MAKALAH PROGRAM LINIER

“METODE GRAFIK”

Disusun Oleh:

1. Agnes Pratiwi (B2B013009)

2. Juni Rahwanti (B2B013012)

S1 PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA & ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SEMARANG

2015

i

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT karena dengan rahmat,

karunia, serta taufik dan hidayah-Nya penulis dapat menyelesaikan makalah

tentang “Metode Grafik”. Penulis berterima kasih kepada Ibu Dwi Sulistyaningsih

selaku dosen mata kuliah Program Linier yang memberikan tugas ini.

Penulis sangat berharap makalah ini dapat berguna dalam menambah

wawasan serta pengetahuan kita mengenai hukum persaingan usaha. Penulis juga

menyadari bahwa di dalam makalah ini terdapat kekurangan dan jauh dari kata

sempurna. Oleh sebab itu , penulis berharap adanya kritik, saran dan usulan demi

perbaikan makalah yang telah penulis buat dimasa yang akan datang, mengingat

tidak ada sesuatu yang sempurna tanpa saran yang membangun.

Semoga makalah sederhana ini apat dipahami bagi siapapun yang

membacanya. Sekiranya makalah yang telah disusun ini dapat berguna bagi

penulis sendiri maupun orang yang membacanya. Sebelumnya penulis mohon

maaf apabila terdapat kesalahan kata-kata yang kurang berkenan, dan memohon

kritik dan saran yang membangun.

Semarang, 14 Juni 2015

Penyusun

ii

DAFTAR ISI

HALAMAN SAMPUL.................................................................................i

KATA PENGANTAR.................................................................................ii

DAFTAR ISI..............................................................................................iii

BAB I PENDAHULUAN............................................................................1

1.1 Latar Belakang.................................................................................11.2 Rumusan Masalah............................................................................21.3 Tujuan..............................................................................................2

BAB II ISI....................................................................................................3

2.1 Pengertian Program Linier...............................................................32.2 Formulasi Permasalan......................................................................42.3 Metode Grafik..................................................................................72.4 Contoh Soal....................................................................................15

BAB III PENUTUP...................................................................................21

3.1 Kesimpulan....................................................................................213.2 Saran..............................................................................................21

DAFTAR PUSTAKA................................................................................22

iii

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Operasi riset (operation research) merupakan penerapan beberapa

metode ilmiah yang membantu memecahkan persoalan rumit yang muncul

dalam kehidupan sehari-hari kemudian di inteprestasikan dalam permodelan

matematika guna mendapatkan informasi solusi yang optimal. Operational

research juga banyak digunakan untuk mengambil keputusan yang logis serta

dapat dijelaskan secara kuantitatif. Pendekatan khusus ini bertujuan

membentuk suatu metode ilmiah dari sistem menggabungkan ukuran-ukuran

faktor-faktor seperti kesempatan dan risiko, untuk meramalkan dan

membandingkan hasil-hasil dari beberapa keputusan, strategi atau

pengawasan. Karena keputusan dalam riset operasi dapat berkaitan dengan

biaya relevan, dimana semua biaya yang terkaitan dengan keputusan itu harus

dimasukkan, kualitas baik dipengaruhi oleh desain produk atau cara produk

dibuat, kehandalan dalam suplai barang dan jasa, kemampuan operasi untuk

membuat perubahan dalam desain produk atau kapasitas produksi untuk

menyesuaikan diri terhadap perubahan yang terjadi.

Progam linier secara umum adalah program linier merupakan salah

satu teknik menyelesaikan riset operasi, dalam hal ini adalah khusus

menyelesaikan masalah-masalah optimasi (memaksimalkan atau

memininumkan) tetapi hanya terbatas pada masalah-masalah yang dapat

diubah menjadi fungsi linear. Secara khusus, persoalan program linear

merupakan suatu persoalan untuk menentukan besarnya masing-masing nilai

variabel sehingga nilai fungsi tujuan atau objektif yang linear menjadi

optimum (memaksimalkan atau meminimumkan) dengan memperhatikan

adanya kendala yang ada, yaitu kendala yang harus dinyatakan dalam bentuk

ketidaksamaan yang linear. Banyak sekali keputusan utama dihadapi oleh

1

seorang manajer perusahaan untuk mencapai tujuan perusahaan dengan

batasan situasi lingkungan operasi. Pembatasan tersebut meliputi sumberdaya

misalnya waktu, tenaga kerja, energi, bahan baku, atau uang. Secara umum,

tujuan umum perusahaan yang paling sering terjadi adalah sedapat mungkin

memaksimalkan laba. Tujuan dari unit organisasi lain yang merupakan bagian

dari suatu organisasi biasanya meminimalkan biaya. Saat manajer berusaha

untuk menyelesaikan masalah dengan mencari tujuan yang dibatasi oleh

batasan tertentu, teknik sains manajemen berupa program linear sering

digunakan untuk permasalahan ini.

1.2 Rumusan Masalah

1.3.1 Apa yang dimaksud dengan Program Linier (Linear Programing)?

1.3.2 Bagaimana Formulasi Program Linier?

1.3.3 Apa saja model Pemrograman Linier Metode Grafik

1.3.4 Bagaimana contoh soal dan pembahasan fungsi maksimalisasi

keuntungan dan minimalisasi biaya?

1.3 Tujuan

1.3.1 Dapat memahami tentang Program Linier.

1.3.2 Mengerti formulasi permasalahan Program Linier.

1.3.3 Mengerti dan memahami model Pemrograman Linier Metode

grafik.

1.3.4 Memahami contoh soal dan pembahasan menggunakan metode

grafik.

2

BAB II

ISI

2.1 Program Linier

Setiap perusahaan atau organisasi memiliki keterbatasan atas sumber

dayanya, baik keterbatasan dalam jumlah bahan baku, mesin dan peralatan,

ruang tenaga kerja, jam kerja, maupun modal. Dengan keterbatasan ini,

perusahaan perlu merencanakan strategi yang dapat mengoptimalkan hasil

yang ingin dicapai, baik itu berupa keuntungan maksimal atau biaya minimal.

Berbagai cara lain telah ditemukan untuk tujuan itu, salah satu diantaranya

pemrograman linear (Eddy, 2008).

Pemrograman Linear merupakan metode  matematik dalam

mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan

seperti memaksimumkan keuntungan dan meminimumkan biaya.

Pemrograman Linear banyak diterapkan dalam masalah ekonomi, industri,

militer, sosial dan lain-lain. Pemrograman Linear berkaitan dengan penjelasan

suatu kasus dalam dunia nyata sebagai suatu model matematik yang terdiri

dari sebuah fungsi tujuan linear dengan beberapa kendala linear (Siringoringo,

2005).

Program linear adalah suatu cara matematis yang digunakan untuk

menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan pengalokasian sumberdaya

yang terbatas untuk mencapai optimasi, yaitu memaksimumkan atau

meminimumkan fungsi tujuan yang bergabung pada sejumlah variabel input.

Penerapan program linear banyak diterapkan dalam masalah ekonomi,

industri, sosial dan lain-lainnya, misalnya periklanan, industri manufaktur

(penggunaan tenagakerja kapasitas produksi dan mesin), distribusi dan

pengangkutan, dan perbankan (portofolio investasi). Program linear berkaitan

dengan penjelasan suatu kasus dalam dunia nyata sebagai model matematik

yang terdiri dari sebuah fungsi tujuan linear dengan beberapa kendala linear.

3

Pemrograman linear merupakan metode matematik dalam mengalokasikan

sumber daya yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan seperti

memaksimumkan keuntungan dan meminimumkan biaya. Pemrograman

linear banyak diterapkan dalam masalah ekonomi, industri, militer, sosial dan

lain-lain. Pemrograman linear berkaitan dengan penjelasan suatu kasus dalam

dunia nyata sebagai suatu model matematik yang terdiri dari sebuah fungsi

tujuan linear dengan beberapa kendala linear. Pemrograman linear meliputi

perencanaan aktivitas untuk mendapatkan hasil optimal, yaitu sebuah hasil

yang mencapai tujuan terbaik (menurut model matematika) diantara semua

kemungkinan alternatif yang ada.

2.2 Formulasi Permasalahan

Masalah keputusan yang sering dihadapi analisis adalah alokasi

optimum sumber daya. Sumber daya dapat berupa uang, tenaga kerja, bahan

mentah, kapasitas mesin, waktu, ruangan atau teknologi. Tugas analisis adalah

mencapai hasil terbaik dengan keterbatasan sumber daya itu. Setelah masalah

diidentifikasikan, tujuan ditetapkam, langkah selanjutnya adalah formulasi

model matematika. Formulasi model matematika ada 3 tahap :

1. Tentukan variabel yang tidak diketahui dan dinyatakan dalam simbol.

2. Membentuk fungsi tujuan yang ditunjukkan sebagai suatu hubungan linier

dari variabel keputusan.

3. Menentukan semua kendala masalah tersebut dan mengekspresikannya

dalam persamaan atau pertidaksamaan.

Contoh Kasus:

Seorang pengrajin menghasilkan satu tipe meja dan satu tipe kursi. Proses

yang dikerjakan hanya merakit meja dan kursi. Dibutuhkan waktu 2 jam untuk

merakit 1 unit meja dan 30 menit untuk merakit 1 unit kursi. Perakitan

dilakukan oleh 4 orang karyawan dengan waktu kerja 8 jam perhari.

4

Pelanggan pada umumnya membeli paling banyak 4 kursi untuk 1 meja. Oleh

karena itu pengrajin harus memproduksi kursi paling banyak empat kali

jumlah meja. Harga jual per unit meja adalah Rp 1,2 juta dan per unit kursi

adalah Rp 500 ribu. Formulasikan kasus tersebut ke dalam model

matematiknya !

Penyelesaian

Langkah Pertama

Mengidentifikasi tujuan, alternatif keputusan dan sumber daya

yang membatasi. Berdasarkan informasi yang diberikan pada soal,

tujuan yang ingin dicapai adalah memaksimumkan pendapatan.

Alternatif keputusan adalah jumlah meja dan kursi yang akan

diproduksi. Sumber daya yang membatasi  adalah waktu kerja

karyawan dan perbandingan jumlah kursi dan meja yang harus

diproduksi (pangsa pasar )

Langkah Kedua

Memeriksa sifat proporsionalitas, additivitas, divisibilitas dan

kepastian. Informasi di atas tidak menunjukkan adanya pemberian

diskon, sehingga harga jual per meja maupun kursi akan sama

meskipun jumlah yang dibeli semakin banyak. Hal ini mengisyaratkan

bahwa total  pendapatan yang diperoleh pengrajin proposional

terhadap jumlah produk yang terjual. Penggunaan sumber daya yang

membatasi , dalam hal ini waktu kerja karyawan dan pangsa pasar juga

proporsional terhadap jumlah meja dan kursi yang diproduksi. Dengan 

demikian dapat dinyatakan sifat proporsionalitas dipenuhi. Total

pendapatan pengrajin merupakan jumlah pendapatan dari keseluruhan

meja dan kursi yang terjual. Penggunaan sumber daya ( waktu kerja

karyawan dan pangsa pasar) merupakan penjumlahan waktu yang

digunakan untuk memproduksi meja dan kursi. Maka dapat dinyatakan

juga sifat additivitas dipenuhi. Sifat divisibilitas dan kepastian juga

dipenuhi.

5

Langkah Ketiga

Ada dua variabel keputusan dan dua sumber daya yang membatasi.

Fungsi tujuan merupakan maksimisasi, karena semakin besar

pendapatan akan semakin disukai oleh pengrajin. Fungsi kendala

pertama (batasan waktu) menggunakan pertidaksamaan ≤, karena

waktu yang tersedia dapat digunakan sepenuhnya atau tidak, tapi tidak

mungkin melebihi waktu yang ada. Fungsi kendala yang kedua bisa

menggunakan ≤ atau ≥ tergantung dari pendefinisianvariabelnya

Definisikan Variabelnya:

x₁ = jumlah meja yang akan diproduksi

x₂ = jumlah kursi yang akan diproduksi

Model umum Pemrograman Linier kasus di atas adalah :

Fungsi tujuan :

Maksimumkan z = 1.2 x₁ + 0.5 x₂

Kendala : 2x₁ + 0.5 x₂≤ 32

x₁/x₂ ≥ ¼ atau 4x₁≥ x₂ atau 4x₁– x₂ ≥ 0

x₁ , x₂ ≥ 0

2.3 Model Pemrograman Linier Metode Grafik

6

Metode grafik hanya bisa digunakan untuk menyelesaikan permasalahan

dimana hanya terdapat dua variabel keputusan. Untuk menyelesaikan

permasalahan tersebut. Metode grafik adalah satu cara yang dapat digunakan

untuk memecahkan masalah optimalisasi dalam programasi linier.

Keterbatasan metode ini adalah variabel yang bisa digunakan terbatas (hanya

dua), penggunaan 3 variabel akan sangat sulit dilakukan.

Dua macam fungsi Program Linear:

Fungsi tujuan : mengarahkan analisa untuk mendeteksi tujuan perumusan

masalah

Fungsi kendala : untuk mengetahui sumber daya yang tersedia dan

permintaan atas sumber daya tersebut

Langkah – langkah penyelesaian dengan metode grafik:

1. Buatlah model matematika / kendala

2. Tentukan fungsi sasaran (Z).

3. Menyelesaikan fungsi pertidaksamaan :

Jadikan setiap kendala menjadi bentuk persamaan,

Buat grafik untuk setiap kendala dan kemudian tentukan daerah

penyelesaian atau HP,

Setelah grafik dibuat, kemudian tentukan himpunan penyelesaian

(HP). Setelah itu, kita menentukan titik – titik terluar yang terdapat

didalam grafik tersebut.

Setelah titik – titik terluar ditentukan, Uji titik – titik terluarnya untuk

menentukan nilai maksimumnya.

2.3.1 Fungsi Tujuan Maksimalisasi

7

Maksimisasi dapat berupa memaksimalkan keuntungan atau hasil.

Contoh:

PT. INDAH MEBEL membuat dua produk yaitu meja dan kursi,

yang harus diproses melalui perakitan dan pemolesan. Fungsi

perakitan memiliki 60 jam kerja sedangkan fungsi pemolesan

hanya 48 jam kerja. Untuk menghasilkan satu meja dibutuhkan 4

jam kerja perakitan dan 2 jam pemolesan. Laba tiap meja $8 dan

tiap kursi $6.

Pemecahan :

Sekarang kita harus menentukan kombinasi terbaik dari meja dan

kursi yang harus diproduksi dan dijual guna mencapai laba

maksimum.

Ada dua batasan (disebut juga KENDALA) yaitu waktu yang

tersedia untuk perakitan dan waktu yang tersedia untuk pemolesan.

Kita buat ringkasan matematik dari kasus perusahaan tersebut

diatas :

Waktu yang dibutuhkan untuk 1 unit

produk

Total Jam yang

tersedia

    Meja (M) Kursi (K)    

Perakitan 4 2 60

Pemolesan 2 4 48

           

Laba per

Unit   $8 $6    

LANGKAH PERTAMA

Untuk memulai memecahkan persoalan kita nyatakan informasi tersebut

dalam bentuk matematik yaitu memaksimalkan Fungsi Tujuan (hubungan

output terhadap Keutungan).

8M = total keuntungan dari pendapatan meja

6K = total keuntungan dari penjualan kursi

8

Fungsi Tujuan = 8M + 6K

Waktu yang digunakan membuat kedua produk tidak boleh melebihi total

waktu yang tersedia bagi kedua fungsi. (Fungsi Kendala) :

PERAKITAN :

4M + 2K ≤ 60

PEMOLESAN

2M + 4K ≤ 48

Agar mendapat jawaban yang berarti maka nilai M dan K harus positif (meja

dan kursi yang nyata) artinya harus lebih besar dari 0 (M≥0 dan K≥0).

Persoalan dapat diringkas dalam bentuk matematik :

Maksimumkan : Laba = 8M + 6K (Fungsi Tujuan)

Dibatasi Oleh : (Fungsi Kendala)

4M + 2K ≤ 60

2M + 4K ≤ 48

M≥0 dan K≥0

LANGKAH KEDUA

Gambarkan batasan-batasan tersebut dalam sebuah grafik, meja pada sumbu

horizontal dan kursi pada sumbu vertical.

Asumsikan :

a. Tidak ada waktu yang tersedia untuk merakit meja (produksi meja = 0),

maka kursi dapat dibuat sampai dengan 30. Titik kita yang pertama adalah

(0,30).

b. Untuk mendapatkan titik kedua, asumsikan tidak tersedia waktu untuk

merakit kursi (produksi kursi = 0), sehingga kita dapat memproduksi meja

K=15. Titik kedua kita adalah (15,0).

9

Setiap kombinasi meja dan kursi pada garis BC akan menghabiskan 60 jam

waktu. Contoh : jika kita produksi 10 meja maka akan diproduksi 10 kursi

(titik 10,10), pada grafik akan menghabiskan waktu perakitan 10 (4jam) + 10

(2jam) = 60 jam.

Fungsi Pemolesan :

2M + 4K ≤ 48

Asumsikan tidak tersedia waktu untuk aktivitas pemolesan kursi (pemolesan

kursi = 0), sehingga kita melakukan pemolesan M = 24, Titik (24,0).

Begitupun sebaliknya tidak ada waktu untuk pemolesan Meja (Pemolesan

Meja = 0), sehingga kita melakukan pemolesan Kursi K = 12, Titik (0,12).

Penyajian grafik batasan persoalan

10

Kombinasi meja dan kursi yang berada dalam AEDC disebut pemecahan yang

memungkinkan (feasible solutions), kombinasi di luar AEDC tidak mungkin

menjadi solusi.

Contoh :

Untuk 10 meja dan 5 kursi

Perakitan : 4M + 2K ≤ 60 jam

4(10) + 2 (5) = 50 jam

Pemolesan : 2M + 4K ≤ 48 jam

2(10) + 4(5) = 40 jam

Waktu yang dibutuhkan untuk membuat 10 meja dan 5 kursi (titik 10,5) masih

masuk dalam area feasible solution (AEDC) merupakan pemecahan yang

memungkinkan.

LANGKAH KETIGA

Tetapkan titik D, maka semua titik di bidang arsiran AECD akan diketahui.

Bagaimana mengetahui titik D?

a. membaca gambar grafik secara cermat pertemuan titik D.

b. Membaca kesamaan dua garis berpotongan titik D. Kesamaan itu adalah :

4M + 2K = 60

2M + 4K = 48

Untuk memecahkan dua kesamaan secara bersamaan maka kalikan

kesamaan pertama dengan – 2:

-2 (4M + 2K = 60) = -8M – 4K = -120

11

+2M + 4K = 48

-6M = -72

M = 12

Selanjutnya, substitusikan 12 untuk M dalam kesamaan kedua.

2M + 4K = 48

2(12) + 4K = 48

24 + 4K = 48

4K = 24

K = 6

Jadi Titik D adalah (12,6)

LANGKAH KEEMPAT

Hitung nilai empat sudut dari bidang arsiran untuk melihat komposisi produksi

manakah yang menghasilkan laba terbesar :

Titik A (0,0) : 8(0) + 6(0) = 0

Titik E (0,12) : 8(0) + 6(12) = 72

Titik C (15,0) : 8(15) + 6(0) = 120

Titik D (12,6) : 8(12) + 6(6) = 132

Kesimpulan : Untuk memperoleh keuntungan optimal, maka komposisi

produk adalah Meja 12 buah dan Kursi 6 buah dengan keuntungan sebesar

$132.

2.3.2 Fungsi Tujuan Minimisasi

Minimisasi dapat berupa meminimumkan biaya produksi.

Solusi optimal tercapai pada saat garis fungsi tujuan menyinggung

daerah feasible yang terdekat dengan titik origin.

Contoh :

12

Perusahaan makanan ROYAL merencanakan untuk

membuat dua jenis makanan yaitu Royal Bee dan Royal Jelly.

Kedua jenis makanan tersebut mengandung vitamin dan protein.

Royal Bee paling sedikit diproduksi 2 unit dan Royal Jelly paling

sedikit diproduksi 1 unit. Tabel berikut menunjukkan jumlah

vitamin dan protein dalam setiap jenis makanan:

Bagaimana menentukan kombinasi kedua jenis makanan agar meminimumkan

biaya produksi.

Langkah – langkah:

1. Tentukan variabel

X1 = Royal Bee

X2 = Royal Jelly

2. Fungsi tujuan

Zmin = 100X1 + 80X2

3. Fungsi kendala

1) 2X1 + X2 ≥ 8 (vitamin)

2) 2X1 + 3X2 ≥ 12 (protein)

3) X1 ≥ 2 (jumlah minimal yang harus di produksi = 2 unit)

4) X2 ≥ 1 (jumlah minimal yang harus di produksi = 1 unit)

1. Membuat grafik

1) 2X1 + X2 = 8

X1 = 0, X2 = 8

X2 = 0, X1 = 4

Garis isoquant titik (4,8)

13

2) 2X1 + 3X2 = 12

X1 = 0, X2 = 4

X2 = 0, X1 = 6

Garis isoquant titik (6,4)

3) X1 = 2

4) X2 = 1

Solusi optimal tercapai pada titik B (terdekat dengan titik origin), yaitu

persilangan garis kendala (1) dan (2).

2X1 + X2 = 8

2X1 + 3X2 = 12

-

-2X2 = -4

X2 = 2

masukkan X2 ke kendala (1)

2X1 + X2 = 8

2X1 + 2 = 8

2 X1 = 8 – 2 = 6

X1 = 3

14

masukkan nilai X1 dan X2 ke Z

Z min = 100X1 + 80X2

= 100(3) + 80(2)

= 300 + 160

= 460

Kesimpulan :

Untuk meminimumkan biaya produksi, maka diproduksi Royal Bee (X1 ) =

3 dan Royal Jelly (X2 ) = 2, dengan biaya produksi 460 ribu rupiah.

2.4 Contoh soal Dan Pembahasan

1. PT LAQUNATEKSTIL memiliki sebuah pabrik yang akan memproduksi

2 jenis produk, yaitu kain sutera dan kain wol. Untuk memproduksi kedua

produk diperlukan bahan baku benang sutera, bahan baku benang wol dan

tenaga kerja. Maksimum penyediaan benang sutera adalah 60 kg per hari,

benang wol 30 kg per hari dan tenaga kerja 40 jam per hari. Kebutuhan

setiap unit produk akan bahan baku dan jam tenaga kerja dapat dilihat

dalam tabel berikut:

Jenis Bahan Baku dan

Tenaga Kerja

Kg Bahan Baku & Jam Tenaga

KerjaMaksimum

PenyediaanKain Sutra Kain Wol

Benang Sutra 2 3 60 kg

Benang Wol - 2 30 kg

Tenaga Kerja 2 1 40 kg

 Langkah-langkah:

1) Tentukan variabel

        X1=kain sutera

15

        X2=kain wol

2) Fungsi tujuan

        Zmax= 40X1 + 30X2

3) Fungsi kendala / batasan

        1. 2X1 + 3X2 60 (benang sutera)

        2. 2X2 30 (benang wol)

        3. 2X1 + X2 40 (tenaga kerja)

4) Membuat grafik

        1. 2X1 + 3 X 2=60

            X1=0, X2 =60/3 = 20

            X2=0, X1= 60/2 = 30

        2. 2X2 30

            X2=15

        3. 2X1 + X2 40

            X1=0, X2 = 40

            X2=0, X1= 40/2 = 20

Cara mendapatkan solusi optimal:

1. Dengan mencari nilai Z setiap titik ekstrim.

Titik A

    X1=0, X2=0

    masukkan nilai X1 dan X2 ke Z

16

    Z = 40 . 0 + 30 . 0 = 0

Titik B

    X1=20, X2=0

    masukkan nilai X1 dan X2 ke Z

    Z = 40 . 20 + 30 . 0 = 800

Titik C

    Mencari titik potong (1) dan (3)

    2X1 + 3X2 = 60

    2X1 + X2 = 40

    2X2=20 X2=10

    Masukkan X2 ke kendala (1)

    2X1 + 3X2 = 60

    2X1 + 3 . 10 = 60

    2X1 + 30 = 60

    2X1 = 30 X1 = 15

    masukkan nilai X1 dan X2 ke Z

    Z = 40X1 + 30X2 = 40 . 15 + 30 . 10 = 600 + 300 = 900 (optimal)

Titik D

    2X2 = 30

    X2 = 15

    masukkan X2 ke kendala (1)

    2X1 + 3 . 15 = 60

    2X1 + 45 = 60

    2X1 = 15 X1 = 7,5

    masukkan nilai X1 dan X2 ke Z

    Z = 40 . 7,5 + 30 . 15 = 300 + 450 = 750

Titik E

    X2 = 15

    X1 = 0

    masukkan nilai X1 dan X2 ke Z

    Z = 40 . 0 + 30 .15 = 450

17

Kesimpulan :

untuk memperoleh keuntungan optimal, maka X1 = 15 dan X2 = 10 dengan

keuntungan sebesar Rp 900 juta.

2. Perusahaan makanan ROYAL merencanakan untuk membuat dua jenis

makanan yaitu Royal Bee dan Royal Jelly. Kedua jenis makanan tersebut

mengandung vitamin dan protein. Royal Bee paling sedikit diproduksi 2

unit dan Royal Jelly paling sedikit diproduksi 1 unit. Tabel berikut

menunjukkan jumlah vitamin dan protein dalam setiap jenis makanan:

Jenis Makanan Vitamin (unit) Protein (unit) Biaya per unit (ribu rupiah)

Royal Bee 2 2 100

Royal Jelly 1 3 80

Minimum Kebutuhan 8 12 -

Bagaimana menentukan kombinasi kedua jenis makanan agar meminimumkan

biaya produksi.

Langkah – langkah:

1. Tentukan variabel

    X1 = Royal Bee

    X2 = Royal Jelly

2. Fungsi tujuan

    Zmin = 100X1 + 80X2

3. Fungsi kendala

   1) 2X1 + X2 8 (vitamin)

   2) 2X1 + 3X2 12 (protein)

   3) X1 2

   4) X2 1

4. Membuat grafik

    1) 2X1 + X2 = 8

        X1 = 0, X2 = 8

        X2 = 0, X1 = 4

18

    2) 2X1 + 3X2 = 12

        X1 = 0, X2 = 4

        X2 = 0, X1 = 6

    3) X1 = 2

    4) X2 = 1

Solusi optimal tercapai pada titik B (terdekat dengan titik origin), yaitu

persilangan garis kendala (1) dan (2).

2X1 + X2 = 8

2X1 + 3X2 = 12

-2X2 = -4 X2 = 2

masukkan X2 ke kendala (1)

2X1 + X2 = 8

2X1 + 2 = 8

2 X1 = 6 X1 = 3

masukkan nilai X1 dan X2 ke Z

Z min = 100X1 + 80X2 = 100 . 3 + 80 . 2 = 300 + 160 = 460

Kesimpulan :

Untuk meminimumkan biaya produksi, maka X1 = 3 dan X2 = 2 dengan biaya

produksi 460 ribu rupiah.

19

Titik C

Mencari titik potong (1) dan (3)

   2X1 + 3X2 = 60

   2X1 + X2 = 40

   2X2=20

   X2=10

Masukkan X2 ke kendala (1)

   2X1 + 3X2 = 60

   2X1 + 3 . 10 = 60

   2X1 + 30 = 60

   2X1 = 30 X1 = 15

masukkan nilai X1 dan X2 ke Z

   40X1 + 30X2 = 40 . 15 + 30 . 10 = 600 + 300 = 900

20

BAB III

PENUTUP

3.1 Kesimpulan

Program linear adalah suatu cara matematis yang digunakan untuk

menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan pengalokasian sumberdaya

yang terbatas untuk mencapai optimasi, yaitu memaksimumkan atau

meminimumkan fungsi tujuan yang bergabung pada sejumlah variabel

input. • Yang termasuk dalam komponen model program linear adalah

variable keputusan, fungsi tujuan, dan batasan model. Program linier bisa

di selesaikan menggunakan metode grafik untuk menentukan persoalan

maksimum maupun minimum.

3.2 Saran

Penulis menyadari bahwasannya makalah ini masih terdapat

banyak kekurangannya. Oleh karena itu, kritik dan saran yang membangun

sangat diperlukan untuk menyempurnakan makalah ini agar lebih baik

lagi. Semoga makalah ini dapat memberikan pengetahuan dan wawasan

mendalam bagi penulis khususnya dan bagi pembaca umumnya

21

DAFTAR PUSTAKA

Hartas, Siffa. “Program Linier Metode Grafik”.5 Oktober 2012.

http://blogsiffahartas.blogspot.com/2012/10/pemrograman-linear-metode-

grafik.html

NN. “Program linier”. 11 Maret 2011.

https://ko2smath06.wordpress.com/2011/03/11/pemrograman-linear/

Riandini, Sarah B. “Program Linier”. 14 Januari 2014.

https://sarahbaniariyandini.wordpress.com/2014/01/14/program-linier/

Mulyono, Adi H. “Operation research”.

http://webcache.googleusercontent.com/search?

q=cache:Xq7vQjySDxUJ:https://adypato.files.wordpress.com/2010/10/

program-linear-dan-metode-simplex.doc+&cd=4&hl=id&ct=clnk&gl=id

http://www.belajar-informatika.net/index.php?id_bab=7

22