“Polinomial”

Pembahasan :

Nilai Polinomial

Pembagian Polinomial

¤ Secara Bersusun

¤ Secara Horner

Teorema Sisa

POLINOMIAL• Defenisi Polinomial

Polinomial atau Suku Banyak adalah pernyataan matematika yang memiliki variabel (x atau y) yang tersusun dan berpangkat.

Secara umum,polinomial dengan variabel x berderajat n dapat dinyatakan dengan :an x

n + an – 1 xn – 1 + an – 2 xn – 2 + … + … a2x2 + a1x + a0

ket :n = pangkat suku banyak yang merupakan bilangan cacah

= konstanta= koefisien dari

a0an, an – 1, an – 2, …

xn, xn – 1, xn – 2, …

NILAI POLINOMIAL Menentukan Nilai Polinomial (Suku Banyak)

Untuk menentukan nilai polinomial (suku banyak),dapat menggunakan beberapa cara yaitu :

© Cara Substitusi

Dengan cara ini,kita hanya menggantikan variabel x dengan angka yang diperintahkan.Contoh :Tentukan nilai f(2) pada dengan cara substitusi !

= 8 + 3.4 - 8 - 3

= 8 + 12 - 8 - 3= 9

Maka nilai f(2) adalah 9

f(x) = x3 + 3x2 – 4x – 3

f(2) = 23 + 3.22 - 4.2 - 3

© Cara BaganDengan cara ini,kita harus membuat skema bilangan-

bilangan pada baris suku banyak mulai dari pangkat tertinggi sampai ke pangkat terendah.Contoh :Tentukan nilai f(2) pada dengan cara bagan !

2 1 3 -4 -3

2 10 12

+1 5 6 9

Maka nilai f(2) adalah 9

f(x) = x3 + 3x2 – 4x – 3

Contoh Soal Nilai Polinomial

Tentukan nilai f(3) pada

dengan cara substitusi !!f(x) = 2x4 – 5x3 – 9x2 + 6x + 2

Penyelesaian :f(x) = 2x4 – 5x3 + 9x2 + 6x + 2f(3) = 2.34 – 5.33 + 9.32 + 6.3 + 2f(3) = 2.81 – 5.27 + 9.9 + 6.3 + 2f(3) = 162 – 135 + 81 + 18 + 2f(3) = 128

Maka,Nilai f(2) dari f(x) = 2x4 – 5x3 + 9x2 + 6x + 2 adalah 128

Tentukan nilai f(-2) pada

dengan cara bagan !!

f(x) = x3 + 7x2 + 3x - 2

Penyelesaian :

-2 1 7 3 -2

-2 -10 14

+

1 5 -7 12

Maka,nilai f(-2) adalah 12

Pembagian Polinomial

Cara – Cara Pembagian Polinomial

Cara-cara pembagian polinomial dapatdilakukan dengan berbagai cara,yaitu :

® Cara BersusunDengan cara ini,kita dapat mengetahui

hubungan antara yang di bagi,pembagi,hasilbagi dan sisa pembagi. Dapat di tuliskanrumus umum seperti berikut :

Yang Dibagi = (Pembagi x Hasil Bagi) + Sisa Pembagian

Contoh :Tentukan Hasil Bagi,dan Sisa Pembagian dari 2x3 + 3x2 +

2x + 5 di bagi x2 + 3x + 2

2x - 3

x2 + 3x + 2 ) 2x3 + 3x2 + 2x + 52x3 + 6x2 + 4x

-- 3x2 - 2x + 5

- 3x2 - 9x - 6-

7x + 11

Hasil Bagi : 2x – 3 dan Sisa Pembagian : 7x + 11

Jadi, 2x3 + 3x2 + 2x + 5 = (X2 + 3x + 2) (2x – 3) + 7x + 11

® Cara Horner

Pembagian Polinomial (Suku Banyak) dengancara horner ada 2 macam :

° Pembagi bentuk linier ( x – k ) dan ( ax + b )° Pembagi berbentuk kuadrat

SUKU BANYAK METODE HORNER PEMBAGI (x-k)Misalkan yang dibagi f(x), pembagi (x-k), hasil bagi

H(x) dan sisa pembagian S, maka persamaanrumusnya :

f(x) = (x – k) . H(x) + S

ax2 + bx + c

Contoh : Tentukan Hasil Bagi dan Sisa Pembagian dari x3 + 2x2

+ 3x - 2 dari x – 3 k = 3

3 1 2 3 -2

3 15 54

+ 1 5 18 52

Hasil Bagi: x2 + 5x - 18 dan Sisa Pembagian : 52Jadi, x3 + 2x2 + 3x - 2 = (x-3) (x2 + 5x - 18) + 52

SUKU BANYAK METODE HORNER PEMBAGI (ax+b)

Pembagian suku banyak dengan pembagi (x – k) yang telah kita pelajari, dapat dijadikan dasar perhitungan pembagian sukubanyak dengan pembagian (ax + b).

Contoh :Tentukan Hasil Bagi dan Sisa Pembagian dari 2x3 + x2 + 5x - 1 dengan 2x – 1 x =

2 1 5 -1

1 1 3+

2 2 6 2

Hasil Bagi: (x- ) (2x2 + 2x + 6) Sisa Pembagian : 2

(x-1) (x2 + x + 3)

Hasil Bagi : x2 + x + 3

SUKU BANYAK METODE HORNER PEMBAGI KUADRAT (ax2 + bx + c)

Pembagian suku banyak dengan ax2 + bx + c , di mana a ≠ 0 dapat dilakukan dengan cara biasa apabila ax2 + bx + c tidak dapat difaktorkan, sedangkan jika ax2

+ bx + c dapat difaktorkan dapat dilakukan dengan cara Horner.

Contoh :Tentukan Sisa Pembagian dari 4x3 + 2x2 + 3x - 2

dibagi x2 + 2x - 3

faktor dari x2 + 2x - 3 (x + 3) (x – 1)

1 4 2 3 -2

4 6 9

+4 6 9 7

Hasil Bagi : 4x2 + 6x + 9 dan Sisa Pembagian : 7

Contoh Soal Pembagian Polinomial (Suku Banyak)

Tentukan Hasil Bagi dan Sisa Pembagian dari

2x3 + 3x2 + 4x - 5 dibagi x2 - 2x + 3 dengan cara bersusun

Penyelesaian :2x + 7

x2 - 2x + 3 ) 2x3 + 3x2 + 4x - 5 2x3 - 4x2 + 6x

-7x2 - 2x - 57x2 - 14x + 21

-12x - 26

Hasil Bagi : 2x + 7 dan Sisa Pembagian : 12x - 26

Tentukan Hasil Bagi dan Sisa Pembagian dari

x3 + 4x2 - 2x + 3 dari x-3 dengan cara horner

Penyelesaian :Diketahui : x3 + 4x2 - 2x + 3

x – 3 k = 3

3 1 4 -2 3

3 21 57+

1 7 19 60

Hasil Bagi : x2 + 7x + 19 dan Sisa Pembagian : 60

Tentukan Hasil Bagi dan Sisa Pembagian dari 4x3 + 8x2 - 7x + 2 dari 2x-1 dengan

cara horner

Penyelesaian :Diketahui : 4x3 + 8x2 - 7x + 2

2x – 1 x =

4 8 -7 2

2 5 -1

+4 10 -2 1

Hasil Bagi : (x - ) (4x2 + 10x - 2) (x – 1 ) (2x2 + 5x - 1 )

Hasil Bagi : 2x2 + 5x - 1 dan Sisa Pembagian : 1

Tentukan Hasil Bagi dan Sisa Pembagian dari 2x3 + 3x2 - 4x + 5 dibagi x2 + 3x - 4

dengan cara horner

Penyelesaian :Faktor dari x2 + 3x - 4 (x + 4) (x – 1)

1 2 3 -4 5

2 5 1

+ 2 5 1 6

Hasil Bagi : 2x2 + 5x + 1 dan Sisa Pembagian : 6

Teorema Sisa

Defenisi

Teorema Sisa merupakan materi lanjutan dari suku banyak yang sudah di bahas sebelumnya,tentang pembagian suku banyak dengan cara tersusun dan cara horner.

Rumus Umum Teorema Sisa

° Jika f(x) dibagi x-k,maka sisanya adalah f(k)

° Jika f(x) dibagi (ax + b), maka sisa pembagiannya

adalah

° Jika f(x) dibagi (x – a)(x – b),maka sisanya adalah

px + q, dimana f(a) = pa + q dan f(b) = pb + q

Pembuktian Teorema Sisa Jika f(x) dibagi x-k,maka sisanya adalah f(k)

Bukti:Diketahui f(x) = (x-k) h(x) + S. Perhatikan bahwa

derajat S lebih rendah satu daripada derajat (x-k),dengan demikian S adalah konstanta. Karena

f(x) = (x-k) h(x) + S berlaku untuk semua nilai x, maka jika x di ganti k,maka akan diperoleh:

f(k) = (k-k) h(k) + S

= 0 . h(k) + S

= 0 + S

= S

Jadi,f(k) = S dengan S merupakan sisa pembagian

Jika f(x) dibagi (ax + b), maka sisa pembagiannya

adalahBukti :

Diketahui f(x) = (ax + b). + S. Karena f(x) = (ax + b). + S berlaku untuk semua nilai x, maka jika x diganti dengan - , maka diperoleh:

f(x) = (ax+b). + Sf( ) = (a( )+ b). + S

f( ) = ( -b + b) . + S

f( ) = ( 0 ) . + S

f( ) = 0 + S

f( ) = S

Jadi, f( ) = S,dengan S merupakan sisa pembagian

Jika f(x) dibagi (x – a)(x – b),maka sisanya adalah

px + q, dimana f(a) = pa + q dan f(b) = pb + qBukti :

Diketahui f(x) = (x - a)(x – b).h(x) + S. Perhatikan bahwa (x – a)(x – b) sehingga sisanya maksimum berpangkat 1. Itu terjadi karena jika pangkat S lebih dari 1 maka masih dapat dilakukan pembagian terhadap (x – a)(x – b). Selanjutnya Misalkan S = px + q, dengan demikian persamaan sebelumnya dapat ditulis f(x) = (x – a)(x – b),h(x) + (px + q). Karena f(x) = (x – a)(x – b).h(x) + (px + q) berlaku untuk semua nilai x,maka jika di ganti dengan a dan b, maka akan di peroleh :

(Jika x diganti a)

f(a) = (a – a)(a – b).h(a) + (pa + q)

= 0 . h(a) + (pa + q)

= pa + q

(Jika x diganti b)

f(b) = (b – a)(b – b).h(b) + (pb + q)

= 0 . h(b) + (pb + q)

= pb + q

Jadi,S = px + q,dimana f(a) = pa +q dan f(b) = pb + q