PERSAMAAN GELOMBANG 1 DIMENSI: GETARAN DAWAI

Pada pasal ini kita akan meninjau perambatan gelombang dalam medium

1-dimensi, yakni pada seutas dawai yang kedua ujungnya diikat, seperti pada

senar gitar atau piano. Dengan memilih panjang dawai sebagai sumber-x dan

masing-masing ujungnya pada x=0 dan x=1, PDP yang dipenuhi fungsi

gelombang y (x , t) adalah

∂2 y∂ x2 −

1y2

∂2 y∂ t 2

=0(13.35)

dengan syarat batas:

y (0 , t )=0 dan y (1 ,t )=0 (13.36)

Syarat awalnya bergantung pada:

a) Simpangan awal

y ( x ,0 )=f ( x) dengan f (0 )=f (1 )=0 (13.37)

b) Kecepatan transversal awal

∂ y∂ t

( x ,0 )=g ( x )dengan g (0 )=g (1 )=0 (13.38 )

karena kedua ujung dawai terikat sehingga selalu diam.

Terapkan metode pemisahan variabel dengan menuliskan:

y ( x , t )=X ( x )T (t) (13.39)

maka pers. (13.35) terpisahkan menjadi:

d2 Xdx2 =−k2 X dan

d2Tdt 2

=−k2 vT (13.40)

dengan k sebuah tetapan real positif. Pemecahan umumnya adalah:

( x ,t )=(P cos❑kx+Q sin❑kx ) (R cos❑kv t+S sin❑kvt )(13.41)

Perhatian: Pada Pers. (13.40) kita memilih tetapan persamaan terpisahnya –k2,

karena alasan fisika, bahwa getaran dawai dinyatakan oleh fungsi cosinus dan

sinus, ketimbang fungsi eksponensial real. Jika seandainya kita memilih

tetapannya 2, maka syarat batas pada ujung tali di x = 1 hanyalah dipenuhi untuk

= 0; jika 0 maka haruslah imajiner, atau 2 = –k2, dengan k sebuah

tetapan real positif seperti di atas.

Dengan menerapkan syarat batas (13.36a) : (0 , t )=0, kita dapati P = 0,

sehingga pemecahan (13.41) menjadi:

( x ,t )=¿

dimana tetapan Q, R, dan S setelah diserap di dalam tetapan A dan B. Penerapan

syarat batas (13.36b) : (1 , t )=0, memberikan:

sin kl=0 , atauk=n( πl )=np ,(n=1,2,3 ,…)

sehingga pemecahan (13.41) menjadi:

( x ,t )=∑n=1

∞

¿¿

Tetapan An dan Bn ditentukan oleh kedua syarat awal (13.38). “Secara sederhana,

kedua syarat awal ini berkaitan dengan cara bagaimana kita membunyikan dawai

pada awalnya. Daari pengalaman kita ketahui bahwa caranya adalah : (a) memetik

dawai tersebut, seperti pada gitar, atau (b) memukul dawainya, seperti pada dawai

piano. Syarat awal yang bersangkutan adalah :

(I) Memetik senar :

(II) Memukul senar :