pertemuan 08 transformasi z

1

PERTEMUAN 08

TRANSFORMASI Z

8.1 PENDAHULUAN

Pada bagian-bagian sebelumnya, berbagai metode telah diselidiki untuk merumuskan

model-model dari berbagai sistem linear dan untuk menganalisis perilakunya. Pada bab 2,

telah dilukiskan sebuah sistem waktu-diskret linear yang takubah-waktu dengan

menggunakan persamaan beda, barisan tanggapan-impuls, dan rumusan variabel-

keadaan yang bersangkutan. Untuk tiap-tiap deskripsi ini, telah dikembangkan pula

metode-metode guna menghitung keluaran sistem bagi suatu masukan tertentu, dan

untuk menghitung tanggapan frekuensi dari sistem. Metode-metode ini kemudian

diperluas pada bab 3 ke deskripsi persamaan diferensial, tanggapan impuls dan variabel-

keadaan yang bersangkutan dari sebuah sistem waktu-kontinu linear yang takubah-

waktu. Pada bagian ini, bahasan dipusatkan pada perhitungan mengenai keluaran sistem

bagi suatu masukan tertentu dan pada tanggapan frekuensi. Seperti halnya dengan

rumusan-rumusan waktu-diskret, didapati pula suatu hubungan yang erat antara berbagai

deskripsi sistem ini. Bagi kedua tipe sistem ini tercatat bahwa ketiga cara pendekatan

mengandung satu faktor yang sama, yakni: semuanya merupakan deskripsi kawasan

waktu (time domain) dari sebuah sistem linear. Parameter bebasnya dapat berupa suatu

variabel diskret k atau sebuah parameter kontinu t.

Sekarang perhatian beralih ke deskripsi kawasan-transformasi (transform domain)

dari sistem-sistem linear. Di sini akan didapati bahwa jika sinyal-sinyal waktu dalam

sistem ditransformasikan ke bentuk lainnya, maka hubungan-hubungannya seringkali

dapat dinyatakan dalam bentuk yang lebih sederhana daripada yang sebelumnya. Pada

bagian ini dan bagian-bagian berikutnya, akan dikembangkan suatu kalkulus transformasi

bagi sistem-sistem waktu-diskret dan waktu-kontinu. Salah satu akibat penting dari

deskripsi kawasan-transformasi dari sistem-sistem linear adalah bahwa operasi konvolusi

(convolution operation) dalam kawasan-waktu dialihkan menjadi suatu operasi perkalian

dalam kawasan-transformasi. Prosedur ini analog dengan menggantikan perkalian dua

buah bilangan dengan penjumlahan logaritma-logaritmanya. Pola dari prosedur ini

diperlihatkan secara skematis pada gambar 8.1. Transformasi-transformasi Laplace atau

Fourier yang telah lazim dikenal, digunakan dalam kawasan waktu-kontinu. Sedangkan

bagi sistem-sistem waktu-diskret, maka transformasi yang tepat adalah transformasi-Z.

Metode-metode transformasi sangat bermanfaat dalam mempelajari sistem-sistem

linear takubah-waktu. Telaah terhadap sistem-sistem ini disederhanakan oleh kalkulus

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB Dr. Ir. Hamzah Hillal M.ScSistem Linier

2

transformasi dengan:

a. Memberikan intuisi yang tidak nyata dalam pemecahan kawasan waktu.

b. Mengikutsertakan syarat-syarat awal secara otomatis dalam prose pemecahan.

c. Menyederhanakan proses pemecahan dari berbagai persoalam menjadi sekedar

melihat saja pada tabel, seperti halnya yang dilakukan pada logaritma sebelum

ditemui kalkulator tangan.

Namun demikian, salah satu kekurangan dari pemecahan-pemecahan kawasan

transformasi ini, sekurang-kurangnya secara mendidik, tampaknya bahwa hakikat fisis

dari persoalan dalam kawasan transformasi seringkali terlupakan. Proses pemecahannya

dapat menjadi suatu proses ibarat "menghidupkan mesin belaka". Kecenderungan ini

tidaklah menguntungkan, karena atribut-atribut fisis yang bermanfaat seringkali terlupakan

dari persoalan.

Salah satu sasaran utama dari telaah ini adalah mengembangkan kesadaran

mahasiswa terhadap permasalahan apa yang tersangkut, dan dalam pengertian yang

umum, dalam menerapkan metode transformasi. Untuk alasan ini, yang pertama diselidiki

adalah transformasi-Z, yang mana kemungkinan besar para pembaca sedikit mempunyai

pemahaman pendahuluan mengenainya. Kalkulus transformasi telah dikenal dalam teori

probabilitas sebagai metode "fungsi penurun-momen" (moment-generating function).

Meskipun disebut kawasan waktu-diskret, namun indeksnya tidak perlu ditafsirkan

sebagai waktu. Dalam berbagai penerapan fisis, tafsiran-tafsiran yang lainnya mungkin

lebih sesuai. Sebagian besar dari barisan bilangan yang ditinjau di sini adalah nol untuk

suatu indeks k yang lebih kecil daripada nol. Namun demikian pengembangannya tidak

terbatas pada barisan-barisan satusisi ini. Telah dipilih definisi transformasi-Z dalam

pangkat-pangkat negatif dari z, sesuai dengan literatur keteknikan mengenai sistem-

sistem dan pemrosesan sinyal-sinyal. Sedangkan di pihak lain, berbagai publikasi dalam

matematika dan geofisika seringkali menggunakan pangkat positif dari z. Pengalihan dari

definisi yang satu ke yang lainnya menyangkut substitusi sederhana 1/z bagi z.

8.2 TRANSFORMASI-Z

Bagi suatu barisan berhingga x yang diketahui, sebuah fungsi X(z) dari variabel kompleks

z didefinisikan dengan membentuk polinom:

(8.1)


3

Fungsi X(z) disebut fungsi penurun (generating function) atau transformasi-Z dari

barisan x. (Seharusnya dapat dibedakan antara fungsi X(.) dan nilai yang diambil fungsi

ini untuk suatu z tertentu. Namun demikian, berdasarkan pada cara penulisan baku, maka

akan diikuti praktek yang telah dianut dengan menggunakan X(z) untuk mengartikan

keduanya). Pada (8.1), indeks-indeks awal dan akhir dari barisan, yakni l dan m, dapat

merupakan sebarang bilangan bulat mulai dari -∞ hingga +∞. Contoh berikut melukiskan

perhitungan yang digunakan untuk memperoleh transformasi-Z bagi beberapa barisan

sederhana.

Contoh 8.1: Andaikan barisan x adalah barisan berhingga:

Dengan menggunakan (8.1), maka transformasi-Znya adalah:

Contoh 8.2: Tinjau transformasi-Z dari barisan x yang didefinisikan oleh:

Sekali lagi dengan menggunakan definisi (8.1), terlihat bahwa:

X(z) dapat diuraikan dalam suatu deret pangkat dalam z (dengan beberapa

metode) untuk menemukan kembali barisan x. Tetapi, dalam kasus-kasus di mana {xk} tak

nol untuk kedua indek-indeks positif dan negatif, maka sangatlah perlu untuk disadari

bahwa X(z) sendiri tidak dapat ditentukan secara unik (unique) dari barisan x. Alasannya

adalah bahwa kita dapat menguraikan X(z) ke dalam suatu deret pangkat dalam lebih

daripada satu cara jika dipunyai kebebasan waktu meninjau barisan {xk} yang dapat

bernilai tak nol bagi k yang positif ataupun negatif. Sebagai contoh, tinjau barisan-barisan

x dan y yang didefinisikan dalam (8.2) dan (8.3).

(8.2)

(8.3)

Transformasi-Z dari x adalah:


4

(8.4)

Transformasi-Z dari y adalah: (8.5)

Dengan membandingkan (8.4) dan (8.5), terlihat bahwa barisan-barisan dari (8.2)

dan (8.2) memiliki transformasi-Z yang sama. Hasil ini memang membingungkan secara

sepintas karena ini berarti bahwa transformasi-Z dan barisan-barisan yang bersangkutan

tidaklah berkaitan secara unik. Permasalahan ini dapat dibetulkan dengan mencirikan

daerah konvergensi (region of convergence) untuk mana jumlah-jumlah dalam (8.4) dan

(8.5) konvergen mutlak. Kelak akan dilihat bahwa suatu X(z) tertentu dan daerah

konvergensinya mencirikan secara unik barisan {xk} yang menghasilkan polinom X(z).

Daerah konvergensi dari X(z) adalah himpunan dari bilangan kompleks z untuk

mana jumlah ada: yakni, himpunan z untuk mana X(z) memiliki nilai berhingga.

Sebagai contoh, dalam (8.4), X(z) konvergen mutlak bagi atau .

Begitupula, pada (8.5), Y(z) konvergen mutlak bagi atau . Pada bagian

berikut, akan diperlihatkan bahwa mengetahui akan X(z) dan daerah konvergensinya

tidaklah menentukan secara unik barisan {xk} yang bersangkutan. Jika perhatian hanya

ditujukan pada barisan-barisan satu-sisi, yakni, barisan-barisan yang hanya tak nol bagi

indeks-indeks yang positif atau negatif saja, maka daerah konvergensinya tidak

diperlukan untuk mencirikan {xk} secara unik.

Perlu diperhatikan bahwa beberapa pengarang mendefinisikan transformasi-Z dari

sebuah barisan {xk} sebagai berikut :

(8.6)

Transformasi-Z nya (8.6),

seperti didefinisikan oleh (8.1) dapat

diperoleh dengan mensubstitusikan dalam (8.1) dan dalam pernyataan yang

mendefinisikan daerah konvergensinya. Sebagai contoh, jika ,

maka

4.3 KONVERGENSI DARI TRANSFORMASI-Z


5

Tinjau transformasi-Z dari barisan x di mana: . Adalah penting untuk

mengetahui daerah konvergensi mutlak dari X(z) dalam bidang-z kompleks. Yakni,

diinginkan untuk menentukan nilai-nilai kompleks dari z untuk mana memiliki

suatu nilai yang berhingga. Jika z dinyatakan dalam bentuk kutub (polar) sebagai

maka diperoleh:

(8.7)

Agar jumlah tak berhingga hasilnya berhingga, maka tiap-tiap

jumlah pada (8,7) haruslah berhingga. Tiap-tiap jumlah ini dapat dijamin berhingga,

asalkan dapat ditemukan tiga buah bilangan positif M, R+ dan R- sedemikian rupa

sehingga (disini dianggap bahwa R+

dan R- dipilih sedemikian rupa sehingga batasnya ketat). Kemudian batas-batas ini di-

substitusikan ke dalam (8.7) untuk memperoleh:

(8.8)

Jumlah-jumlah dalam (8.8) adalah berhingga jika dan hanya jika dalam

jumlah pertama dan dalam jumlah kedua. Yakni, jumlah yang menyatakan X(z)

konvergen mutlak untuk semua z dalam daerah cincin . Tentu saja, jika

, maka jumlahnya tak konvergen mutlak untuk setiap nilai z.

Daerah konvergensi ini diperlihatkan pada gambar 8.2. Lingkaran bagian dalam

membatasi suku-suku dalam pangkat-pangkat negatif dari z agar tidak mencapai titik asal.

Lingkaran bagian luar membatasi suku-suku dalam pangkat-pangkat positif dari z agar

tidak memiliki nilai-nilai yang besar.

Akan ditinjau beberapa contoh dari daerah konvergensi bagi berbagai jenis

barisan.

Kasus a: Barisan-barisan yang panjangnya berhingga: Tinjaulah barisan:

Dalam kasus ini, adalah sebuah polinom


6

dalam z yang konvergen untuk semua z kecuali untuk z = 0 jika b > 0 dan untuk z = ∞ jika

a < 0. Sebagai contoh, andaikan bahwa:

maka , yang mana adalah konvergen mutlak untuk semua z

kecuali untuk z = 0 dan z =

Kasus b: Barisan-barisan yang panjangnya semi-tak berhingga: Pertama tinjaulah barisan

dengan transformasi-Z, . Di sini X(z) konvergen mutlak untuk

semua z yang sedemikian rupa sehingga , kecuali untuk titik z = ∞ jika a<0.

Sebagai contoh, andaikan bahwa untuk k ≥ 0 dan xk = 0 untuk k < 0. Maka:

(8.9)

Disini, , dan karena itu X(z) konvergen mutlak untuk semua

Sebaliknya, akan ditinjau suatu barisan satu sisi yang meluas balik ke k = -∞.

Andaikan bahwa dipunyai barisan dengan . Dalam hal ini,

X(z) konvergen mutlak untuk-semua z sedemikian rupa sehingga , kecuali untuk

titik z = 0 jika b > 0. Sebagai contoh, misalkan untuk . dan .

Maka sekarang:

(8.10)

yang mana konvergen mutlak untuk sernua < 2 karena R+ = 2.

Kasus c: Barisan-barisan yang panjangnya Tak berhingga: Baiklah sekarang sebuah

barisan {xk} yang tak nol bagi semua k diselidiki. Dalam kasus ini, X(z) mengandung

pangkat-pangkat negatif dan positif dari z. Daerah konvergen mutlaknya adalah yang

lebih umum, yakni tak nol untuk semua k. Dalam hal ini, X(z) mengandung

yang negatif dan positif keduanya, di mana sekali lagi R- ditentukan oleh kelakuan dari xk

untuk k > 0 kelakuan dari xk untuk k < 0 (koefisien-koefisien dari pangkat-pangkat positif

z). Sebagai contoh, misalkan dan . Disini dan .


7

Jadi diharapkan bahwa X(z) konvergen mutlak untuk . Dan memang, didapati

bahwa:

(8.11)

Hasil-hasil ini dapat dilihat dari pandangan yang lebih umum jika disadari bahwa

transformasi-Z dari suatu jumlah barisan-barisan adalah jumlah dari transformasi-

transformasi yang bersangkutan, dengan suatu daerah konvergensi yang terdiri atas nilai-

nilai z untuk mana masing-masing transformasi ini semuanya konvergen mutlak. Dalam

istilah teori himpunan, daerah konvergen mutlak dari suatu jumlah transformasi-

transformasi adalah irisan (intersection) dari masing-masing daerah konvergensinya.

Contoh 8.4: Misalkan , maka

dimana m = - k, n =k/2 dan p = (k-1)/2. Jumlah yang pertama memiliki bentuk rumus

dengan daerah konvergen mutlak (region of absolute covergence,

ROC) ; yang kedua adalah dengan daerah konvergensi mutlak

dan yang ketiga adalah

dengan daerah konvergensi

mutlak . Jadi didapati bahwa:

dengan daerah konvergensi mutlak


pertemuan 08 transformasi z

Documents