yxZ 600500 ( minimal ) Fungsi tujuan

1. Sebuah perusahaan pengembang perumahan akan membuat 3 buah tipe rumah, yaitu

rumah tipe Parkit , tipe Ketilang , dan tipe Rajawali. Sebuah rumah tipe Parkit memerlukan tanah seluas 150 m2 dan biaya pembangunan Rp. 45.000.000,- , tipe Ketilang 175 m2 dan biaya pembangunan Rp. 50.000.000,- ,sedangkan tipe Rajawali 250 m2 dan biaya pembangunan Rp. 75.000.000,-. Tanah yang tersedia seluas 1 hektar, dan 300 m2 diperuntukkan jalan dan fasilitas umum. Modal yang tersedia Rp. 2.000.000.000,-. Keuntungan untuk rumah tipe Parkit Rp. 15.000.000,- , tipe Ketilang Rp. 20.000.000,- dan tipe Rajawali Rp. 35.000.000,- .

Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut, jika perusahaan ingin memperoleh keuntungan yang sebesar-besarnya !

2. Seorang pedagang buah-buahan mempunyai gerobak yang dapat memuat buah-

buahan sebanyak 20 kg. Pedagang tersebut akan menjual 2 jenis buah yaitu buah pisang dan buah jeruk. Satu kilogram buah pisang dibeli seharga Rp. 1.500,- dan memberikan keuntungan sebesar Rp. 500,-. Sedangkan satu kilogram buah jeruk dibeli seharga Rp.2.000,- dan memberi keuntungan Rp. 750,- . Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut, jika pedagang mengharapkan keuntungan yang sebesar-besarnya ! .

3. Sebuah rombongan yang terdiri dari 20 orang akan menyewa kamar pada suatu hotel.

Kamar kelas A dapat menampung 3 orang dan dengan harga Rp. 15.000,-/malam. Sedangkan kamar kelas B dapat menampung 4 orang dengan harga Rp. 17.500,-/malam. Tentukan model matematika dari permasalahan tersebut, jika rombongan tersebut ingin menyewa kamar dengan biaya semurah-murahnya !

Definisi variabel


CONTOH

4. Petugas penyusun menu pada sebuah rumah sakit menentukan bahwa setiap pasien

setiap harinya harus mendapat jatah makanan yang sekurang-kurangnya mengandung 50 mg zat besi , 30 mg yodium , dan 25 mg vitamin B.

Satu kilogram daging ayam dengan harga Rp. 15.000,-/kg mengandung 3000 mg zat besi, 1500 mg , dan 2500 mg vitamin B. Sedangkan satu kilogram ikan dengan harga Rp. 10.000,-/kg mengandung 5000 mg zat besi, 1000 mg , dan 1500 mg vitamin B. Tentukan model matematika dari permasalahan tersebut, jika petugas tersebut mengharapkan pasien terpenuhi kebutuhan gizinya dan biaya yang dikeluarkan sekecil mungkin !.

E . MENYELESAIKAN MASALAH DENGAN PROGRAM LINIER Langkah-langkah berikut dipakai untuk menyelesaikan masalah dengan matematika :

Demikian juga dengan program linier. Program linier menggunakan langkah-langkah tersebut untuk menyelesaikan masalah. Ada beberapa kekhususan penyelesaian masalah pada program linier, yaitu : 1. Model matematika berbentuk sistem pertidaksamaan linier 2. Bertujuan untuk menentukan nilai optimum ( maksimum atau minimum ) dari suatu fungsi tujuan. 3. Penyelesaian model dengan menggunakan metode grafik , yaitu menggambarkan himpunan

penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier kemudian menentukan nilai fungsi tujuan pada titik-titik sudut pada daerah penyelesaian , kemudian menentukan nilai optimumnya.

Seorang pembuat batako membuat dua jenis batako, yaitu batako jenis I dan batako jenis II. Batako jenis I memerlukan 250 gr semen dan 250 gr pasir, sedangkan batako jenis II memerlukan 100 gr semen dan 400 gr pasir. Tersedia 8,5 kg semen dan 14,5 kg pasir. Keuntungan yang diperoleh dari batako jenis I adalah Rp. 400,-/buah dan dari batako jenis II adalah Rp. 250,-/buah. Hitunglah banyaknya batako jenis I dan jenis II yang harus dibuat agar diperoleh keuntungan maksimum! Hitunglah pula keuntungan maksimum tersebut ! Misal : x = banyaknya batako jenis I yang harus dibuat . y = banyaknya batako jenis II yang harus dibuat .

Model

Matematika

Penyelesaian

Model

Interpretasi

Hasil

Permasalahan

J A W A B


Tabel :

Batako Kebutuhan Semen Kebutuhan Pasir

x

y

250 gr

100 gr

250 gr

400 gr

Persediaan 8500 gr 14500 gr

170258500100250 yxyx

2908514500400250 yxyx

0x 0y

Fungsi tujuan : yxZ 250400 ( maksimal )

Koordinat titik B

29085

17025

yx

yx

206

1201206

yy

261305401705

17020.2517025

xxx

xyx

Nilai fungsi obyektif pada titik sudut :

Titik yxZ 250400

( 34 , 0 )

( 26 , 20 )

( 0 , 4

145 )

13600

15400

9062,5

Kesimpulan : Keuntungan maksimum yang diperoleh adalah Rp. 15.400,- jika membuat 26 buah batako jenis I dan 20 buah batako jenis II .

1. Seorang pedagang boneka akan menjual dua jenis boneka yaitu boneka beruang dan

boneka kelinci. Boneka beruang dibeli dengan harga Rp. 6.000,- / buah dan dijual seharga Rp. 7.500,- / buah . Boneka kelinci dibeli dengan harga Rp. 4.000,- / buah dan dijual dengan harga Rp. 5.000,- / buah . Pedagang tersebut mempunyai modal Rp. 96.000,- dan rak dagangannya hanya dapat memuat paling banyak 20 boneka. Hitunglah banyaknya boneka beruang dan boneka kelinci yang harus dijual pedagang tersebut agar dapat diperoleh keuntungan sebesar-besarnya. Hitunglah juga keuntungan maksimum yang dapat diperoleh !

34

B x

y


2. Sebuah pabrik memproduksi dua jenis barang yaitu barang A dan barang B. Kedua

jenis barang diproduksi dengan menggunakan dua buah mesin yaitu mesin I dan mesin II . Barang A memerlukan waktu 2 jam pengerjaan pada mesin I dan 1 jam pengerjaan pada mesin II, sedangkan barang B memerlukan 1 jam pengerjaan di mesin I dan 3 jam di mesin II .Dalam seminggu mesin I bekerja tidak lebih dari 102 jam dan mesin II tidak lebih dari 126 jam. Keuntungan dari penjualan sebuah barang A adalah Rp. 500.000,- sedangkan barang B keuntungannya Rp. 550.000,-. Hitunglah banyaknya barang A dan barang B yang harus diproduksi dalam seminggu agar pabrik tersebut memperoleh keuntungan yang maksimum ! . Hitunglah juga keuntungan maksimum yang dapat diperoleh pabrik tersebut.

3. Sebuah pesawat terbang komersial menyediakan 140 tempat duduk yang terdiri dari

2 kelas yaitu kelas bisnis dan kelas ekonomi. Penumpang kelas bisnis diperbolehkan membawa bagasi tidak lebih dari 5 kg, dan penumpang kelas ekonomi bagasi yang diperbolehkan tidak lebih dari 3 kg. Pesawat tersebut dapat membawa bagasi tidak lebih dari 540 kg. Harga tiket untuk kelas bisnis adalah Rp. 250.000,- / lembar dan kelas ekonomi Rp. 175.000,- / lembar.Hitunglah banyaknya penumpang kelas bisnis dan kelas ekonomi yang harus diangkut oleh pesawat tersebut agar dapat diperoleh keuntungan yang maksimum !. Hitunglah juga keuntungan maksimum yang dapat diperoleh !.

4. Data dari sebuah jurnal pertanian menyatakan bahwa tanaman jagung akan tumbuh

dengan baik dan memperoleh hasil yang maksimal jika setiap minggu mendapat sekurang-kurangnya 40 mg unsur jenis I dan 120 mg unsur jenis II . Seorang petani modern akan membeli pupuk untuk tanaman jagungnya. Ada dua jenis pupuk, yaitu pupuk jenis A dan pupuk jenis B . Setiap kilogram pupuk jenis A mengandung 6 mg unsur jenis I dan 5 mg unsur jenis II, sedangkan setiap kilogram pupuk jenis B mengandung 3 mg unsur jenis I dan 10 mg unsur jenis II. Petani tersebut akan membeli kedua jenis pupuk kemudian mencampurnya dan diberikan kepada tanaman jagungnya. Harga satu kilogram pupuk jenis A adalah Rp. 3.000,- / kg dan satu kilogram pupuk jenis B adalah Rp. 2.500,- / kg. Hitunglah berapa kilogram pupuk jenis A dan pupuk jenis B yang harus dibeli petani tersebut tiap minggunya agar petani tersebut tiap minggu mengeluarkan biaya yang minimum . Hitunglah biaya minimum yang dikeluarkan petani tersebut ! .

5. Seseorang yang baru sembuh dari sakit disarankan untuk mengkonsumsi sekurang-

kurangnya 144 mg vitamin A , 144 mg vitamin B dan 548 mg vitamin C. Ada 2 jenis suplemen vitamin yang dapat dibeli, yaitu suplemen berbentuk tablet dan kapsul. Vitamin berbentuk tablet mengandung 1 mg vitamin A, 2 mg vitamin B, dan 17 mg vitamin C. Sedangkan vitamin berbentuk kapsul mengandung 6 mg vitamin A, 1 mg vitamin B, dan 2 mg vitamin C. Harga vitamin tablet Rp. 300,-/tablet dan vitamin kapsul Rp. 100,-/kapsul. Hitunglah banyaknya vitamin berbentuk tablet dan vitamin kapsul yang harus dibeli oleh orang tersebut agar pengeluarannya minimum ! Hitunglah pula pengeluaran minimum tersebut !

6. Seorang pengusaha roti membuat dua jenis roti, yaitu roti kering dan roti basah.

Untuk roti kering membutuhkan telur 10 kg dan roti basah membutuhkan telur 100 kg. Sedangkan kebutuhan tepung, untuk roti kering membutuhkan 90 kg tepung dan untuk roti basah membutuhkan tepung 10 kg. Persediaan telur ada 630 kg, dan persediaan tepung ada 1770 kg, bahan-bahan lain dianggap cukup. Untuk kue kering dijual dengan keuntungan Rp. 5000,- / kg dan untuk roti basah Rp. 8.500,- / kg. Hitunglah banyaknya roti kering dan roti basah yang harus dibuat oleh pengusaha tersebut agar diperoleh keuntungan yang maksimal ! Hitunglah juga besarnya keuntungan maksimal yang diperoleh !

program linier

Education