METODE ELEMEN HINGGAOLEH: RIZKI A. T. CAHYANI

1. Contoh Plane Stress ProblemSumber: Reddy, J. N. AN INTRODUCTION TO THE FINITE ELEMENT METHOD. 1984. Unites States of America: McGraw-Hill, Inc.

SOAL:Anggap suatu pelat tipis elastis dikenakan beban merata yang terdistribusi pada bagian pinggir pelat (lihat gambar 1). Asumsikan kondisi plane stress. Tentukan perpindahan pada tiap nodal pada elemen.

JAWAB: Matriks Elemen, dengan mengasumsikan pelat terbuat dari material isotropic dan kondisi berupa plane stress, matriks kekauan elemen dihitung pada masing-masing dari dua elemen.

Elemen 1

Elemen 2

Berdasarkan pengamatan pada nodal elemen dari kedua elemen, bisa diperoleh dari dengan mengubah koefisien nodal 1, 2, dan 3 menjadi 2, 3, dan 1. Secara khusus, kita mendapatkan,dan seterusnya.

Penyusunan (Assembly), korespondensi antara nodal global dan local dan kekakuan dapat diberikan pada tabel berikut:

Bila dua nodal global memiliki kemiripan (correspond) dengan dua nodal local pada elemen yang sama, maka koefisien kekakuan akan menjadi tidak nol, apabila sebailknya maka koefisien kekakuan akan menjadi nol. Matriks yang telah tersusun diberikan sebagai berikut,

Vektor gaya yang telah terususun adalah,

Dimana dan seterusnya.

Syarat Batas (Boundary Condition), derajat kebebasan yang telah ditetapkan (primary) adalah,

Gaya yang telah diketahui (secondary degree of freedom) telah dimasukkan dalam dan . Kesetimbangan gaya terjadi bila,

Solusi Persamaan, dua baris dan dua kolom yang pertama dan yang terakhir dari matriks dapat dihilangkan (karena syarat batas yang telah ditetapkan adalah homogen). Sehingga bentuk persamaan matriks menjadi,

Dengan memasukkan:

Maka didapat persamaan matriks,

Dengan meng-invers matriks, didapatkan hasil,

2. Contoh Plane Strain ProblemSumber: Bathe, Klaus-Jurgen. FINITE ELEMENT PROCEDURES. 1996. New Jersey: Prentice-Hall, Inc.

SOAL:Susun matriks dan yang berhubungan (corresponding) dengan formulasi Total Lagrangian (TL) untuk elemen plane strain dua dimensi seperti yang terlihat pada gambar 2.11

JAWAB:Untuk matriks strain-displacement, didefinisikan,

Matriks Jacobian J berisi derivative dari koordinat x, y, z dengan tetap mengacu pada koordinat natural r, s, t. Untuk elemen segiempat dengan sisi 2a dan 2b, dapat ditulis,

Maka matriks J untuk permasalahan di atas yaitu,

Kemudian didapatkan,

Untuk mengevaluasi , diperlukan nilai , dimana,

Maka didapatkan,

Matriks nonlinear strain-displacement dapat pula langsung disusun menggunakan derivative dari fungsi interpolasi dan matriks J,