Polinomios

Ing Viviana Rojas

Expresión algebraica

Racional

Irracional

Entera Fraccionaria

monomio

polinomio

Ing Viviana Rojas

1) 2x + 3y4

2) -4a2b – b2c

3) 6x2 - 3x + 84) -x2yz + 3y – 5

3) 6x2 - 3x + 84) -x2yz + 3y - 5

BINOMIOS (2)

TRINOMIOS (3)

POLINOMIOS (+4)

Clases: según número de términos

Ing Viviana Rojas

Grado relativo con respecto a una variable :es el mayor exponente de la variable

84653 2081);;( yzxzyxzyxP

GR(x)= GR(y)= GR(z)=

4 5 8

Grados de un polinomio

Ing Viviana Rojas

GA = 10

GA = 8

GA = 3

8x7y3 – 3x4y4 + 6xy2

GA = 10

Grado absoluto :es el mayor absoluto de los tèrminos

Grados de un polinomio

Ing Viviana Rojas

Polinomio

ordenado

homogéneoidéntico

completo

opuesto

nulo

Polinomios Especiales

Ing Viviana Rojas

Polinomio ordenado

Polinomio ordenado respecto a “x” en forma descendente

Polinomio ordenado respecto a “y” en forma ascendente

x4y3 + 2x2y5 – 3x1y8

Polinomios EspecialesORDENADO

Ing Viviana Rojas

x4y + 3x2y5 – 3x3 +xy4 – 5

Polinomio completo con respecto a x

x4y + 3x2y5 – 3x3 +xy4 – 5x0

Polinomios EspecialesCOMPLETO

Ing Viviana Rojas

6x5y3 – 3x4y4 + 6x6y2

GA = 8 GA = 8 GA = 8

Polinomios EspecialesHOMOGENEO

Polinomio homogéneo de grado 8

Ing Viviana Rojas

Si P y Q son idénticos, entonces

a = 5; b = 2; c = -8

P(x) = ax3 + bx2 + c

Q(x) = 2x2 +5x3 – 8

Polinomios EspecialesIDENTICOS

Ing Viviana Rojas

Si

P(x;y) = x4y3 + 2x2y5 – 3xy8

El polinomio opuesto de P es:

-P(x;y) = – x4y3 – 2x2y5 + 3xy8

Polinomios EspecialesOPUESTOS

Ing Viviana Rojas

a = b = c = 0

P(x) = ax3 + bx2 - c

P(x) 0

Polinomios EspecialesIDENTICAMENTE NULO

Ing Viviana Rojas

Es la combinación de números y letras unidos por los signos de las operaciones aritméticas llamados tèrminos. Los números son coeficientes y las letras literal o variables

Expresiones Algebraicas

8 x2y5

Coeficiente

Literal

TERMINO

Ing Viviana Rojas

Valor numérico es el número que se obtiene al sustituir las letras por números dados y hacer las operaciones indicadas en la expresión.

- Monomios: ,...r2 ,x2 ,x3 2

- Polinomios: 22 r2rh2 ,1x2-x3

Algunas expresiones algebraicas son igualdades:

- Identidades:

12x3)4x(3

- Ecuaciones: 27)4x(3

Expresiones Algebraicas

Ing Viviana Rojas

Expresión algebraica en la que las únicas operaciones que afectan a las letras (parte literal) son la multiplicación y potenciación de exponente natural.

8x2y5

El grado del monomio es 2 + 5 = 7

Coeficiente

Grado respecto de la letra y

Monomios

Ing Viviana Rojas

La suma (diferencia) de monomios semejantes es otro monomio también semejante a ellos cuyo coeficiente es la suma (diferencia) de sus coeficientes.

12x2y – 2x2y + 4x2y =

(12 – 2 + 4)x2y = 14x2y

Ejemplos:

MonomiosSuma o Diferencia

Ing Viviana Rojas

El producto de monomios es otro monomio que tiene:

– como coeficiente, el producto de los coeficientes.

– como parte literal, el producto de las partes literales

x3 . x2 = x3 +2 = x5

–2xy2 . 5x2y3 . 3xz = (–2 . 5 . 3) (x . x2 . x) (y2 . y3) z = –30x4y5z

Ejemplos:

MonomiosProducto

Ing Viviana Rojas

El cociente de monomios es otro monomio que tiene:

– como coeficiente, el cociente de los coeficientes.

– como parte literal, el cociente de las partes literales

x3 / x2 = x3 -2 = x

x

(14x4) / (7x2) = (14/7). x4-2 = 2 x2

Ejemplos:

MonomiosCociente

Ing Viviana Rojas

Es una expresión que es suma o resta de monomios. Cada uno de los monomios que lo forman se llama término.

P = 8x5 – 6x4 – 3x2 + x – 2

Grado del polinomio

Término de grado 2

Polinomios

Término independienteo término de grado 0

Término principal

Ing Viviana Rojas

Agrupamos los términos del mismo grado.

P = x5 + 2x4 – 3x2 + x – 4

Q = 3x4 – 2 x3 + 3x2 + 2x

P + Q = x5 + 5x4 – 2x3 + 3x – 4

Ejemplo

El grado de P Q es, el mayor de los grados de P y Q

0peraciones: Suma o resta

Ing Viviana Rojas

Es otro polinomio cuyos términos se obtienen multiplicando el monomio por cada término del polinomio

2xy2 . (3x – 2y + 4) =

(2xy2 . 3x) + (2xy2 . (– 2y) + (2xy2 . 4) =

6x2 y2 – 4xy3 + 8xy2

PolinomiosProducto polinomio x monomio

Monomio Polinomio

Ing Viviana Rojas

Es igual a otro polinomio cuyos términos se obtienen multiplicando cada término del primero por cada término del segundo y sumando luego los términos semejantes

–7x3 + 3x2 – 0x + 2

2x2 + 3x – 1

7x3 – 3x2 + 0x – 2– 21x4 + 9x3 – 0x2 + 6x

–14x5 + 6x4 + 0x3 + 4x2

–14x5 –15x4 +16x3 + x2 + 6x – 2

PolinomiosPolinomio x Polinomio

Polinomio

Polinomio

Ing Viviana Rojas

(a + b) 2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

PRODUCTOS NOTABLES

Ing Viviana Rojas

Cuadrado de la suma o difrencia de dos cantidades

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2

+ b3

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 –

b3

Cubo de la suma o diferencia de dos cantidades

(a + b) (a – b) = a2 – b2

Cubo de la suma o diferencia de dos cantidades

a 2 – b 2 = a –

b a + b

COCIENTES NOTABLES

Ing Viviana Rojas

______

a 3 + b 3 =

a + b

______

a 2 – b 2 = a

+ b a - b

______

a 2 – b 2 = a + b

______

Diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre suma y diferencia

a 2 –ab+b

2 a 2 +ab–b

2

Diferencia o suma de los cubos de dos cantidades entre suma y diferencia

Resto o residuo

x3

3x5 + 8x4 – 11x2 – 3x + 6 3x2+2x–4– (3x5 + 2x4 –4x3)

6x4 + 4x3

Primer paso

– 11x2 – 3x + 6 3x2+2x–4

x3

6x4 +4x3Segundo paso

– (6x4+ 4x3– 8x2)

– 3x2

3x2+2x–4

x3 + 2x2+3x2+ 2x - 4Tercer paso

– x + 2

+ 2x2

– 1

División de Polinomios

Cociente

Ing Viviana Rojas

– 3x2 – 3x + 6

Coeficientes de P

2 – 6 – 4 12

a 2

2 – 6 – 4 12

2

P = 2x3 – 7x2 – 4x + 12 = (2x2 – 2x – 8) (x – 2) + (– 4)

2

4 – 4 – 16– 4

–2 –8

Sirve para dividir un polinomio por x – a.

Ej.: Dividir P = 2x3 – 7x2 – 4x + 12 entre x – 2 se

Regla de Ruffini

Se multiplica por a

–8 –4

Se suma

r

Se opera

Ing Viviana Rojas