Perspective (Perspektif)

A. Pendahuluan

Geometri Euclid meliputi gambar yang bisa digambar dengan “Straightedge” dan jangka,

meskipun banyak teorema – teorema tentang garis lurus saja. Apakah ada banyak gambar yang

bisa digambar dengan “Straightedge” saja? Ingat “Straightedge” tidak terdapat nilai – nilai atau

angka. Jadi, dengan “Straightedge” saja, kita tidak bisa menggambar persegi, segitiga sama sisi,

atau gambar lain yang melibatkan ruas garis yang sama. Masih ada sesuatu yang menarik yang

bisa kita gambar, yaitu gambar perspektif misalnya menggambar lantai ubin seperti yang

ditunjukkan pada gambar 1.

Gambar 5.1: Perspektif pandangan lantai ubin

Gambar ini menarik karena hal itu nampaknya jelas bahwa semua ubin digambar

berukuran sama. Jadi, meskipun kita tidak bisa menggambar ubin yang benar – benar sama, kita

bisa menggambar ubin yang kelihatan sama. Kami akan menjelaskan bagaimana menyelesaikan

perspektif gambar yang dilihat pada bagian 2. Penyelesaian itu menghantarkan kita ke bentuk

baru geometri – geometri bayangan yang disebut proyeksi geometri.

B. Perspektif

1. Perspektif Gambar

Suatu ketika diabad ke-15, seniman Italia menemukan cara menggambar adegan tiga

dimensi dalam perspektif yang benar. Gambar 2 dan 3 menggabarkan kemajuan besar dalam

realisme keterampilan yang dicapai dengan gambar yang digambar sebelum dan setelah

penemuan itu.

Gambar 3: St Jerome di ruang kerjanya, oleh Albrecht D ¨ urer

Gambar 2: Kelahiran St Edmund, oleh seorang seniman yang tidak dikenal

Orang – orang Italia menggambarkan ubin dengan metode yang disebut costruzione

legittima (konstruksi yang sah), pertama kali diterbitkan oleh Leon Battista Alberti pada tahun

1436. Tepi bawah gambar bertepatan dengan garis tepi genteng, dan setiap garis horizontal

lainnya dipilih sebagainya horizon. Kemudian lukis garis dari titik spasi sama pada tepi bawah

ke titik horizon menggambarkan kolom paralel ubin tegak lurus tepi bawah (gambar 4). Garis

horizontal lain didekatkan bagian bawah melengkapi baris pertama dari ubin.

Gambar 4: Awal yang legittima costruzione

Masalah sebenarnya datang berikutnya. Bagaimana kita menemukan baris horizontal

yang benar untuk menggambarkan 2, 3, 4, ... baris ubin? Jawabannya sederhana : gambar

diagonal ubin dibaris bawah (ditunjukkan pada gambar 5). Diagonal harus melintasi kolom

berturut – turut di sudut ubin ke-2, ke-3, ke-4, ... baris. Maka baris ini bisa dibangun dengan

menggambar garis horizontal melewati perlintasan.

Gambar 5: Melengkapi legittima costruzione

2. Menggambar dengan Straightedge saja

Construzione legittima memberikan manfaat dari sesuatu visual yang jelas tetapi fakta

fakta matematis yang misterius bahwa garis paralel pada umumnya tidak terlihat paralel, namun

tampaknya bertemu dihorizon. Intinya dimana garis – garis paralel muncul bertemu yang disebut

“titik hilang” oleh seniman dan titik – titik di tak terhingga, disebut garis tak berhingga. namun,

legittima costruzione tidak mengambil keuntungan penuh dari titik di tak terhingga. Ini

melibatkan beberapa kesejajaran yang benar – benar ditarik paralel, jadi kita membutuhkan

keduanya “Straightedge” dan jangka seperti yang digunakan dalam bab 1. Konstruksi juga

memerlukan pengukuran untuk menyusun titik berjarak yang sama pada garis yang bawah

gambar, dan ini juga membutuhkan jangka. Apakah mungkin untuk menarik pandangan

perspektif dari lantai ubin dengan “Straightedge” saja? Tentu saja semua orang perlu untuk

memulai adalah horizon dan ubin ditempatkan miring. Ubin dibuat oleh dua pasang garis paralel,

yang hanya pasangan yang bertemu di horizon (gambar 6) horizon.

Horizon

Gambar 6: The ubin pertama

Kami kemudian menarik diagonal ubin ini dan memperluasnya ke horizon, memperoleh

titik di tak berhingga dari semua diagonal sejajar yang pertama.

Gambarlah diagonal dari ubin pertama,

diperluas ke horizon

Perluas diagonal kedua

ubin ke horizon

Gambarlah sisi ubin kedua,

melalui persimpangan baru

Gambarlah sisi ubin lebih,

melalui persimpangan baru

Gambar 7: Membangun lantai ubin

3. Aksioma bidang proyeksi dan model – modelnya

Menggambar lantai ubin dengan “Straightedge” saja membutuhkan horizon garis yang

tak berhingga. Terlepas dari persyaratan ini, konstruksi bekerja karena hal – hal tertentu tetap

sama dalam setiap bidang pendangan :

Garis lurus tetap lurus

Persimpangan tetap persimpangan

Garis paralel tetap paralel atau bertemu di horizon.

Aksioma untuk bidang proyeksi :

1) Setiap dua “titik” terkandung dalam “garis” yang khusus.

2) Setiap dua “garis” memiliki “titik” khusus.

3) Ada empat “titik”, ada tiga diantaranya berada tidak dalam “segaris”

Bidang proyeksi yang nyata

Manusia tidak pernah bisa melihat semua horizon sekaligus, jadi mungkin tidak konsisten

untuk menganggap bahwa semua paralel bertemu. Keraguan akan terhalau oleh model berikut,

atau interpretasi, dari aksioma untuk bidang proyeksi. Model ini disebut RP2 (Real Project

Plane), dan memberikan arti matematika untuk istilah titik, garis, dan bidang.

Titik – titik P1, P2, P3, ... dalam bidang z = -1 bergabung ke mata dengan garis L1, L2, L3, .....,

melalui O, dan Pn sebagai titik cenderung tak berhingga. Baris Ln cenderung kearah horizon.

4. Koordinat Homogen

Sebuah bidang melalui titik O memiliki persamaan linier dari bentuk ax + by + cz = 0,

disebut persamaan homogen). Dua garis yang diberikan oleh dua persamaan :

Ax1 + bx2 + C1z = 0

Ax2 + bx3 + C2z =0

Dan kita menemukannya umumnya “titik dengan memecahkan persamaan untuk x,y, can z.

Proyeksi Ruang

Sangat mudah untuk menggeneralisasi koordinat homogen untuk quadruples (w, x, y, z)

dan karenanya untuk menentukan RP3 ruang tiga dimensi yang proyeksi nyata. Memiliki

"titik," "garis," dan "bidang" yang didefinisikan sebagai berikut (kita menggunakan notasi

vektor untuk mempersingkat definisi):

o Sebuah "titik" adalah garis yang melalui O di R4, yaitu, satu set quadruples tu, di mana u =

(w, x, y, z) adalah quadruple tertentu bilangan real dan t melalui semua bilangan real.

o Sebuah "garis" adalah bidang yang melalui O di R4, yaitu, satu set t1u1 + t2u2 dimana u1 dan

u2 titik linear independen R4 dan t1 dan t2 melalui semua bilangan real.

o Sebuah "bidang" adalah ruang tiga-dimensi melalui O di R4, yaitu, set t1u1 + + t2u2 t3u3, di

mana u1, u2, dan u3 titik bebas linear dari R4 dan t1, t2, t3 dan melalui semua bilangan real.

5. Proyeksi

Ruang Tiga-dimensi Euclidean R3, di mana garis melalui O adalah "titik" dari RP2 dan

bidang melalui O adalah "garis" dari RP2, juga mengandung bidang lain. bidang P masing-

masing tidak melewati O dapat dianggap sebagai perspektif pandangan dari RP2 bidang

proyeksi, pandangan bahwa berisi semua kecuali satu "garis" dari RP2. Setiap titik P sesuai

dengan garis ("penglihatan") melalui O, dan maka ke "titik" dari RP2. Satu-satunya baris sampai

O yang tidak memenuhi P adalah atas paralel, dan ini membuat garis di tak terhingga atau

horizon P, seperti yang telah kita lihat dalam kasus bidang z = -1 dalam Bagian 3. jika P1 and P2

adalah dua bidang tidak melewati O kita dapat memproyeksikan P1 ke P2 dengan mengirimkan

masing-masing P1 titik P1 ke P2 titik P2 berbaring di baris yang sama melalui O sebagai P1

(Gambar 9). Geometri adalah RP2 disebut "proyeksi" karena merangkum geometri dari seluruh

bidang terkait dengan proyeksi.

Proyeksi garis proyeksi

Proyeksi dari satu bidang P1 ke P2 bidang lain menghasilkan gambar P1 yang umumnya

terdistorsi dalam beberapa cara. Misalnya, grid kotak pada P1 dapat dipetakan ke pandangan

perspektif dari grid yang terlihat seperti Gambar 1. Namun demikian, garis lurus tetap lurus di

bawah proyeksi, sehingga ada batas untuk jumlah distorsi pada gambar. Untuk lebih memahami

sifat dan ruang lingkup distorsi proyeksi, dalam bab ini kita menganalisis pemetaan dari garis

proyeksi diperoleh dengan proyeksi.

Sebuah cara yang efektif untuk melihat distorsi yang dihasilkan oleh proyeksi dari satu

baris L1 ke L2 jalur lain adalah untuk menandai serangkaian titik sama spasi pada L1 dan titik-

titik gambar yang sesuai pada L2. Anda dapat menganggap gambar titik sebagai "bayangan" dari

titik pada L1 oleh sinar cahaya dari titik proyeksi P, kecuali bahwa kami memiliki lini proyeksi

melalui P, bukan sinar, sehingga itu bisa tampak seolah-olah "bayangan" di L2 muncul

menjelang titik pada L1.

(Lihat Gambar 12, namun ingatlah bahwa garis proyeksi benar-benar melingkar, sehingga selalu

mungkin untuk melewati P, ke titik di L1, kemudian ke titik pada L2, dalam urutan itu.)

Dalam kasus yang paling sederhana, di mana L1 dan L2 sejajar, titik-titik gambar yang

juga sama spasi. Gambar 5.10 menunjukkan kasus proyeksi dari titik di tak terhingga, di mana

garis dari titik pada L1 gambar mereka pada L2 adalah paralel dan karenanya titik pada L1 hanya

diterjemahkan jarak konstan l. Jika kita memilih asal pada setiap baris dan menggunakan unit

yang sama panjang pada masing-masing, maka proyeksi dari infinity mengirimkan x masing-

masing pada L1 untuk x + l pada L2.

Ketika L1 diproyeksikan dari titik P yang terbatas, maka jarak antara titik diperbesar oleh

faktor konstan k? = 0. Jika kita mengambil P on line melalui titik nol pada L1 dan L2, maka

proyeksi mengirimkan x masing-masing pada L1 untuk kx pada L2 (Gambar 14). Perhatikan

juga bahwa proyeksi ini mengirimkan x pada L2 ke x / k pada L1, sehingga faktor pembesaran

bisa k apapun 0.

Ketika L1 dan L2 tidak paralel distorsi yang disebabkan oleh proyeksi lebih ekstrim.

Gambar 15 menunjukkan bagaimana jarak titik berubah ketika L1 diproyeksikan ke garis tegak

lurus dari titik L2 O sama jauhnya dari keduanya. Gambar 16 adalah didekatkan dari gambar

garis L2, menunjukkan bagaimana titik-titik gambar "menyatu" ke titik yang sesuai dengan garis

horizontal melalui O (yang sesuai dengan titik di tak terhingga pada L1).

Kita mengambil O = (0,0) seperti biasa, dan kita kira L1 yang sejajar dengan sumbu x-axis,

yang L2 sejajar dengan sumbu y-axis, dan bahwa titik pada L1 adalah unit jarak terpisah.

Kemudian garis dari O ke titik pada x = n pada L1 memiliki kemiringan 1 / n dan karena itu

memenuhi L2 garis di y = 1 / n. Dengan demikian peta dari L1 ke L2 adalah fungsi mengirimkan

x untuk y = 1 / x. Peta ini menunjukkan jenis yang paling ekstrim dari distorsi yang disebabkan

oleh proyeksi, dengan titik di tak terhingga pada L1 dikirim ke titik y = 0 pada L2. Setiap

kombinasi dari proyeksi karena itu merupakan kombinasi dari fungsi 1 / x, kx, dan x + l, yang

disebut menghasilkan transformasi. Kombinasi dari transformasi adalah justru menghasilkan

fungsi bentuk f (x) = dcx

bax

, Dimana ad-bc 0,

6. Fungsi Pecahan Linear

Fungsi mengirimkan x untuk 1 / x, kx, dan x + l adalah salah satu fungsi yang disebut

linear pecahan, yang masing-masing memiliki bentuk

f (x) = dcx

bax

Dimana ad-bc 0.

Kondisi ad-bc 0 memastikan bahwa f (x) tidak konstan. Kekonstanan terjadi hanya jika ax +

b = )( dcx

c

a

dalam hal ini, ad-bc = 0 karena b

c

ad

dengan menulis :

dcx

adbcc

dcxc

a

dcx

c

adb

c

adax

asdcx

bax

)(

1)(

kita menemukan bahwa setiap fungsi pecahan linear dengan c 0 mungkin ditulis dalam

bentuk

f (x) = )( dcxc

adbc

c

a

A,b

Sekarang membuktikan sebaliknya: Setiap urutan proyeksi garis bilangan menyadari

fungsi pecahan linear. Dari bagian sebelumnya, kita tahu hal ini berlaku untuk proyeksi garis ke

garis paralel, sehingga cukup untuk menemukan fungsi diwujudkan dengan proyeksi garis ke

sebuah berpotongan garis. Pertama-tama kita mengambil kasus di mana garis tegak lurus

(Gambar 17). Kasus ini generalizes bahwa dari Gambar 15, dengan memungkinkan proyeksi dari

sembarang titik (a, b).

Untuk menemukan dimana t titik pada sumbu x-axis melalui pada sumbu y-axis, kami

mempertimbangkan kemiringan garis melalui garis t dan (a, b). Antara titik-titik ini, kenaikan ini

b dan melalui a-t, sehingga kemiringan adalah ta

b

Antara t dan f titik (t) pada sumbu y-axis,

melalui t dan rise-f (t), maka, f (t) = at

bt

, Yang merupakan fungsi pecahan linear.

Untuk kasus umum dari garis berpotongan, kita mengambil satu baris menjadi

x-axis lagi, dan lainnya menjadi garis y = cx. Sekali lagi kita memproyeksikan titik

t pada sumbu x-dari (a, b) ke baris lainnya, dan untuk menemukan di mana t, pertama kita

menemukan persamaan garis melalui t dan (a, b). Menyamakan kemiringan dari t ke (a, b)

dengan kemiringan antara sembarang titik (x, y) pada baris dan (a, b), kita temukan persamaan :

xa

yb

ta

b

Baris ini memenuhi garis y = cx dimana

xa

cxb

ta

b

dan karenanya dimana,

x = bacct

bt

Yang juga merupakan fungsi pecahan linear dari t.

Dengan demikian, setiap proyeksi tunggal garis dapat diwakili oleh linear

fraksional fungsi jarak sepanjang garis. Sangat mudah untuk memeriksa (Latihan

5.6.2) bahwa hasil penyusunan fungsi pecahan linear pecahan.

Oleh karena itu, urutan terbatas proyeksi diwakili oleh fungsi pecahan linier.

Membagi dengan nol

Anda ingat dari SMA aljabar bahwa pembagian dengan nol tidak valid

operasi, karena mengarah dari persamaan yang benar, seperti 3 × 0 = 2 × 0, untuk

palsu yang, seperti 3 = 2. Namun demikian, berhati-hatilah mengendalikan situasi,

diperbolehkan, dan bahkan mencerahkan, untuk membagi dengan nol. Salah satu situasi seperti

dalam pemetaan proyeksi dari garis proyeksi.

Fungsi pecahan linear f (x) = dcx

bax

kami telah digunakan untuk menggambarkan

pemetaan proyeksi garis sebenarnya cacat jika variabel x hanya melalui R himpunan bilangan

real. Sebagai contoh, fungsi f (x) =1 / x kita gunakan untuk memetakan titik dari L1 baris ke titik

dari L2 baris sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 15 tidak pada kenyataannya memetakan

semua titik. Hal ini tidak dapat mengirim titik x = 0 di mana saja, karena 1/0 tidak terdefinisi,

juga tidak bisa mengirim setiap titik

untuk y = 0, karena 0 1 / x untuk setiap x nyata. Kecacatan ini diperbaiki oleh memperluas

fungsi f (x) = 1 / x untuk objek baru x = ∞, dan menyatakan bahwa 1 / ∞ = 0 dan 1/0 = ∞. Obyek

baru ∞ tidak lain dari titik di tak terhingga dari L1 baris, yang seharusnya untuk memetakan ke 0

titik L2. Demikian juga, jika 1/0 = ∞, dengan 0 titik L1 dikirim ke titik ∞ pada L2, karena

seharusnya. Dengan demikian, fungsi f (x) = 1 / x bekerja dengan baik, bukan pada garis real R,

namun pada baris proyeksi nyata R ∪ {} ∞-garis bersama-sama dengan titik di tak terhingga.

Aturan 1 / ∞ = 0 dan 1/0 = ∞ hanya mencerminkan fakta ini. Ini adalah sama dengan fungsi

pecahan linear f (x) = dcx

bax

Penyebut dari fraksi adalah 0 ketika x =-d / c, dan nilai yang

benar dari fungsi dalam hal ini adalah ∞. Sebaliknya, tidak ada nilai riil x memberikan f (x) nilai

a / c, tapi x = ∞ tidak. Untuk alasan ini, setiap fungsi f (x) = dcx

bax

dengan ad-bc 0 peta garis proyeksi nyata R {∞}ke dirinya sendiri. Peta juga merupakan

salah satu-ke-satu.

Garis proyeksi nyata RP1

Kita sekarang dapat memberikan definisi aljabar dari objek kita disebut "garis proyeksi

nyata”dalam Bagian 3. Ini adalah himpunan R{∞}bersama-sama dengan semua

fungsi pecahan linier pemetaan R{∞} ke dirinya sendiri. Kami menyebutnya set ini,

dengan fungsi-fungsi padanya, RP1 proyeksi garis real.

Himpunan R{∞} tentu memiliki titik yang kami butuhkan untuk proyeksi fungsi garis

adalah untuk memberikan R{∞} "elastisitas" dari garis yang mengalami

proyeksi. R garis biasa tidak sangat "elastis" dalam pengertian ini. Sekali

kami telah memutuskan titik mana adalah 0 dan titik mana adalah 1, nilai numerik

dari setiap titik pada R ditentukan secara unik. Sebaliknya, posisi dari

titik pada RP1 tidak ditentukan oleh posisi 0 dan 1 saja.

Misalnya, ada proyeksi yang mengirim 0 ke 0, 1 ke 1, tapi 2 sampai 3.

Namun demikian, ada kendala pada "elastisitas" dari RP1. Jika 0 ke 0,

1 ke 1, dan 2 ke 3, katakanlah, maka tujuan dari setiap titik x lainnya

adalah ditentukan khusus.

7. Lintas-rasio

Proyeksi visual dapat mengubah panjang dan bahkan rasio panjang, karena panjang yang

sama sering muncul tidak sama di bawah proyeksi. Namun, kita dapat mengenali bahwa Gambar

1 adalah gambar ubin yang sama, meskipun mereka tidak sama dalam ukuran dan bentuk.

Beberapa petunjuk untuk kesetaraan mereka harus dipertahankan, tapi apa? Hal ini tidak bisa

panjang, tidak bisa menjadi rasio dari panjang, tetapi, anehnya, itu bisa menjadi suatu rasio dari

rasio - rasio, yang disebut cross-rasio.

Lintas-rasio kuantitas terkait dengan empat titik pada baris. Jika empat titik memiliki

koordinat p, q, r, dan s, kemudian lintas-rasionya adalah fungsi teratur 4-tuple (p, q, r, s)

didefinisikan oleh

.)/()(

)/()(

)/()(

)/()(

psqr

qsprsebagaiditulisjugabisayang

qsqr

pspr

Lintas-rasio diawetkan dengan proyeksi. Untuk menunjukkan hal ini, itu sudah cukup untuk

menunjukkan bahwa itu diawetkan oleh tiga transformasi pembangkit dari mana semua peta

pecahan linear pada bagian sebelumnya:

1. Peta mengirimkan x ke x l.

Berikut nomor p, q, r, s diganti dengan pl, ql, rl, sl, masing. Hal ini tidak mengubah lintas-

rasio karena istilah l membatalkannya dengan pengurangan.

2. Peta mengirimkan x untuk kx.

Berikut nomor p, q, r, s diganti dengan kp, kq, kr, ks, masing-masing. Hal ini tidak

mengubah lintas-rasio karena istilah k membatalkannya dengan divisi.

3. Peta mengirimkan x untuk 1 / x.

Berikut nomor p, q, r, s diganti dengan 1/p, 1/q, 1/r, 1/s, Masing-masing, sehingga Lintas-

rasio

.)/()(

)/()(

psqr

qspr

digantikan oleh :

))((

))((

))((

))((

.

)11

)(11

(

)11

)(11

(

psqr

qspr

sprq

sqrp

ps

sp

qr

rq

qs

sq

pr

rp

psqr

qspr

Apakah lintas-rasio yang terlihat?

Jika kita mengambil empat titik sama spasi p = 0, q = 1, r = 2, dan s = 3 pada

baris, maka lintas-rasionya :

)/()(

)/()(

psqr

qspr

= 3

4

13

22

x

x

Oleh karena itu, setiap gambar proyeksi dari titik-titik ini juga memiliki lintas-rasio 4/3.

8. Hal khusus apa tentang Lintas-rasio?

Di sisa buku ini, kita menggunakan singkatan :

[P, q, r, s] = )/()(

)/()(

psqr

qspr

untuk lintas-rasio dari empat titik p, q, r, s, diambil dalam urutan itu.

Kami telah menunjukkan bahwa lintas-rasio adalah invarian dari pecahan linear

transformasi, tapi jelas bukan satu-satunya. Contoh lainnya invariants

adalah (lintas-rasio) 2 dan lintas-rasio +1. Lintas-rasio khusus karena

itu adalah invarian mendefinisikan transformasi linear pecahan. Bahwa

transformasi linear pecahan yang justru transformasi

dari RP1 yang mengawetkan lintas-rasio. (Dengan demikian, lintas-rasio mendefinisikan

transformasi pecahan linier cara yang panjang mendefinisikan isometries.)

Kami membuktikan fakta ini antara lain beberapa tentang transformasi linear pecahan

dan lintas-rasio.

Keempat titik penentuan. Mengingat setiap tiga titik p, q, r RP1, setiap

titik lain x RP1 secara khusus ditentukan oleh rasio lintas-nya [p, q, r, x] = y

dengan p, q, r.

Pernyataan ini berlaku karena kita dapat memecahkan persamaan

y = )/()(

)/()(

pxqr

qxpr

Keberadaan tiga titik peta. Mengingat tiga titik p, q, r RP1 dan tiga

titik p’, q’, r’ RP1, ada transformasi linear pecahan f pengiriman p, q, r ke p’ , q’, r’, Masing-

masing. Pernyataan ini berlaku karena ada proyeksi pengiriman setiap tiga

titik p, q, r untuk setiap tiga titik p’, q’, r’, dan proyeksi apapun pecahan linier

oleh Bagian 6. Cara untuk proyek ditunjukkan pada Gambar 19.

Tanpa mengurangi keumuman, kita dapat menempatkan dua salinan dari RP1 sehingga

p = p’. Kemudian proyeksi yang dibutuhkan adalah dari titik P di mana garis

qq’ dan rr’ bertemu.

Kekhususan dari tiga titik peta.

Tepat fungsi satu pecahan linear mengirimkan tiga titik p, q, r tiga titik p’, q’, r’, masing-masing.

Sebuah pecahan linier f mengirim p, q, r untuk p’, q’, r’, Masing-masing, harus mengirimkan x

p setiap, q, r ke x’ memenuhi [p, q, r, x] = [p’, q’, r’, x’], karena f mempertahankan lintas-rasio

oleh Bagian 7. Tapi x’ adalah khusus dengan penentuan keempat titik, sehingga ada tepat satu

fungsi f tersebut.

Karakterisasi peta pecahan linear.

Ini justru peta dari RP1 yang mengawetkan lintas-rasio. Pada Bagian 7, setiap f peta pecahan

mempertahankan lintas-rasio. Artinya, [f (p, f (q), f (r), f (s)] = [p, q, r, s] untuk setiap empat titik

p, q, r, s. Sebaliknya, misalkan f adalah peta dari RP1 dengan

[F (p), f (q), f (r), f (s)] = [p, q, r, s] untuk setiap empat titik p, q, r, s.

Dengan adanya peta tiga titik, kita dapat menemukan g pecahan linear yang

setuju dengan f pada p, q, r. Tapi kemudian, karena f mempertahankan lintas-rasio, g

setuju dengan f pada s juga, dengan penentuan titik khusus keempat.

Dengan demikian, g setuju dengan f di mana-mana, sehingga f adalah peta pecahan linear.

Keberadaan tiga titik peta mengatakan bahwa tiga titik pada RP1

dapat dikirim ke tiga titik dengan transformasi linear pecahan. Dengan demikian,

setiap invarian dari tiga kali lipat titik harus memiliki nilai yang sama untuk setiap tiga,

dan karena itu adalah sepele. Sebuah invarian trivial harus melibatkan setidaknya empat titik,

dan lintas-rasio adalah contohnya. Hal ini sebenarnya contoh mendasat.

Fundamental invarian.

Setiap invarian dari empat titik adalah fungsi dari

lintas-rasio.

Untuk melihat mengapa, misalnya I (p, q, r, s) adalah fungsi, didefinisikan pada quadruples

titik yang berbeda, yang berubah dalam transformasi linear pecahan.

Dengan demikian,

I (f (p), f (q), f (r), f (s)) = I (p, q, r, s) untuk setiap f pecahan linear.

Dengan kata lain, I memiliki nilai yang sama pada semua quadruples (p’, q’, r’, s’) Hasil

dari (p, q, r, s) dengan transformasi linear pecahan. Tapi yang lebih benar: I

memiliki nilai yang sama pada semua quadruples (p’, q’, r’, s’) dengan sama lintas-rasio

sebagai (p, q, r, s), karena seperti quadruple (p’, q’, r’, s’) hasil dari (p, q, r, s)

dengan transformasi linear pecahan. Ini mengikuti dari keberadaan dan

Kekhususan tiga titik peta :

• oleh adanya, kita dapat mengirim p, q, r untuk p’, q’, R’, Masing-masing, dengan linear

transformasi pecahan f, dan

•dengan keunikan, f juga mengirim s ke s’, Titik unik yang membuat

[P, q, r, s] =. [p’, q’, r’, s’]

Karena I memiliki nilai yang sama pada semua quadruples dengan sama lintas-rasio,

itu bermakna untuk melihat I sebagai J fungsi dari lintas-rasio, didefinisikan oleh

J ([p, q, r, s]) = I (p, q, r, s).

9. Diskusi

The RP2 bidang dipelajari dalam bab ini adalah yang paling penting proyeksi bidang, tetapi

jauh dari satu-satunya. Banyak proyeksi bidang lainnya dapat dibangun dengan meniru

pembangunan RP2, yang didasarkan pada tiga kali lipat memerintahkan (x, y, z) dan linear ax +

by + persamaan cz = 0. Hal ini tidak penting untuk x, y, z menjadi bilangan real. Seperti

disebutkan sebelumnya, mereka bisa menjadi angka kompleks, tetapi lebih umumnya mereka

bisa menjadi elemen dari bidang apapun. suatu bidang adalah setiap himpunan dengan operasi +

dan × memenuhi aksioma bidang sembilan

tercantum dalam Bagian 4.8.

Jika F adalah bidang apapun, kita dapat mempertimbangkan ruang F3 dari tiga kali lipat (x,

y, z) dengan x, y, z F. Kemudian FP2 bidang proyeksi memiliki :

• "Titik," adalah masing-masing satu himpunan tiga kali lipat (kx, ky, kz), di mana x, y, z F

adalah tetap dan k berjalan melalui unsur F,

• "Garis," yang masing-masing terdiri dari "titik" memenuhi persamaan

tentang bentuk ax + by + cz = 0 untuk beberapa yang tetap, a, b, c F.

Aksioma proyeksi bidang dapat diperiksa FP2 sama seperti mereka untuk RP2. Perhitungan

yang sama berlaku, karena aksioma bidang memastikan bahwa operasi aljabar yang sama bekerja

di F (memecahkan persamaan, misalnya). Ini memberikan berbagai macam bidang FP2, karena

ada berbagai bidang F. Mungkin bidang yang paling dekat, setelah R dan C, adalah himpunan Q

angka rasional. QP2 tidak berbeda RP2, kecuali bahwa semua titik memiliki titik rasional

koordinat, dan semua lini penuh kesenjangan, karena hanya berisi

titik rasional. Contoh yang lebih mengejutkan muncul dari mengambil F menjadi sebuah bidang

terbatas, dari yang ada satu dengan elemen pn untuk setiap pn kekuatan setiap p prima.

Contoh paling sederhana adalah F2 bidang, yang beranggotakan unsur-unsur 0

dan dengan penambahan berikut dan tabel perkalian,

+ 0 1

0

1

0 1

1 0

X 0 1

0

1

0 0

0 1

F2 P2 Bidang proyeksi memiliki tujuh titik, sesuai dengan tujuh

nol titik di F32 (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (0,1,1), (1,0,1), (1,1,0), (1 , 1,1).

Titik-titik ini diatur dalam bertiga sepanjang tujuh baris pada Gambar 5.20,

salah satunya digambarkan sebagai lingkaran sehingga untuk menghubungkan titik-titik tiga.

Gambar 16: Bidang proyeksi terkecil5,9 Diskusi 115

Perhatikan bahwa garis memenuhi persamaan linear

x = 0, y = 0, z = 0,

x + y = 0, y + z = 0, z + x = 0,

x + y + z = 0.

Misalnya, titik-titik pada lingkaran memenuhi x + y + z = 0. (Tentu saja,

koordinat tidak ada hubungannya dengan posisi pada bidang diagram.

Angka ini terutama simbolis, ketika mencoba untuk menunjukkan "titik" yang dikumpulkan

ke) "garis."

Struktur ini disebut bidang Fano, dan itu adalah proyeksi terkecil

bidang. Meskipun kecil, itu berperilaku baik, karena yang "garis" memenuhi

linear persamaan, seperti garis dilakukan di dunia geometris tradisional. Terima kasih

untuk bidang terbatas, aljabar linear bekerja dengan baik dalam struktur terbatas banyak.

Memiliki

menyebabkan perkembangan grosir geometri terbatas, banyak yang memiliki

aplikasi matematika dalam informasi dan komunikasi.

Namun, tiga aksioma untuk bidang terbatas projective tidak menjamin

bahwa bidang itu bentuk FP2, dengan koordinat untuk titik dan linier

persamaan untuk garis. Mereka dapat dipenuhi oleh aneh "nonlinier" struktur,

seperti yang akan kita lihat dalam bab berikutnya. Sebuah aksioma keempat diperlukan untuk

menimbulkan

F bidang koordinat, dan aksioma adalah tidak lain dari teorema

Pappus yang kita bertemu sebentar di Bab 1 dan 4. Keadaan ini akan

dijelaskan dalam Bab 6.

Daftar Pustaka

Stillwell, John. 2004. The Four Pillars of Geometry. San Fransisco : Springer