plagiat merupakan tindakan tidak terpuji … · bendungan mempunyai manfaat yang sangat berguna...

i

PEMODELAN MATEMATIKA PADA SISTEM

PEMBANGKIT LISTRIK TENAGA AIR

Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Oleh

Julius Sigit Wicaksono

NIM : 993114015

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2007

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ii

MATHEMATICAL MODELLING OF

HYDROELECTRIC POWER GENERATION SYSTEM

Thesis

Presented as Partial Fulfillment of the Requirements

to Obtain the Sarjana Sains Degree

in Mathemathics Study Program

By


Student Number : 993114015

STUDY PROGRAM OF MATHEMATHICS

DEPARTMENT OF MATHEMATHICS

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2007


v

Di Balik Setiap Batu Penghalang

Pasti Ada Hikmat Yang Tersembunyi

Dan Selalu Ada Pelajaran Yang Mematangkan Mental.

Hadapi Dengan Berani Setiap Batu Penghalang

(Wisdom to Success )

SKRIPSI INI KUPERSEMBAHKAN UNTUK KEDUA ORANG TUA KU


vi

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak

memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam

kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, Agustus 2007

Penulis



vii

ABSTRAK

Sistem Pembangkit Listrik Tenaga Air pada bendungan digerakkan oleh suatu generator. Agar generator dapat digerakkan maka diperlukan tinggi yang sesuai pada bendungan tersebut.

Dengan mengasumsikan dua bendungan seperti dua sistem bejana, maka model matematika pada dua sistem bejana tersebut adalah

)()(2)(2

222

22

thdt

tdhdt

thdnn ωωξ ++ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

21

1

AAKλ

Dh , dengan )(2 th adalah tinggi air pada sistem bejana

yang terletak dibawahnya, ξ adalah rasio peredam yang baru, Dh adalah tinggi air yang sesuai pada sistem bejana, nω adalah frekwensi alami yang baru, dan

21 , AA adalah luas penampang sistem bejana. Penyelesaian pada dua bejana ini memiliki tiga kemungkinan nilai rasio

peredam baru yang terjadi, yaitu ,1,1 <= ξξ dan 10 <<ξ . Untuk menjamin waktu yang dibutuhkan untuk meredamkan gejolak air seperti kelebihan air tidak terlalu lama, maka nilai rasio peredam baru yang sesuai adalah 10 <<ξ .


viii

ABSTRACT

Hydroelectric Power Generation System of dam is generated by a generator. In order to generate a generator, it’s needed a desired demand of the water level of the dams.

By assuming two dams like two-vessel system, the mathematical model of two-vessel system is )()(2)(

222

22

2

thdt

tdhdt


⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

21

1

AAKλ

Dh , where )(2 th denotes the

water level of the lower vessel system, ξ denotes the new damping ratio, Dh denotes the desired demand of the water level, nω denotes the new natural frequency, and

21 , AA denotes the uniform cross-sectional of the two-vessel system. There are three cases of the solution of this two-vessel system, depending of the new damping ratio such as ,1,1 <= ξξ and 10 <<ξ . In order to ensure the settling-down time such as overshoot is not too large, then the appropriate value of the new damping ratio is 10 <<ξ .


ix

KATA PENGANTAR

Dengan telah selesainya penulisan skripsi yang berjudul “Pemodelan

Matematika Pada Sistem Pembangkit Listrik Tenaga Air ”, saya mengucapkapkan

puji dan syukur atas berkat dan rahmat yang Tuhan Yang Maha Esa.

Terutama juga saya mengucapkan terima kasih kepada dosen pembimbing

saya, Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si, M.Si, yang dengan sabar dan penuh perhatian

membantu saya dalam penulisan ini.

Selain itu saya juga mengucapkan seluruh dosen dan staf sekretariat Fakultas

Sains Dan Teknologi dalam pelayanan membantu saya selama kuliah di Sanata

Dharma.

Tujuan dari penulisan ini adalah untuk memenuhi salah satu persyaratan

memperoleh gelar sarjana sains program studi matematika Fakultas Sains Dan

Teknologi Universitas Sanata Dharma.

Saya selaku penulis skripsi ini, menyadari masih jauh dari sempurna, oleh

sebab itu saya mengharapkan masukan dari semua pihak untuk lebih sempurnanya

tulisan skripsi ini.

Yogyakarta, Juli 2007

Penulis


x

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL............................................................................................ i

HALAMAN JUDUL............................................................................................ ii

HALAMAN PERSETUJUAN............................................................................. iii

HALAMAN PENGESAHAN.............................................................................. iv

HALAMAN PERSEMBAHAN .......................................................................... v

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA .............................................................. vi

ABSTRAK ........................................................................................................... vii

ABSTRACT......................................................................................................... viii

KATA PENGANTAR ......................................................................................... ix

DAFTAR ISI........................................................................................................ x

DAFTAR TABEL................................................................................................ xiii

DAFTAR GAMBAR ........................................................................................... xv

BAB I PENDAHULUAN................................................................................... 1

A. Latar Belakang ......................................................................................... 1

B. Rumusan Masalah .................................................................................... 2

C. Pembatasan Masalah ................................................................................ 2

D. Manfaat Penulisan.................................................................................... 3

E. Metode Penulisan..................................................................................... 3

F. Tujuan Penulisan...................................................................................... 3


xi

G. Sistematika Penulisan .............................................................................. 4

BAB II PEMODELAN MATEMATIKA DENGAN PERSAMAAN DIFERE

NTIAL DAN DERET BINOMIAL ....................................................... 6

A. Pemodelan Matematika............................................................................ 6

B. Persamaan Diferensial.............................................................................. 7

1. Persamaan Diferensial Orde Satu Terpisahkan.................................. 11

2. Persamaan Diferensial Linear Orde Satu ........................................... 12

3. Persamaan Diferensial Linear Orde Dua............................................ 13

4. Penerapan Persamaan Diferensial Orde Dua ..................................... 21

C. Deret Binomial Dan Penerapannya.......................................................... 29

1. Usaha Dan Energi .............................................................................. 30

2. Fluida ................................................................................................. 31

3. Persamaan Kontinuitas....................................................................... 33

4. Persamaan Bernoulli .......................................................................... 34

5. Teorema Torricelli ............................................................................. 35

BAB III PEMODELAN MATEMATIKA PADA SISTEM SATU BEJANA .. 39

A. Sistem Satu Bejana tanpa Aliran Air ....................................................... 44

1. Pengaruh Luas Penampang Pada Ketinggian Air Bejana ......... ........ 49

2. Pengaruh Konstanta Torriceli Pada Ketinggian Air Bejana .............. 50

B. Sistem Satu Bejana dengan Aliran Air ................................................... 51

1. Pengaruh Aliran Air Masuk Pada Ketinggian Air Bejana ................. 58

2. Pengaruh Luas Penampang Pada Ketinggian Air Bejana .................. 59


xii

3. Pengaruh Konstanta Torriceli Pada Ketinggian Air Bejana .............. 60

BAB IV PEMODELAN MATEMATIKA PADA SISTEM DUA BEJANA .... 67

A. Sistem Dua Bejana tanpa Aliran Air Masuk Pada Sistem Bejana di

Atasnya..................................................................................................... 68

B. Sistem Dua Bejana dengan Aliran Air Masuk Pada Sistem Bejana di

Atasnya..................................................................................................... 79

C. Sistem Dua Bejana dengan Aliran Air Disesuaikan ................................ 99

BAB V PENUTUP.............................................................................................. 109

A. Kesimpulan .............................................................................................. 109

B. Saran......................................................................................................... 110

DAFTAR PUSTAKA .......................................................................................... 111


xiii

DAFTAR TABEL

Tabel 2.3.1 Tabel Diferensial Metode Tak Tentu .................................... 20

Tabel 3.1.1 Berkurangnya Tinggi Air Untuk Aliran Air yang Masuk Sema

kin Besar .............................................................................. 46

Tabel 3.1.2 Berkurangnya Tinggi Air Untuk Luas Penampang Semakin

Besar...................................................................................... 47

Tabel 3.1.3 Tinggi Air Untuk Luas Penampang Semakin Besar ............. 49

Tabel 3.1.4 Tinggi Air Untuk Luas ( )λ Semakin Besar.............................. 50

Tabel 3.2.1 Berkurangnya Tinggi Air Untuk )( 01 qq − Semakin Besar..... 53


Besar...................................................................................... 54

Tabel 3.2.3 Bertambahnya Tinggi Air Untuk )( 01 qq − Semakin Besar.... 55

Tabel 3.2.4 Bertambahnya Tinggi Air Untuk Luas Penampang Semakin

Besar...................................................................................... 55

Tabel 3.2.5 Tinggi Air Bejana dengan Aliran Air ................................... 57

Tabel 3.2.6 Tinggi Air Untuk ( )1q Semakin Besar.................................... 59

Tabel 3.2.7 Tinggi Air Untuk Luas Penampang Semakin Besar Semakin

Besar...................................................................................... 60

Tabel 3.2.8 Bertambahnya Tinggi Air Untuk Kontanta Toricelli Semakin

Besar........................................................................................ 61

Tabel 4.1.1 Tinggi Air Pada Dua Sistem Bejana tanpa Aliran Air


xiv

Untuk Kasus Diredam Berlebihan ...................................... 73


Untuk Kasus Diredam Kritis................................................. 75


Untuk Kasus Diredam Berkurang ........................................ 78

Tabel 4.2.1 Tinggi Air Pada Dua Sistem Bejana dengan Aliran Air

Untuk Kasus Diredam Berlebihan ...................................... 82


Untuk Kasus Diredam Kritis................................................. 85


Untuk Kasus Diredam Berkurang ........................................ 87


xv

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.3.4.1 Jarak Pegas Untuk Kasus Getaran Teredam .................. 27

Gambar 2.3.4.2 Jarak Pegas Untuk Kasus Getaran Tak Teredam ........... 29

Gambar 2.3.2.1 Tekanan Hidrostatis di Titik A, B adalah sama ............. 33

Gambar 2.3.3.1 Fluida yang Mengalir Pada Luas Penampang ................ 33

Gambar 2.3.5.1 Fluida yang Mengalir Pada Luas Penampang ................ 35

Gambar 3.1 Fungsi Konstan............................................................... 40

Gambar 3.2 Fungsi Kecepatan ........................................................... 41

Gambar 3.3 Fungsi Percepatan .......................................................... 41

Gambar 3.4 Sistem Bendungan.......................................................... 42

Gambar 3.5 Bejana tanpa Aliran Air yang Masuk............................. 43

Gambar 3.6 Bejana dengan Aliran Air yang Masuk.......................... 44

Gambar 3.1.1 Tinggi Air Bejana tanpa Aliran Air................................ 48

Gambar 3.1.2 Tinggi Air Untuk Luas Penampang Semakin Besar......... 50

Gambar 3.1.3 Tinggi Air Bejana Untuk Kontanta Torricelli Semakin

Besar............................................................................... 51

Gambar 3.2.1 Tinggi Air Bejana dengan Aliran Air............................. 57

Gambar 3.2.2 Tinggi Air Bejana Untuk Aliran Air yang Keluar Sema

kin Besar ....................................................................... 59

Gambar 3.2.3 Tinggi Air Untuk Luas Penampang Semakin Besar ...... 60

Gambar 3.2.4 Tinggi Air Bejana Untuk Kontanta Torricelli Semakin

Besar............................................................................... 61


xvi

Gambar 3.2.5 Aliran Air yang Disesuaikan Pada Sistem Bejana ......... 62

Gambar 4.1 Dua Bejana tanpa Aliran Air yang Masuk ..................... 67

Gambar 4.2 Dua Bejana dengan Aliran air yang Masuk ................... 67

Gambar 4.1.1 Tinggi Air Pada Dua Sistem Bejana tanpa Aliran Air

Untuk Kasus Diredam Berlebihan ............................... 74


Untuk Kasus Diredam Kritis.......................................... 76


Untuk Kasus Diredam Berkurang ................................. 78

Gambar 4.2.1 Tinggi Air Pada Dua Sistem Bejana dengan Aliran Air

Untuk Kasus Diredam Berlebihan .............................. 83


Untuk Kasus Diredam Kritis ........................................ 85


Untuk Kasus Diredam Kritis.......................................... 88

Gambar 4.2.4 Rasio Peredam 10 << ξ ............................................... 89

Gambar 4.2.5 Rasio Peredam 5,01,0 << ξ ........................................... 89

Gambar 4.2.6 Rasio Peredam 9,06,0 << ξ .......................................... 89

Gambar 4.2.7 Rasio Peredam 1>ξ .................................................... 90

Gambar 4.2.8 Rasio Peredam 1=ξ .................................................... 90

Gambar 4.2.9 Tinggi Air Pada Rasio Peredam.................................... 91


xvii

Gambar 4.2.10 Tinggi Air Untuk Kelebihan Dan Kekurangan Air Pada

Dua Sistem Bejana ........................................................ 93

Gambar 4.2.11 Tinggi Air Maksimum Dan Minimum........................... 96

Gambar 4.2.12 Daerah Tinggi Air Maksimum Dan Stabil .................... 98

Gambar 4.2.12 Perbandingan Persentase Tinggi Air Maksimum dengan

Rasio Peredam............................................................... 98

Gambar 4.3.1 Dua Bejana dengan Aliran Air yang Disesuaikan......... 100

Gambar 4.3.2 Cara Kerja Sensor Pada Dua Sistem Bejana ................. 101


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Bendungan mempunyai manfaat yang sangat berguna dalam kehidupan ini,

salah satu manfaat dari bendungan adalah untuk pembangkit tenaga listrik.

Faktor yang mempengaruhi besar atau kecilnya aliran air pada bendungan

adalah curah hujan dan besarnya aliran air sungai. Jika curah hujan tinggi dan aliran

air sungai besar, maka air pada bendungan akan besar, dan jika curah hujan rendah

dan aliran air sungai kecil, maka air pada bendungan akan kecil.

Pada umumnya bendungan yang digunakan untuk pembangkit listrik itu

terdiri dari satu bendungan, atau dua bendungan, dimana bendungan yang satu

terletak di atas bendungan yang lain.

Agar dapat menggerakkan generator pada satu bendungan, diperlukan tinggi

yang sesuai pada bendungan, sedangkan pada dua bendungan diperlukan tinggi yang

sesuai pada bendungan yang terletak di atasnya.

Dari sini muncul permasalahannya yakni bagaimana memperoleh ketinggian

yang sesuai pada satu bendungan dan dua bendungan tersebut.

Dalam penulisan ini akan dipaparkan model matematika pada Pembangkit

Listrik Tenaga Air pada satu bendungan dan dua bendungan. Untuk itu diperlukan

penyederhanaan masalah yaitu dianggap bahwa evaporasi dan faktor curah hujan

diabaikan, sehingga air yang ada pada bendungan berasal dari air sungai.


2

B. Rumusan Masalah

1. Bagaimana model matematika untuk tinggi dan volume air pada

sistem satu bejana ?

2. Bagaimana model matematika untuk tinggi dan volume air pada

sistem dua bejana ?

3. Bagaimana model matematika agar diperoleh tinggi air yang sesuai

pada sistem satu dan dua bejana ?

C. Pembatasan Masalah

Pembatasan masalah pada skripsi ini adalah:

1. Bendungan yang dibahas hanya bendungan yang digunakan untuk

Pembangkit Listrik Tenaga Air.

2. Analisa lebih dalam mengenai ketinggian air pada sistem bejana hanya

terbatas pada sistem dua bejana.

3. Sistem yang menyerupai sistem dua bejana seperti pegas hanya

dibahas seperlunya yaitu sistem satu pegas dengan input dianggap

konstan.

4. Penggunaan tentang teorema Torricelli hanya digunakan pada satu

bejana.


3

5. Sensor yang digunakan hanya terbatas untuk ketinggian air pada

bejana.

D. Manfaat Penulisan

Manfaat yang diharapkan pada skripsi ini adalah untuk mengetahui bagaimana

tinggi air yang sesuai pada sistem bejana yang terletak di bawahnya agar dapat

membangkitkan tenaga listrik.

E. Metode Penulisan

Metode penulisan yang digunakan dalam makalah ini adalah metode studi

pustaka yaitu mempelajari buku-buku yang berkaitan Pemodelan Matematika Pada

Sistem Pembangkit Listrik Tenaga Air.

F. Tujuan Penulisan

Tujuan penulisan ini adalah untuk memahami dan mempelajari bagaimana

sistem dua bendungan.


4

G. Sistematika Penulisan

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

B. Rumusan Masalah

C. Pembatasan Masalah

D. Manfaat Penulisan

E. Metode Penulisan

F. Tujuan Penulisan

G. Sistematika Penulisan

BAB II PEMODELAN MATEMATIKA DENGAN PERSAMAAN

DIFERENTIAL DAN DERET BINOMIAL

A. Pemodelan Matematika

B. Persamaan Diferensial

2. Persamaan Diferensial Orde Satu Terpisahkan

3. Persamaan Diferensial Linear Orde Satu

4. Persamaan Diferensial Linear Orde Dua

5. Penerapan Persamaan Diferensial Orde Dua

C. Deret Binomial Dan Penerapannya

1. Usaha Dan Energi

2. Fluida

3. Persamaan Kontinuitas


5

4. Persamaan Bernoulli

5. Teorema Torricelli

BAB III PEMODELAN MATEMATIKA PADA SISTEM SATU BEJA

NA

A. Sistem Satu Bejana tanpa Aliran Air

1. Pengaruh Luas Penampang Pada Ketinggian Air Bejana

2. Pengaruh Konstanta Torriceli Pada Ketinggian Air Bejana

B. Sistem Satu Bejana dengan Aliran Air

1. Pengaruh Aliran Air Masuk Pada Ketinggian Air Bejana


3. Pengaruh Konstanta Torriceli Pada Ketinggian Air Bejana

BAB IV PEMODELAN MATEMATIKA PADA SISTEM DUA BEJA

NA

A. Sistem Dua Bejana tanpa Aliran Air Masuk Pada Sistem Bejana di

Atasnya

B. Sistem Dua Bejana dengan Aliran Air Masuk Pada Sistem Bejana

di Atasnya

C. Sistem Dua Bejana dengan Aliran Air Disesuaikan

BAB V PENUTUP

A. Kesimpulan

B. Saran


6

BAB II

PEMODELAN MATEMATIKA DENGAN

PERSAMAAN DIFERENSIAL DAN DERET BINOMIAL

A. Pemodelan Matematika

Model adalah gambaran suatu objek yang disusun berdasarkan tujuan

tertentu, dan objeknya dapat berupa suatu sistem, suatu perilaku sistem, ataupun

suatu proses tertentu.

Sistem adalah suatu himpunan beserta relasi antara unsur-unsurnya yang

disusun berdasarkan tujuan tertentu. Misalnya rumah sakit, yang merupakan suatu

sistem yang bertujuan untuk merawat orang sakit, den bagian dari rumah sakit

tersebut harus mendukung tujuan merawat orang sakit.

Tujuan penyusunan model dibedakan tiga kategori yaitu :

a) Guna mengenali keadaan, sifat, atau perilaku sistem dengan cara

mencari keterkaitan antara unsur-unsurnya. Model seperti ini adalah

model keterkaitan.

b) Guna mengadakan pendugaan (prediksi) untuk memperbaiki keadaan

objek, yang disebut model pendugaan.

c) Guna mengadakan optimisasi bagi objek. Modelnya disebut model

optimisasi.

Manfaat model adalah untuk memperoleh gambaran yang lebih jelas

mengenai suatu objek tanpa merusak ataupun mengganggu objek yang aslinya,

yang dapat dilakukan dengan cara eksperimen pada model tersebut. Hal ini dapat


7

dilihat jika dilakukan eksperimen langsung ke objeknya , maka mempunyai resiko

yang sangat merugikan.

Langkah–langkah Penyusunan Model Matematika

a) Identifikasi Masalah.

Sebelum menyusun model matematika adalah mengidentifikasi

masalahnya terlebih dahulu, yang mempunyai batasan-batasan tertentu

yang dikenal dengan penyederhanaan masalah..

b) Perumusan Masalah.

Model tersebut dirumuskan dengan simbol atau lambang yang dapat

dalam matematika baik peubahnya maupun relasi-relasinya.

c) Selesaikan Masalah.

Menyelesaikan perumusan masalah secara matematika.

d) Menafsirkan Masalah.

Model harus ditafsir lagi yakni apakah model tersebut sudah sesuai

dengan yang diharapkan atau tidak ? apakah model tersebut sudah baik

atau tidak? Jikalau tidak, kembali ke langkah semula, sehingga

diperoleh model yang sesuai atau baik seperti yang diinginkan.

e) Pelaksanaan Model.

Model dapat digunakan untuk memperoleh atau mencapai tujuan

semula.

B. Persamaan Diferensial

Persamaan Diferensial Orde atau Tingkat n adalah persamaan yang biasa


8

nya ditulis dalam bentuk

0),...,,,,( )(''' =nyyyyxF

dimana )(ny , menyatakan turunan y terhadap x yang sebanyak n kali, dan F

adalah suatu fungsi dengan peubah–peubah )(''' ,...,,,, nyyyyx .

Orde Persamaan Diferensial adalah orde derivatif tertinggi yang muncul

dalam persamaan.

Contoh 2.2.1

Bentuk persamaan diferensial orde satu adalah 0),,( ' =yyxF .

Persamaan Diferensial Biasa Orde n disebut linear dalam y jika

persamaan diferensial tersebut dapat ditulis dalam bentuk

)()()(...)()( 01

1)1(

1)( xfyxayxayxayxa n

nn

n =++++ −−

Dengan naaa ,...,, 10 dan f adalah fungsi yang kontinu pada suatu interval

x dan 0)( ≠xan pada interval tersebut.

.

Contoh 2.2.2

Persamaan 2''' xyyy =++ adalah persamaan diferensial orde dua yang linear.

Untuk membuktikan suatu fungsi merupakan suatu penyelesaian

diferensial tersebut, harus dibuktikan apakah fungsi tersebut bila diturunkan


9

sebanyak n kali merupakan persamaan diferensial itu sendiri atau ruas kanan dan

ruas kiri dari persamaan diferensial tersebut adalah sama.

Contoh 2.2.3

Buktikan bahwa 922 =+ yx adalah penyelesaian persamaan diferensial

0' =+ yyx ?

Penyelesaian

Jika 922 =+ yx diturunkan terhadap x, maka diperoleh 022 ' =+ yyx .

022 ' =+ yyx dapat ditulis menjadi 0' =+ yyx . Sehingga terbukti bahwa

922 =+ yx adalah penyelesaian dari persamaan diferensial 0' =+ yyx .

Definisi 2.2.1

a) Suatu keluarga berparameter n dari penyelesaian persamaan diferensial

orde n disebut penyelesaian umum dari persamaan diferensial jika semua

penyelesaian persamaan diferensial dapat diperoleh dari keluarga

berparameter n.

b) Suatu penyelesaian persamaan diferensial orde n yang diperoleh dari

penyelesaian umum dengan menentukan nilai parameter n disebut dengan

penyelesaian khusus.

Contoh 2.2.4

Misalkan xeCeCy xx ++= 221 adalah penyelesaian umum dari persamaan diferen


10

sial 3223 ''' −=++ xyyy . Untuk mendapatkan penyelesaian khusus dari

persamaan dferensial tersebut dapat dicari dengan cara memilih nilai konstanta

1C dan 2C , yaitu dengan mengambil 101 =C dan 32 =C , maka

xeey xx ++= 2310

Masalah nilai awal terdiri dari pencarian penyelesaian y dari persamaan

diferensial yang juga memenuhi persyaratan

( ) 00 yxy = ( ) '00

' yxy =

Masalah nilai batas terdiri dari pencarian penyelesaian y dari persamaan

diferensial yang juga memenuhi persyaratan

( ) 00 yxy = ( ) '01

' yxy =

Contoh 2.2.5

Jika persamaan diferensial 3223 ''' −=++ xyyy dengan menggunakan masalah

nilai awal di atas dan masalah nilai batas dari persamaan 3223 ''' −=++ xyyy

mempunyai penyelesaian khusus yaitu 0)0( =y dan 0)1( =y . Untuk

0,0 == yx , maka 021 =+CC , dan untuk 0,1 == yx maka 1221 −=+ eCeC .

Sehingga diperoleh

ee

CC−

=−= 2211 .

Maka penyelesaian khususnya adalah

ee

xy−

+= 2

1 .


11

1. Persamaan Diferensial Orde Satu Terpisahkan

Persamaan diferensial terpisahkan dari persamaan diferensial orde

satu adalah suatu persamaan diferensial orde satu dimana bentuk

dxdy dapat difaktorkan sebagai fungsi x kali fungsi y. Dengan

perkataan lain bahwa persamaan diferensial orde satu tersebut

dapat ditulis dalam bentuk

)()( yhxgdxdy

= (2.2.1.1)

Untuk mencari penyelesaian persamaan diferensial orde tersebut,

haruslah dipisahkan sebagai antara fungsi x dan fungsi y secara

terpisah, sehingga persamaan (2.2.1.1) dapat ditulis sebagai

dxxgyh

dy )()(= (2.2.1.2)

Dengan mengintegralkan kedua ruas diperoleh

Cdxxgyh

dy+= ∫∫ )(

)( (2.2.1.3)

Persamaan (2.2.1.3) adalah penyelesaian persamaan diferensial

orde satu yang dapat dipisahkan. Dengan menggunakan teknik

pengintergralan maka persamaan (2.2.1.3) ini dapat diselesaikan

asalkan fungsi dari )(),( yhxg diketahui.

Contoh 2.2.1

Selesaikan yx

dxdy

= ?


12

Penyelesaian

Persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk persamaan diferensial

dan mengintegralkan kedua ruas , maka diperoleh

dxxdyy =

Cxy += 22

21

21

12 Cxy +±= , CC 2

11 =

2. Persamaan Diferensial Linear Orde Satu

Persamaan diferensial linear orde satu adalah persamaan yang


)()( xQyxPdxdy

=+ (2.2.2.1)

Dengan P dan Q adalah fungsi yang kontinu pada selang yang

diberikan. Untuk mencari penyelesaian persamaan diferensial

linear orde satu tersebut kedua ruas dikalikan )(xI yang sering

disebut sebagai faktor pengintergralan.

dxxP

exI ∫=)(

)( (2.2.2.2)

Bentuk umum penyelesaian dari persamaan diferensial linear orde

satu yang linear, yaitu

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +∫∫=

−CexQey

dxxPdxxP )()()( (2.2.2.3)

Persamaan (2.2.2.3) adalah bentuk umum penyelesaian persamaan

diferensial linear orde satu yang homogen, yang dapat


13

diselesaikan dengan teknik pengintergralan asalkan fungsi dari

)(),( xQxP diketahui.

Contoh 2.2.2.1

Selesaikan ?31 xyxdx

dy=+

Penyelesaian

Faktor pengintegralan x

xI 1)( = , sehingga

xeexI xdxx ==∫= ln1

)(

Dikalikan kedua ruas dengan x, maka

23xydxdyx =+

( ) 23xxydxd

=

Dengan mengintegralkan kedua ruas diperoleh

Cxxy 12 −+=

Sehingga penyelesaian xyxdx

dy 31=+ adalah

Cxxy 12 −+= .

3. Persamaan Diferensial Linear Orde Dua

Persamaan Diferensial Linear Orde Dua adalah persamaan yang



14

)()()(2

xRyxQdxdyxP

dxyd

=++ (2.2.3.1)

atau

)()(')('' xRyxQyxPy =++ (2.2.3.2)

dimana )(),(),( xRxQxP adalah suatu fungsi

)(xR terbagi atas dua yaitu 0)( =xR dan 0)( ≠xR , seperti yang

diuraikan berikut ini.

Persamaan diferensial linear orde dua yang homogen adalah

persamaan yang dapat ditulis dalam bentuk

0)()()(2

==++ xRyxQdxdyxP

dxyd (2.2.3.3)

Persamaan diferensial linear orde dua yang nonhomogen adalah

persamaan yang dapat ditulis dalam bentuk

0)()()(2

≠=++ xRyxQdxdyxP

dxyd (2.2.3.4)

Di dalam penerapan fungsi )(xR sering disebut sebagai input

(masukan). Jika 0)( =xR berarti tidak ada input dan 0)( ≠xR

berarti ada input.

Contoh 2.2.3.1

xyxyxxy 42''' 32 =++ adalah persamaan diferensial linear orde dua,

karena dapat ditulis 42''' 2 =++ yxxyy , dan diketahui bahwa


15

4)( =xR , maka persamaan tersebut adalah persamaan diferensial

yang nonhomogen.

Teorema 2.2.3.1

Jika diketahui persamaan nonhomogen )()(')('' xRyxQyxPy =++

dengan )(),(),( xRxQxP adalah fungsi yang kontinu pada interval

],[ ba . Jika 0x adalah sembarang titik pada interval ],[ ba , dan jika

00 ', yy adalah sembarang bilangan , maka persamaan homogen

mempunyai penyelesaian tunggal )(xy pada interval ],[ ba

sedemikian hingga 00 )( yxy = dan 00 ')(' yxy = .

Untuk membuktikan teorema ini sangatlah sukar, akan tetapi

pembuktian ini banyak dijumpai dalam buku yang lebih lanjut,

salah satunya diferential equation karangannya Shepley Ross dibab

10, yang dibuktikan dengan teorema lipschit. Didalam teorema ini

menjamin keberadaan dan keunikan suatu solusi masalah nilai

awal.

Contoh 2.2.3.2

Carilah solusi dari 0'' =+ yy 0)0( =y dan 1)0(' =y ?

Penyelesaian

Solusi dari 0'' =+ yy adalah xy sin= , xy cos= dan

1cy = xcos xc sin2+ dimana 1c , 2c adalah sembarang konstanta.


16

Dari ketiga penyelesaian tersebut hanya xy sin= yang memenuhi

0)0( =y dan 1)0(' =y . Sehingga menurut teorema 1 ,

penyelesaian dari 0'' =+ yy , jika diketahui 0)0( =y dan

1)0(' =y adalah xy sin=

Teorema 2.2.3.2

Jika gy adalah penyelesaian umum yang diperoleh dari persamaan

homogen, dan py penyelesaian khusus yang diperoleh dari

persamaan nonhomogen, maka +gy py adalah penyelesaian

umum persamaan nonhomogen yang diperoleh dari persamaan

yang homogen.

Bukti

Misalkan y adalah penyelesaian umum persamaan diferensial orde

dua yang homogen, maka )()(')('' xRyxQyxPy =++ . Diketahui

bahwa gy adalah penyelesaian umum yang diperoleh dari

persamaan diferensial orde dua yang homogen, sehingga

0)(')('' =++ ggg yxQyxPy dan py penyelesaian khusus yang

diperoleh dari persamaan diferensial orde dua yang nonhomogen,

sehingga )()(')('' xRyxQyxPy ppp =++ .

Akan dibuktikan y += gy py , yaitu akan dibuktikan bahwa ruas

kanan


17

y ))(()')((')'( pgpgpg yyxQyyxPyy +++++=

+++= ))(')(''( ggg yxQyxPy ))(')(''( ppp yxQyxPy ++

)()(0 xRxR =+= .

Teorema 2.2.3.3

Jika )(1 xy dan )(2 xy adalah penyelesaian dari persamaan yang

homogen, maka 1c )(1 xy 2c+ )(2 xy juga merupakan penyelesaian

persamaan yang homogen untuk sembarang konstanta 1c dan 2c .

Bukti

)(1 xy dan )(2 xy adalah penyelesaian dari persamaan yang

homogen , maka 0)(')('' 111 =++ yxQyxPy dan

0)(')('' 222 =++ yxQyxPy .

Akan dibuktikan bahwa 1c )(1 xy 2c+ )(2 xy juga merupakan

penyelesaian persamaan yang homogen , maka

0))(()')((')'( 221122112211 =+++++ ycycxQycycxPycyc

0)()(')(')('''' 221122112211 =+++++ ycxQycxQycxPycxPycyc

+++ ))(')(''( 1111 yxQyxPyc 0))(')(''( 2222 =++ yxQyxPyc

+)0(1c 0)0(2 =c .


18

Persamaan 1c )(1 xy 2c+ )(2 xy pada teorema 2.2.3.3 disebut

sebagai kombinasi linear dari persamaan )(1 xy dan )(2 xy .

Sehingga teorema 2.2.3.3 menyatakan setiap kombinasi linear dari

penyelesaian )(1 xy dan )(2 xy pada persamaan yang homogen

juga merupakan penyelesaian.

Persamaan diferensial linear orde dua yang homogen yaitu

0)(')('' =++ yxQyxPy

misalkan )(),( xQxP adalah qp,

maka

0''' =++ qypyy

Persamaan karakteristiknya adalah mxey = maka mxmey =' , dan

mxemy 2'' = , sehingga

0)( 2 =++ mxeqpmm

Karena 0≠mxe , maka 0)( 2 =++ qpmm . Dengan rumus kuadrat

diperoleh

2

4,

2

21

qppmm

−±−=

dimana 2

42

1qpp

m−+−

= dan 2

42

2qpp

m−−−

=

Ada tiga kasus untuk 21, mm yaitu


19

a) Akar-akar persamaan karakteristiknya 21 ,mm real dan

berbeda ( )042 >− qp . Penyelesaian umum dari persamaan

diferensial yang homogen adalah 1cy =xm

e 1 xmec 2

2+ .

b) Akar-akar persamaan karakteristiknya 21 ,mm real yang

berulang ( )042 =− qp . Penyelesaian umum dari persamaan

diferensial yang homogen ini adalah 1cy =xm

e 1 xmxec 2

2+ .

c) Akar–akar persamaan karakteristiknya 21, mm bilangan

komplek ( ).042 <− qp . Sehingga

=−−±−

=2

)4(,

2

21qpp

mm2

)1)(4( 2 −−±− qpp

12

)4( 2

−−±−

=qpp

=−±−

= iqpp

2)4( 2

βα iiqpP

±=−

±−=2

)4(2

2

maka

=1m βα i+ dan =2m βα i−

dimana 2P

−=α dan 2

42 qpp −−−=β .

Sehingga penyelesaian umumnya adalah

1cy = xexm

βcos1 xecxm

βsin2

2+ .


20

Untuk dapat menyelesaikan persamaan diferensial linear orde dua

yang non homogen, langkah pertama yang harus dilakukan adalah

dengan mencari penyelesaian persamaan diferensial linear orde dua

yang homogen yaitu 0)(')('' =++ yxQyxPy .

Setelah mendapatkan penyelesaian umum tersebut, karena menurut

teorema diatas bahwa penyelesaian persamaan diferensial linear

orde dua yang nonhomogen terdiri dar I penjumlahan penyelesaian

umum dan penyelesaian khusus (y += gy py ) , sehingga harus

dicari penyelesaian khusus yang sesuai.

Perhatikan ruas kanan dari persamaan )()(')('' xRyxQyxPy =++ ,

dimana )(xR dapat berupa beberapa fungsi yaitu eksponensial,

logaritma, trigonometri, dan lain-lain, yang kadang juga

mengalami pegolahan secara aljabar, baik perkalian, penambahan,

pengurangan, pembagian dari beberapa fungsi tersebut.

Berikut ini adalah tabel yang dapat digunakan untuk penyelesaian

khusus ( py ) berdasarkan bentuk )(xR .

Tabel 2.3.1 Tabel Diferensial Metode Koefisien Tak Tentu.

)(xR py

1 nn cttP =)(

( ),...2,1,0=n 0

11 ...)( CCttCtCtP n

nn

nn +++++= −−

2 xc αsin1

xc αcos2 xCxC αα cossin 21 +


21

3 xceα xCeα

4 )(tPnxceα )(tPn

xCeα=

5 =)(tPn

xc αsin1

)(tQnxc αcos2

=)(tPn xCxC αα cossin 21 +

)(tQn

Contoh 2.3.3

Selesaikan xeyy x sin'2'' =− ?

Penyelesaian.

Penyelesaian umumnya adalah

xg eccxy 2

21)( += .

Penyelesaian khusus ( py ) .

xey xp sin2

1−= .

Jadi penyelesaian dari xeyy x sin'2'' =− adalah

=+ )()( xyxy pg xeecc xx sin212

21 −+

4. Penerapan Persamaan Diferensial Orde Dua

Setiap gerak yang berulang dalam waktu yang sama disebut dengan

gerak periodik. Dan setiap partikel yang bergerak secara periodik

selalu dinyatakan dalam fungsi sinus dan cosinus.


22

Jika suatu partikel dalam gerak periodik bergerak bolak-balik

melalui lintasan yang sama, maka geraknya disebut dengan gerak

osilasi atau getaran.

Karena suatu partikel yang bergerak osilasi mengalami gesekan,

maka gerakan suatu partikel tersebut akan berhenti berosilasi,

dimana gerakannya disebut dengan gerakan teredam.

Salah satu partikel yang mengalami gerak osilasi dan teredam

antara lain adalah pegas, seperti yang akan dijelaskan berikut ini.

1) Getaran Tak Teredam Dan Teredam

Pada pegas terdapat dua getaran yang terjadi yakni getaran

teredam dan getaran tak teredam, seperti yang akan

diuraikan di bawah ini

Pegas menggunakan hukum hooke yakni jika pegas

demikian ditarik (diperpanjang) sejauh x, gaya pemulih

yang dilakukan pegas (juga disebut gaya pegas) adalah

kxF −= (2.2.4.1)

dimana

k : konstanta pegas (tetapan pegas) yang diukur dalam

satuan Newton meter ( )Nm yang harganya bernilai positif

bila ditarik dan negatif bila ditekan.

Frekuensi alami pada pegas bila tidak terjadi gesekan dapat

dirumuskan sebagai berikut


23

mkv == .2πω (2 2.4.2)

Frekuensi alami yang mengalami gesekan pada pegas

dapat dirumuskan sebagai berikut

2

2.2 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−==

mb

mkvπω bila

mb

mk

2> (2.2.4.3)

atau

imb

mkv

2

2.2 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+−== πω bila

mb

mk

2< (2.2.4.4)

dengan

k : konstanta pegas (Newton meter).

m : massa pegas (kilogram).

b : gaya gesek pegas (Newton ).

Percepatan yang dialami massa pada pegas yang bergetar

diperoleh dari hukum Newton II, yaitu

mFa = (2.2.4.5)

dengan m : massa pegas (kilogram)

F : gaya pegas (Newton ).

Diandaikan bahwa gaya gesekan yang terjadi pada pegas

(gaya peredam) sebanding dengan kecepatan massa dan

bekerja dalam arah berlawanan dengan arah gerak dengan

gaya gesekan lainnya diabaikan seperti yang diilustrasikan

pada gambar berikut ini


24

Gambar 2.2.4.1 Pegas

Sehingga gaya peredamnya adalah

cvF −= (2.2.4.6)

dimana

c : konstanta positif, yang disebut dengan konstanta

peredam

Dari persamaan (2.2.4.5) dan (2.2.4.6), diperoleh

mFa =

dtdxckx

dtxdm −−=2

2

.

02

2

=++ kxdtdxc

dtxdm (2.2.4.7)

Persamaan (2.2.4.7) merupakan persamaan diferensial

linear orde dua linear yang homogen, hal ini disebabkan

gaya gesekan yang lain diabaikan yang mempunyai

penyelesaian akar-akar penyelesaian sebagai berikut

m

mkcmcx

242

2,1−

±−=

c

km


25

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛±−=

mk

mc

mc 2

2 (2.2.4.8)

Penyelesaian dari akar-akar pada persamaan (2.2.4.8)

tergantung dari besarnya konstanta peredam pada frekuensi

alami yang mengalami gesekan, dimana nilainya dapat

positif, negatif, dan nol. Untuk jelasnya perhatikan berikut

ini.

mk

mc

=2

2

4

mkc 2=

misalkan

cc =1

maka

mkc 21 = (2.2.4.9)

sehingga

mkc

cc

21

==ξ

dimana ξ sering disebut sebagai rasio peredam.

Dengan menggunakan istilah rasio peredam dan frekuensi

alami tanpa adanya gesekan, persamaan (2.2.4.7) dapat

ditulis

02

2

=++ kxdtdxc

dtxdm


26

02

2

=++ xmk

dtdx

mc

dtxd

02 22

2

=++ xdtdx

dtxd ωωξ

Sehingga m

mkcmcx

242

2,1−

±−= dapat ditulis sebagai

berikut

122,1 −±−= ξωωξx (2.2.4.10)

Persamaan di atas hanya berlaku untuk 1≥ξ , akan tetapi

jika 10 << ξ , persamaan di atas menjadi

ix 22,1 1 ξωωξ −±−= (2.2.4.11)

Penyelesaian persamaan (2.2.1.4.7) terdiri dari tiga kasus

seperti telah dijelaskan pada bab sebelumnya.

Contoh 2.2.4.1

Misalkan diketahui bahwa konstanta pegas sebesar 625,

konstanta redaman sebesar 40 ,massa sebesar 1, diketahui

pegas pada keadaan setimbang dan kecepatan awal yang

terjadi pada pegas sebesar 100, maka

)15sin320()( 20 tetx t−=

Waktu yang dibutuhkan agar pegas tersebut pada keadaan

setimbang apabila 0)( =tx , yaitu


27

015sin =t

diperoleh 2,0=t detik dan 4,0=t detik

Jarak maksimumnya pegas terjadi apabila 0)(' =tx , yaitu

+−= − )15sin3

400()( 20' tetx t 0)15cos100(20 =− te t

diperoleh 42,0=t detik

Sehingga jarak maksimum yang ditempuh oleh pegas

sejauh 1,69 meter.

Gambar 2.2.4.1 Jarak Pegas

Pada gambar 2.2.4.1 di atas, terlihat bahwa pegas

mengalami dua kali dalam keadaan stabil yaitu saat 0,2 dan

0,4 detik, dan jarak maksimum yang dilakukan oleh pegas

tersebut sejauh 1,69 meter.


28

Contoh 2.2.4.2

Misalkan diketahui bahwa konstanta pegas sebesar 625,

tidak ada konstanta redaman ,massa sebesar 1, diketahui

pegas pada keadaan setimbang dan kecepatan awal yang

terjadi pada pegas sebesar 100, maka

ttx 25sin4)( =

Waktu yang dibutuhkan agar pegas tersebut pada keadaan

setimbang apabila 0)( =tx , yaitu

025sin =t

diperoleh 125,0=t detik dan

Jarak maksimumnya pegas terjadi apabila 0)(' =tx , yaitu

ttx 25cos100)(' =

diperoleh 0628,0=t detik

Sehingga jarak maksimum yang ditempuh oleh pegas

sejauh 3,99 meter. Pada kasus tanpa adanya rasio peredam

pada pegas adalah hal yang unik, sebab pegas tidak akan

pernah berhenti bergetar, dan akan selalu bergetar sehingga

mencapai jarak maksimum sejauh 3,99 meter dan jarak

minimum sejauh 3,99 m dari keadaan setimbang, seperti

yang diilustrasikan pada gambar di berikut ini.


29

Gambar 2.2.4.2 Jarak Pegas

C. Deret Binomial Dan Penerapannya

Teorema 2.3.1 ( Deret Binomial ) Untuk bilangan real p, fungsi 21

)1()( pxf +=

dapat dinyatakan sebagai deret Mac Laurin pada selang (-1,1) yang berbentuk

( ) ...21

11 2

0+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+ ∑

∞

=x

px

px

np

xn

np , 1<x

dengan !

)1)...(2)(1(n

nppppnp +−−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ...2,1,0=n

dimana simbol ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛np

berlaku untuk bilangan real p , dan n bilangan bulat positif.

Dalam penulisan skripsi ini tidak diberikan bukti tentang teorema 2.3.1,

akan tetapi bukti untuk teorema 2.3.1 dapat di temukan dalam buku kalkulus lebih

lanjut.

Contoh 2.3.1

Hitung x+1 dengan menggunakan deret binomial

Penyelesaian


30

Dengan 21

=p dan n bilangan bulat positif., maka

( ) ....!2

2211

210

21

!1

1210

21

!0

021

11 21

+

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+=+ p

( )( ) ( )( )( ) 323

21

21

221

21

!3!2211 xxx

−−+

−++= ....+

...161

81

211 32 ++−+= xxx

Berikut ini akan dibahas bagaimana penerapan dengan deret binomial pada

bidang fisika, yaitu pada teorema Torricelli, seperti yang akan dijelaskan berikut

ini

1. Usaha Dan Energi

Usaha adalah hasil gaya dan dengan perpindahan benda, yang

biasa dirumuskan sebagai berikut

sFW .=

dimana

W : Usaha (Joule)

F : Gaya. (Newton)

s : Perpindahan Benda (meter ) .

Energi Potensial dapat dirumuskan sebagai berikut

mghEP =

dimana


31

PE : Energi Potensial (Joule)

g : Gravitasi ( 2−ms )

m : Massa Benda (kg)

Energi Kinetik dapat dirumuskan sebagai berikut

221 mvEk =

dimana

:kE Energi Kinetik (Joule),

v : Kecepatan Benda ( 1−ms )

m : Massa Benda (kg)

Energi Mekanik dapat dirumuskan sebagai berikut

=ME PE kE+

2. Fluida

Fluida adalah zat yang dapat mengalir. Tekanan adalah besarnya

gaya yang bekerja pada permukaan benda setiap satuan, yang

dirumuskan sebagai berikut

AFP =

dimana

P : Tekanan ( )papascalNm ==−2

F : Gaya ( )Newton


32

:A Luas Permukaan ( )2m

Tekanan Hidrostatis adalah tekanan di dalam zat cair yang

disebabkan oleh zat cair itu sendiri, yang dirumuskan sebagai

berikut

hgPH ..ρ=

dimana

:HP Tekanan Hidostatis ( )papascalNm ==−2

:ρ Massa Jenis Zat Cair ( )3−kgm

:h Kedalaman Zat Cair ( )m

:g Gravitasi ( 2−ms )

Massa zat cair dapat dirumuskan sebagai berikut.

hAVm ... ρρ ==

dimana

:ρ Massa Jenis Zat Cair ( )3−kgm

:h Kedalaman Zat Cair ( )m

:A Luas Permukaan ( )2m

:V Volume

Hukum Hidrostatis adalah tekanan hidrostatis semua titik pada

suatu bidang datar memiliki kedalaman yang sama adalah sama,

untuk jelasnya perhatikan gambar berikut ini.


33

Gambar 2.3.2.1 Tekanan Hidrostatis di titik A, B adalah sama

Pada gambar 2.3.2.1 di atas, titik A dan B terletak pada satu bidang

datar yang memiliki kedalaman yang sama, maka tekanan

hidrostatis di A dan B adalah sama, yang dapat dirumuskan sebagai

berikut

HBHA PP =

3. Persamaan Kontinuitas

Jika kecepatan fluida di penampang 1A dan di penampang 2A

sebesar 1v dan 2v , maka volume fluida yang mengalir melalui

penampang 1A sama dengan yang mengalir melalui penampang 2A

pada saat t., seperti diilustrasikan gambar berikut ini.

Gambar 2.3.3.1 Fluida Yang Mengalir Pada Luas Penampang

A B

b h

1h

2h

→1v

→2v


34

1A Dan 2A Yang Memiliki Ketinggian 1h Dan 2h

Banyaknya fluida yang mengalir melalui penampang tertentu tiap

satuan waktu disebut dengan debit ( )Q .

Karena diketahui volume fluida yang mengalir melalui penampang

1A = yang mengalir melalui penampang 2A , maka

21 VV =

11. sA ∆ 22.. sA ∆=

tvA ∆∆ .. 11 tvA ∆∆= ... 22

21 QQ =

Sehingga dapat dikatakan bahwa debit fluida di penampang 1A

adalah

VAQ .=

Persamaan di atas merupakan Persamaan Kontinuitas.

4. Persamaan Bernoulli

Perhatikan gambar 2.3.3.1 di atas, maka usaha total yang dilakukan

untuk mengalirkan fluida dari titik 1 ke titik 2 sama dengan

perubahan energi mekanik fluida. Sehingga dapat dirumuskan

totalW = mE

21 WW − = PE∆ kE∆+

sAPsAP ∆−∆ .... 2211 = )( 212

1222

1 mvmv − + )( 12 mghmgh −


35

+∆sAP .. 11 +212

1 mv 1mgh +∆= sAP .. 222

221 mv 2mgh+

+VP .1 +212

1 mv 1mgh ..2 VP= + 222

1 mv 2mgh+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ρmP .1 +2

121 mv 1mgh ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ρmP .2

222

1 mv 2mgh+

+.1P +212

1 .vρ 1.ghρ .2P= 222

1 .. vρ+ 2.. hgρ+

Persamaan di atas dikenal dengan Persamaan Bernoulli

Berikut ini adalah salah satu kasus khusus dari Bernoulli, dimana

kecepatan awal pada pipa diabaikan dan pipa diletakkan pada

posisi mendatar seperti yang akan diuraikan berikut ini.

5. Teorema Torricelli

Teorema Torricelli adalah hubungan antara laju fluida dengan

tinggi fluida yang terdapat pada sistem bejana, seperti yang

diilustrasikan pada gambar berikut ini.

Gambar 2.3.5.1 Fluida Yang Mengalir Pada Luas Penampang Bejana

dimana

↓

↑H

↓

↑

h

1P

3P2P

1A 2A


36

:h Tinggi Air ( )m :1P Tekanan Udara

:H Tinggi Air Ke Pipa. :2P Tekanan Air Di Bawah

:3P Tekanan Udara.

:1A Luas Penampang Air yang Masuk Pada Pipa

:2A Luas Penampang Air Yang Keluar Dari Pipa.

Dengan menggunakan persamaan Bernoulli

=++ 12

11 21 hvP ρρ 2

222 2

1 hvP ρρ ++

Karena pipa bejana dalam keadaan mendatar maka 21 hh = , dan

kecepatan awal pada pipa diabaikan diperoleh

P∆ )(21 2

2vρ= (2.3.5.1)

dimana

P∆ : Selisih Tekanan Pada Bejana..

Karena =1P 3P dan =2P hgP ..1 ρ+ maka hgP ..ρ=∆ , sehingga

diperoleh

hg..ρ )(21 2

2vρ=

ghv 22 = (2.3.5.2)

Persamaan (2.3.5.2) menyatakan kecepatan air pada saat h. Dengan

cara yang analog, kecepatan air pada saat H yakni

gHv 22 = (2.3.5.3)


37

Misalkan A adalah luas penampang dari pipa bejana, maka laju

rata-rata air saat h adalah

( ) hchq =0 (2.3.5.4)

dimana c adalah konstan 125

−−sm

Dengan cara yang analog diperoleh laju rata-rata air saat H yaitu:

( ) HcHq =0 (2.3.5.5)

dimana c adalah konstan 125

−−sm

Dari persamaan (2.3.5.4), yaitu

( ) hchq =0 ( )[ ]21

HhHc −+=

21

1 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

HHhHc

21

21

1 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

HHhHc (2.3.5.6)

Dengan memisalkan ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=HHhx

2 diperoleh

( )hq0 ( )[ ]21

21

1 xHc −= (2.3.5.7)

Maka dengan menggunakan contoh 2.3.1, persamaan (2.3.5.7)

menjadi

( )hq021

21

211 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += xHc (2.3.5.8)


38

Karena ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=HHhx

2, maka dari persamaan (2.3.5.8) diperoleh

( )hq0 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

HHhHc

212

1

( ) HHh <−

( ) ( )HhH

cHq −+=20

( ) ( )HhHq −+= λ0 (2.3.5.9)

dimana H

c2

=λ .

Jadi untuk h semakin membesar, maka

( )hq0 ( ) ( )HhHq −+= λ0

( ) ( )Hhhc λλ −+=

( )( ) ( )hcHc λ+−= 211

( )hλ≈ (2.3.5.10)

Persamaan (2.3.5.10) dikenal dengan konstanta Torricelli.


39

BAB III

PEMODELAN MATEMATIKA PADA SISTEM SATU BEJANA

Pada bab dua telah dipaparkan definisi tentang sistem. Kesalahan (error)

pada sistem adalah perbedaan antara output dan input yaitu

[ ]inputoutputE −= (3.1)

Pada sistem sering sekali menggunakan sebuah alat yang disebut dengan

sensor. Sensor adalah adalah alat untuk mendeteksi sesuatu, yang bertujuan

sebagai alat perbandingan kesalahan. Berikut ini akan dibahas mengenai sensor

yang terdapat pada sistem

a) Sensor Jarak (Perpindahan).

Sensor posisi ini biasanya digunakan untuk mendeteksi posisi suatu

sistem, yang bertujuan sebagai alat perbandingan kesalahan pada

sistem tersebut.

b) Sensor Kecepatan (Laju).

Sensor posisi ini biasanya digunakan untuk mendeteksi kecepatan

atau laju suatu sistem, yang bertujuan sebagai alat perbandingan

kesalahan pada sistem tersebut.

c) Sensor Percepatan.

Sensor posisi ini biasanya digunakan untuk mendeteksi kecepatan

suatu sistem, yang bertujuan sebagai alat perbandingan kesalahan

pada sistem tersebut.


40

Persamaan diferensial orde satu dan dua yaitu

)()( xQyxPdxdy

=+ (3.2)

)()()(2

2xQyxB

dxdyxP

dxyd

=++ (3.3)

Pada persamaan (3.2) dan (3.3) di atas inputnya adalah ( )xQ , dimana

input tersebut dapat berupa fungsi konstan, fungsi periodik, fungsi ekponensial,

dan lain-lain. Berikut ini akan dijelaskan input yang terdapat pada ketiga sensor di

atas, yakni

a) Fungsi Konstan.

Misalkan K adalah konstanta, maka

( ) KxQ =

Gambar 3.1 Fungsi Konstan

b) Fungsi Kecepatan (Laju).


Kdx

xdQ=

)( atau KxxQ =)(

)(xQ

K

x

⎪⎩

⎪⎨⎧

<

>=

00

0)(

x

xKxQ


41

Gambar 3.2 Fungsi Kecepatan

c) Fungsi Percepatan.


Kdx

xQd=2

2 )( atau 221)( KxxQ =

Gambar 3.3 Fungsi Percepatan

Kesalahan pada saat stabil adalah perbedaan antara input dan output

dikalikan dengan sebuah input yang baru atau dengan kata lain

[ ] )(trinputoutputE −= (3.4)

dimana )(tr adalah sebuah input yang baru adalah input

Sebelum membahas tentang Sistem Pembangkit Listrik Tenaga Air, yang

terjadi pada sistem bendungan khususnya sistem bendungan yang terdiri dari dua

bendungan, dimana bendungan yang satu terletak di bawah bendungan yang lain.

)(xQ

x

⎪⎩

⎪⎨⎧

<

>=

00

0)(

x

xKxxQ

⎪⎩

⎪⎨⎧

<

>=

00

0)(

221

x

xKxxQ

)(xQ

x


42

Akan dibahas terlebih dahulu bagaimana memodelkan secara matematis untuk

Sistem Pembangkit Listrik Tenaga Air

Sistem bendungan dapat digambarkan sebagai berikut.

Gambar 3.4 Sistem Bendungan

Aliran sungai dengan debit yang sangat besar ditampung dalam waduk (1)

yang ditunjang dengan sebuah bendungan (3). Air tersebut dialirkan melalui

Power Intake (2) kemudian masuk ke Pipa Pesat (Penstock) (4) untuk merubah

energi potensial menjadi energi kinetik. Pada ujung pipa pesat dipasang Katup

Utama (Main Inlet Valve) (5) untuk mengalirkan air ke turbin. Katup utama akan

ditutup otomatis apabila terjadi gangguan atau di stop atau dilakukan perbaikan /

pemeliharaan turbin.

Air yang telah mempunyai tekanan dan kecepatan tinggi (energi kinetik)

dirubah menjadi energi mekanik dengan dialirkan melalui sirip-sirip pengarah

akan mendorong sudu jalan (runner) yang terpasang pada turbin (6). Energi putar

yang diterima oleh turbin selanjutnya digunakan untuk menggerakkan generator


43

(7) yang kemudian menghasilkan tenaga listrik yang keluar dari turbin melalui

Tail Race (8) selanjutnya kembali ke sungai (9).

Untuk memperoleh model ini, diasumsikan bahwa bendungan sebagai

bejana. Hal ini dikarenakan, tidak mudah untuk mendapatkan model matematika

untuk ketinggian air pada bendungan, jika dilakukan percobaan langsung terhadap

bendungan tersebut, karena mengandung resiko yang terlalu berbahaya, dan

disamping itu pula mungkin dapat mengganggu objek aslinya. Bentuk bejana

dipilih karena mempunyai kesamaan dalam bentuk fisisnya dengan bendungan,

walaupun pada kenyataannya bentuk bendungan tidak teratur.

Berikut merupakan ilustrasi sistem bejana, yakni bejana tanpa adanya

aliran yang masuk (gambar 3.5) dan bejana dengan aliran air yang masuk (gambar

3.6) Sehingga gambar 3.4 dapat dikembangkan lagi menjadi dua gambar, seperti

gambar berikut ini

Gambar 3.5 Bejana tanpa Aliran Air yang Masuk

h

A1q


44

Gambar 3.6 Bejana dengan Aliran Air yang Masuk

dengan

h : Tinggi air pada sistem bejana ( )m

0q : Aliran air yang keluar dari sistem bejana ( )13 −sm

A : Luas penampang pada sistem bejana ( )m

1q : Aliran air yang masuk ke dalam sistem bejana ( )13 −sm

Pada kedua gambar tersebut, terlihat bahwa pada bagian bawah masing-

masing sistem bejana tersebut diberi saluran air yang berupa pipa, yang berfungsi

sebagai jalan air untuk keluar.

A. Sistem Satu Bejana tanpa Aliran Air

Masalah yang muncul pada sistem bejana pada gambar 3.5 adalah

bagaimana menentukan ketinggian dan volume air yang sesuai pada sistem

bejana. Untuk itu perlu diberikan beberapa penyederhanaan atau asumsi-asumsi

sebagai berikut

a) Tidak adanya aliran air yang masuk ke dalam sistem bejana.

b) Tinggi dan volume air pada keadaan awal adalah tertentu, 0h dan 0V .

0q

1q

h

A


45

c) Tidak ada pengaturan untuk aliran air yang keluar dari pipa bejana.

d) Tidak ada kebocoran pada pipa bejana.

Misalkan )(tV adalah volume air pada sistem bejana pada saat t, maka

dttdV )( adalah laju pertambahan volume air pada sistem bejana pada saat t, yakni

aliran air yang masuk kedalam sistem bejana pada saat t dikurangi dengan aliran

air yang keluar dari sistem pada saat t, dengan kata lain

dt

tdV )(= 1q )(t )(0 tq− (3.1.1)

Karena diasumsikan tidak ada aliran yang masuk pada sistem bejana, maka

1q )(t 0= , sehingga diperoleh

dt

tdV )(= )(0 tq− (3.1.2)

Diketahui

)()( tAhtV = (3.1.3)

maka

dt

tdV )( = [ ]dt

tdhAtAhdtd )()( = (3.1.4)

Sehingga dari persamaan (3.1.2) dan (3.1.4) diperoleh

dt

tdhA )( = )(0 tq− (3.1.5)

Untuk mencari aliran air yang keluar )( 0q pada pipa bejana saat t,

digunakan teorema Torricelli yaitu

)()(0 thtq λ= (3.1.6)

dengan λ adalah sebuah konstanta positif.


46


dt

tdhA )( = )(thλ− (3.1.7)

Persamaan (3.1.7) dapat ditulis dalam bentuk

−=dt

tdh )(A

tqth

A)(

)( 0−=λ (3.1.8)

Persamaan (3.1.8) menyatakan laju berkurangnya tinggi air pada bejana,

yakni aliran air yang keluar bejana saat t dibagi dengan luas penampang pada

sistem bejana. Jika luas penampang bejana pada bejana semakin besar dari aliran

air yang keluar pada bejana saat t.

Contoh 3.1.1

Misalkan diketahui bahwa luas penampang bejana adalah 3 meter, dengan aliran

air yang keluar dari bejana membesar dari 4 13 −sm sampai 6 13 −sm , maka laju

berkurangya tinggi air pada bejana dapat dilihat pada tabel berikut ini.

Tabel 3.1.1 Berkurangnya Tinggi Air Untuk Aliran Air yang Masuk Semakin Besar

A 0q dt

tdh )(

3 meter 4 13 −sm -1,3333 12 −sm

3 meter 5 13 −sm -1,6667 12 −sm

3 meter 6 13 −sm -2 12 −sm


47

Pada tabel 3.1.1, jika aliran air yang masuk pada bejana semakin besar dari luas

penampang bejana maka laju berkurangnya tinggi air pada bejana akan semakin

kecil, yang berarti berkurangnya tinggi air pada bejana akan semakin cepat.

Contoh 3.1.2

Misalkan diketahui tiga bejana dengan masing-masing luas penampang berturut-

turut adalah 2 m, 3 m, dan 4 m bahwa aliran air yang keluar dari bejana adalah 1

13 −sm , maka laju berkurangya tinggi air pada tiga bejana dapat dilihat pada tabel

berikut ini

Tabel 3.1.2 Berkurangnya Tinggi Air Untuk Luas Penampang Semakin Besar

A 0q dt

tdh )(

2 meter 1 13 −sm -0,5 12 −sm

3 meter 1 13 −sm -0,333 12 −sm

4 meter 1 13 −sm -0,250 12 −sm

Pada tabel 3.1.2, jika luas penampang bejana semakin besar dari pada aliran yang

masuk pada bejana, maka laju berkurangnya tinggi air pada bejana akan semakin

besar, yang berarti bahwa berkurangnya tinggi air akan semakin lama.

Persamaan (3.1.8) dapat diselesaikan dengan cara

−=)()(

thtdh dt

Aλ (3.1.9)

CtA

th +−=λ)(ln


48

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

=Ct

Aethλ

)(

Ketht

A ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=λ

)( (3.1.10)

dengan CeK =

Nilai konstanta K dapat dicari dengan menggunakan masalah nilai awal yaitu,

kondisi awal 0)0( hh = , maka

Ketht

A ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=λ

)(

( )

Keh A ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=0

)0(λ

Khh == 0)0( (3.1.11)

Persamaan (3.1.11) disubsitusikan kedalam persamaan (4.10), diperoleh

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=t

Aehthλ

)0()( (3.1.12)

Persamaan (3.1.12) menyatakan ketinggian air pada bejana pada saat (t)

tanpa ada aliran air yang masuk ke dalam bejana yang diilustrasikan pada gambar

berikut ini

Gambar 3.1.1 Tinggi Air Bejana.

Pada gambar 3.1.1, diketahui bahwa tinggi awal air bejana adalah 4 meter,


49

luas penampang bejana adalah 5 meter, dan kontanta Torricelli adalah sebesar 1,

maka ketinggian air selama 5 detik adalah 1,457 meter. Sehingga ketinggian air

air pada bejana semakin lama semakin berkurang.

Karena )(tAhV = , maka

AtV =)(t

Aehλ

−)0( (3.1.13)

Persamaan (3.1.13) menyatakan volume air pada saat (t) yang terdapat

pada bejana tanpa adanya aliran air yang masuk ke dalam bejana tersebut.

Dari persamaan (3.1.12), besar kecilnya ketinggian air pada bejana

dipengaruhi dua hal yaitu luas penampang bejana dan konstanta Torricelli


Misalkan diketahui bahwa tiga buah bejana dengan masing-masing

luas penampang sebesar 2 m, 5 m, dan 9 m, dan ketinggian air mula-

mula pada bejana sebesar 3 meter dan konstanta Torricelli sebesar 5,

maka ketinggian air pada bejana saat 5=t detik dapat dilihat pada

tabel berikut ini.

Tabel 3.1.3 Tinggi Air Bejana Untuk Luas Penampang Semakin Besar

( )0h λ A )5(h

3 m 5 2 m 0,000011 m

3 m 5 5 m 0,02021 m

3 m 5 9 m 0,1865 m


50

Pada tabel 3.1.3, jika luas penampang bejana semakin besar selama

5 detik, maka tinggi air pada bejana pada saat selama 5 detik akan

semakin besar, dan waktu yang dibutuhkan agar tinggi air

mendekati nol akan semakin lama seperti tampak pada gambar.

Gambar 3.1.2 Tinggi Air Bejana Untuk Luas Penampang Semakin

Besar

2. Pengaruh Konstanta Torricelli Pada Ketinggian Air Bejana .

Misalkan diketahui bahwa ketinggian air mula-mula pada bejana

sebesar 3 meter dan luas penampang bejana sebesar 5 m, dengan

konstanta torricelli berturut-turut adalah 2, 5, dan 9, maka ketinggian

air pada bejana saat 5=t detik dapat dilihat pada tabel berikut ini.

Tabel 3.1.4 Tinggi Air Bejana Untuk λ Semakin Besar

( )0h A λ )5(h

3 m 5 m 2 0,40600 m

3 m 5 m 5 0,02021 m

3 m 5 m 9 0,00037 m


51

Pada tabel 3.1.4, jika konstanta Torricelli semakin besar selama 5

detik, maka tinggi air pada bejana selama 5 detik akan semakin kecil,

dan waktu yang dibutuhkan agar mendekati nol semakin cepat seperti

tampak pada gambar

Gambar 3.1.3 Tinggi Air Bejana Selama Untuk Konstanta Torriceli

Semakin Besar

Dari kedua hal yang mempengaruhi ketinggian air pada bejana yang

telah diuraikan di atas, maka untuk jangka waktu yang lama ketinggian

air akan mendekati nol, yakni

0)0(lim)(lim =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−

∞→∞→

tA

ttehth

λ


( ))(lim)(lim tAhtVtt ∞→∞→

= 0= (3.1.14)

Ketinggian dan volume air yang terdapat pada bejana untuk waktu

yang lama akan mendekati nol yang berarti untuk jangka waktu yang

lama bejana akan kosong.

B. Sistem Satu Bejana dengan Aliran Air

Model matematika yang didapatkan di atas perlu dikembangkan lagi

dengan cara memberikan aliran air yang masuk ke dalam bejana seperti pada


52

gambar 3.6. Sehingga masalah yang muncul pada bejana pada gambar 3.6 adalah

bagaimana menentukan ketinggian dan volume air yang sesuai pada bejana. Perlu

diberikan tambahan penyederhanaan atau asumsi-asumsi, yaitu

a) Adanya aliran air yang masuk kedalam bejana, dimana aliran yang ma-

suk adalah konstan.

b) Ukuran pipa aliran air yang masuk dan keluar pada bejana tidak sama

c) Tidak ada pengaturan untuk aliran air yang masuk pada sistem bejana.

Karena adanya aliran air yang masuk ke dalam bejana, maka dari

persamaan (3.1.1) diperoleh

dt

tdV )(= 1q )(t )(0 tq− (3.2.1)

Persamaan (3.1.4) disubstitusikan ke dalam persamaan (3.2.1) diperoleh

dt

tdhA )( = 1q )(t )(0 tq− (3.2.2)

Persamaan (3.1.6) disubstitusikan ke dalam persamaan (3.2.2) diperoleh

dt

tdhA )( = 1q )(t )(thλ−

dt

tdh )( ( ))()(101 tqtq

A−= (3.2.3)

Persamaan (3.2.3) terdapat dua kasus yaitu :

1) Untuk 1q )(t )(0 tq− 0< , maka

dt

tdh )( ( ) 0)()(101 <−= tqtq

A (3.2.4)

Persamaan (3.2.4) menyatakan laju berkurangnya tinggi air pada beja-

na.


53

Contoh 3.2.1

Misalkan diketahui bahwa luas penampang bejana adalah 3 meter,

dengan aliran air yang masuk dan keluar dari bejana berturut-turut

adalah 1 13 −sm , dan 1,5 13 −sm , maka dt

tdh )( ( ) 1666,05,1131

−=−=

12 −sm , yang artinya berkurangya tinggi air pada bejana sebesar 0.1667

12 −sm .

Jika ( )01 qq − semakin kecil, maka laju berkurangnya tinggi air pada

bejana akan semakin kecil, yang berarti berkurangnya tinggi air akan

semakin besar, seperti tampak pada tabel 3.2.1 diberikut ini

Tabel 3.2.1 Berkurangnya Tinggi Air Untuk ( )01 qq − Semakin Kecil.

A ( )01 qq − dt

tdh )(

3 meter - 4 13 −sm -1,3333 12 −sm

3 meter - 5 13 −sm -1,6667 12 −sm

3 meter - 6 13 −sm -2 12 −sm

Jika A semakin besar, maka laju berkurangnya tinggi air pada

bejana akan semakin besar, yang berarti berkurangnya tinggi air

akan semakin kecil, seperti tampak pada tabel 3.2.2 berikut ini


Besar

A ( )01 qq − dt

tdh )(


54

2 meter -1 13 −sm -0,5 12 −sm

3 meter -1 13 −sm -0,333 12 −sm

4 meter -1 13 −sm -0,250 12 −sm

2) Untuk 1q )(t 0)(0 >− tq , maka

dt

tdh )( ( ) 0)()(101 >−= tqtq

A (3.2.5)

Persamaan (3.2.5) menyatakan laju bertambahnya tinggi air pada beja-

na.

Contoh 3.2.2

Misalkan diketahui bahwa luas penampang bejana adalah 3 meter,

dengan aliran air yang masuk dan keluar dari bejana berturut-turut

adalah 2 13 −sm , dan 1 13 −sm , maka dt

tdh )( ( ) 3333,01231

=−= 12 −sm ,

yang artinya bertambahnya tinggi air pada bejana sebesar 0.1667

12 −sm .

Jika ( )01 qq − semakin besar, maka laju bertambahnya tinggi air pada

bejana akan semakin besar, yang berati bertambahnya tinggi air pada

bejana akan semakin cepat. Untuk jelasnya perhatikan dua tabel

berikut ini.


55

Tabel 3.2.3 Bertambahnya Tinggi Air Untuk ( )01 qq − Semakin Besar

A ( )01 qq − dt

tdh )(

3 meter 4 13 −sm 1,3333 12 −sm

3 meter 5 13 −sm 1,6667 12 −sm

3 meter 6 13 −sm 2 12 −sm

Jika A semakin besar, maka laju bertambahnya tinggi air pada bejana

akan semakin kecil, yang berati bertambahnya tinggi air pada bejana

akan semakin lama.

Tabel 3.2.4 Bertambahnya Tinggi Air Untuk A Semakin Besar

A ( )01 qq − dt

tdh )(

2 meter 1 13 −sm 0,5 12 −sm

3 meter 1 13 −sm 0,333 12 −sm

4 meter 1 13 −sm 0,2 12 −sm

Persamaan (3.2.3) dapat ditulis lagi dalam bentuk

dt

tdh )(=+ )(th

Aλ

Atq )(1 (3.2.6)


Karena aliran yang masuk ke dalam sistem bejana dianggap konstan

maka persamaan (3.2.6) menjadi


56

dt

tdh )(=+ )(th

Aλ

Aq1 (3.2.7)

Sehingga persamaan (3.2.7) dapat diselesaikan dengan menggunakan

faktor pengintegralan

=∫=∫ dtA

dtA ee

λλ tAeλ

(3.2.8)

Persamaan (4.2.8) dikalikan ke persamaan (4.2.7) diperoleh

t

Aeλ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + )()( th

Adttdh λ

Aq1=

tAeλ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ tAeth

dtd λ

)(Aq1=

tAeλ

(3.2.9)

Karena A, 1q , dan λ adalah konstan, sehingga dengan mengintegralkan

kedua ruas pada persamaan (3.2.9) diperoleh

t

Aeλ

=)(th Aq1 CeA t

A +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ λ

λ

=)(tht

ACeq λ

λ−

+1 (3.2.10)

Nilai konstanta C dapat dicari dengan menggunakan masalah nilai awal

yaitu, dengan kondisi awal 0)0( hh = , maka

λ

1)0(q

hC −= (3.2.11)

Persamaan (3.2.11) disubsitusikan ke dalam persamaan (3.2.10) diperoleh

=)(tht

Aeq λ

λ−

+1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

λ1)0(

qh (3.2.12)


57

Jadi persamaan (3.2.12) menyatakan ketinggian air pada bejana pada saat

t pada bejana dengan aliran air yang masuk ke dalam bejana.

Gambar 3.2.1 Tinggi Air Bejana

Pada gambar 3.2.1 dapat dilihat bahwa tinggi air awal pada bejana dapat

bertambah, berkurang, maupun tidak kedua-duanya. Jika ( )λ

10 qh < , maka tinggi

air bejana akan bertambah, jika ( )λ

10 qh > , maka tinggi air pada bejana akan

berkurang, dan jika ( )λ

10 qh = , maka tinggi air pada bejana tidak bertambah

maupun berkurang. Untuk jelasnya perhatikan tabel berikut ini.

Tabel 3.2.5 Tinggi Air Pada Bejana

)0(h λ A 1q ( )5h

3 m 2 5 m 2 13 −sm 1,27 m

3 m 2 5 m 6 13 −sm 3 m

3 m 2 5 m 7 13 −sm 3,432 m

( ) λ10 qh =

( ) λ10 qh >

( ) λ10 qh <


58

Pada tabel 3.2.5, untuk ( )λ

10 qh = , maka ketinggian air pada bejana selama

5 detik akan sama dengan tinggi awal air pada bejana, untuk ( )λ

10 qh > , maka

tinggi air bejana salama 5 detik akan berkurang, dan untuk ( )λ

10 qh < , maka tinggi

air selama 5 detik akan bertambah.

Karena )(. thAV = maka

AtV =)( Aeq tAλ

λ−

+1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛)0(

1

hqλ (3.2.13)

Persamaan (3.2.13) menyatakan volume air pada saat t yang terdapat pada

sistem bejana dengan adanya aliran air yang masuk ke dalam bejana.

Besar kecinya perubahan ketinggian air pada bejana pada persamaan

(3.27) dipengaruhi oleh 3 hal yaitu luas penampang, aliran yang masuk, dan

konstanta Torricelli.

1. Pengaruh Aliran Air Yang Masuk Pada Ketinggian Air Bejana

Misalkan sebuah bejana diketahui bahwa 3)0( =h m, 2=λ , 5=A

m,. dengan 1q berturut-turut sebesar 1 13 −sm , 2 13 −sm , 7 13 −sm maka

ketinggian air pada bejana saat 5=t detik dapat dilihat pada tabel

berikut ini.


59

Tabel 3.2.6 Tinggi Air Bejana Untuk 1q Semakin Besar

)0(h λ A 1q ( )5h

3 m 2 5 m 2 13 −sm 1,270 m

3 m 2 5 m 5 13 −sm 2,567 m

3 m 2 5 m 7 13 −sm 3,432 m

3 m 2 5 m 9 13 −sm 4,296 m

Pada tabel 3.2.6, jika aliran air yang masuk pada bejana tersebut

semakin besar maka ketinggian air pada bejana semakin meningkat,

dan ketinggian air yang meningkat tersebut bisa melebihi kapasitas

ketinggian awal dari bejana, seperti tampak pada gambar berikut ini.

Gambar 3.2.2 Tinggi Air Bejana Untuk Aliran Air Yang Keluar

Semakin Besar

2. Pengaruh luas penampang Pada Ketinggian Air Bejana

Misalkan diketehui empat bejana dengan A berturut-turut sebesar 9

m,12 m, 15 m, dan 20 m,sebuah bejana diketahui bahwa 3)0( =h m,


60

5=λ , 1q =1 13 −sm , maka ketinggian air pada bejana saat 5=t dapat

dilihat pada tabel berikut ini

Tabel 3.2.7 Tinggi Air Bejana Untuk Luas Penampang Semakin Besar

)0(h λ A 1q ( )5h

3 m 5 9 m 1 13 −sm 0,374 m

3 m 5 12 m 1 13 −sm 0,548 m

3 m 5 15 m 1 13 −sm 0,728 m

3 m 5 20 m 1 13 −sm 1,002 m

Pada tabel 3.2.7, jika luas penampang bejana semakin lama semakin

besar maka ketinggian air pada bejana semakin lama semakin besar.

Sehingga ketinggian air pada bejana untuk mendekati nol akan

semakin lama, seperti tampak pada gambar berikut

Gambar 3.2.3 Tinggi Air Bejana Untuk A Semakin Besar

3. Pengaruh Konstanta Torricelli Pada Ketinggian Air Bejana

Misalkan sebuah bejana diketahui bahwa 3)0( =h m, 5=A m, 1q =1

dengan λ berturut-turut sebesar 9,12,15,20, , maka ketinggian air pada

saat 5=t dapat dilihat pada tabel berikut ini


61

Tabel 3.2.8 Tinggi Air Bejana Untuk λ Semakin Besar

)0(h λ A 1q ( )5h

3 m 9 5 m 1 13 −sm 0,111 m

3 m 12 5 m 1 13 −sm 0,083 m

3 m 15 5 m 1 13 −sm 0,666 m

3 m 20 5 m 1 13 −sm 0,05 m

Pada tabel 3.2.8, jika konstanta Torricelli semakin lama semakin besar

maka ketinggian air pada bejana semakin lama semakin kecil.

Sehingga waktu yang dibutuhkan untuk mendekati nol semakin cepat

seperti pada gambar berikut ini.

Gambar 3.2.4 Tinggi Air Bejana Untuk λ Semakin Besar

Dari ketiga hal yang mempengaruhi ketinggian air pada bejana yang telah

diuraikan di atas, maka untuk jangka waktu yang lama ketinggian air adalah

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

−

∞→∞→ λλ

λ11 )0(lim)(lim

qhe

qth

tA

tt⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=λ

1q


62

Ketinggian air pada sistem bejana untuk jangka waktu yang lama adalah

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛λ

1q .



= = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛λ

1qA (3.2.14)

Volume air pada sistem bejana untuk jangka waktu yang lama adalah

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛λ

1qA

Ketinggian dan volume air pada sistem bejana bergantung dari banyaknya

aliran air yang masuk ke dalam sistem bejana dan aliran yang air yang keluar dari

sistem bejana.

Untuk memperoleh ketinggian yang sesuai yakni ( )Dh . Maka pada sistem

bejana diberikan sensor dan katup seperti gambar berikut

Gambar 3.2.5 Aliran Air yang Disesuaikan Pada Sistem Bejana

dengan

1v : Katup pada pipa pertama.

2v : Katup pada pipa kedua

1q

0q sensor

h

A


63

Agar dapat menggerakkan suatu generator dimisalkan tinggi air yang

diperlukan adalah ( )Dh . Sehingga masalah yang muncul adalah bagaimana model

matematika agar diperoleh tinggi air ( )2h sama dengan tinggi air ( )Dh yang

sesuai pada sistem bejana.

Sehingga untuk menyelesaikan masalah yang muncul diatas perlu

diberikan beberapa penyederhanaan atau asumsi-asumsi sebagai berikut

a) Kedua pipa diberi sebuah katup.

b) Ukuran kedua pipa dianggap sama.

c) Tinggi air yang sesuai ( )Dh pada sistem bejana dianggap konstan.

d) Aliran air yang masuk pada 1B dianggap konstan.

e) Diberikan sebuah sensor pada bejana.

Karena akan dicari agar diperoleh tinggi air ( )2h sama dengan tinggi air

( )Dh yang sesuai pada sistem bejana, maka sensor yang digunakan adalah sensor

posisi.

Kerja dari katup pada kedua sistem bejana sebagai berikut

a) Jika hhD = , maka pengaturan pada katup 1v tidak berubah sehingga

aliran air yang keluar pada 2B akan mengalir keluar diatur oleh katup

2v .

b) Jika hhD ≠ , maka pengaturan pada katup 1v diubah kembali agar

tinggi air ( )h sama dengan tinggi air ( )Dh yang sesuai pada sistem

bejana. Jika sudah diperoleh hhD = , maka pengaturan pada katup 1v


64

yang diatur tidak berubah sehingga aliran air yang keluar pada bejana

diatur oleh katup 2v .

Tujuan sensor posisi ini yaitu agar tinggi air ( )h disamakan dengan tinggi

air ( )Dh yang sesuai pada sistem bejana, dan jika sudah diperoleh 2hhD = , maka

aliran air yang keluar pada bejana keluar melalui katup 2v . Dan jika diperoleh

hhD ≠ , terjadi dua kasus yaitu :

a) Jika hhD > , maka terdapat kekurangan tinggi air pada sistem bejana

sehingga katup 1v dikontrol kembali agar dapat diperoleh hhD = .

b) Jika hhD < , maka terdapat kelebihan tinggi air pada sistem bejana,

sehingga katup 1v dikontrol kembali

Karena pada untuk memperoleh hhD = , maka diasumsikan )(1 tq menjadi

kesalahan sensor posisi yaitu

Ktq =)(1 [ ])()( ththD − (3.2.15)

dimana K : Konstanta ( 12 −sm )

Persamaan (3.2.7) dan (3.2.15) diperoleh

dt

tdh )( ( )A

K λ++ )(th =

AK )(thD (3.2.16)

Faktor pengintergralan

=∫=∫++ dtA

KdtA

K

ee)()( λλ t

AK

e)( +λ

maka


65

Ch

K

th D +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=λ1

1)(t

AK

e)( +

−λ

(3.2.17)

dimana C : konstanta. Dengan menggunakan masalah nilai awal, yaitu 0)0( hh = ,

diperoleh

Dh

K

hC⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−= λ1

1)0( (3.2.18)


=)(tht

AK

e)( +

−λ

D

AK

h

K

eh⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

−+

+−

λ

λ

1

1)0(

)(

(3.2.19)

Karena )(.)( thAtV = , maka

=)(tVt

AK

e)( +

−λ

D

AK

h

K

eAAh⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

−+

+−

λ

λ

1

1)0(

)(

(3.2.20)

Ketinggian dan volume air pada bejana, untuk waktu jangka waktu yang

lama adalah

( )

( )

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

−+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

+−

+−

∞→∞→ D

K

AK

tth

K

eehthλ

λλ

1

1)0((lim)(lim

K

hDλ

+=

1 (3.2.21)


66

Untuk nilai ∞→K maka 0→K

λ, sehingga ( )[ ] 111 →+ Kλ .,

Sedangkan untuk nilai ∞→λ maka ∞→Kλ , sehingga ( )[ ] 011 →+ Kλ .

Sehingga untuk mendapatkan tinggi air sama dengan tinggi air ( )Dh yang

sesuai pada sistem bejana, dipilih nilai K sebesar mungkin dan nilai λ sekecil

mungkin.



=

At ∞→

= lim )(lim tht ∞→

A= Dh (3.2.22)

Berikut ini akan dibahas mengenai bagaimana memperoleh ketinggian

yang sesuai pada sistem dua bejana.


67

BAB IV

PEMODELAN MATEMATIKA PADA SISTEM

DUA BEJANA

Untuk dapat memodelkan matematika pada Sistem Pembangkit Listrik

Tenaga Air pada sistem bendungan khususnya sistem bendungan yang terdiri dua

bendungan, dimana bendungan yang satu terletak dari bendungan yang lain, maka

gambar (3.2) dan gambar (3.3) di atas dikembangkan menjadi

Gambar 4.1 Dua Bejana tanpa Aliran Air yang Masuk

Gambar 4.2 Dua Bejana dengan Aliran Air yang Masuk

2h

1h

1A

1A

1h

2A

2h

2A

1q

12q

0q

0q

12q


68

dengan

1B : Sistem Bejana yang terletak diatas.

2B : Sistem Bejana yang terletak dibawah.

1h : Tinggi air pada 1B (m)

2h : Tinggi air pada 2B (m)

1q : Aliran air yang masuk pada 1B ( )13 −sm

12q : Aliran air yang keluar dari 1B dan masuk pada 2B

( )13 −sm .

0q : Aliran air yang masuk pada 2B ( )13 −sm

1A : Luas penampang pada 1B ( )2m .

2A : Luas penampang pada 2B ( )2m .

Pada kedua gambar tersebut, terlihat bahwa pada bagian bawah masing-

masing sistem bejana tersebut diberi saluran air yang berupa pipa, yang berfungsi

sebagai jalan keluarnya air.

A. Sistem Dua Bejana tanpa Aliran Air yang Masuk Pada Sistem Bejana

di Atasnya

Masalah yang muncul pada dua sistem bejana seperti pada gambar 4.1

adalah bagaimana menentukan ketinggian dan volume air yang sesuai pada 2B .

Untuk itu beberapa penyederhanaan atau asumsi-asumsi, yaitu :


69

a) Tinggi dan volume air 1B pada keadaan awal adalah tertentu, 0h dan

0V .

b) Keadaan awal 2B adalah kosong.

c) Ukuran pipa aliran air yang keluar dari 1B lebih besar dari pipa aliran

air yang keluar dari 2B .

d) Tidak ada aliran yang masuk pada 1B .

e) Tidak ada pengaturan pada pipa dari kedua sistem bejana.

f) Tidak ada kebocoran pada kedua pipa sistem bejana.

g) Besarnya kedua bejana di anggap sama.

Misalkan )(1 tV adalah volume air pada 1B saat t, maka dt

tdV )(1 adalah laju

perubahan volume air pada 1B saat t, yakni aliran air yang masuk pada saat t

dikurangi dengan aliran air yang keluar pada saat t, dengan kata lain

dt

tdV )(1 = 1q )(t )(12 tq− (4.1.1)

Diketahui

)()( 111 thAtV = (4.1.2)

maka

dt

tdV )(1 = [ ]dt

tdhAthAdtd )()( 1

111 = (4.1.3)

Dari persamaan (4.1.1) dan persamaan (4.1.3) diperoleh

=dt

tdhA )(11 1q )(t )(12 tq− (4.1.4)


70

Untuk mencari aliran air yang keluar )(12 tq pada pipa 1B pada saat t,

digunakan teorema Torricelli yaitu

)()( 1112 thtq λ= (4.1.5)


Sehingga dari persamaan (4.1.4) dan persamaan (4.1.5) diperoleh

+dt

tdhA )(11 =)(11 thλ 1q )(t

Karena tidak ada aliran air yang masuk pada 1B , maka

+dt

tdhA )(11 =)(11 thλ 0 (4.1.6)

−=dt

tdh )(1 1

12 )(A

tq (4.1.7)

Persamaan (4.1.7), yakni menyatakan laju berkurangnya tinggi air pada

bejana. Misalkan dtdD ≡ , persamaan (4.1.6) dapat ditulis

( ) 0)(111 =+ thDA λ (4.1.8)

Dengan cara yang sama, maka untuk 2B diperoleh

dt

tdh )(1

2

1A

= 12(q −)(t 0q ))(t (4.1.9)

Karena diasumsikan di atas, maka persamaan (4.1.9) dinyatakan sebagai

laju bertambahnya tinggi air pada 2B . Misalkan dtdD ≡ , persamaan (4.1.9) dapat

ditulis

dt

tdhA )(12 )(22 thλ+ = 12q )(t (4.1.10)


71

Misalkan dtdD ≡ , maka persamaan (4.1.10) dapat ditulis

( ) )()( 12222 tqthDA =+ λ (4.1.11)

Dari persamaan (4.1.5), diperoleh

( ) =+ )(222 thDA λ )(11 thλ (4.1.12)

Bila kedua ruas pada persamaan (4.1.12) dikalikan dengan ( )11 λ+DA ,

diperoleh

( ) ( )=++ 11222 )( λλ DAthDA )(11 thλ ( )11 λ+DA (4.1.13)

Karena ( ) 0)(111 =+ thDA λ , maka

( ) ( ) 0)( 11222 =++ λλ DAthDA .

( ) 0)()( 22112122

12 =+++ thDAADAA λλλλ

Karena dtdD ≡ maka 2

22

dtdD ≡ , maka

0)()( 22112122

2

12 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛th

dtdAA

dtdAA λλλλ

0)()(

2)(

222

22

2

=++ thdt

tdhdt

thdnn ωωξ (4.1.14)

dengan

2121

1221

2 λλλλ

ξAA

AA += dan

21

212

AAnλλω =

dimana

ξ : Rasio Peredam dan nω : Frekuensi Alami.


72

Penyelesaian persamaan (4.1.14) terda pat tiga kasus yaitu :

a) Kasus Diredam Berlebihan bila 1>ξ , mempunyai penyelesaian yaitu :

tt nnnn ececth

)1(2

)1(12

22

)(−+−−−− +=

ξωωξξωωξ (4.1.15)

Persamaan (4.1.15) menyatakan tinggi air pada bejana 2B saat t.

Karena )(2 tV = 2A 2h (t), maka

)(2 tV )()1(

2)1(

12

22 tt nnnn ececA−+−−−− +=

ξωωξξωωξ (4.1.16)

Persamaan (4.1.16) menyatakan volume air pada bejana 2B saat t .

Dengan 1c , 2c adalah konstanta, yang nilainya kedua konstanta

tersebut bergantung dari )0(2h dan dt

dh )0(2 , seperti yang diuraikan

dibawah ini.

Misalkan

tt nnnn ececth

)1(2

)1(12

22

)(−+−−−− +=

ξωωξξωωξ Ah =)0(2 ,

Bdt

dh=

)0(2 maka diperoleh 1c dan 2c adalah sebagai berikut.

( )

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=12

1

2

2

2ξ

ξξω

AB

c n dan ( )

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=12

1

2

2

1ξ

ξξω

AB

Ac n

Sehingga untuk ∞→t maka 0)(2 →th dan 0)(2 →tV , yang berarti

untuk jangka waktu yang lama maka tidak ada air pada bejana 2B .


73

Contoh 4.1.1

Misalkan diketahui bahwa bahwa 62

5=ξ , 6=nω , keadaan mula-

mula air pada 2B adalah kosong, dan laju awal bertambahnya air pada

2B adalah 1 dan 2, maka dapat ditulis sebagai berikut

0)(6)(5)(2

22

22

=++ thdt

tdhdt

thd , 0)0(2 =h , 2,1)0(2 =dt

dh ,3

Sehingga penyelesaiannya dapat dilihat pada tabel 4.1.1 dibawah

Tabel 4.1.1 Tinggi Air

)0(2h dt

dh )0(2 )(2 th 2h max Waktu 2h max

0 1 tt eeth 322 )( −− −= 0,148 m 0,405 detik

0 2 tt eeth 322 22)( −− −= 0,296 m 0,405 detik

0 3 tt eeth 322 33)( −− −= 0,444 m 0,405 detik

Pada tabel 4.1.1 di atas, walaupun waktu peningkatan air yang terjadi

pada 2B adalah sama akan tetapi peningkatan air yang terjadi pada 2B

berbeda-beda sesuai dengan laju awal bertambahnya tinggi air

pada 2B , sehingga semakin besar laju awal pada 2B maka semakin

tinggi peningkatan air 2B . Akibatnya semakin lama untuk mendekati

nol, seperti yang diilustrasikan pada gambar berikut ini.


74

Gambar 4.1.1 Tinggi Air

b) Kasus Diredam Kritis bila 1=ξ , mempunyai penyelesaian yaitu :

=)(2 th ( )21).( tcce t

n +− ωξ (4.1.17)



)(2 tV 2A= ( )21).( tcce t

n +− ωξ (4.1.18)

Persamaan (4.1.18) menyatakan volume air pada bejana 2B saat t.

Dengan 1c dan 2c adalah konstanta, yang nilainya kedua konstanta



dibawah ini.

Misalkan

=)(2 th ( )21)( tcce tn += − ω , Ah =)0(2 , B

dtdh

=)0(2

maka diperoleh 1c dan 2c adalah sebagai berikut

( )( )nABc ω−−= 12 dan Ac =1


75



Contoh 4.1.2

Misalkan diketahui bahwa bahwa 1=ξ , 3=nω , keadaan awal 2B

adalah kosong, dan laju awal bertambahnya air pada 2B adalah 1,2,3

maka dapat ditulis sebagai berikut

0)(9)(6)( 22

22

=++ thdt

tdhdt

thd , 0)0(2 =h , 1)0(2 =dt

dh ,2 ,3

Sehingga penyelesaiannya dapat dilihat pada tabel 4.1.2 dibawah


)0(2h dt


0 1 teth t32 )( −= 0,12 m 0,333 detik

0 2 teth t32 2)( −= 0,24 m 0,333 detik

0 3 teth t32 3)( −= 0,36 m 0,333 detik

Pada tabel 4.1.2 di atas, walaupun peningkatan air yang terjadi pada

2B adalah sama akan tetapi peningkatan yang terjadi pada 2B berbeda-

beda sesuai dengan laju awal bertambahnya tinggi air pada 2B ,

sehingga semakin besar laju awal pada 2B maka semakin tinggi

peningkatan air 2B . Akibatnya semakin lama untuk mendekati nol,

seperti yang diilustrasikan pada gambar berikut ini.


76


c) Kasus Diredam Berkurang bila 10 << ξ , mempunyai penyelesaian

yaitu :

=)(2 th ( ) ( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −− tctce nn

n 22

21 1sin1cos ξωξωξω (4.1.19)

Persamaan (4.1.19) menyatakan tinggi air bejana 2B saat t.


)(2 tV 2A= ( ) ( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −− tctce nn

n 22

21 1sin1cos ξωξωξω (4.1.20)




dibawah ini.

Misalkan

)(2 th ( ) ( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= − tctce nn

n 22

21 1sin1cos ξωξωξω ,


77

Ah =)0(2 , Bdt

dh=

)0(2


22

1 ξωξω

−

+=

n

nABc , dan Ac =1



Dengan menggunakan identitas trigonometri, maka persamaan

(4.1.19) dapat ditulis lagi menjadi

)(2 th ( ) ( )( )( )tSctSce tn sin)(cos 21).( += − ωξ

( )( )γωξ −= − tSCe tn )(cos).( (4.1.21)

dengan

21 ξω −= nS , 22

21 ccC += ,

Cc2sin =γ ,

Cc1cos =γ ,

1

2tancc

=γ

Jadi tinggi air 2B dapat juga ditulis pada persamaan (4.1.21).

Contoh 4.1.3

Misalkan diketahui bahwa 132

4=ξ , 13=nω , keadaan mula-mula

pada 2B adalah kosong, dan laju bertambahnya air 2B pada mulanya

adalah 1,2,3 maka dapat ditulis sebagai berikut

0)(13)(4)( 22

22

=++ thdt

tdhdt

thd , 0)0(2 =h , 1)0(2 =dt

dh ,2,3


78

Sehingga penyelesaiannya dapat dilihat pada tabel 4.4.3 dibawah ini.


)0(2h dt


Waktu 2B

kosong 1 1

( )teth t 3sin31)( 2

2−=

0,144 m 0,327 3π

2 2 ( )teth t 3sin

32)( 2

2−=

0,288 m 0,327 3π

3 3 ( )teth t 3sin)( 22

−= 0,432 m 0,327 3π

dimana π : 3,14

Pada tabel 4.1.3 di atas, air pada 2B dapat menjadi kosong saat 3π , dan

peningkatan air yang terjadi pada 2B sesuai dengan laju awal

bertambahnya tinggi air pada 2B , jadi semakin besar laju awal pada

2B maka semakin tinggi peningkatan air 2B . Akibatnya semakin

besar laju awal bertambahnya air pada 2B semakin lama untuk

mendekati nol, seperti yang diilustrasikan pada gambar berikut ini.

Gambar 4.1.3 Tinggi Air .


79

Dari ketiga kasus yang telah dipaparkan di atas untuk ketinggian dan

volume air yang terdapat pada sistem bejana yang terletak di bawah untuk waktu

yang lama akan mendekati nol yang berarti untuk jangka waktu yang lama sistem

bejana yang terletak dibawah akan kosong, hal ini disebabkan karena pada sistem

bejana yang terletak di atas tidak ada aliran yang masuk kedalam sistem tersebut.

Sehingga hal ini bertentangan dengan kenyataan bahwa selalu ada air yang

terdapat pada bendungan, baik bendungan yang terletak di atas maupun

bendungan yang terletak dibawahnya. Akibatnya model matematika pada dua

bejana yang telah dipaparkan di atas dikatakan belum baik. Sehingga model

matematika pada dua bejana yang telah diuraikan di atas perlu dikembangkan lagi

seperti yang dipaparkan berikut ini.

B. Sistem Dua Bejana dengan Aliran Air yang Masuk Pada Sistem

Bejana di Atasnya

Model matematika pada dua bejana di atas dikembangkan lagi dengan

memberikan aliran yang masuk pada sistem bejana yang terletak diatasnya seperti

pada gambar 4.2, sehingga masalah yang muncul pada sistem bejana pada gambar

4.2 adalah bagaimana menentukan ketinggian dan volume air yang sesuai pada

2B . Untuk itu penyedehanaan atau asumsi-asumsi di atas perlu diberikan lagi

yaitu

a) Tidak ada pengaturan pada pipa untuk aliran air yang masuk pada 1B .

b) Aliran yang masuk pada 1B dianggap konstan.


80

Karena adanya aliran yang masuk pada 1B , maka dari persamaan (4.1.12)

diperoleh

( ) iqthDAADAA 122112122

12 )()(( λλλλλ =+++

Karena dtdD ≡ maka 2

22

dtdD ≡ , sehingga diperoleh

121

12

21

212

21

21122

22

)()()(

qAA

thAAdt

tdhAA

AAdt

thd⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++

λλλλλ

=++ )()(2)(2

222

22

thdt

tdhdt

thdnn ωωξ 1

21

1 qAA ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ λ (4.2.1)

Penyelesaian pada persamaan (4.2.1) terdiri dari dua, yaitu penyelesaian

ruas kiri dan penyelesaian ruas kanan, dimana penyelesaian ruas kiri telah

diuraikan di atas, maka dicari penyelesaian ruas kanan, yakni dengan cara

misalkan

bth =)(2 (4.2.2)

maka

0)(2 =dt

tdh dan 0)(22

2

=tdthd (4.2.3)

Dari persamaan (4.2.2) dan (4.2.3), maka persamaan (4.2.1) diperoleh

1221

1 qAA

bn ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ωα (4.2.4)

Sehingga

in

qAA

th ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 2

21

12 )(

ωα

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 2

21

11 1

nAAq

ωα

2n

Rω

(4.2.5)


81

dengan R ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

21

11 )(AA

tqα .

a) Kasus Diredam Berlebihan bila 1>ξ , mempunyai penyelesaian, yaitu

. tt nnnn ececth

)1(2

)1(12

22

)(−+−−−− +=

ξωωξξωωξ + 2n

Rω

(4.2.6)

dimana

tt nnnn ecec )1(2

)1(1

22 −+−−−− + ξωωξξωωξ : Tinggi Air 2B Sementara.

2n

Rω

: Tinggi Air 2B Stabil.

Persamaan (4.2.6) menyatakan tinggi air bejana 2B saat t.


)(2 tV )()1(

2)1(

12


ξωωξξωωξ + 22

n

RAω

(4.2.7)

Persamaan (4.2.7) menyatakan volume air pada bejana 2B saat t

dengan 1c dan 2c adalah konstanta, yang nilainya kedua konstanta



dibawah ini.

Misalkan

tt nnnn ececth

)1(2

)1(12

22

)(−+−−−− +=

ξωωξξωωξ + 2n

Rω

, Ah =)0(2 ,

Bdt

dh=



82

( )

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=12

1

2

2

2ξ

ξξωω nn

RAB

c

−−=n

RAcω1

( )

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

12

1

2

2

ξ

ξξωω nn

RAB

Untuk ∞→t maka dan =)(2 th 2n

Rω

dan =)(2 tV 2n

Rω

Contoh 4.2.1


5=ξ , 6=nω , tinggi mula-

mula air pada 2B adalah kosong, dan laju awal bertambahnya air pada

2B adalah 1, 2,3 dengan R sebesar 1, maka dapat ditulis sebagai

berikut

1)(6)(5)(2

22

22

=++ thdt

tdhdt

thd , 0)0(2 =h , 2,1)0(2 =dt

dh ,3.

Sehingga penyelesaiannya dapat dilihat pada tabel 4.2.1 berikut ini


)0(2h

dtdh )0(2

)(2 th 2h max Waktu 2h max

0 1 61

32

21)( 32

2 +−= −− tt eeth 0,208 m

0,693 dtk

0 2 61

35

23)( 32

2 +−= −− tt eeth0,346 m

0,510 detik


83

0 3 61

38

25)( 32

2 +−= −− tt eeth 0,492 m

0,470 deitk

Pada tabel 4.2.1 diatas, peningkatan air yang terjadi pada 2B adalah

berbeda-beda sesuai dengan laju awal bertambahnya tinggi air pada 2B


peningkatan air 2B . Akibatnya semakin besar laju awal

bertambahnya air pada 2B semakin lama untuk mendekati 0,66 m.

Cepat atau lamanya air pada 2B akan stabil bergantung dari besar

kecilnya laju awal bertambahnya air pada 2B yang diberikan, seperti

yang diilustrasikan pada gambar berikut ini.


b) Kasus Diredam Kritis bila 1=ξ , yang mempunyai penyelesaian, yaitu

=)(2 th ( )21).( tcce t

n +− ωξ + 2n

Rω

(4.2.8)

dimana

( )21).( tcce t

n +− ωξ : Tinggi Air 2B Sementara

2n

Rω



84



)(2 tV 2A= ( )21).( tcce t

n +− ωξ + 22

n

RAω

(4.2.9)

Persamaan (4.2.9) menyatakan volume air bejana 2B saat t.




dibawah ini.

Misalkan

=)(2 th ( )21)( tcce tn += − ω + 2

n

Rω

, Ah =)0(2 , Bdt

dh=

)0(2


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−= 22

n

RABcω

dan 21n

RAcω

−=

Untuk ∞→t maka dan =)(2 th 2n

Rω

dan =)(2 tV 2n

Rω

Contoh 4.2.2

Misalkan diketahui bahwa bahwa 1=ξ , 3=nω , tinggi mula-mula air

pada 2B kosong, dan laju awal bertambahnya air pada 2B adalah 1,2,3

dan dengan R sebesar 1, maka dapat ditulis sebagai berikut

1)(9)(6)( 22

22

=++ thdt

tdhdt

thd , 0)0(2 =h , 1)0(2 =dt

dh ,2,3


85

Sehingga penyelesaiannya dapat dilihat pada tabel 4.2.2 dibawah ini.


)0(2h dt


0 1 91

32

91)( 33

2 ++−= −− teeth tt 0,16 m 0,5 dtk

0 2 91

35

91)( 33

2 ++−= −− teeth tt 0,27 m 0,4 dtk

0 3 91

35

91)( 33

2 ++−= −− teeth tt 0,39 m 0,375 dtk

Pada tabel 4.2.2 di atas, peningkatan air yang terjadi pada 2B adalah


sehingga semakin besar laju awal pada 2B maka semakin tinggi peni-

ngkatan air 2B .. Akibatnya semakin besar laju awal bertambahnya a-

ir pada 2B semakin lama untuk mendekati 0,11 m Cepat atau lamanya

air pada 2B akan stabil bergantung dari besar kecilnya laju awal

bertambahnya air pada 2B yang diberikan, seperti yang diilustrasikan

pada gambar berikut ini.



86

c) Kasus Diredam Berkurang bila 10 << ξ , mempunyai penyelesaian,

ya itu :

)(2 th ( )( )γω −= − tSCe tn )(cos)( + 2n

Rω

(4.2.10)

dengan

21 ξω −= nS , 22

21 ccC += ,

Cc2sin =γ ,

Cc1cos =γ ,

1

2tancc

=γ

dimana

( )( )γω −− tSCe tn )(cos)( : Tinggi Air 2B Sementara

2n

Rω




)(2 tV 2A= ( )( )γω −− tSCe tn )(cos)( + 22

n

RAω

(4.2.11)





dibawah ini.

Misalkan

)(2 th ( ) ( )( )tctce nntn 2

22

1)( 1sin1cos ξωξωω −+−= − + 2

n

Rω

Ah =)0(2 , Bdt

dh=

)0(2


87


( )

2

2

21 ξω

ξωω

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

=n

nn

RABc dan −= Ac1 2

n

Rω

Sehingga untuk ∞→t maka =)(2 th 2n

Rω

dan =)(2 tV 2n

Rω

.

Contoh 4.2.3


4=ξ , 13=nω , pada

awalnya tidak ada air pada 2B , dan laju awal bertambahnya tinggi air

2B adalah 1,2,3 dan R sebesar 1, maka dapat ditulis sebagai berikut

1)(13)(4)( 22

22

=++ thdt

tdhdt

thd , 0)0(2 =h , 1)0(2 =dt

dh ,2,3

Sehingga penyelesaiannya dapat dilihat pada Tabel 4.2.3 berikut ini


)0(2h dt

dh )0(2

)(2 th 2h max

Wktu 2h max

0 1 131)3sin(3

11)3cos(131)( 2

2 +⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−= − tteth t

0,18 m 0.486

0 2 ( )131)3sin(8)3cos(

131)( 2

2 ++−= − tteth t 0,32 m 0,369

0 3 131)3sin(3

37)3cos(131)( 2

2 +⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−= − tteth t

0,35 m 0,466


88

Pada tabel 4.2.3 di atas, peningkatan air yang terjadi pada 2B adalah



peningkatan air 2B . Akibatnya semakin besar laju awal bertam

bahnya air pada 2B semakin lama untuk mendekati 0,076 m.. Cepat

atau lamanya air pada 2B akan stabil bergantung dari besar kecilnya

laju awal bertambahnya air pada 2B yang diberikan, seperti yang

diilustrasikan pada gambar dibawah ini.


Dari ketiga kasus tersebut, maka ketinggian air pada 2B dalam jangka

waktu yang lama mendekati 2n

Rω

, yang berarti dalam jangka waktu yang lama 2B

akan stabil sebesar 2n

Rω

.

Untuk dapat mengetahui pengaruh rasio peredam pada bejana 2B pada

keadaan stabil diasumsikan bahwa bejana 2B dalam keadaan kosong dan tanpa

laju bertambahnya ketinggian air pada bejana 2B , seperti yang diilustrasikan pada

gambar berikut.


89

Gambar 4.2.4. Rasio Peredam 10 << ξ

Gambar 4.2.4 di atas dapat dipisahkan menjadi dua bagian seperti berikut.

Gambar 4.2.5 Rasio Peredam 5,01,0 << ξ

Gambar 4.2.6 Rasio Peredam 9,07,0 << ξ


90

Pada gambar (4.2.5) dan (4.2.6 ) di atas, dapat dilihat bahwa semakin kecil

rasio peredam semakin besar kelebihan air dan kekurangan air yang terjadi pada

bejana 2B . Sehingga untuk mencapai tinggi air yang stabil semakin lama.

Sedangkan untuk rasio peredam lebih besar dari 1, tinggi air pada bejana 2B akan

semakin mengecil, semakin lama untuk mencapai tinggi air yang stabil semakin

lama, seperti yang pada gambar berikut.

Gambar 4.2.7 Rasio Peredam 1>ξ Sedangkan untuk rasio peredam sama dengan 1 tinggi air pada bejana 2B

akan semakin mengecil, semakin lama untuk mencapai tinggi air yang stabil

semakin lama, seperti yang pada gambar berikut.

Gambar 4.2.8 Rasio Peredam 1=ξ


91

Pada ketiga gambar di atas, terlihat bahwa rasio peredam kurang dari satu

yang mengalami beberapa gejolak, yakni kelebihan air dan kekurangan air,

sehingga keadaan air pada bejana 2B tidak menentu.

Semakin kecil rasio peredamnya semakin besar kelebihan dan kekurangan

air yang terjadi, sehingga semakin lama tinggi air akan stabil. Untuk itu perlu

dicari rasio peredam yang sesuai agar waktu yang diperlukan untuk stabil tidak

terlalu lama.

Agar memudahkan perhitungan, misalkan bahwa 2nR ω= , sehingga dapat

dicari waktu bejana 2B kelebihan dan kekurangan air untuk jelasnya perhatikan

contoh di bawah ini.

Contoh 4.2.4

Misalkan diketahui bahwa rasio peredam sebesar 0,03, 0,1, 0,3, frekuensi

alaminya sebesar 1, tidak adanya tinggi dan laju tinggi air pada 2B , dan 1=R ,

maka tinggi air pada bejana 2B saat t seperti diilustrasikan pada gambar berikut

ini.



92

Pada gambar 4.2.9 di atas, dapat dilihat bahwa semakin kecil rasio

peredam, maka semakin besar kelebihan dan kekurangan air pada 2B .

Kelebihan air pada bejana 2B dirumuskan sebagai berikut

( )B

BCth −=2 (4.2.12)

Kekurangan air pada bejana 2B dirumuskan sebagai berikut

( )B

DBth −=2 (4.2.13)

dimana B : Ketinggian Air Pada Bejana 2B Saat Stabil.

C : Ketinggian Air Pada Bejana 2B Saat Maksimum.

D : Ketinggian Air Pada Bejana 2B Saat Manimum.

Contoh 4.2.5

Misalkan diketahui bahwa rasio peredam sebesar 0,02, frekuensi alaminya sebesar

100, tidak adanya tinggi dan laju tinggi air pada 2B , dan 1=WhD 00, maka tinggi

air pada bejana 2B saat t adalah

( ) ( ) ( ) 164cos64sin12

622 +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= − tteth t

Tinggi air pada bejana 2B akan maksimum dan minimum bila

( ) ( ) 064sin6

625' 22 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= − teth t

diperoleh 2

1 ξω

π

−=

n

nt untuk 3,2,1=n …


93

Tinggi maksimum terjadi pada saat 1=n , yaitu

314,09979,914,3

02,0110 2==

−=

πt

Sehingga untuk 314,0=t diperoleh

( ) 53,1314,02 =h meter

Jadi tinggi maksimum air adalah

( ) 53,01

153,12 =

−=th meter

Tinggi maksimum terjadi pada saat 2=n , yaitu

628,09979,9

28,6

02,0110

22

==−

=πt meter

Sehingga untuk 314,0=t diperoleh

( ) 725,0628,02 =h meter

Jadi tinggi minimum air adalah

( ) 275,01

725,012 =

−=th

Sehingga tinggi maksimum air pada bejana 2B sekitar 54 % dan tinggi minimum

air pada bejana 2B sekitar 27,5 % , untuk jelasnya perhatikan gambar dibawah ini.



94

Perbandingan (rasio) untuk tinggi air maksimumnya yang pertama dengan

yang kedua, yaitu

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛23

1

1

2lnξ

πξxx

dimana 1x : Tinggi Maksimum Pertama. :3x Tinggi Maksimum Kedua.

Dengan cara yang sama dapat dibuat perbandingan (rasio) untuk tinggi air

minimumnya yang pertama dengan yang kedua, yaitu

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛24

2

1

2lnξ

πξxx

dimana 2x : Tinggi Maksimum Pertama. :4x Tinggi Maksimum Kedua.

Jadi interval waktu kelebihan dan kekurangan air yang pertama dan kedua

sebesar

2

1

2

ξω

π

−=

n

t

Agar lebih mudah dibuat perumusan umum untuk mencari saat terjadinya

tinggi maksimum dan tinggi minimumnya dengan menganggap 2nR ω= ,

diperoleh

)(2 th ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −= − tctce nn

tn ωξωξξω 2

22

1 1sin1cos +1

Untuk ,0)0(2 =h dan ( )

002 =dt

dh , maka


95

)(2 th⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−−

−= −

−

ξ

ξξω

ξ

ξω 212

2

. 1tan1sin

1te

n

tn

+1

Jadi

( )

=dt

tdh2⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

−

−

te

n

tn

n

2

2

.

1sin1

ξωξ

ω ξω

Untuk ( )

02 =dt

tdh, diperoleh

2

1 ξω

π

−=

n

nt untuk 3,2,1=n … (4.2.14)

Bila n adalah ganjil maka terjadi kelebihan air pada bejana 2B dan untuk

n genap maka terjadi kekurangan air pada bejana 2B

1Amplitudo yang terjadi pada tinggi air di bejana 2B adalah

11 2

.

2

±−

=−

ξ

ξω t

B

neAmplitudo (4.2.15)

05,111 2

.

2

=+−

=−

ξ

ξω t

B

neAmplitudo , maka dengan menyelesaikan dalam

bentuk ntω diperoleh

ntω ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−= 2105,0ln1 ξ

ξ

t ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−= 2105,0ln1 ξ

ξωn (4.2.16)

Untuk rasio peredam yang sangat kecil dapat ditulis

1 Amplitudo adalah besar simpangan maksimum


96

tξω n

3≅ (4.2.17)

95,01

12

.

2

=−

−=−

ξ

ξω t

B

neAmplitudo , maka dengan analog dapat dituli

t ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −= 2105,0ln1 ξ

ξω n (4.2.18)

Untuk rasio peredam yang sangat kecil dapat ditulis

tξωn

3≅ (4.2.19)

Persamaan (4.2.16) sampai dengan (4.2.19) dikenal dengan Settling Time

yakni waktu yang diperlukan untuk dapat memberikan respon terhadap tinggi air

bejana 2B dan sisanya sekurang-kurangnya 5 % dari ketinggian air pada bejana

2B saat t. Untuk jelasnya perhatikan gambar berikut ini.


Pemilihan rasio peredam yang baru dapat dicari dengan beberapa cara,

akan tetapi yang dibahas pada skripsi ini hanya tiga cara yaitu

95,0

05,1

21

)exp(1

ξ

ωξ

−

−+

tn

21

)exp(1

ξ

ωξ

−

−−

tn


97

a) Dengan nilai maksimum dari ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

− 21tan

ξ

ξ , yakni

02

451

tan =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−ξ

ξ . (4.2.20)

diperoleh 707,0=ξ

b) Dengan membandingkan saat tinggi air pada bejana maksimum yaitu

21 ξω

π

−=

n

t dengan settling timenya untuk rasio peredam yang

sangat kecil yaitu tξωn

3≅ , maka di peroleh

2.13 ξπξ −=

).1(9.8,9 22 ξξ −= (4.2.21)

Dari persamaan (4.2.21) diperoleh 6,0=ξ

c) Dengan cara menggunakan kesalahan pada sistem, yaitu :

[ ]inputoutputE −=

maka

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−−

−= −

−

ξ

ξξω

ξ

ξω 212

2

. 1tan1sin

1teE n

tn

(4.2.22)

Perhatikan gambar berikut ini.


98

Gambar 4.2.12 Daerah Tinggi Air Maksimum Dan Stabil.

dimana 2

1

5,0

ξω

π

−=

n

a dan 2

1 ξω

π

−=

n

b

Pada gambar 4.2.12 di atas, titik a adalah saat ketinggian air pada

bejana 2B mencapai stabil sedangkan titik b adalah saat ketinggian air

pada bejana 2B mencapai maksimum. Sehingga luas daerah antara

titik a dan b terjadi yaitu dengan cara mengintegralkan persamaan

(4.2.22) dengan batas kedua titik tersebut, yang hasilnya diturunkan

sekali terhadap rasio peredam sehingga diperoleh rasio peredam sekitar

0,8

Rasio peredam yang sesuai diperoleh di atas berada 8,06,0 << ξ yang

dipilih untuk menenangkan redaman yang terjadi pada bejana tidak terlalu lama,

untuk jelasnya perhatikan gambar berikut.

maksh2

stabilh2 a b

)(2 th

t


99

Gambar 4.2.13 Perbandingan Persentase Tinggi Air Maksimum

dengan Rasio Peredam

Dari gambar 4.2.13 di atas terlihat bahwa semakin rasio peredam

mendekati satu maka persentase tinggi air maksimum pada bejana 2B akan

semakin mendekati nol..

Setelah mendapatkan rasio peredam yang sesuai pada bejana 2B , berikut

ini akan dijelaskan bagaimana memperoleh ketinggian yang sesuai pada bejana

2B seperti yang dijelaskan berikut ini.

C. Sistem Dua Bejana dengan Aliran Air Disesuaikan

Model matematika dua bejana yang didapatkan di atas perlu

dikembangkan lagi dengan cara setiap pipa pada kedua sistem bejana diberi

sebuah katup, dimana fungsi dari katup tersebut telah dipaparkan diatas.

perhatikan gambar 4.3.1 berikut ini

100

1ξ

%

0


100

Gambar 4.3.1 Sistem Dua Bejana dengan Aliran yang Disesuaikan

dengan

1v : Katup pada pipa pertama.

2v : Katup pada pipa kedua.

3v : Katup pada pipa ketiga.

Agar dapat menggerakkan suatu generator dimisalkan tinggi air yang

sesuai adalah ( )Dh . Sehingga masalah yang muncul adalah bagaimana model

matematika agar diperoleh tinggi air ( )2h sama dengan tinggi air ( )Dh yang

sesuai pada sistem bejana.

Sehingga untuk menyelesaikan masalah yang muncul diatas perlu

diberikan beberapa penyederhanaan atau asumsi-asumsi sebagai berikut

a) Ketiga pipa diberi sebuah katup, dan ketiga pipa dianggap sama.

b) Tinggi air yang sesuai ( )Dh pada sistem bejana dianggap konstan.

c) Diberikan sebuah sensor pada 2B .

1h

2h

1v

2v

3v 1A

2A 0q

1q

12q


101

d) Aliran air yang masuk pada 1B dianggap tidak konstan.

Kerja dari katup pada kedua sistem bejana sebagai berikut

a) Jika 2hhD = , maka pengaturan pada katup 1v tidak berubah

sehingga aliran air yang keluar pada 2B akan mengalir keluar

diatur oleh katup 3v .

b) Jika 2hhD ≠ , maka pengaturan pada katup 1v diubah kembali

agar tinggi air ( )2h sama dengan tinggi air ( )Dh yang sesuai pada

sistem bejana. Jika sudah diperoleh 2hhD = , maka pengaturan pada

katup 1v yang diatur tidak berubah sehingga aliran air yang keluar

pada 2B diatur oleh katup 3v .

Untuk menjawab permasalahan yang muncul tersebut, pada gambar 4.6.1

diberikan suatu alat yang disebut dengan sensor posisi, seperti di berikut ini.

Gambar 4.3.2 Cara Kerja Sensor

KesalahaneksiPendet

anPengendali

sensor 1h

2h

1v

3v

2v

0q

1q

12q


102

Tujuan sensor ini yaitu agar tinggi air ( )2h disamakan dengan tinggi air

( )Dh yang sesuai pada sistem bejana, dan jika sudah diperoleh 2hhD = , maka

aliran air yang keluar pada 2B keluar melalui katup 3v . Dan jika diperoleh

hhD ≠ , terjadi dua kasus yaitu

a) Jika 2hhD > , maka terdapat kekurangan tinggi air pada sistem

bejana sehingga katup 1v dikontrol kembali agar dapat diperoleh

2hhD = .

b) Jika 2hhD < , maka terdapat kelebihan tinggi air pada sistem

bejana, sehingga katup 1v dikontrol kembali agar dapat diperoleh

2hhD = .

Dengan cara yang analog pada sistem satu bejana, diperoleh

Ktq =)(1 [ ])()( 2 ththD − (4.3.1)

dimana

K : Konstanta ( 12 −sm )

Dari persamaan (4.2.1) dan persamaan (4.3.1) dengan 1q tidak konstan

diperoleh

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++

21

12

21

212

21

21122

22

)()()(

AAK

thAAdt

tdhAA

AAdt

thd λλλλλ [ ])()( 2 ththD −

)()(2)(2

222

22

thdt

tdhdt


⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

21

1

AAKλ

Dh (4.3.2)

dengan


103

12121

1221

2 λλλ

λλξ

KAA

AA

+

+= dan

21

212 )(AA

Kn

+=

λλω

dengan

ξ : Rasio Peredam yang Baru. nω : Frekuensi Alami yang Baru..

Penyelesaian pada persamaan (4.3.2) terdiri dari dua, yaitu penyelesaian

ruas kiri dan penyelesaian ruas kanan, dimana penyelesaian ruas kiri telah

diuraikan diatas, maka dicari penyelesaian ruas kanan, yakni dengan cara

misalkan

bth h =)(2 (4.3.3)

maka

0)(2 =dt

tdh h dan 0)(2

22

=td

thd h (4.3.4)

Dari persamaan (4.3.3) dan persamaan (4.3.4) maka persamaan (4.3.2)

diperoleh :

)(22 th hnω ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

21

1

AAKλ

Dh

b = Dh ( )⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝

⎛+ KK

21

1

λλλ (4.3.5)

Dari persamaan (4.3.5) maka persamaan (4.3.3) diperoleh

=)(2 th h Dh ( )⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝

⎛+ KK

21

1

λλλ

=)(2 th h WhD (4.3.6)


104

Dengan W

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

K21

1λ

, sehingga penyelesaian (4.3.2) diperoleh.

a) Kasus Diredam Berlebihan bila 1>ξ , mempunyai penyelesaian

yaitu

. tt nnnn ececth

)1(2

)1(12

22

)(−+−−−− +=

ξωωξξωωξ + WhD (4.3.7)

dimana

tt nnnn ecec )1(2

)1(1

22 −+−−−− + ξωωξξωωξ : Tinggi Air 2B Sementara.

WhD : Tinggi Air 2B Stabil.

Persamaan (4.3.7) menyatakan tinggi air pada bejana 2B saat t .


)(2 tV )()1(

2)1(

12


ξωωξξωωξ + 2A WhD (4.3.8)





dibawah ini.

Misalkan

tt nnnn ececth

)1(2

)1(12

22

)(−+−−−− +=

ξωωξξωωξ + WhD Ah =)0(2 ,

Bdt

dh=



105

( )( )

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−−−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=12

1

2

2

2ξ

ξξω

WhAB

cD

n

−−= WhAc D1

( )( )

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−−−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

12

1

2

2

ξ

ξξω

WhABD

n

Untuk ∞→t maka dan =)(2 th WhD dan =)(2 tV WhD

b) Kasus Diredam Kritis bila 1=ξ , mempunyai penyelesaian, yaitu

=)(2 th ( )21).( tcce t

n +− ωξ + WhD (4.3.9)

dimana

( )21).( tcce t

n +− ωξ : Tinggi Air 2B Sementara

WhD : Tinggi Air 2B Pada Stabil.



)(2 tV 2A= ( )21).( tcce t

n +− ωξ + 2A WhD (4.3.10)

Persamaan (4.3.10) menyatakan volume air 2B saat t.




dibawah ini.


106

Misalkan

)(2 th ( )21).( tcce t

n += − ωξ + WhD , Ah =)0(2 , Bdt

dh=

)0(2


( ) nDWhABc ω−+=2 dan −= Ac1 WhD

Untuk ∞→t maka dan =)(2 th WhD dan =)(2 tV WhD

c) Kasus Diredam Berkurang bila 10 << ξ , mempunyai

penyelesaian yaitu

)(2 th ( )( )γωξ −= − tSCe tn )(cos).( + WhD (4.3.11)

dengan

21 ξω −= nS , 22

21 ccC += ,

Cc2sin =γ ,

Cc1cos =γ ,

1

2tancc

=γ

dimana

( )( )γωξ −− tSCe tn )(cos).( : Tinggi Air 2B Sementara

WhD : Tinggi Air 2B Stabil.



)(2 tV 2A= ( )( )γωξ −− tSCe tn )(cos).( + 2A WhD (4.3.12)

Persamaan (4.3.12) menyatakan volume air 2B saat t


107




dibawah ini.

Misalkan

)(2 th ( ) ( )( )tctce nnt

n 22

21

).( 1sin1cos ξωξωωξ −+−= − + WhD ,

Ah =)0(2 , Bdt

dh=

)0(2


( )( )22

1 ξωξω

−

−+=

n

nDWhABc dan −= Ac1 WhD

Sehingga untuk ∞→t maka =)(2 th WhD dan =)(2 tV WhD

Untuk contoh pada ketiga kasus di atas analog dengan contoh yang sudah

dipaparkan sebelumnya, akan tetapi untuk kasus pada bagian ini tidak ada laju

ketinggian pada bejana 2B .

Pada contoh sebelumnya untuk jangka lama tinggi stabil akan mendekati

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2

n

Rω

, sedangkan pada kasus yang terdapat pada bagian ini, untuk jangka lama

tinggi stabil akan mendekati ( WhD ).

Untuk nilai ∞→K maka 02→

K

λ, sehingga ( )[ ] 111 2 →+ Kλ , dan

untuk nilai 0→K maka ∞→K

2λ, sehingga ( )[ ] 011 2 →+ Kλ . Sedangkan


108

untuk nilai ∞→2λ maka ∞→K

2λ, sehingga ( )[ ] 011 2 →+ Kλ , dan untuk

nilai 02 →λ maka 02 →Kλ

, sehingga ( )[ ] 111 2 →+ Kλ .

Jadi agar diperoleh )(2 th sama dengan Dh , dipilih nilai K sebesar mungkin

dan nilai 2λ sekecil mungkin. Akibatnya rasio peredam yang baru akan menjadi

kecil dan frekuensi alami yang baru akan menjadi besar seperti yang dijelaskan

berikut ini.

Untuk ∞→K dan 02 →λ maka ( ) ∞→+ K2λ , sehingga ∞→2nω

yang mengakibatkan ∞→nω . Sedangkan untuk ∞→K dan 02 →λ maka

∞→+ 121 λλλ K dan 01221 →+ AA λλ , yang mengakibatkan 0→ξ .


109

BAB V

PENUTUP

A. Kesimpulan

Untuk dapat memodelkan dua bendungan secara metematika, diasumsikan

bahwa sistem dua bendungan berbentuk seperti sistem dua bejana, dimana sistem

bejana yang satu terletak di atas sistem bejana yang lain. Akan tetapi pada

kenyataannya bentuk bendungan tersebut tidak teratur.

Pemodelan matematika pada satu dan dua sistem bejana merupakan salah

satu penerapan dari persamaan diferensial orde. Dimana untuk sistem dua bejana

mempunyai tiga penyelesaian berdasarkan rasio peredamnya, yakni =ξ 1, 1>ξ ,

dan 10 << ξ

Untuk =ξ 1 tinggi air akan lebih cepat stabil dibandingkan 1>ξ ,

10 << ξ . Sedangkan untuk 1>ξ , dan 10 << ξ membutuhkan waktu yang lebih

lama, akan tetapi untuk rasio peredam 10 << ξ terjadi beberapa gejolak pada air,

di mana gejolak air tersebut menunjukkan kelebihan dan kekurangan air pada

bejana.

Kelebihan dan kekurangan air yang terjadi pada bejana, akan semakin

besar jika rasio peredamnya mendekati nol. Sehingga perlu dilakukan pemilihan

rasio peredam yang sesuai agar dapat meredamkan gejolak pada air tersebut tidak

terlalu lama.

Ada beberapa cara untuk pemilihan rasio peredam akan tetapi yang

dibahas pada penulisan skripsi ini yakni dengan mencari besarnya sudut


110

maksmum pada ketinggian air bejana saat t, membandingkan tinggi air bejana saat

maksimum dengan saat settling time, menggunakan fungsi sinyal kesalahan.

B. Saran

Pemodelan matematika mengenai Sistem Pembangkit Listrik Tenaga Air

yang dibahas pada skripsi ini hanya terbatas pada bagaimana menganalisa input

yang dianggap konstan pada sistem dua bendungan.

Sering sekali dijumpai pada bahwa bendungan terjadi kekurangan air, dan

juga input yang terjadi pada dua bendungan tidak selalu konstan

Oleh sebab itu saya sebagai penulis skripsi tentang Pemodelan Matematika

Pada Sistem Pembangkit Listrik Tenaga Air perlu saran untuk melengkapi lebih

jauh bagaimana menganalisa input yang tidak konstan, dan juga menggunakan

sensor kecepatan dan percepatan pada sistem satu dan dua bendungan.


ii

Daftar Pustaka

Borroli, R.L and Coleman, C.S. 2004. Differential A Modeling Perspective Equation. 2nd

edition. New York.

D’azzo J.J and Houpis, C.H.. 1964. Feedback Control And Synthesis. 2nd edition. New

York.

Ellis, R. and Gullick, D. 1982. Calculus With Analytic Geometry. 2nd edition. San Diego

Giordano, Weir, and Fox. 1997. A First Course in Mathematical Modeling. 2nd edition

New York .

Halliday, D dan Resnick, Robert.. 1995. Fisika. Erlangga. Jakarta,

Ogata, K, 1997, Modern Control Engineering. 2nd edition. New Jersey Prentice Hall

Rice and Strange. 1994. Ordinary Differential Equation With Application. 3rd edition

California.

Ross, S.L., 1997, Differential Equation, 2nd edition, New York


plagiat merupakan tindakan tidak terpuji … · bendungan mempunyai manfaat yang sangat berguna...

Documents