potensial kotak 1, 2, dan 3 dimensi

HANDOUT POTENSIAL KOTAK 1, 2, dan 3 DIMENSI

disusun guna memenuhi tugas mata kuliah

Fisika Kuantum Rombel 3

Dosen Pengampu : Ngurah Made Dharma Putra

Oleh :

1. Rachma Afifah (4201412015)

2. Ekonita Yulia Rahmawati (4201412025)

3. Fiki Layyinatun Najwa (4201412097)

JURUSAN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

2015

POTENSIAL KOTAK 1 DIMENSI

Sebagai pendahuluan dalam menentukan gambaran statistik sistem partikel maka kita

tinjau keadaan yang paling sederhana yaitu sistem dengan 1 partikel dalam kotak 1

dimensi. Tujuan kita adalah mendapatkan gambaran untuk menjelaskan karakteristik

partikel dalam kotak 1 dimensi. Dilakukan dalam kotak karena dalam kotak aspek

dimensinya justru akan memudahkan perhitungan lebih lanjut walaupun dalam

kenyataannya partikel tidak selalu berada dalam kotak).

Kotak yang ditinjau adalah kotak 1 dimensi kemudian setelah itu dengan melihat

prinsip yang ada dalam kotak 1 dimensi, dengan mudah kita dapat menentukan partikel

dalam kotak 2 dimensi maupun 3 dimensi.

Potensial dalam kotak 1dimensi dapat ditulis sebagai berikut:

0, 0 ≤ x≤ L

V ( x )

∞, untuk daerah selain itu.

Persamaan schrodinger bebas waktu untuk 1dimensi dapat dinyatakan sebagai berikut.

−ħ2

2m∇2ψ ( r⃗ )+V ( r⃗ ) ψ ( r⃗ )=Eψ ( r⃗ )

Untuk menyelesaikan persamaan di atas kita dapat menganggap bahwa 1 dimensi dapat

diselesaikan,

ψ ( r⃗ )=ψ ( x )

Sehingga, persamaaan

−ħ2

2m ( ∂2

∂ x2 )ψ ( x )+V ( x )ψ ( x )=E ψ (x )

Untuk daerah luar kotak ψ ( x )=0, sedangkan di dalam kotak V ( x )=0 , sehingga

−ħ2

2m ( ∂2

∂ x2 )ψ ( x )=E ψ ( x )

( ∂2

∂ x2 )ψ ( x )=−2 mEħ2 ψ ( x )

( ∂2

∂ x2 )ψ ( x )=−k 2ψ ( x )

Dengan k2=2mE

ħ2 ,

( ∂2

∂ x2 )ψ ( x )+k2ψ ( x )=0

Maka solusi dari persamaan-persamaan di atas adalah

ψ ( x )=A sin k x+B cos kx

Syarat kontinyu padaψ ( x )menghendaki bahwa pemecahan di luar dan di dalam kotak

bernilai sama pada daerah batas kotak. Jadiψ=0di x=0danx=L .

ψ=0di x=0

ψ (0 )=A sin k x+B coskx

0=A sin k 0+B cosk 0

0=B cos 0

B=0

ψ=0di x=L

ψ ( L )=A sin k L+B cos kL

0=A sin kL+0

Agar A tidak bernilai 0, maka

sin kL=0

kL=π ,2 π ,3 π …

k=nπL

Setelah nilai A , B dan k diketahui maka dengan mudah kita akan mendapatkan,

ψ ( x )=A sin k x

ψ ( x )=A sinnπL

x

Koefisien A didapati dengan menggunakan syarat normalisasi, yang dalam dua dimensi

menjadi,

∫ψ2 dx dy=1

A2∫0

Lx

sin2 kxdx=1

A=√ 2L

Sehingga,

ψ ( x )=√ 2L

sinnπL

x

Nilai E dapat ditentukan dengan ,

k 2=2mE

ħ2

E= k2ħ2

2m

E= ħ2

2 mk 2

E=π2 ħ2 n2

2m L2

Persamaan di atas dapat ditulis sebagai

E=E0 n2

Dari persamaan di atas dapat disimpulkan bahwa partikel dapat ditemukan dengan energy

Eo, 4 Eo, 9Eo, 16Eo, dan seterusnya dan tidak pernah ditemukan dengan energi 2Eo dan

3Eo.


Potensial dalam kotak 2 dimensi dapat ditulis sebagai berikut:

0, 0 ≤ x≤ Lx atau 0 ≤ y≤ Ly

V ( x , y , z )


Persamaan schrodinger bebas waktu untuk 2 dimensi dapat dinyatakan sebagai berikut.

−ħ2

2m∇2ψ ( r⃗ )+V ( r⃗ ) ψ ( r⃗ )=Eψ ( r⃗ )


dipecah satu-persatu, sehingga

ψ ( r⃗ )=ψ ( x , y )=X (x ) Y ( y )


−ħ2

2m ( ∂2

∂ x2 +∂2

∂ y2 )X ( x )Y ( y )+V ( x , y ) X ( x )Y ( y )=E X ( x ) Y ( y )

Untuk daerah luar kotak ψ ( x , y )=0, sedangkan di dalam kotak V ( x , y )=0 , sehingga

−ħ2

2m ( ∂2

∂ x2 +∂2

∂ y2 )X ( x )Y ( y )=E X ( x ) Y ( y )

( ∂2

∂ x2 +∂2

∂ y2 )X ( x ) Y ( y )=−2mEħ2 X (x ) Y ( y )

Dengan k2=2 mE

ħ2 ,

( ∂2

∂ x2 +∂2

∂ y2 )X ( x ) Y ( y )=−k2 X ( x )Y ( y )

( ∂2

∂ x2 +∂2

∂ y2 )X ( x ) Y ( y )+k2 X (x ) Y ( y )=0

( ∂2

∂ x2 +∂2

∂ y2 )X ( x ) Y ( y )+(k x2+k y

2 ) X ( x )Y ( y )=0

Persamaan di atas dapat diselesaikan satu persatu sebagai berikut.

∂2

∂ x2 X (x )+k x2 X (x )=0

∂2

∂ y2 Y ( y )+k y2Y ( y )=0


X ( x )=A sin k x x+B cosk x x

Y ( y )=C sin k y y+ Dcos k y y

Syarat kontinyu pada ψ ( x , y )menghendaki bahwa pemecahan di luar dan di dalam kotak

bernilai sama pada daerah batas kotak. Jadi ψ=0di x=0 dan x=Lxuntuk semua y, dan

ψ=0di y=0 dan y=L yuntuk semua x

ψ=0di x=0 dan x=Lxuntuk semua y

X (0 )=A sin k x x+B cos k x x

0=A sin k x 0+B cosk x 0

0=B cos 0

B=0

X ( Lx)=A sin k x Lx+B cosk x Lx

0=A sin k x Lx+0


sin k x Lx=0

k x Lx=π ,2 π ,3 π …

k x=nx π

Lx

Dengan cara yang sama, diperoleh bahwa D=0, sehingga

k y=ny π

L y

Setelah nilai A , B ,C , D , E ,F dan k x , k y diketahui maka dengan mudah kita akan

mendapatkan,

ψ ( x , y )=X ( x ) Y ( y )

ψ ( x , y )=A sin kx x C sin k y y

ψ ( x , y )=AC sinnx π

Lx

x sinny π

Ly

y

ψ ( x , y )=G sinnx π

Lx

x sinny π

Ly

y

Hasil A dan C telah dinyatakan dengan G . Koefisien G didapati dengan menggunakan

syarat normalisasi, yang dalam dua dimensi menjadi,

∬ψ2dx dy=1

G2∫0

Lx

sin2 kx xdx∫0

Ly

sin2 k y ydy=1

G= 2

√ Lx Ly

Sehingga, ψ ( x , y )= 2

√ Lx L y

sinnx π

Lx

x sinny π

L y

y


k 2=2mE

ħ2

E= k2ħ2

2m

E= ħ2

2 m(k x

2+k y2)

E=π2 ħ2

2 m ( nx2

Lx2 +

n y2

L y2 )


Potensial dalam kotak 3 dimensi dapat ditulis sebagai berikut:

0, 0 ≤ x≤ Lx atau 0 ≤ y≤ Ly atau 0 ≤ z≤ Lz

V ( x , y , z )


Persamaan schrodinger bebas waktu untuk 3 dimensi dapat dinyatakan sebagai berikut.

−ħ2

2m∇2ψ ( r⃗ )+V ( r⃗ ) ψ ( r⃗ )=Eψ ( r⃗ )


dipecah satu-persatu, sehingga

ψ ( r⃗ )=ψ ( x , y , z )=X ( x )Y ( y ) Z (z )


−ħ2

2m ( ∂2

∂ x2 +∂2

∂ y2 +∂2

∂ z2 )X (x ) Y ( y ) Z (z )+V ( x , y , z ) X ( x ) Y ( y ) Z ( z )=E X ( x ) Y ( y ) Z ( z )

Untuk daerah luar kotak ψ ( x , y , z )=0, sedangkan di dalam kotak V ( x , y , z )=0 , sehingga

−ħ2

2m ( ∂2

∂ x2 +∂2

∂ y2 +∂2

∂ z2 )X (x ) Y ( y ) Z (z )=E X (x ) Y ( y ) Z (z )

( ∂2

∂ x2 +∂2

∂ y2 +∂2

∂ z2 )X ( x )Y ( y ) Z ( z )=−2 mEħ2 X ( x )Y ( y ) Z ( z )

( ∂2

∂ x2 +∂2

∂ y2 +∂2

∂ z2 )X ( x )Y ( y ) Z ( z )=−k 2 X ( x )Y ( y ) Z ( z )

Dengan k2=2mE

ħ2 ,

( ∂2

∂ x2 +∂2

∂ y2 +∂2

∂ z2 )X ( x )Y ( y ) Z ( z )+k2 X ( x )Y ( y ) Z (z )=0

( ∂2

∂ x2 +∂2

∂ y2 +∂2

∂ z2 )X ( x )Y ( y ) Z ( z )+(kx2+k y

2+k z2) X ( x ) Y ( y ) Z ( z )

Persamaan di atas dapat diselesaikan satu persatu sebagai berikut.

∂2

∂ x2 X (x )+k x2 X (x )=0

∂2

∂ y2 Y ( y )+k y2Y ( y )=0

∂2

∂ z2 Z (z )+kz2 Z ( z )=0


X ( x )=A sin k x x+B cosk x x

Y ( y )=C sin k y y+ Dcos k y y

Z ( z )=E sin k z z+ F cos kz z

Syarat kontinyu pada ψ ( x , y , z )menghendaki bahwa pemecahan di luar dan di dalam

kotak bernilai sama pada daerah batas kotak. Jadi ψ=0di x=0 dan x=Lxuntuk semua y

dan z, dan ψ=0di y=0 dan y=L yuntuk semua x dan z, serta ψ=0di z=0 dan z=L z

untuk semua x dan y.

ψ=0di x=0 dan x=Lxuntuk semua y dan z

X (0 )=A sin k x x+B cos k x x

0=A sin k x 0+B cosk x 0

0=B cos 0

B=0

X ( Lx)=A sin k x Lx+B cosk x Lx

0=A sin k x Lx+0


sin k x Lx=0

k x Lx=π ,2 π ,3 π …

k x=nx π

Lx

Dengan cara yang sama, diperoleh bahwa D=0 dan F=0, sehingga

k y=ny π

L y

k z=nz π

Lz

Setelah nilai A , B ,C , D , E ,F dan k x , k y , kz diketahui maka dengan mudah kita akan

mendapatkan,

ψ ( x , y , z )=X ( x )Y ( y ) Z (z )

ψ ( x , y , z )=A sin k x xC sin k y y E sin k z z

ψ ( x , y , z )=ACE sinnx π

Lx

x sinny π

L y

y sinnz π

Lz

z

ψ ( x , y , z )=Gsinnx π

Lx

x sinn y π

Ly

y sinnz π

L z

z

Hasil A, C, dan E telah dinyatakan dengan G . Koefisien G didapati dengan

menggunakan syarat normalisasi, yang dalam dua dimensi menjadi,

∭ψ2 dx dydz=1

G2∫0

Lx

sin2 kx xdx∫0

Ly

sin2 k y ydy∫0

L z

sin2 k z zdz=1

G= 2√2

√ Lx Ly L z

Sehingga, ψ ( x , y )= 2√2

√ Lx L y Lz

sinnx π

Lx

x sinny π

Ly

y sinnz π

Lz

z


k 2=2mE

ħ2

E= k2ħ2

2m

E= ħ2

2 m(k x

2+k y2+kz

2)

E= ħ2

2 m(k x

2+k y2+kz

2)

E=π2 ħ2

2m ( nx2

Lx2 +

n y2

L y2 +

nz2

L z2 )

Contoh soal 1 :

Carilah tingkat energi sebuah elektron dalam kotak yang lebarnya 0,1 nm.

Jawab :

Lebar kotak L = 10-10 m

Massa electron = 9,1 x 10-31 kg

Sehingga, energy electron yang diizinkan adalah

E=π2 ħ2 n2

2m L2

En=n2 h2 π 2

2 m L2 (2π )2=

n2 x (6,63 x10−26 )2

8 x9,1 x10−31 x ( 10−10 )2=38n2 eV

Energi minimum yang dimiliki electron adalah 38 eV, yang bersesuaian dengan harga

n=1, deretan tingkat energy yang diteruskan dengan E2 = 152 eV, E3= 342 eV, E4= 608

eV, dan seterusnya. Tingkat energy ini cukup berjauhan, sehingga kuantisasi energy

electron dalam kotak seperti itu jelas tampak bila kotak semacam itu memang ada.

Contoh soal 2 :

Hitung tingkat energy kelereng yang bermassa 10 g dalam kotak yang lebarnya 10 cm.

Jawab :

Massa kelereng = 10 g = 10-2 kg

Lebar kotak = 10 cm = 10-1 m

Sehingga,

En=n2h2

8 m L2=n2 x ( 6,63 x 10−26 )2

8 x10−2 x (10−1 )2=5,5 x10−64n2 J

Energy minimum yang dapat dimiliki kelereng itu adalah 5,5 x10−64 J yang bersesuaian

dengan n = 1, sebuah kelereng yang memiliki energy kinetic sebesar ini memiliki

kecepatan hanya sebesar 3,3 x 10-31 m/s, sehingga secara eksperimental tidak bisa

dibedakan dari kelereng yang diam. Kecepatan yang nalar dapat dimiliki kelereng itu,

dikatakan 1/3 m/s yang bersesuaian dengan tingkat energy yang berbilangan kuantum n =

1030. Tingkat energy yang diizinkan sangat berdekatan sehingga tidak ada cara untuk

menentukan apakah kelereng tersebut dapat memiliki energy tertentu atau energy yang

lainnya. Jadi dalam daerah pengalaman sehari-hari efek kuantum tidak teramati, hal ini

menerangkan suksesnya mekanis newton dalam daerah ini.

Pertanyaan :

1. Nova Rahmawati

Bagaimana menentukan grafik fungsi gelombang dan kerapatan peluang?

2. Lia Lorenza

Bagaimana cara menentukan syarat batas?

3. Rizki Aji

Bagaimana aplikasi kotak potensial dalam kehidupan sehari-hari? Berikan contohnya?

Jawaban :

1. Grafik fungsi gelombang didapat dengan memasukkan n dan x ke dalam fungsi

keadaan, yaitu

ψ ( x )=√ 2L

sinnπL

x

Sedangkan grafik kerapatan peluang dapat diperoleh dari persamaan kerapatan

peluang,

|ψ ( x )|2=|√ 2

Lsin

nπL

x|2

2. Di daerah di luar kotak, tidak mungkin ada partikel karena daerah tersebut memiliki

potensial yang tak hingga. Sedangkan, dalam kotak potensial nilai potensial adalah

nol, sehingga jika ada partikel di dalamnya maka partikel tersebut akan terjebak di

dalamnya. Oleh sebab itu, pada daerah batas antara daerah luar dan dalam kotak nilai

fungsi keadaan sama dengan nol, karena tidak mungkin ada partikel yang terdapat

dalam daerah batass tersebut.

3. Aplikasi dari potensial kotak adalah persamaan energi En=n2h2

8 m L2 berguna untuk

menjelaskan molekul dengan electron bebas seperti poliena terkonjugasi. Panjang

gelombang molekul-molekul tersebut kemudian dapat dihitung.

potensial kotak 1, 2, dan 3 dimensi

Documents