PERSAMAAN LINEARPenyelesaian Persamaan Linear (Metode Gauss Jordan)

Pendahuluan

• Karena adanya kelemahan pada model Gauss, seorang penemu bernama Jordan, membuat model baru yang dinamakan Metode Eliminasi Gauss Jordan

• Pada model ini tidak lagi digunakan model substitusi, murni menggunakan reduksi baris

Pengertian Metode Gauss-Jordan

Metode Gauss-Jordan merupakan suatu variasi dari Eliminasi Gauss dan dalam bahasa analitik biasanya lebih dikenal dengan nama reduksi baris. Perbedaan utamanya dengan eliminasi Gauss adalah bila sebuah variabel yang tidak diketahui dieliminasikan dengan metode Gauss-Jordan maka ia deliminasikan dari setiap persamaan lainnya. Ini merupakan bentuk matrik kesatuan, sedang eliminasi Gauss merupakan matrik triangular.

Pengertian Metode Gauss-Jordan

Prosedur untuk mengubah sebarang matriks ke bentuk eselon baris tereduksi disebut

eliminasi Gauss-Jordan.

DASAR TEORI

• Penambahan Matrik sebelah kiri diubah menjadi matrik diagonal

• Penyelesaian dari persamaan linier simultan diatas adalah nilai b1,b2,b3,…,bn dan atau a1 = b1,a2 = b2,a3=b3,….,an=bn

444434241

334333231

224232221

114131211

baaaabaaaabaaaabaaaa

4

3

2

1

1000010000100001

bbbb

DASAR TEORI

• Teknik yang digunakan dalam metode eliminasi Gauss-Jordan ini sama seperti metode eliminasi Gauss yaitu menggunakan OBE (Operasi Baris Elementer). Hanya perhitungan penyelesaian secara langsung diperoleh dari nilai pada kolom terakhir dari setiap baris .

• Satu cara yang gamblang untuk menghitung inversi ialah dengan menggunakan metode Gauss-Jordan. Untuk melakukan ini,matriks koefisien diperluas dengan sebuah matriks kesatuan.

• Kemudian metode Gauss Jordan diterapkan agar mengurangi matriks koefisien menjadi sebuah matriks kesatuan.

• Jika telah selesai, ruas kanan matriks yang diperluas akan mengandung inversi.

Langkah-langkah Eliminasi Gauss-Jordan

1.Tentukan kolom tak nol paling kiri.2.Jika unsur paling atas dari kolom tak nol

paling kiri yang didapatkan pada langkah 1 adalah 0, pertukarkanlah baris teratas dengan baris lain.

3.Jika unsur teratas yang sekarang pada kolom yang didapatkan di dalam langkah 1 atau 2 adalah a, kalikanlah baris pertama dengan 1/a untuk memperoleh 1 utama.

Langkah-langkah Eliminasi Gauss-Jordan

4. Tambahkanlah kelipatan yang sesuai dari baris teratas ke baris-baris dibawahnya sehingga semua unsur di bawah 1 utama menjadi 0.

5. Abaikan baris teratas di dalam matriks tersebut dan mulailah sekali lagi dengan langkah 1 - 4 yang dikerjakan pada submatriks yang masih tersisa. Teruskanlah cara ini sampai keseluruhan matriks tersebut berada dalam bentuk eselon baris.

6. Dimulai dari baris tak nol terakhir dan dikerjakan ke arah atas, tambahkanlah kelipatan yang sesuai dari baris tersebut ke baris-baris diatasnya untuk mendapatkan nol di atas 1 utama.

Contoh

 Eliminasi Gauss-Jordan

x + y + 2z = 9 1 1 2 9

2x + 4y – 3z = 1 2 4 -3 1

3x + 6y – 5z = 0 3 6 -5 0

dan diusahakan berbentuk 1 0 0 ?0 1 0 ?

0 0 1 ?

Penyelesaian dari soal contoh

1. Lakukan Eliminasi Gauss2. mengusahakan bentuk

1 0 0 ?0 1 0 ?0 0 1 ?

Penyelesaian dari soal contoh

1. Lakukan Eliminasi Gauss

2. mengusahakan bentuk1 0 0 ?0 1 0 ?0 0 1 ?

05631342

9211

23

2100

177209211

23

2100

177209211

22

11

3100

217

2710

9211

1. disambung dengan :

+ * =

- * =

- =

31002/172/710

9211baris 3 baris 2 +

3100

2/72/72/72/7

2/172/7

10

2010

310020109211

baris 3 baris 1 - 2 *

3100

2222

9211

3011

310020103011 baris 2 baris 1 -

2010

3011

1001

310020101001

321

zyx

27

TUGAS 1

2x+y+4z=163x+2y+z=10X+3y+3z=16

TUGAS 2

w + 2x + 2y + 4z = 5 w - x - y - 3z = -2 2w + 3x + y + z = 0-2w + x + 3y - 2z = 1

Summary

Penyelesaian sistem persamaan linear dapat diselesaikan dengan lebih dari 1 metode, dan untuk semua metode tersebut dihasilkan nilai yang sama.