perbandingan sifat-sifat segitiga pada geometri...

PERBANDINGAN SIFAT-SIFAT SEGITIGA PADA

GEOMETRI EUCLIDES DAN GEOMETRI BOLA

Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Oleh:

Odilia Tyas Sekar Galih

NIM: 143114007

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2018

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

i



Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Oleh:


NIM: 143114007

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2018


ii

COMPARISON OF TRIANGLE PROPERTIES IN

EUCLIDEAN GEOMETRY AND SPHERICAL GEOMETRY

Paper

Presented as Partial Fulfillment of the

Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Sains

Mathematics Study Program

Written by:


Student ID: 143114007

MATHEMATICS STUDY PROGRAM DEPARTMENT OF MATHEMATICS

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2018


SKRIPSI


GEOMETRI EUCLIDES DAI'{ GEOMETRI BOLA

Oleh:


NIM: 143i14007

Telah disetujui oleh:

Dosen Pembimbins

Yogyakarta, 22 November 20 I 8

ul


Ketua

Sekretaris

Anggota

SKRIPSI

PERBANDINGAN STFAT.SIFAT SEGITIGA PADA


Dipersiapkan dan ditulis oleh


NIM: I43ll4A07

Telah dipertahankan di depan Panitia Penguji

pada tanggal 10 Desember 2018

dan dinyatakan memenuhi syarat

Susunan Panitia Penguj i

Nama Lengkap

: Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D.

: Dr.rer.nat. Herry Pribawanto Suryawan, S.Si., M

: Prof. Dr. Frans Susilo. SJ.

Yogyakarta, 31 Desember 2018

Fakultas Sains dan Teknologi

Universitas Sanata Dharma

Dekan"

ea&*S. Si., M.Math.Sc., Ph.D.

iv

anda,r6{


PERNI.ATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak

memuat karya atau bagian karya orang iain, kecuali yang telah disebutkan dalarn

kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, 31 Desember 2018

Penulis


LEMBAR PERNYATAAN

PUBLIKASI KARYA ILMIAII UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa {Jniversitas Sanata Dharma:

Nama

NIM

: Odilia Tyas Sekar Galih

:143114007

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan

Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul:

PERBAI\DII{GAN SIFAT-SIFAT SEGITIGA PADA

GEOMETRI ETICLIDES DAI{ GEOMETRI BOLA

beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan

kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma untuk menyimpan, mengalihkan

ke dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data,

mendistribusikannya secara terbatas, dan mempublikasikan di internet atau media

lainnya untuk kepentingan akademis tanpa perlu minta izin dari saya ataupun

memberikan royalty kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai

penulis.

Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenar-benarnya.

Dibuat di Yogyakarta

Pada tanggal 31 Desember 2018

vt

Yang menyatakan


vii

ABSTRAK

Geometri adalah ilmu yang mempelajari tentang sifat-sifat, ukuran,

dan hubungan antara titik, garis, sudut, bidang, bangun datar, dan bangun ruang.

Dewasa ini geometri meliputi geometri Euclides dan geometri non-Euclides.

Dalam skripsi ini, akan dibahas salah satu cabang geometri non-Euclides, yaitu

geometri bola. Salah satu bangun pada geometri adalah segitiga. Skripsi ini akan

membandingkan sifat-sifat segitiga pada geometri Euclides dengan sifat-sifat segi-

tiga pada geometri bola. Segitiga yang akan dibahas adalah segitiga sama kaki,

segitiga sama sisi, dan segitiga siku-siku. Untuk membandingkan sifat-sifat segiti-

ga pada geometri Euclides dan geometri bola digunakan definisi-definisi dan

teorema-teorema yang dibuktikan. Perbandingan sifat-sifat segitiga pada geometri

Euclides dan geometri bola itu disajikan dalam suatu tabel.

Kata kunci: geometri Euclides, geometri bola, segitiga, sifat-sifat segitiga


viii

ABSTRACT

Geometry is the study of properties, measurement, and relation of points,

lines, angles, surfaces, plane, and solid figures. Nowadays, geometry consists of

Euclidean geometry and non-Euclidean geometry. In this paper, will be discussed

one branch of non-Euclidean geometry, i.e. spherical geometry. One figure in

geometry is triangle. In this paper the triangle properties in Euclidean geometry

and spherical geometry will be compared. The triangles to be discussed are

isosceles triangle, equilateral triangle, and right triangle. To compare the triangle

properties in Euclidean geometry and spherical geometry definitions and proven

theorems are used. Comparison of triangle properties in Euclidean geometry and

spherical geometry is presented in a table.

Keywords: Euclidean geometry, spherical geometry, triangle, triangle properties


ix

KATA PENGANTAR

Puji syukur dipanjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa, yang selalu

melimpahkan curahan berkat, kasih dan penyertaan-Nya sehingga penulis dapat

menyelesaikan tugas akhir ini dengan baik.

Tugas akhir dengan judul “Perbandingan Sifat-Sifat Segitiga Pada

Geometri Euclides dan Geometri Bola” yang telah diselesaikan penulis

merupakan salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana Sains pada program

studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma.

Dalam menyelesaikan tugas akhir ini, penulis tidak lepas dari bantuan, dukungan,

serta bimbingan dari orang-orang di sekitar penulis. Oleh karena itu, melalui

tulisan ini dengan segala kerendahan hati dan rasa hormat, penulis ingin

menyampaikan ucapan terima kasih kepada:

1. Bapak Hartono, Ph.D. selaku Ketua Program Studi Matematika, Fakul-

tas Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma.

2. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, SJ. selaku Dosen Pembimbing sekaligus

Dosen Pembimbing Akademik yang selalu sabar dan mau membim-

bing penulis sehingga dapat menyelesaikan tugas akhir ini dengan

baik.

3. Romo/Bapak/Ibu dosen Program Studi Matematika Universitas Sanata

Dharma, yang telah membimbing dan membagikan ilmunya kepada

penulis selama perkuliahan.

4. Orang tua dan adik tercinta yang telah banyak memberikan doa dan

dukungan kepada penulis secara moril maupun materiil sehingga tugas

akhir ini dapat selesai.

5. Keluarga besar FX. Djoembadi dan Ig. Mardiman yang selalu

memberikan doa dan dukungan kepada penulis selama menyelesaikan

tugas akhir ini.


6. Anton Kurniawan, yang selalu menemani, memberikan dukungan,

semangat serta mendoakan selama menyelesaikan tugas akhir ini.

Inne clentiany, yang selalu membantu, memberikan masukan, dan

menemani penulis sejak awal perkuliahan hingga menyelesaikan tugas

akhir ini,

claudia Trangkartika, yang mendukung, mendoakan, dan menghibur

penulis saat sedih hingga tugas akhir ini selesai.

wulan, Meme. dan Mo, yang menemani dan menghibur penulis selama

menyelesaikan tugas akhir ini.

10. Teman-teman Program Studi Matematika angkatan 2a14 hinnya yang

bersedia mernberi bantuan dan dukungan selama perkuliahan dan

dalam penyelesaian tugas akhir ini.

11. Dan kepada semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu per

satu, yang telah memberikan dukungan dan bantuan dalam

penyelesaian tugas akhir ini.

9.

Semoga Tuhan membalas segala bentuk

Dalam penyusunan tugas akhir ini masih banyak

kata sempurna. Oleh sebab itu, penulis meminta

an serta saran demi penyempurnaan tugas akhir

akhir ini dapat berguna dan bermanfaat bagi para

dukungan yang telah diberikan.

kekurangan dan masih jauh dari

maaf dan mengharapkan masuk-

ini. Penulis juga berharap tugas

pembaca.

Yogvakarta, 31 Desember 2018

Penulis,



xi

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL ........................................................................................... i

HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ........................................ ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ................................................. iii

HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................. iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ............................................................. v

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN ................................................... vi

ABSTRAK .......................................................................................................... vii

ABSTRACT ........................................................................................................ viii

KATA PENGANTAR ........................................................................................ ix

DAFTAR ISI ....................................................................................................... xi

DAFTAR GAMBAR .......................................................................................... xiii

BAB I PENDAHULUAN ................................................................................... 1

A. Latar Belakang Masalah ................................................................... 1

B. Rumusan Masalah ............................................................................ 4

C. Batasan Masalah ............................................................................... 4

D. Tujuan Penelitian.............................................................................. 4

E. Manfaat Penelitian............................................................................ 4

F. Metode Penelitian ............................................................................. 5

G. Sistematika Penulisan ....................................................................... 5

BAB II SEJARAH GEOMETRI BOLA DAN KONSEP-KONSEP

DASAR ................................................................................................... 7

A. Sejarah Munculnya Geometri Bola .................................................. 7

B. Konsep-Konsep Dasar dalam Geometri Euclides dan Geometri

Bola .................................................................................................. 9

1. Konsep-Konsep Dasar dalam Geometri Euclides ..................... 10

2. Konsep-Konsep Dasar dalam Geometri Ruang ......................... 48

3. Konsep-Konsep Dasar dalam Geometri Bola ............................ 53


xii

BAB III SIFAT-SIFAT SEGITIGA PADA GEOMETRI EUCLIDES DAN

GEOMETRI BOLA ................................................................................ 70

A. Sifat-Sifat Segitiga pada Geometri Euclides .................................... 70

1. Segitiga Sama Kaki .................................................................... 71

2. Segitiga Sama Sisi ...................................................................... 73

3. Segitiga Siku-Siku ...................................................................... 75

B. Sifat-Sifat Segitiga pada Geometri Bola .......................................... 82

1. Segitiga Bola Sama Kaki ........................................................... 85

2. Segitiga Bola Sama Sisi ............................................................. 88

3. Segitiga Bola Siku-Siku............................................................. 90

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN .............................................................. 96

A. Kesimpulan....................................................................................... 96

B. Saran ................................................................................................. 97

DAFTAR PUSTAKA ......................................................................................... 98


xiii

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 1.1 .......................................................................................................... 3

Gambar 2.1 .......................................................................................................... 7

Gambar 2.2 .......................................................................................................... 8

Gambar 2.3 .......................................................................................................... 9

Gambar 2.4 .......................................................................................................... 11

Gambar 2.5 .......................................................................................................... 11

Gambar 2.6 .......................................................................................................... 12

Gambar 2.7 .......................................................................................................... 12

Gambar 2.8 .......................................................................................................... 13

Gambar 2.9 .......................................................................................................... 13

Gambar 2.10 ........................................................................................................ 14

Gambar 2.11 ........................................................................................................ 14

Gambar 2.12 ........................................................................................................ 15

Gambar 2.13 ........................................................................................................ 15

Gambar 2.14 ........................................................................................................ 16

Gambar 2.15 ........................................................................................................ 17

Gambar 2.16 ........................................................................................................ 18

Gambar 2.17 ........................................................................................................ 18

Gambar 2.18 ........................................................................................................ 19

Gambar 2.19 ........................................................................................................ 19

Gambar 2.20 ........................................................................................................ 20

Gambar 2.21 ........................................................................................................ 20

Gambar 2.22 ........................................................................................................ 20

Gambar 2.23 ........................................................................................................ 21

Gambar 2.24 ........................................................................................................ 21

Gambar 2.25 ........................................................................................................ 23

Gambar 2.26 ........................................................................................................ 23

Gambar 2.27 ........................................................................................................ 24


xiv

Gambar 2.28 ........................................................................................................ 25

Gambar 2.29 ........................................................................................................ 26

Gambar 2.30 ........................................................................................................ 27

Gambar 2.31 ........................................................................................................ 28

Gambar 2.32 ........................................................................................................ 28

Gambar 2.33 ........................................................................................................ 30

Gambar 2.34 ........................................................................................................ 31

Gambar 2.35 ........................................................................................................ 32

Gambar 2.36 ........................................................................................................ 32

Gambar 2.37 ........................................................................................................ 33

Gambar 2.38 ........................................................................................................ 34

Gambar 2.39 ........................................................................................................ 35

Gambar 2.40 ........................................................................................................ 35

Gambar 2.41 ........................................................................................................ 36

Gambar 2.42 ........................................................................................................ 36

Gambar 2.43 ........................................................................................................ 38

Gambar 2.44 ........................................................................................................ 39

Gambar 2.45 ........................................................................................................ 40

Gambar 2.46 ........................................................................................................ 41

Gambar 2.47 ........................................................................................................ 42

Gambar 2.48 ........................................................................................................ 42

Gambar 2.49 ........................................................................................................ 43

Gambar 2.50 ........................................................................................................ 44

Gambar 2.51 ........................................................................................................ 44

Gambar 2.52 ........................................................................................................ 45

Gambar 2.53 ........................................................................................................ 45

Gambar 2.54 ........................................................................................................ 46

Gambar 2.55 ........................................................................................................ 46

Gambar 2.56 ........................................................................................................ 47

Gambar 2.57 ........................................................................................................ 48

Gambar 2.58 ........................................................................................................ 48


xv

Gambar 2.59 ........................................................................................................ 49

Gambar 2.60 ........................................................................................................ 50

Gambar 2.61 ........................................................................................................ 50

Gambar 2.62 ........................................................................................................ 51

Gambar 2.63 ........................................................................................................ 52

Gambar 2.64 ........................................................................................................ 54

Gambar 2.65 ........................................................................................................ 54

Gambar 2.66 ........................................................................................................ 55

Gambar 2.67 ........................................................................................................ 55

Gambar 2.68 ........................................................................................................ 56

Gambar 2.69 ........................................................................................................ 57

Gambar 2.70 ........................................................................................................ 57

Gambar 2.71 ........................................................................................................ 58

Gambar 2.72 ........................................................................................................ 58

Gambar 2.73 ........................................................................................................ 59

Gambar 2.74 ........................................................................................................ 59

Gambar 2.75 ........................................................................................................ 60

Gambar 2.76 ........................................................................................................ 60

Gambar 2.77 ........................................................................................................ 61

Gambar 2.78 ........................................................................................................ 61

Gambar 2.79 ........................................................................................................ 61

Gambar 2.80 ........................................................................................................ 62

Gambar 2.81 ........................................................................................................ 63

Gambar 2.82 ........................................................................................................ 63

Gambar 2.83 ........................................................................................................ 64

Gambar 2.84 ........................................................................................................ 66

Gambar 2.85 ........................................................................................................ 66

Gambar 2.86 ........................................................................................................ 67

Gambar 2.87 ........................................................................................................ 68

Gambar 2.88 ........................................................................................................ 68

Gambar 3.1 .......................................................................................................... 70


xvi

Gambar 3.2 .......................................................................................................... 71

Gambar 3.3 .......................................................................................................... 72

Gambar 3.4 .......................................................................................................... 72

Gambar 3.5 .......................................................................................................... 73

Gambar 3.6 .......................................................................................................... 74

Gambar 3.7 .......................................................................................................... 76

Gambar 3.8 .......................................................................................................... 77

Gambar 3.9 .......................................................................................................... 79

Gambar 3.10 ........................................................................................................ 80

Gambar 3.11 ........................................................................................................ 82

Gambar 3.12 ........................................................................................................ 83

Gambar 3.13 ........................................................................................................ 84

Gambar 3.14 ........................................................................................................ 85

Gambar 3.15 ........................................................................................................ 86

Gambar 3.16 ........................................................................................................ 86

Gambar 3.17 ........................................................................................................ 87

Gambar 3.18 ........................................................................................................ 88

Gambar 3.19 ........................................................................................................ 90

Gambar 3.20 ........................................................................................................ 91

Gambar 3.21 ........................................................................................................ 93

Gambar 3.22 ........................................................................................................ 94


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Geometri berasal dari kata Yunani, yaitu geometrein, geo berarti bumi

dan metrein berarti pengukuran. Oleh karena itu, secara etimologis, geometri

berarti pengukuran tentang bumi. Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia

(KBBI), geometri adalah cabang matematika yang membahas garis, sudut, bidang,

dan ruang.

Meskipun berasal dari kata Yunani, namun geometri pertama kali

dikembangkan oleh Bangsa Mesir. Hal itu terbukti dengan adanya The Great

Pyramid of Giza sekitar tahun 2600 sebelum masehi. Selain itu, informasi tentang

matematikawan Mesir ditemukan dalam Papirus Rhind (1650 SM) dan Papirus

Moscow (1850 SM), yang secara spesifik memuat perhitungan luas dan volume

objek geometri standar.

Sekitar tahun 300 sebelum masehi, muncul seorang matematikawan

Yunani bernama Euclides. Euclides menulis buku mengenai geometri yang

berjudul “Elementa” yang isinya menjelaskan unsur-unsur geometri dengan

menggunakan definisi, aksioma, dan postulat. Geometri ini sering disebut sebagai

Geometri Euclides. Karangan Euclides ini merupakan hal terpenting dalam

sejarah geometri. Oleh karena itu, Euclides disebut Bapak Geometri.

Dalam bukunya, Euclides menulis lima buah postulat yang berbunyi (I

Putu Wisna Ariawan, 2014):

P.1. Selalu dapat ditarik suatu garis dari satu titik ke titik yang lain.

P.2. Selalu dapat dibuat ruas garis tak berhingga banyaknya pada suatu garis.

P.3. Selalu dapat dilukis suatu lingkaran berpusat di suatu titik dengan jari-jari

ruas garis yang ditentukan.


2

P.4. Semua sudut siku-siku sama besar.

P.5. Jika dua garis dipotong oleh garis ketiga sehingga jumlah besar sudut

dalam sepihak kurang dari dua sudut siku-siku, kedua garis itu akan

berpotongan pada pihak sudut yang jumlah besarnya kurang dari dua sudut

siku-siku.

Postulat kelima Euclides menimbulkan banyak perdebatan di kalangan

para matematikawan. Mereka menganggap postulat kelima terlalu rumit untuk

dijadikan postulat dan lebih cocok dijadikan teorema. Oleh karena itu, banyak

matematikawan yang mencoba menemukan postulat yang lebih sederhana dan

dapat menggantikan postulat kelima Euclides.

Salah seorang matematikawan yang mencoba membuktikannya adalah

Playfair (1748-1819), dengan postulatnya yang berbunyi:

P.5.1. Hanya ada satu garis yang sejajar dengan garis yang diketahui dan melalui

sebuah titik di luar garis yang diketahui itu.

Postulat ini jelas lebih sederhana dan lebih mudah dipahami

dibandingkan dengan postulat kelima Euclides. Postulat Playfair ini ekivalen

dengan postulat kelima Euclides. Meskipun tidak dapat menemukan postulat yang

lebih relevan, para matematikawan menemukan hasil lain yang sangat penting

yang kemudian menghasilkan “geometri non-Euclides”.

Sekitar tahun 1800 Janos Bolyai dan Nikolai Lobachevsky menyusun

sebuah postulat yang tidak berdasarkan postulat kelima Euclides, namun tetap

mengacu pada empat postulat Euclides lainnya. Postulat tersebut disebut Postulat

Bolyai-Lobachevsky dan berbunyi:

P.5.2. Terdapat lebih dari satu garis sejajar dengan garis yang diketahui dan

melalui sebuah titik di luar garis yang diketahui itu.

Geometri yang berdasarkan pada empat postulat Euclides dan postulat

Boylai-Lobachevsky disebut “geometri hiperbolik”. Kemudian sekitar tahun 1826


3

sampai 1866, matematikawan bernama Riemann membangun postulat yang

berbeda dengan postulat kelima Euclides yang berbunyi:

P.5.3. Tidak terdapat garis sejajar dengan garis yang diketahui dan melalui


Postulat ini jelas meninggalkan postulat Euclides dan meninggalkan

postulat lainnya. Teori Riemann ini kemudian akan menjadi dasar “geometri

bola”.

Gambar 1.1 Segitiga siku-siku pada geometri Euclides dan segitiga siku-siku

geometri bola

Sama seperti geometri Euclides, geometri bola memiliki definisi

segitiga. Segitiga dalam geometri bola disebut segitiga bola. Salah satu sifat

segitiga bola adalah jumlah semua besar sudutnya lebih besar dari radian dan

kurang dari radian. Perbedaan bentuk segitiga dalam geometri Euclides dan

geometri bola dapat dilihat pada Gambar 1.1. Segitiga bola siku-siku dalam

geometri bola adalah segitiga bola yang memiliki sekurang-kurangnya satu sudut

yang besarnya radian. Hal ini yang menginspirasi penulis untuk mem-

bandingkan sifat-sifat segitiga pada geometri Euclides dan segitiga pada geometri

bola.


4

B. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang yang telah dijelaskan, rumusan masalah

dari penelitian ini yaitu:

1. Bagaimana sifat-sifat segitiga pada geometri Euclides?

2. Bagaimana sifat-sifat segitiga pada geometri bola?

3. Bagaimana perbandingan sifat-sifat segitiga pada geometri Euclides dan

segitiga pada geometri bola?

C. Batasan Masalah

Bangun yang akan dibahas pada skripsi ini hanya bangun segitiga.

Sedangkan segitiga yang akan dibahas hanya segitiga istimewa, yaitu segitiga

sama kaki, segitiga sama sisi, dan segitiga siku-siku.

D. Tujuan Penelitian

Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui sifat-sifat segitiga sama

kaki, segitiga sama sisi, dan segitiga siku-siku pada geometri bola, serta mem-

bandingkan sifat-sifat yang dimiliki segitiga sama kaki, segitiga sama sisi, dan

segitiga siku-siku pada geometri Euclides dan geometri bola.

E. Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah pembaca dapat mengetahui sifat-

sifat segitiga sama kaki, segitiga sama sisi, dan segitiga siku-siku pada geometri

Euclides dan geometri bola, selain itu pembaca juga dapat mengetahui perbedaan

sifat-sifat segitiga sama kaki, segitiga sama sisi, dan segitiga siku-siku pada

geometri Euclides dan geometri bola.


5

F. Metode Penelitian

Metode yang digunakan penulis dalam menyusun skripsi ini adalah

metode studi pustaka, yaitu dengan mempelajari buku-buku dan jurnal yang

berkaitan dengan geometri Euclides dan geometri bola.

G. Sistematika Penulisan

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

B. Rumusan Masalah

C. Batasan Masalah

D. Tujuan Penelitian

E. Manfaat Penelitian

F. Metode Penelitian

G. Sistematika Penulisan

BAB II SEJARAH GEOMETRI BOLA DAN KONSEP-KONSEP DASAR

A. Sejarah Munculnya Geometri Bola

B. Konsep-Konsep Dasar dalam Geometri Euclides dan Geometri Bola

1. Konsep-Konsep Dasar dalam Geometri Euclides

2. Konsep-Konsep Dasar dalam Geometri Ruang

3. Konsep-Konsep Dasar dalam Geometri Bola

BAB III SIFAT-SIFAT SEGITIGA PADA GEOMETRI EUCLIDES DAN

GEOMETRI BOLA

A. Sifat-Sifat Segitiga pada Geometri Euclides

1. Segitiga Sama Kaki

2. Segitiga Sama Sisi

3. Segitiga Siku-Siku


6

B. Sifat-Sifat Segitiga pada Geometri Bola

1. Segitiga Bola Sama Kaki

2. Segitiga Bola Sama Sisi

3. Segitiga Bola Siku-Siku

BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN

A. Kesimpulan

B. Saran


7

BAB II

SEJARAH GEOMETRI BOLA DAN KONSEP-KONSEP DASAR

A. Sejarah Munculnya Geometri Bola

Euclides menulis lima buah postulat dalam bukunya yang berjudul

“Elementa” yang sekarang sangat terkenal. Kelima postulat itu berbunyi (I Putu

Wisna Ariawan, 2014):

P.1. Selalu dapat ditarik suatu garis dari satu titik ke titik yang lain.

P.2. Selalu dapat dibuat ruas garis tak berhingga banyaknya pada suatu garis.

P.3. Selalu dapat melukis suatu lingkaran berpusat di suatu titik dengan jari-jari

ruas garis yang ditentukan.

P.4. Semua sudut siku-siku sama besar.

P.5. Jika dua garis dipotong oleh garis ketiga sehingga jumlah besar sudut

dalam sepihak kurang dari dua sudut siku-siku, maka kedua garis itu akan

berpotongan pada pihak sudut yang jumlah besarnya kurang dari dua sudut

siku-siku tersebut.

Gambar 2.1 Postulat kelima Euclides

Postulat kelima Euclides ini bertahan selama sekitar 2000 tahun. Pada

akhirnya postulat kelima Euclides menimbulkan banyak perdebatan di kalangan

matematikawan dunia. Mereka menganggap postulat kelima terlalu rumit untuk

dijadikan postulat. Para matematikawan mencoba menemukan postulat yang lebih

sederhana yang dapat menggantikan postulat kelima Euclides. Salah seorang ma-


8

tematikawan yang mencoba mengkritisi postulat kelima Euclides adalah Proclus

(410-485). Proclus menolak untuk menerima postulat kelima Euclides karena dia

menganggap postulat tersebut terlalu rumit untuk dijadikan postulat dan dapat di-

buktikan dengan empat postulat lainnya. Matematikawan lain yang mencoba

membuktikannya adalah John Wallis (1616-1703) dan Girolamo Saccheri (1667-

1733). Namun, usaha mereka gagal.

Selain mereka, matematikawan Inggris bernama John Playfair (1748-

1819) membuat sebuah postulat yang berbunyi (David C. Kay, 1993):

P.5.1. Hanya ada satu garis yang sejajar dengan garis yang diketahui dan melalui


Gambar 2.2 Postulat Playfair

Postulat Playfair jelas lebih sederhana dibandingkan dengan postulat

kelima Euclides. Namun, postulat Playfair ternyata ekivalen dengan postulat

kelima Euclides. Oleh karena itu, postulat Playfair dapat menggantikan postulat

kelima Euclides dan disebut postulat kesejajaran.

Sampai pada akhir tahun 1820-an, matematikawan Rusia Nicolai

Ivanovich Lobachevsky (1792-1856) dan matematikawan Hungaria Janos Bolyai

(1802-1860), secara terpisah mengemukakan sebuah postulat yang kemudian

menjadi awal geometri non-Euclides. Postulat ini disebut postulat Bolyai-

Labachevsky, yang berbunyi:

P.5.2. Terdapat lebih dari satu garis sejajar dengan garis yang diketahui dan

melalui sebuah titik di luar garis yang diketahui itu.


9

Gambar 2.3 Postulat Boylai-Lobachecsky

Geometri yang berdasarkan pada empat postulat Euclides dan postulat

Boylai-Lobachevsky disebut “geometri hiperbolik”. Namun, geometri ini belum

memuaskan untuk menjawab masalah-masalah dalam bidang astronomi. Setelah

Nicolai Lobachevsky dan Janos Bolyai berhasil menemukan hal yang baru tentang

geometri non-Euclides, banyak matematikawan merasa terdorong untuk men-

ciptakan geometri non-Euclides lainnya. Yang pertama dan paling terkenal adalah

Riemann (1826-1866). Pada tahun 1854, Riemann mengemukakan postulat yang

berbeda dengan postulat kesejajaran Euclides yang berbunyi:

P.5.3. Tidak terdapat garis sejajar dengan garis yang diketahui dan melalui sebu-

ah titik di luar garis yang diketahui itu.

Postulat ini jelas meninggalkan postulat kesejajaran Euclides dan

meninggalkan postulat lainnya. Postulat Riemann ini menjadi dasar teori geo-

metri, yaitu geometri eliptik. Geometri eliptik kemudian menjadi dasar geometri

bola.

B. Konsep-Konsep Dasar dalam Geometri Euclides dan Geometri Bola

Sebelum melihat sifat-sifat segitiga pada geometri Euclides dan

geometri bola, pada subbab ini akan dijelaskan konsep dasar yang digunakan pada

geometri Euclides dan geometri bola.


10

1. Konsep-Konsep Dasar dalam Geometri Euclides

Dalam buku Euclides yang berjudul “Elementa”, Euclides menulis 5

aksioma, 5 postulat, dan 23 definisi. Lima aksioma yang ditulis adalah dasar bagi

seluruh bidang matematika, sedangkan 5 postulat yang sudah dijelaskan sebelum-

nya adalah dasar pada bidang geometri. Kelima aksioma tersebut berbunyi (I Putu

Wisna Ariawan, 2014):

a. Hal-hal yang sama dengan sesuatu lainnya adalah sama.

b. Jika kepada hal-hal yang sama diberi tambahan yang sama, maka hasilnya

adalah sama.

c. Jika dari hal-hal yang sama dikurangi bagian yang sama, maka sisanya adalah

sama.

d. Hal-hal yang saling berimpit adalah sama.

e. Keseluruhan itu lebih besar dari bagiannya.

Diberikan pula beberapa definisi, yaitu:

Definisi 2.1

Titik adalah sesuatu yang tidak memiliki bagian.

Definisi 2.2

Garis adalah himpunan titik-titik yang mempunyai panjang tetapi tidak

mempunyai lebar.

Definisi 2.3

Sinar garis adalah himpunan titik-titik yang merupakan gabungan dari titik

pangkal dan semua titik pada sisi yang sama terhadap titik pangkalnya (Gambar

2.4).


11

Gambar 2.4 Sinar garis

Definisi 2.4

Ruas garis adalah himpunan titik-titik dari garis yang memuat titik pangkal dan

titik ujung dan semua titik di antara kedua titik tersebut (Gambar 2.5).

Ruas garis dengan titik pangkal dan titik ujung dilambangkan dengan

Gambar 2.5 Ruas garis

Definisi 2.5

Panjang ruas garis adalah jarak terdekat antara titik pangkal dan titik ujung ruas

garis tersebut. Panjang ruas garis dilambangkan dengan .

Definisi 2.6

Sudut adalah gabungan dua buah sinar garis yang titik pangkalnya bersekutu. Per-

sekutuan titik pangkal tersebut dinamakan titik sudut dan sinar-sinarnya disebut

kaki sudut (Gambar 2.6).

Sudut dilambangkan dengan . Ukuran atau besar dari dilambangkan

dengan

A

A B


12

Gambar 2.6 Sudut

Definisi 2.7

Ruas garis kongruen dengan ruas garis jika dan hanya jika , dan

dilambangkan dengan .

Definisi 2.8

Sudut dikatakan kongruen dengan sudut jika dan hanya jika

, dan dinotasikan dengan .

Definisi 2.9

Dua sudut dikatakan sudut berdampingan (adjacent) jika kedua sudut tersebut

memiliki titik sudut yang sama dan satu sisi yang sama. Dua sudut berdampingan

membentuk sudut yang besarnya 180° atau radian dan disebut sudut lurus.

Pada Gambar 2.7, dan berdampingan.

Gambar 2.7 Sudut berdampingan

P

R

Q

AO

C

B


13

Definisi 2.10

Jika suatu garis lurus berpotongan dengan garis lurus yang lain dan membentuk

sudut berdampingan yang besarnya sama, maka masing-masing sudut itu disebut

siku-siku. Besar sudut siku-siku adalah 90° atau

radian.

Pada Gambar 2.8, dan adalah sudut siku-siku.

Definisi 2.11

Dua garis dikatakan berpotongan tegak lurus jika salah satu sudut yang dibentuk

dari perpotongan tersebut adalah sudut siku-siku.

Pada Gambar 2.8, garis tegak lurus garis dan garis tegak lurus garis

Gambar 2.8 Sudut siku-siku dan garis tegak lurus

Definisi 2.12

Dua garis dikatakan sejajar jika kedua garis itu tidak berpotongan (Gambar 2.9).

Gambar 2.9 Garis sejajar

A B

D

C


14

Definisi 2.13

Sudut yang besarnya kurang dari besar sudut siku-siku disebut sudut lancip

(Gambar 2.10).

Gambar 2.10 Sudut lancip

Definisi 2.14

Sudut yang besarnya lebih besar dari besar sudut siku-siku dan kurang dari besar

sudut lurus disebut sudut tumpul (Gambar 2.11).

Gambar 2.11 Sudut tumpul

Definisi 2.15

Diberikan garis dan , dan garis yang memotong garis di titik dan me-

motong garis di titik . Titik dan terletak pada , titik dan pada ,

titik dan pada .

AB

C

AB

C


15

Gambar 2.12 Sudut berlawanan, sudut dalam berseberangan, dan sudut sehadap

Pasangan-pasangan dan , dan , dan ,

dan disebut pasangan sudut berlawanan. Pasangan-pasangan

dan , dan disebut pasangan sudut dalam berse-

berangan. Pasangan-pasangan dan , dan ,

dan , dan disebut pasangan sudut sehadap.

Teorema 2.1

Jika dua garis berpotongan, maka sudut berlawanan yang terbentuk sama besar.

Bukti:

Gambar 2.13 Sudut berlawanan

Diberikan garis dan yang berpotongan di titik . Akan dibuktikan

dan .

Menurut Definisi 2.9, dan membentuk sudut lurus, maka

AB

C

D

l

m

t

l

k

C

B

A

O

P


16

.

Sudut dan juga membentuk sudut lurus, maka

sehingga

.

Dengan cara yang sama, dapat dibuktikan pula . ■

Teorema 2.2

Dua garis lurus yang dipotong oleh garis lurus lainnya adalah sejajar jika dan

hanya jika sudut sehadap yang terbentuk sama besar.

Bukti:

Gambar 2.14 Sudut sehadap

)( Diberikan dua garis sejajar dan yang dipotong oleh garis pada titik

dan . Titik dan titik terletak pada , titik dan titik terletak pada , dan

titik dan titik terletak pada . Akan dibuktikan ,

, , dan .

k

l

m

AB C

D


17

Andaikan , berarti atau

. Jika , maka garis dan akan berpotongan pada

satu titik . Jika , maka garis dan akan berpotongan pada

satu titik .

Gambar 2.15 Pembuktian sudut sehadap

Padahal garis dan adalah dua garis sejajar. Oleh karena itu pengandaian salah,

berarti . Dengan cara yang sama dapat dibuktikan pula

, , dan .

)( Dua garis dan dipotong oleh garis . Diketahui besar sudut sehadap yang

terbentuk adalah sama. Jika garis dan diperpanjang, maka kedua garis tersebut

tidak akan berpotongan. Menurut Definisi 2.12, garis dan adalah dua garis

sejajar. ■

Teorema 2.3

Jika dua garis sejajar dipotong oleh garis lainnya, maka sudut dalam berseberang-

an yang terbentuk sama besar.

Bukti:

l

k

mm

A A

D D

B

BC

C

E'E

)(i )(ii


18

Gambar 2.16 Sudut dalam berseberangan

Diberikan dua garis sejajar dan yang dipotong oleh garis pada titik dan

. Akan dibuktikan dan .

Menurut Teorema 2.1, .

Menurut Teorema 2.2, .

Jadi .

Dengan cara yang sama dapat dibuktikan pula . ■

Definisi 2.16

Poligon adalah bangun datar tertutup yang dibatasi oleh ruas-ruas garis yang

disebut sisi dan sisi-sisinya tidak berpotongan, kecuali di titik-titik pangkal dan

ujungnya.

Gambar 2.17 Poligon

k

l

AB C

D

m


19

Definisi 2.17

Segitiga adalah poligon yang mempunyai tiga sisi. Suatu segitiga disajikan

dengan lambang . Misalnya pada (Gambar 2.18), , , dan adalah titik-

titik sudut dan , , dan adalah sisi-sisi.

Gambar 2.18 Segitiga

Definisi 2.18

Segitiga sama kaki adalah segitiga yang dua sisinya sama panjang.

Gambar 2.19 Segitiga sama kaki

Definisi 2.19

Segitiga sama sisi adalah segitiga yang semua sisinya sama panjang.

A B

C

A B

C


20

Gambar 2.20 Segitiga sama sisi

Definisi 2.20

Segitiga siku-siku adalah segitiga yang besar salah satu sudutnya 90° atau

radi-

an.

Gambar 2.21 Segitiga siku-siku

Definisi 2.21

Garis bagi (bisector) adalah ruas garis yang menghubungkan satu titik sudut segi-

tiga ke titik yang terletak pada sisi di hadapannya sehingga membagi sudut terse-

but menjadi dua sudut yang sama besar.

Pada Gambar 2.22 ruas garis adalah garis bagi .

Gambar 2.22 Garis bagi

A B

C

A B

C

A B

C

D


21

Definisi 2.22

Garis tinggi (altitude) adalah ruas garis yang menghubungkan satu titik sudut se-

gitiga ke titik yang terletak pada sisi di hadapannya secara tegak lurus.

Pada Gambar 2.23 ruas garis adalah garis tinggi .

Gambar 2.23 Garis tinggi segitiga

Teorema 2.4

Jumlah besar ketiga sudut pada segitiga adalah 180 .

Bukti:

Gambar 2.24 Jumlah besar ketiga sudut segitiga

Diketahui sebarang . Ruas garis diperpanjang menjadi ruas garis ,

sehingga adalah sudut lurus, yaitu . Menurut Postulat

Playfair, melalui titik B dapat ditarik ruas garis BE yang sejajar dengan ruas garis

, sehingga

.

A B

C

A B

C E

D

AD

B

C


22

karena dan adalah sudut sehadap, dan

karena dan adalah sudut dalam berseberangan.

Karena adalah sudut lurus, maka

Dengan kata lain

Jadi, jumlah besar ketiga sudut sebarang segitiga adalah 180°. ■

Definisi 2.23

Dua poligon dikatakan kongruen jika dan hanya jika ada korespondensi satu-satu

antara titik-titik sudut kedua poligon tersebut sedemikian sehingga semua sisi

yang bersesuaian kongruen dan semua sudut yang bersesuaian kongruen.

Definisi 2.24

Dua segitiga dikatakan kongruen jika dan hanya jika ada korespondensi satu-satu

antara titik-titik sudut kedua segitiga tersebut sedemikian hingga ketiga sisi yang

bersesuaiannya kongruen dan ketiga sudut bersesuaiannya kongruen.

Jika kongruen dengan dengan titik berkorespondensi dengan titik

, titik dengan titik , dan titik dengan titik , maka dinotasikan

. Dengan kata lain, jika dan hanya jika

dan

dan .

Berikut adalah teorema segitiga kongruen.


23

Teorema 2.5 (SAS: Side-Angle-Side)

Dua segitiga kongruen jika dan hanya jika dua sisi yang bersesuaian dari dua segi-

tiga tersebut kongruen dan sudut yang dibentuk oleh sisi-sisi itu kongruen.

Gambar 2.25 Segitiga kongruen SAS

Bukti:

)( Diberikan . Titik berkorespondensi dengan titik , titik

dengan titik , dan titik dengan titik . Menurut Definisi 2.24, ,

, , , , dan .

Dengan kata lain, , , dan (SAS).

)( Diberikan sebarang dan dengan , ,

dan . Titik berkorespondensi dengan titik , titik dengan titik , dan

titik dengan titik . Menurut Definisi 2.24, jika .

Andaikan .

Gambar 2.26 Segitiga kongruen SAS

A

B C

X

Y Z

A

B C

X

Y Z

DD


24

Kosntruksikan titik sedemikian sehingga dan . Menurut

Definisi 2.24, . Oleh karena itu, . Karena

dan , maka . Berarti titik dan adalah

dua titik yang berimpit, jadi . Terjadi kontradiksi, berarti pengandaian

salah, jadi , sehingga menurut Definisi 2.24, . ■

Teorema 2.6 (ASA: Angle-Side-Angle)

Dua segitiga kongruen jika dan hanya jika dua sudut yang bersesuaian dari dua se-

gitiga tersebut kongruen dan sisi yang menghubungkan kedua sudut itu kongruen.

Gambar 2.27 Segitiga kongruen ASA

Bukti:



, , , , dan .

Dengan kata lain, , , dan (ASA).

A

B

C

X

Y

Z


25

Gambar 2.28 Pembuktian segitiga kongruen ASA

)( Diberikan dan dengan , , dan

. Titik berkorespondensi dengan titik , titik dengan titik ,

dan titik dengan titik . Berdasarkan Teorema 2.5, jika

.

Andaikan . Konstruksikan titik pada atau perpanjangan

sedemikian sehingga . Menurut Teorema 2.5, . Oleh

karena itu, . Karena dan , maka

.

Berarti dan adalah ruas garis yang berimpit, jadi titik dan berhimpit.

Jadi . Kontradiksi dengan pengandaian, jadi . Menurut

Teorema 2.5, . ■

Teorema 2.7 (AAS: Angle-Angle-Side)

Dua segitiga kongruen jika dan hanya jika dua sudut yang bersesuaian dari dua

segitiga tersebut kongruen dan sisi yang berhadapan dengan salah satu dari kedua

sudut itu kongruen.

A

B

C

X

Y

Z

D

D


26

Gambar 2.29 Segitiga kongruen AAS

Bukti:

)( Diberikan , menurut Definisi 2.24, , ,

, , , dan . Dengan kata

lain, , , dan (AAS).

)( Diberikan sebarang dan dengan ,

, dan . Titik berkorespodensi dengan titik , titik dengan titik

, dan titik dengan titik . Menurut Teorema 2.4,

,

sehingga .

Jadi ,

sehingga menurut Teorema 2.8, . ■

Definisi 2.25

Ruas garis yang menghubungkan titik sudut suatu poligon dengan titik yang terle-

tak pada sisi di hadapannya secara tegak lurus disebut garis tinggi poligon dan sisi

di hadapan titik sudut itu disebut alas poligon itu.

Definisi 2.26

Poligon yang terdiri dari empat sisi disebut segi empat.

A

B

C

X

Y

Z


27

Definisi 2.27

Segi empat yang keempat sudutnya siku-siku disebut persegi panjang. Sedangkan

persegi panjang yang semua sisinya kongruen disebut persegi. Suatu persegi atau

persegi panjang dilambangkan dengan □, misalnya □ dan □ (Gambar

2.30). Panjang sisi persegi panjang yang lebih panjang disebut panjang dan pan-

jang sisi yang lebih pendek disebut lebar. Pada suatu persegi, panjang sama deng-

an lebar.

Pada persegi panjang □ (Gambar 2.30), panjang sisi adalah panjang dan

panjang sisi adalah lebar.

Gambar 2.30 Persegi dan Persegi Panjang

Definisi 2.28

Besaran yang menyatakan ukuran dua dimensi suatu polygon disebut luas. Dilam-

bangkan dengan , misalnya luas persegi □ adalah □ dan luas

segitiga adalah .

Definisi 2.29

Dua poligon dikatakan ekivalen jika dan hanya jika kedua poligon tersebut terdiri

dari sejumlah berhingga poligon yang kongruen.

Pada Gambar 2.31, poligon ekivalen dengan poligon , karena

poligon terdiri dari dua poligon yang kongruen dengan dua poligon yang

membentuk poligon , yaitu poligon kongruen dengan poligon

dan poligon kongruen dengan poligon .

A B

CD

P Q

RS


28

Gambar 2.31 Dua poligon ekivalen

Definisi 2.30

Dua poligon dikatakan mempunyai luas yang sama jika dua poligon itu ekivalen.

Definisi 2.31

Luas suatu persegi dikatakan satu satuan luas jika panjang sisi persegi tersebut sa-

tu satuan.

Teorema 2.8

Luas persegi adalah hasil kali panjang dua sisi persegi itu.

Bukti:

Diberikan persegi □ dengan panjang sisi satuan ( ). Akan

dibuktikan □ satuan luas.

Gambar 2.32 Persegi □

A B

CD

x

x

A

B

C

D

E

F


29

Jika , maka menurut Definisi 2.31, luas persegi itu adalah satu satuan. Jika

dan , maka □ dapat dibentuk dari persegi-persegi yang panjang

sisinya satu satuan. Karena ada persegi pada setiap sisi □ , maka ada

yang memenuhi persegi □ . Karena luas dari persegi dengan pan-

jang sisi satuan adalah satu satuan luas, maka luas persegi □ adalah

satuan luas.

Jika , maka

. Misalkan □ adalah . Dapat dibu-

at persegi dengan panjang sisi dan luas persegi ini adalah

. Persegi ini dapat dibagi menjadi persegi-persegi yang lebih kecil dengan

panjang sisi . Karena ada persegi dengan panjang sisi pada setiap sisi pada

persegi dengan panjang sisi , maka ada persegi dengan panjang sisi , se-

hingga . Maka

sehingga .

Jika , maka mengingat kerapatan dalam

| | | | .

Oleh karena itu, menurut definisi limit

dan .

Karena persegi dengan panjang sisi dapat memuat persegi dengan panjang sisi

dan persegi dengan panjang sisi dapat memuat persegi dengan panjang sisi ,

maka luas persegi dengan panjang sisi □ luas persegi dengan

panjang sisi .

Karena dan adalah bilangan rasional, maka menurut bagian kedua pembukti-

an ini

Luas persegi dengan panjang sisi


30

dan Luas persegi dengan panjang sisi .

Karena Luas persegi dengan panjang sisi

dan Luas persegi dengan panjang sisi ) ,

maka □ ,

sehingga □ satuan luas.

Jadi □ satuan luas. ■

Teorema 2.9

Luas persegi panjang adalah hasil kali panjang dan lebar persegi panjang tersebut.

Bukti:

Diberikan persegi panjang □ dengan dan .

Akan dibuktikan □ .

Gambar 2.33 Persegi Panjang

Konstruksikan persegi □ dengan panjang sisi-sisinya . Konstruksikan

titik pada sedemikian sehingga dan . Konstruksikan titik

pada sedemikian sehingga dan . Konstruksikan titik pada

sedemikian sehingga dan . Kosntruksikan titik pada

sedemikian sehingga dan . Ruas garis dan berpotongan

pada titik , sehingga dan .

A B

CD

a

b


31

Gambar 2.34 Persegi □

Menurut Definisi 2.27, □ adalah persegi dengan panjang sisi dan □

adalah persegi dengan panjang sisi . Menurut Teorema 2.8, □ dan

□ .

Karena dan , maka □ ekiva-

len dengan □ sehingga menurut Definisi 2.30, □ □ .

Selanjutnya

□ □ □ □ □

□

□

sehingga □ .

Jadi □ . ■

Definisi 2.32

Segi empat yang kedua pasang sisi yang berhadapannya sejajar disebut jajaran

genjang. Jajaran genjang dilambangkan dengan ◊, misalkan ◊ .

A B

CD

I

GEF

H


32

Gambar 2.35 Jajaran genjang

Teorema 2.11

Luas jajaran genjang adalah hasil kali panjang alas dengan panjang garis tinggi

jajaran genjang tersebut.

Bukti:

Diberikan jajaran genjang dengan dan . Konstruksikan

garis tinggi melalui titik dan , yang memotong dan perpanjangan pada

titik dan , seperti pada Gambar 2.35.

Gambar 2.36 Jajar genjang

Menurut Teorema 2.2, . Karena dan , maka

menurut Teorema 2.5, . Oleh karena itu, menurut Definisi 2.30

◊ □

sehingga ◊ .

A

B

C

D

AB

CD

EF


33

Karena , maka , sehingga , sehingga

◊ . ■

Teorema 2.11

Luas segitiga adalah setengah dari hasil kali panjang alas segitiga dengan panjang

garis tinggi segitiga tersebut.

Bukti:

Diberikan . Konstruksikan titik sedemikian sehingga sejajar dengan

dan . Akibatnya, adalah jajaran genjang, sehingga .

Gambar 2.37 Pembuktian Teorema 2.12

Menurut Teorema 2.3, . Karena , , dan

, maka menurut Teorema 2.5, . Oleh karena itu, menurut

Definisi 2.30, . Maka

◊

◊ .

Konstruksikan garis tinggi melalui titik yang memotong pada titik . Maka

. ■

A B

C D

E


34

Teorema 2.12

Jika dan yang mempunyai alas yang sama, yaitu , dan

sejajar dengan , maka .

Bukti:

Konstruksikan garis tinggi melalui titik dan garis tinggi melalui

titik .

Gambar 2.38 Segitiga dan

Karena sejajar dengan , maka , sehingga

.

Jadi, . ■

Teorema 2.13

Jika diberikan dan titik pada , maka

.

A

B C

'A


35

Bukti:

Gambar 2.39 Segitiga

Karena titik pada , maka garis tinggi sama dengan garis tinggi ,

yaitu . Oleh karena itu,

. ■

Teorema 2.14

Jika diberikan dan garis yang sejajar dengan memotong pada titik

dan memotong pada titik , maka

.

Gambar 2.40 Ilustrasi Teorema 2.14

A

B CD E

A

B C

D El


36

Bukti:

Gambar 2.41 Ilustrasi Pembuktian Teorema 2.14

Konstruksikan dan garis tinggi dan melalui titik (Gambar

2.41). Menurut Teorema 2.13,

. (2.1)

Gambar 2.42 Ilustrasi Pembuktian Teorema 2.14

Konstruksikan dan garis tinggi dan melalui titik (Gambar

2.42). Menurut Teorema 2.13,

. (2.2)

Menurut Teorema 2.12, , maka

.

A

B C

D E

A

B C

D E


37

Jadi, . (2.3)

Dari persamaan (2.1), (2.2), dan (2.3), diperoleh

sehingga

. ■

Definisi 2.33

Dua segitiga dikatakan sebangun jika dan hanya jika ada korespondensi satu-satu

antara titik-titik sudut segitiga yang satu dengan titik-titik sudut segitiga lainnya

sedemikian sehingga sudut-sudut bersesuaian kongruen.

Jika sebangun dengan , dengan titik berkorespondensi dengan titik

, titik dengan titik , dan titik dengan titik , maka dinotasikan dengan

. Dengan kata lain, jika dan hanya jika

, , dan .

Teorema 2.15

Jika dua segitiga sebangun, maka sisi-sisinya sebanding.

Bukti:

Diberikan , titik berkorespondensi dengan titik , titik dengan

titik , dan titik dengan titik , maka , , dan

. Akan dibuktikan

.

Jika , maka menurut Teorema 2.6, , sehingga

.


38

Jika , maka ada titik pada atau perpanjangan sedemikian

sehingga . Menurut Postulat Playfair, melalui titik dapat dikonstruksi-

kan garis yang sejajar dan memotong pada titik .


Menurut Teorema 2.14,

.

Menurut Teorema 2.2, . Karena , maka

. Menurut Teorema 2.6, . Jadi,

dan

,

sehingga

. (2.4)

Ada titik pada atau perpanjangan sedemikian sehingga .

Menurut Postulat Playfair, melalui titik dapat dikonstruksikan garis yang sejajar

dan memotong pada titik .

A

B C

D

E F

P Q


39



.

Menurut Teorema 2.2, . Karena , maka

. Menurut Teorema 2.6, . Jadi,

dan

se-

hingga

. (2.5)

Dari persamaan (2.4) dan (2.5) diperoleh

. ■

Teorema 2.16

Jika , titik berkorespondensi dengan titik , titik dengan titik

, dan titik dengan titik , maka

, , dan ( .

Bukti:

Karena , maka menurut Teorema 2.16

A

B C

D

E FX

Y


40

.

Misalkan

( , maka

sehingga ,

sehingga ,

dan

sehingga . ■

Teorema 2.17 (AA: Angle-Angle)

Dua segitiga sebangun jika dan hanya jika dua sudut dari satu segitiga kongruen

dengan dua sudut segitiga lainnya.

Gambar 2.45 Segitiga Sebangun AA

Bukti:



, dan . Dengan kata lain, dua sudut dari satu segi-

tiga kongruen dengan dua sudut segitiga lainnya.

A B

C Z

X Y


41

)( Diberikan dan dengan titik berkorespondensi dengan titik ,

titik dengan titik , titik dengan titik , dan .


,

sehingga .

Jadi ,

sehingga menurut Definisi 2.33, . ■


Dua segitiga sebangun jika dan hanya jika sudut dari satu segitiga kongruen

dengan sudut segitiga lainnya, dan panjang sepasang sisi yang membentuk sudut

tersebut sebanding.

Gambar 2.46 Segitiga Sebangun SAS

Bukti:


dengan titik , dan titik dengan titik . Menurut Definisi 2.33, .


.

)( Diberikan sebarang dan dengan titik berkorespondensi

dengan titik , titik dengan titik , titik dengan titik , dan

.

A B

C Z

X

a

kaY


42

Gambar 2.47 Segitiga sebangun SAS

Konstruksikan titik pada atau pada perpanjangan sedemikian sehingga

. Menurut Postulat Playfair, melalui titik dapat dikonstruksikan garis

yang sejajar dan memotong di titik . Menurut Teorema 2.2,

dan . Oleh karena itu, menurut Teorema 2.18,

. Menurut Teorema 2.15,

sehingga

.

Karena , maka , , , dan

, menurut Teorema 2.5, . Oleh karena itu,

. Jadi menurut Teorema 2.17, . ■

Teorema 2.19 (SSS:Side-Side-Side)

Dua segitiga sebangun jika dan hanya jika panjang tiga sisi dari satu segitiga

sebanding dengan panjang tiga sisi dari segitiga lainnya.

Gambar 2.48 Segitiga Sebangun SSS

AB

C

X

Y

Z

D

D

E

E

A B

C Z

X Y

a

bc

ka

kbkc


43

Bukti:


dengan titik , dan titik dengan titik . Menurut Teorema 2.15,

.

)( Diberikan dan dengan titik berkorespondensi dengan titik ,

titik dengan titik , titik dengan titik , dan

.

Gambar 2.49 Segitiga sebangun SSS

Konstrusikan titik pada atau pada perpanjangan sedemikian sehingga

. Menurut Postulat Playfair, melalui titik dapat dikonstruksikan garis

yang sejajar dan memotong pada titik . Menurut Teorema 2.2,

dan . Oleh karena itu, sehingga menurut

Teorema 2.15,

sehingga

dan

.

Karena , , dan , maka menurut Definisi 2.24,

. Oleh karena itu, dan . Karena

AB

C

XY

Z

D

D

E

E


44

dan , maka dan .

Menurut Teorema 2.17, . ■

Definisi 2.34

Sumbu simetri suatu bangun datar adalah garis yang membagi bangun itu menjadi

dua bagian yang kongruen.

Gambar 2.50 Sumbu simetri

Definisi 2.35

Lingkaran adalah himpunan semua titik di bidang datar yang berjarak sama ter-

hadap suatu titik tertentu. Titik tertentu tersebut disebut titik pusat lingkaran

(Gambar 2.51).

Gambar 2.51 Lingkaran dengan titik pusat T

Definisi 2.36

Jari-jari lingkaran adalah ruas garis yang titik pangkalnya titik pusat lingkaran

dan titik ujungnya sembarang titik pada lingkaran

A B

CD

K L

M

T


45

Gambar 2.52 adalah ilustrasi jari-jari lingkaran yang dilambangkan dengan .

Gambr 2.52 Jari-jari lingkaran

Definisi 2.37

Diameter lingkaran adalah ruas garis yang melewati titik pusat lingkaran dan titik

pangkal dan titik ujungnya adalah sebuah titik pada lingkaran. Diameter lingkaran

dilambangkan dengan (Gambar 2.53).

Gambar 2.53 Diameter lingkaran

Definisi 2.38

Busur lingkaran adalah bagian dari lingkaran.

Definisi 2.39

Tali busur adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran.

Tr

T

d


46

busur

tali busur

Gambar 2.54 Busur dan tali busur

Definisi 2.40

Sudut pusat pada lingkaran adalah sudut yang dibentuk oleh dua jari-jari lingkaran

tersebut.

Gambar 2.55 Sudut pusat

Definisi 2.41

Jarak dari satu titik pada lingkaran dalam satu putaran penuh hingga kembali ke

titik itu disebut keliling lingkaran.

Karena adalah keliling lingkaran dibagi diameternya, maka keliling lingkaran

adalah hasil kali dengan diameter atau dua kali jari-jari lingkaran terse-

but. Jika keliling lingkaran dilambangkan dengan , maka

, sehingga

.

T

C

D

A

B

T

A

B


47

Teorema 2.20

Panjang busur pada lingkaran sama dengan besarnya sudut pusat dalam satuan

radian yang kaki-kakinya melalui titik pangkal dan titik ujung busur tersebut dika-

likan dengan jari-jari lingkaran.

Bukti:

Diberikan lingkaran dengan pusat dan jari-jari . Misalkan adalah busur pa-

da lingkaran tersebut dengan panjang dan misalkan besar sudut pusat yang

menghadap busur tersebut adalah radian, maka berlaku perbandingan

.

Dengan kata lain,

sehingga . ■

Definisi 2.42

Sudut keliling pada lingkaran adalah sudut yang dibentuk oleh dua tali busur yang

berpotongan di satu titik pada lingkaran.

Gambar 2.56 Sudut keliling

O

A B

C


48

2. Konsep-Konsep Dasar dalam Geometri Ruang

Karena geometri bola tidak lepas dari geometri ruang, maka sebelum

membahas geometri bola akan dibahas terlebih dahulu geometri ruang. Berikut

adalah beberapa konsep pada geometri ruang yang dibutuhkan pada geometri

bola.

Definisi 2.43

Bidang adalah himpunan titik-titik yang mempunyai panjang dan lebar.

Gambar 2.57 Bidang

Definisi 2.44

Suatu garis dikatakan tegak lurus bidang jika garis itu tegak lurus pada setiap ga-

ris yang terletak pada bidang itu dan berpotongan dengan garis tersebut.

Gambar 2.58 Garis tegak lurus bidang

Teorema 2.21

Jika suatu garis tegak lurus dengan dua ruas garis yang berpotongan, maka garis

tersebut tegak lurus dengan bidang yang memuat dua ruas garis tersebut.


49

Bukti:

Diketahui dan pada bidang . Misalkan tegak lurus dan

pada titik . Konstruksikan dan konstruksikan sebarang ruas garis pada

dengan titik terletak pada . Perpanjang dengan sedemikian

sehingga . Oleh karena itu, dan juga tegak lurus .

Konstruksikan , , , , , dan .

Gambar 2.59 Garis tegak lurus bidang

Karena , , dan , maka . Oleh

karena itu, . Karena , , dan , maka

. Oleh karena itu, . Karena , , dan

, maka . Oleh karena itu, . Karena

terletak pada , maka .

Karena , , dan , maka . Oleh

karena itu, . Karena , , dan , maka

. Oleh karena itu, . Karena adalah perpanjangan ,

maka

A

B

CD

E

F

M

N


50

.

Jadi, tegak lurus . Berarti tegak lurus terhadap sebarang garis pada

bidang yang berpotongan dengan , sehingga tegak lurus bidang . ■

Definisi 2.45

Perpotongan dua bidang membentuk garis yang disebut rusuk.

Gambar 2.60 Perpotongan dua bidang

Definisi 2.46

Suatu bangun yang terbentuk oleh dua bidang yang berpotongan disebut sudut

dihedral.

Sudut dihedral dapat dinotasikan dengan nama rusuk yang membentuk sudut

dihedral tersebut. Contohnya sudut dihedral pada Gambar 2.61.

A

B

EF

G


51

Gambar 2.61 Sudut dihedral

Definisi 2.47

Sudut bidang dari sudut dihedral adalah sudut yang dibentuk oleh dua garis yang

terletak pada masing-masing pada bidang, dan tegak lurus rusuk sudut dihedral

pada satu titik di rusuk tersebut.

Contohnya pada Gambar 2.61, adalah sudut bidang dari sudut dihedral

.

Definisi 2.48

Suatu bangun yang terbentuk dari tiga atau lebih bidang yang berpotongan pada

satu titik disebut sudut polihedral. Titik perpotongan bidang-bidang itu disebut

titik puncak (Gambar 2.62).

(a) (b)

Gambar 2.62 Sudut polihedral

Setiap dua bidang pada sudut polihedral membentuk sudut dihedral.

Sama seperti sudut dihedral, perpotongan setiap dua bidang disebut rusuk dari

sudut polihedral.

Sudut polihedral disebut trihedral jika terbentuk dari tiga bidang yang

berpotongan, tetrahedral jika terbentuk dari empat bidang yang berpotongan, dan

seterusnya tergantung jumlah bidang yang membatasi. Jika adalah titik puncak,

A

B

C

S S

A

B C

DE


52

maka trihedral dinotasikan dengan - , tetrahedral dinotasikan dengan -

, dan seterusnya.

Definisi 2.49

Sudut muka dari sudut polihedral adalah sudut yang terbentuk dari dua rusuk

sudut polihedral.

Pada Gambar 2.62(b), adalah titik puncak dan , , ,

adalah rusuk dari sudut polihedral. Sudut , , , ,

adalah sudut muka.

Teorema 2.22

Jumlah besar dua sudut muka trihedral lebih besar dari pada besar sudut muka

ketiga.

Gambar 2.63 Sudut Trihedral

Bukti:

Diberikan sebarang sudut trihedral - dengan lebih besar daripada

dan . Akan dibuktikan .

Pada bidang konstruksikan , sedemikian sehingga

dan . Karena , , dan , maka

. Oleh karena itu .

Pada , . Tetapi karena , maka

S

A

B

CD


53

Pada dan , dan tapi sehingga

Karena , maka

sehingga . ■

3. Konsep-Konsep Dasar dalam Geometri Bola

Geometri bola adalah geometri pada permukaan sebuah bola. Akan

menjadi lebih sederhana jika pada subbab ini dipilih bola dengan radius satu

satuan.

Definisi 2.50

Bola adalah himpunan semua titik di yang berjarak sama terhadap sebuah titik

tertentu, yang disebut titik pusat.

Gambar 2.64 merupakan ilustrasi sebuah bola, dengan titik adalah titik pusat

bola.


54

Gambar 2.64 Bola dengan titik pusat

Definisi 2.51

Jari-jari bola adalah ruas garis yang titik pangkalnya adalah titik pusat bola dan

titik ujungnya adalah sebuah titik pada permukaan bola.

Gambar 2.65 adalah ilustrasi jari-jari sebuah bola yang dilambangkan dengan .

Gambar 2.65 Jari-jari bola

Definisi 2.52

Diameter bola adalah ruas garis yang melewati titik pusat dan titik pangkal dan

titik ujungnya adalah dua titik pada permukaan bola. Diameter bola seringkali

juga disebut sumbu bola.

Gambar 2.66 adalah ilustrasi diameter bola yang dilambangkan dengan .

O

O O

RR


55

Gambar 2.66 Diameter bola

Definisi 2.53

Lingkaran besar pada bola adalah perpotongan antara bola dengan bidang yang

melewati titik pusat bola (Gambar 2.67(a)).

Definisi 2.54

Lingkaran kecil pada bola adalah perpotongan bola dengan bidang yang tidak

melewati titik pusat bola (Gambar 2.67(b)).

Gambar 2.67 (a) Lingkaran besar; (b) lingkaran kecil

Pada geometri Euclides, garis dapat dikonstruksikan dari dua titik.

Demikian pula pada geometri bola, namun “garis” pada geometri bola adalah

lingkaran besar.

Definisi 2.55

Sudut yang dibentuk oleh dua jari-jari bola disebut sudut pusat bola.

O OD

D

O O


56

Definisi 2.56

Busur pada bola adalah busur dari sebuah lingkaran besar. Busur pada bola dilam-

bangkan dengan (Gambar 2.68).

Definisi 2.57

Panjang busur pada bola adalah panjang busur pada lingkaran besar. Dengan kata

lain, panjang busur pada bola adalah besar sudut pusat bola yang menghadap bu-

sur tersebut dikalikan dengan jari-jari bola.

Berdasarkan panjangnya, busur pada bola dibagi menjadi dua macam,

yaitu busur pendek dan busur panjang. Busur pendek adalah busur yang besar su-

dut pusatnya lebih kecil dan busur panjang adalah busur yang besar sudut pusat-

nya lebih besar.

Gambar 2.68 Busur pada bola

Definisi 2.58

Jarak antara dua titik dan pada bola (yang dilambangkan dengan ) adalah

panjang busur pendek yang melalui kedua titik tersebut.

Pada Gambar 2.69, jika adalah jari-jari bola dan

rad, maka

satuan panjang. Karena dalam subbab ini adalah satu satuan, maka

satuan panjang.

P

Q

u

v


57

Gambar 2.69 Jarak dua titik pada bola

Definisi 2.61

Sudut bola adalah sudut yang dibentuk oleh dua busur yang berpotongan pada

bola. Titik perpotongan dua busur itu disebut titik sudut dan dua busur yang mem-

bentuk sudut bola itu disebut sisi. Besar sudut bola adalah besar sudut bidang dari

sudut dihedral yang dibentuk oleh dua bidang yang melalui busur tersebut.

Pada Gambar 2.70, sudut bola dengan titik sudut yang dibentuk oleh sisi

dan mempunyai besar sudut .

Gambar 2.70 Sudut bola

Definisi 2.60

Dua busur dikatakan tegak lurus jika besar sudut bola yang dibentuk oleh dua

busur tersebut adalah 90°.

A

'A

B C

O

A

B C


58

Gambar 2.71 Busur tegak lurus

Definisi 2.61

Poligon bola adalah bangun pada permukaan bola yang dibatasi oleh tiga atau

lebih busur pada bola. Busur pembatas itu disebut sisi dari poligon bola, sudut

yang dibentuk oleh dua sisi disebut sudut dari poligon bola, dan titik potong sisi-

sisi disebut titik sudut poligon.

Gambar 2.72 Poligon bola

Dari poligon bola dapat terbentuk sudut polihedral yang titik puncak-

nya adalah titik pusat bola, rusuknya adalah jari-jari bola.

Pada Gambar 2.72, sudut polihedral yang terbentuk adalah - .

Besar sudut muka , , dan berturut-turut sama dengan

, , , dan . Besar sudut bidang dari sudut dihedral dengan rusuk

sama dengan besar sudut bola .

O

O

A BC

D


59

Definisi 2.62

Segitiga bola adalah poligon bola yang terdiri dari tiga busur pada bola. Segitiga

bola disajikan dengan lambang . Busur yang membentuk segitiga bola disebut

sisi dan titik perpotongan sisi-sisi tersebut disebut titik sudut.

Misalnya pada (Gambar 2.73), , , dan adalah titik-titik sudut dan ,

, dan adalah sisi-sisi.

Gambar 2.73 Segitiga bola

Definisi 2.63

Segitiga bola sama kaki adalah segitiga bola yang dua sisinya sama panjang.

Gambar 2.74 Segitiga bola sama kaki

Definisi 2.64

Segitiga bola sama sisi adalah segitiga bola yang ketiga sisinya sama panjang.

A B

C

ab

c

AB

C


60

Gambar 2.75 Segitiga bola sama sisi

Definisi 2.65

Segitiga bola siku-siku adalah segitiga bola yang sekurang-kurangnya satu sudut

besarnya 90°. Segitiga bola siku-siku dengan dua buah sudut siku-siku disebut se-

gitiga bola birectangular, sedangkan segitiga dengan tiga buah sudut siku-siku

disebut segitiga bola trirectangular.

Gambar 2.76 Segitiga bola siku-siku

Definisi 2.66

Lingkaran yang titik-titiknya dan titik pusatnya terletak pada bola disebut lingka-

ran bola. Jari-jari lingkaran bola adalah busur yang titik pangkalnya adalah titik

pusat lingkaran bola itu dan titik ujungnya adalah sebarang titik pada lingkaran

bola itu.

A B

C

A B

C


61

Gambar 2.77 Lingkaran Bola

Definisi 2.67

Diameter lingkaran bola adalah busur pada bola yang melewati titik pusat

lingkaran bola itu dan titik pangkal dan titik ujungnya terletak pada lingkaran bola

itu.

Gambar 2.78 Diameter lingkaran bola

Definisi 2.68

Tali busur lingkaran bola adalah busur pada bola yang menghubungkan dua titik

pada lingkaran bola itu.

Gambar 2.79 Tali busur lingkaran bola

A

B

O

A

B

O


62

Definisi 2.69

Sudut keliling lingkaran bola adalah sudut yang dibentuk oleh dua tali busur ling-

karan bola yang berpotongan di satu titik pada lingkaran bola itu.

Definisi 2.70

Lingkaran bola yang memuat ketiga titik sudut suatu segitiga bola disebut lingka-

ran bola luar segitiga bola.

Pada Gambar 2.80, memiliki lingkaran bola luar segitiga bola

dengan pusat dan memiliki lingkaran bola luar segitiga bola dengan

pusat .

Gambar 2.80 Lingkaran bola luar segitiga bola

Definisi 2.71

Titik pada bola yang jaraknya

dari semua titik pada suatu busur lingkaran besar

disebut kutub dari busur tersebut.

Teorema 2.23

Jika diberikan bola dengan jari-jari satu satuan dan suatu titik pada bola memiliki

jarak

ke sebarang dua titik pada suatu busur lingkaran besar, maka titik itu me-

rupakan kutub dari busur lingkaran besar tersebut.

A

B

C O

X

Y

Z

P


63

Bukti:

Gambar 2.81 Kutub

Diberikan bola dengan pusat dan jari-jari satu satuan, sebarang lingkaran besar

dengan titik dan pada lingkaran besar tersebut. Diketahui titik sedemikian

sehingga

dan

, dengan kata lain,

radian.

Menurut Teorema 2.21, tegak lurus bidang lingkaran . Berarti tegak

lurus semua garis yang ada pada bidang lingkaran . Diberikan sebarang titik

pada busur , kontruksikan . Karena tegak lurus semua garis yang ada

pada bidang lingkaran , sehingga tegak lurus , berarti

ra-

dian. Dengan kata lain,

. Jadi adalah kutub dari busur . ■

Definisi 2.72

Jika dan adalah dua segitiga bola sedemikan sehingga adalah

kutub dari busur , adalah kutub dari busur , adalah kutub dari busur

, maka disebut segitiga polar dari .

Gambar 2.82 Segitiga polar

O

P

A B


64

Teorema 2.24

Jika adalah segitiga polar dari , maka adalah segitiga polar

dari .

Bukti:

Diberikan adalah segitiga polar dari . Akan dibuktikan

segitiga polar dari

.

Karena adalah segitiga polar dari , maka adalah kutub dari

busur dan adalah kutub dari busur . Oleh karena itu, menurut Definisi

2.71, jarak titik ke titik adalah

dan jarak dari titik ke titik adalah

.

Menurut Teorema 2.23, adalah kutub dari busur . Dengan cara yang sama,

adalah kutub dari busur dan adalah kutub dari busur . Menurut

Definisi 2.72, adalah segitiga polar dari . ■

Teorema 2.25

Dalam dua segitiga polar, masing-masing sudut saling berdampingan dengan sisi

yang berlawanan.

Bukti:

Gambar 2.83 Segitiga polar

Diberikan dua segitiga polar dan , dengan jari-jari bola satu satuan.


65

Akan dibuktikan

Perpanjang busur dan sehingga memotong busur pada titik dan

seperti pada Gambar 2.83. Sekarang menjadi kutub dari busur sehingga

. Serta

menjadi kutub dari busur sehingga

. Oleh karena

itu,

Karena , maka

.

Karena , maka

Tetapi (tanpa satuan), sehingga

.

Dengan cara yang sama semua lainnya dapat dibuktikan. ■

Definisi 2.73

Dua sisi suatu poligon bola dikatakan kongruen jika dan hanya jika panjang kedua

sisi tersebut sama.

Definisi 2.74

Dua sudut suatu poligon bola dikatakan kongruen jika dan hanya jika besar sudut

bola kedua sudut itu sama.


66

Definisi 2.75

Dua segitiga bola dikatakan kongruen jika dan hanya jika ada korespondensi satu-

satu antara titik-titik sudut kedua segitiga bola tersebut sedemikian sehingga se-

mua sisi bersesuaiannya kongruen dan semua sudut bersesuaiannya kongruen.

Jika kongruen dengan , maka dinotasikan dengan .

Dengan kata lain, jika dan hanya jika

, ,

dan

, , .

Gambar 2.84 Segitiga bola kongruen

Berikut adalah teorema segitiga bola kongruen.


Dua segitiga bola kongruen jika dan hanya jika dua sisi yang bersesuaian dari dua

segitiga bola kongruen dan sudut yang dibentuk oleh sisi-sisi itu kongruen.

Gambar 2.85 Segitiga bola kongruen SAS

A

B

C

X

Y

Z

A

B

C

X

Y

Z


67

Bukti:

)( Diberikan , maka menurut Definisi 2.75, ,

, , , , dan . Maka

syarat Side-Angle-Side terpenuhi, yaitu , , ;

, , ; dan , , .

)( Diberikan dua segitiga bola dan dengan ,

, dan . Korespondensikan titik sudut dengan titik sudut , titik

sudut dengan titik sudut , dan titik sudut dengan titik sudut . Menurut

Definisi 2.75, jika .

Gambar 2.86 Pembuktian segitiga bola kongruen SAS

Andaikan . Kostruksikan titik sedemikian sehingga dan

. Menurut Definisi 2.75, . Oleh karena itu,

. Karena dan , maka .

Berarti titik dan adalah titik yang berhimpit, jadi . Terjadi

kontradiksi, sehingga dan menurut Definisi 2.75, . ■

Teorema 2.27 (ASA: Angle-Side-Angle)

Dua segitiga bola kongruen jika dan hanya jika dua sudut yang bersesuaian dari

dua segitiga bola kongruen dan sisi yang menghubungkan kedua sudut itu

kongruen.

A

B

C

X

Y

ZD

D


68

Gambar 2.87 Segitiga bola kongruen ASA

Bukti:

)( Diberikan , maka menurut Definisi 2.75, ,

, , , , dan . Maka

syarat Angle-Side-Angle terpenuhi, yaitu , ,

; , , ; dan ,

, .

)( Diberikan dan dengan , , dan

. Korespondensikan titik sudut dengan titik sudut , titik sudut

dengan titik sudut , dan titik sudut dengan titik sudut . Berdasarkan

Teorema 2.26, jika .

Gambar 2.88 Pembuktian segitiga bola kongruen ASA

Andaikan . Konstruksikan titik pada atau perpanjangan

sedemikian sehingga . Menurut Teorema 2.26, . Oleh

A

B

C

X

Y

Z

A

B

C

X

Y

ZD

D


69

karena itu, , sehingga . Berarti dan

adalah busur yag berhimpit, jadi titik dan juga berhimpit, sehingga

. Kontradiksi dengan pengandaian, jadi . Menurut

Teorema 2.26, . ■


70

BAB III

SIFAT-SIFAT SEGITIGA PADA GEOMETRI EUCLIDES DAN

GEOMETRI BOLA

A. Sifat-Sifat Segitiga pada Geometri Euclides

Telah didefinisikan sebelumnya bahwa segitiga adalah poligon yang

memiliki tiga sisi. Segitiga selalu memiliki tiga sisi merupakan sifat umum sebuah

segitiga. Sebelum membahas sifat-sifat khusus segitiga, terlebih dahulu dibahas

sifat-sifat umum lainnya dari segitiga.

Teorema 3.1

Jumlah panjang dua sisi segitiga lebih besar daripada panjang sisi yang ketiga dan

selisih panjang dua sisi lebih kecil daripada sisi ketiga.

Bukti:

Gambar 3.1 Segitiga

Diberikan dan ruas garis adalah sisi terpanjang. Akan dibuktikan

dan .

Menurut Definisi 2.5, panjang ruas garis adalah jarak terdekat antara titik

dan , sehingga

.

A B

C


71

Maka

dengan kata lain . ■

Setelah mengetahui sifat umum sebuah segitiga, akan dibahas sifat-

sifat segitiga sama kaki, segitiga sama sisi, dan segitiga siku-siku.

1. Segitiga Sama Kaki

Segitiga sama kaki adalah segitiga yang dua sisinya kongruen. Sifat-

sifat segitiga sama kaki adalah sebagai berikut.

Teorema 3.2

Sudut-sudut yang berhadapan dengan sisi-sisi yang kongruen dari suatu segitiga

sama kaki adalah kongruen.


Bukti:

Diberikan sebarang segitiga sama kaki , dengan . Konstruksikan

garis bagi pada seperti pada Gambar 3.3.

A B

C


72


Karena adalah garis bagi, maka . Oleh karena itu, menurut

Teorema 2.5, , sehingga . ■

Teorema 3.3

Segitiga sama kaki hanya memiliki satu sumbu simetri.

Bukti:


Diberikan sebarang segitiga sama kaki dengan . Pada Teorema

3.2 telah dibuktikan bahwa garis bagi membagi segitiga sama kaki menjadi

dua segitiga yang kongruen, yaitu . Jadi garis bagi adalah

sumbu simetri segitiga sama kaki .

Konstruksikan garis bagi sehingga dan . Karena sisi

yang kongruen pada segitiga sama kaki adalah dan , maka

belum tentu kongruen dengan sehingga tidak memenuhi syarat SAS. Oleh

A B

C

A B

C

E F

D


73

karena itu, . Jadi garis bagi bukan sumbu simetri segitiga sama

kaki .

Konstruksikan garis bagi sehingga dan . Karena sisi

yang kongruen pada segitiga sama kaki adalah dan , maka

belum tentu kongruen dengan sehingga tidak memenuhi syarat SAS. Oleh

karena itu, . Jadi garis bagi bukan sumbu simetri segitiga sama

kaki .

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa setiap segitiga sama kaki hanya

memiliki satu sumbu simetri. ■

2. Segitiga Sama Sisi

Segitiga sama sisi adalah segitiga yang semua sisinya kongruen.

Berikut adalah sifat-sifat segitiga sama sisi.

Teorema 3.4

Ketiga sudut segitiga sama sisi adalah kongruen, yaitu 60°.


Bukti:

Diberikan sebarang segitiga sama sisi, dengan . Konstruk-

sikan garis bagi pada setiap titik sudutnya seperti pada Gambar 3.5.

A B

C

D

E

F


74

Menurut Teorema 3.2, karena dan adalah garis bagi , maka

(3.1)

Karena dan adalah garis bagi , maka

(3.2)

Karena dan adalah garis bagi , maka

. (3.3)

Dari persamaan (3.1), (3.2), dan (3.3) dapat disimpulkan

Ketiga sudut pada segitiga sama sisi kongruen. Karena ketiga sudutnya kongruen

dan jumlah ketiga sudut segitiga selalu 180°, maka besar masing-masing sudutnya

adalah 60°. ■

Teorema 3.5

Segitiga sama sisi mempunyai tiga sumbu simetri.

Bukti:


Diberikan sebarang segitiga sama sisi , dan . Konstruksikan

garis bagi , sehingga . Karena dan setiap sudut me-

X Y

Y

P

Q R


75

miliki sudut yang sama, dengan syarat ASA diperoleh . Jadi garis

bagi adalah sumbu simetri.

Konstruksikan garis bagi , sehingga . Karena dan se-

tiap sudut memiliki sudut yang sama, dengan syarat ASA diperoleh

. Jadi garis bagi adalah sumbu simetri.

Konstruksikan garis bagi , sehingga . Karena dan se-

tiap sudut memiliki sudut yang sama, dengan syarat ASA diperoleh

. Jadi garis bagi adalah simbu simetri.

Jadi segitiga sama sisi mempunyai tiga sumbu simetri. ■

3. Segitiga Siku-Siku

Seperti sudah dijelaskan pada bab sebelumnya, segitiga siku-siku ada-

lah segitiga yang besar salah satu sudutnya adalah 90°.

Teorema 3.6

Diberikan segitiga siku-siku dengan dan garis tinggi

(seperti pada Gambar 3.7), maka (Owen Byer, 2010) :

a.

b. √ ,

, dan

.


76

Gambar 3.7 Ilustrasi Teorema 3.6

Bukti:

(a) Karena adalah garis tinggi, maka , , dan adalah

segitiga siku-siku, sehingga

(3.4)

(3.5)

dan (3.6)

Karena , maka dengan substitusi ke (3.1.4) diperoleh

(3.7)

Persamaan (3.7) dikurangi persamaan (3.6) akan menghasilkan

Sehingga

Karena , maka dengan substitusi ke (3.1.4) diperoleh

. (3.8)

Persamaan (3.8) dikurangi persamaan (3.5) akan menghasilkan

.

Oleh karena itu, dengan syarat segitiga sebangun AA, diperoleh

.

(b) Karena , maka

A B

C

D


77

√

Karena , maka

sehingga

.

Karena , maka

sehingga

. ■

Teorema 3.7 (Teorema Pythagoras)

Pada segitiga , jika dan hanya jika .

Bukti:

Gambar 3.8 Segitiga siku-siku

)( Diketahui dan adalah garis tinggi. Oleh karena itu,

. Menggunakan Teorema 3.6(b) didapat

A B

C

D


78

.

)( Diketahui adalah segitiga dengan . Jika

adalah segitiga siku-siku dengan dengan , , dan

, maka dengan menggunakan bagian pertama dengan dari pembuktian ini

diperoleh

√ √ √ .

Dengan SSS diperoleh , sehingga

. ■

Segitiga siku-siku mempunyai teorema tersendiri untuk mencari

panjang sisi miringnya. Hal ini yang membuat segitiga siku-siku istimewa diban-

dingkan dengan segitiga lainnya.

Teorema 3.8 (Teorema Cosinus)

Jika diketahui dengan adalah panjang , adalah panjang , adalah

panjang , dan adalah besar sudut yang menghadap sisi , maka berlaku

.

Bukti:

Diberikan segitiga dengan adalah panjang , adalah panjang ,

adalah panjang , dan adalah besar sudut yang menghadap sisi . Konstruk-

sikan garis tinggi . Misalkan adalah panjang garis tinggi .


79

Gambar 3.9 Segitiga

Pada segitiga siku-siku berlaku

sehingga (3.9)

dan

sehingga . (3.10)

Pada segitiga siku-siku berlaku

.

Karena , maka

( )

Substitusi dengan persamaan (3.9) dan (3.10), menjadi

( )

. ■

A

BCE

c

a

b h


80

Teorema 3.9

Besar sudut keliling adalah setengah besar sudut pusat yang menghadap busur

yang sama.

Bukti:

Gambar 3.10 Sudut pusat dan sudut keliling

Diberikan lingkaran dengan titik pusat , sudut pusat , dan sudut keliling

. Akan dibuktikan

.

Titik adalah titik pada lingkaran sedemikian sehingga ruas garis adalah

diameter lingkaran. Karena , , , dan adalah jari-jari lingkaran, maka

.

Karena dan adalah sudut pelurus, maka

Perhatikan . Karena pada , , maka menurut Teorema 3.2

sehingga

( )

A

B

C

DO


81

.

Karena dan adalah sudut pelurus, maka

.

Selanjutnya perhatikan . Karena pada , maka menurut

Teorema 3.2

Sehingga

( )

.

Karena

dan

maka

. ■

Teorema 3.10

Jika sudut keliling menghadap diamater bola, maka besar sudut keliling itu 90°.

Bukti:


82

Gambar 3.11 Sudut keliling

Diberikan lingkaran dengan titik pusat dan sudut keliling yang

menghadap diameter lingkaran . Akan dibutikan .

Diameter juga merupakan sudut pusat, yaitu . Dari Teorema 3.9

diperoleh

Karena diameter bola adalah sudut lurus, maka

. ■

B. Sifat-Sifat Segitiga pada Geometri Bola

Segitiga bola adalah bentuk pada permukaan bola yang disusun oleh

busur tiga buah lingkaran besar yang tidak melewati titik yang sama. Sama seperti

segitiga pada geometri Euclides, segitiga bola juga terdiri dari enam bagian, yaitu

tiga sisi dan tiga sudut.

Teorema 3.11

Jumlah panjang dua sisi segitiga bola lebih besar daripada panjang sisi yang

ketiga.

A

B

C

O


83

Bukti:

Diberikan bola dengan jari-jari satu satuan, , dan adalah sisi terpanjang.

Akan dibuktikan .

Menurut Definisi 2.57, (tanpa satuan), sehingga menurut Teorema

2.22,

.

Menurut Definisi 2.57,

■

Teorema 3.12

Jumlah panjang ketiga sisi segitiga bola dengan jari-jari satu satuan kurang dari

.

Bukti:


Diberikan sebarang dengan jari-jari bola satu satuan. Menurut Teorema

3.11, untuk ,

Karena dan , maka

( ) ( )

A

'A

BC


84

sehingga

. ■

Teorema 3.13

Jumlah besar ketiga sudut segitiga bola lebih besar dari radian dan kurang dari

radian.

Bukti:

Diberikan sebarang dengan jari-jari bola satu satuan satu satuan dan

adalah segitiga polar dari .

Gambar 3.13 Segitiga bola dan segitiga polarnya

Karena dan adalah segitiga polar satu terhadap yang lain, maka

menururt Teorema 2.25

, , .

Oleh karena itu,

( )

Menurut Teorema 3.11, , maka

. ■


85

Setelah mengetahui sifat-sifat umum sebuah segitiga bola, selanjutnya

akan dibahas sifat-sifat segitiga bola sama kaki, segitiga bola sama sisi, dan segiti-

ga bola siku-siku.

1. Segitiga Bola Sama Kaki

Menurut Definisi 2.63 segitiga bola sama kaki adalah segitiga bola

yang dua sisinya sama panjang. Sifat-sifat segitiga bola sama kaki adalah sebagai

berikut.

Teorema 3.14

Segitiga bola sama kaki jika dan hanya jika memiliki dua sudut yang sama besar.

Bukti:


)( Diberikan dengan . Akan dibuktikan bahwa

.

Konstruksikan busur dari lingkaran besar dari titik ke titik sehingga

. Karena dan , maka menurut Definisi 2.74,

. Oleh karena itu .

)( Diberikan sebarang segitiga bola dan . Akan

dibuktikan .

AB

C


86


Diberikan segitiga polar dari segitiga . Karena ,

maka menurut Teorema 2.25

sehingga menurut bagian pertama pembuktian ini

dan menurut Teorema 2.25

. ■

Teorema 3.15

Segitiga bola sama kaki hanya memiliki satu sumbu simetri.

Bukti:


A

D

E F

B

C


87

Diberikan segitiga bola sama kaki dengan . Konstruksikan busur

sedemikian sehingga . Oleh karena itu, dengan Teorema 2.26,

yaitu , , dan , diperoleh . Jadi,

merupakan sumbu simetri segitiga bola sama kaki .

Konstruksikan busur sedemikian sehingga . Karena sisi yang

kongruen pada adalah dan , maka belum tentu kongruen dengan

sehingga tidak memenuhi syarat SAS. Oleh karena itu, . Jadi

bukan sumbu simetri segitiga bola sama kaki .

Konstruksikan busur sedemikian sehingga . Karena sisi yang

kongruen pada adalah dan , maka belum tentu kongruen dengan

sehingga tidak memenuhi syarat SAS. Oleh karena itu, . Jadi

bukan sumbu simetri segitiga bola sama kaki .

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa setiap segitiga bola sama kaki hanya

memiliki satu sumbu simetri. ■

Teorema 3.16

Jika dua sudut dari segitiga bola tidak sama, maka sisi yang lebih besar adalah sisi

yang berhadapan dengan sudut yang lebih besar.

Bukti:


A B

C

D


88

Diberikan sebarang segitiga bola , dengan . Akan

dibuktikan .

Konstruksikan dari lingkaran besar, sehingga . Maka

menurut Teorema 3.14, . Menurut Teorema 3.11

sehingga .

Karena , maka

. ■

2. Segitiga Bola Sama Sisi

Menurut Definisi 2.64, segitiga bola sama sisi adalah segitiga bola

yang tiga sisinya sama panjang. Sifat-sifat segitiga bola sama kaki adalah sebagai

berikut.

Teorema 3.17

Segitiga bola sama sisi jika dan hanya jika ketiga sudutnya sama besar.

Bukti:


A B

C

D

E


89

Diberikan segitiga bola sama sisi dengan . Akan

dibuktikan .

Pada bagian pertama pembuktian Teorema 3.14 telah dibuktikan bahwa jika

maka .

Demikian pula, karena , maka . Jadi diperoleh

.

Diberikan sebarang segitiga bola dan .

Akan dibuktikan .

Pada bagian kedua pembuktikan Teorema 3.14 telah dibuktikan bahwa jika

maka .

Demikian pula, karena maka

,

sehingga diperoleh

. ■

Teorema 3.18

Segitiga bola sama sisi memiliki tiga sumbu simetri.


90

Bukti:


Diberikan sebarang segitiga bola sama sisi dengan .

Konstruksikan sedemikian sehingga . Karena , maka

menurut Teorema 2.26 diperoleh . Jadi adalah sumbu simetri

dari segitiga bola sama sisi .

Konstruksikan sedemikan sehingga . Karena , maka



Konstruksikan sedemikian sehingga . Karena , maka



Jadi segitiga bola sama sisi memiliki tiga buah sumbu simetri. ■

3. Segitiga Bola Siku-Siku

Menurut Definisi 2.65 segitiga bola siku-siku adalah segitiga bola

yang sekurang-kurangnya satu sudut besarnya 90°. Sifat-sifat segitiga bola siku-

siku adalah sebagai berikut.

X

P

Q R

Y

Z


91

Pada geometri Euclides, sudut keliling yang menghadap diameter

lingkaran besarnya pasti 90°. Namun, ada perbedaan pada geometri bola.

Teorema 3.19

Sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran luar segitiga bola besarnya

lebih dari

radian.

Bukti:

Gambar 3.20 Sudut keliling pada bola

Diberikan sudut keliling yang menghadap diameter dari lingkaran luar

dengan pusat . Akan dibuktikan

radian.

Titik , , terletak pada lingkaran luar segitiga bola dengan titik pusat ,

sehingga

.

Oleh karena itu dan adalah segitiga bola sama kaki. Karena

adalah segitiga sama kaki maka menurut Teorema 3.14

Demikian pula, karena adalah segitiga bola sama kaki, maka

A

B

C

D


92

Karena jumlah sudut pada segitiga bola lebih besar dari radian, maka

radian.

Karena dan ,

maka

radian.

Karena , maka

radian

radian

Jadi

radian. ■

Teorema 3.20 (Teorema Cosinus Bola)

Jika diketahui dengan adalah panjang busur , adalah panjang busur

, adalah panjang busur , adalah besar sudut bola dari busur dan ,

dan adalah panjang jari-jari bola, maka

(

) (

) (

) (

) (

) .

Bukti:

Diketahui segitiga bola dengan adalah titik pusat bola. Segitiga bola

membentuk sudut trihedral - . Konstruksikan yang tegak lurus

dengan titik terletak pada perpanjangan dan konstruksikan tegak lurus

dengan titik terletak pada perpanjangan .


93


Menurut Definisi 2.57,

sehingga

,

sehingga

,

dan sehingga

.

Pada dan , menurut Teorema Cosinus pada geometri Euclides

(

) (3.11)

dan ( ).

Karena pada bidang dan pada bidang tegak lurus dengan ,

maka . Jadi

(3.12)

Karena dan adalah segitiga siku-siku, maka

dan . (3.13)

Substitusi persamaan (3.13) ke persamaan (3.11), sehingga

(

)

A

B

C

O

D

E

a

b

c


94

(

) . (3.14)

Persamaan (3.14) dikurangi persamaan (3.12) menghasilkan

(

)

sehingga

(

)

(

)

(

) ( ) ( ) ( ) ( )

(

) (

) (

) (

) (

) . ■

Teorema 3.21 (Teorema Pythagoras Bola)

Jika adalah segitiga bola siku-siku dengan ,

, , , , , dan jari-jari bola , maka

(

) (

) (

)


A B

C

ab

c


95

Bukti:

Menurut Teorema Cosinus Bola yang berlaku untuk sebarang segitiga bola

dengan , , , , dan jari-jari , maka

(

) (

) (

) (

) (

) .

Karena , maka , sehingga

(

) (

) (

). ■


96

BAB IV

KESIMPULAN DAN SARAN

A. Kesimpulan

Berdasarkan hasil pembahasan pada bab-bab sebelumnya, dapat diam-

bil kesimpulan mengenai sifat-sifat segitiga pada geometri Euclides dan geometri

bola serta perbandingannya seperti terangkum pada tabel di bawah ini:

Jenis

Segitiga

Sifat Geometri Euclides Geometri Bola

Sebarang

segitiga

a. Kekongruenan SAS, ASA, dan

AAS

SAS dan ASA

b. Kesebangunan AA, SAS, dan SSS Tidak ada

c. Jumlah

panjang dua

sisi

Jumlah panjang dua

sisi lebih besar dari-

pada panjang sisi ke-

tiga

Jumlah panjang dua sisi le-

bih besar daripada panjang

sisi ketiga

d. Jumlah

panjang ketiga

sisi (

(jari-jari bola

satu satuan)

e. Jumlah besar

ketiga sudut

180° ( radian) Lebih besar dari radian

dan kurang dari radian

f. Teorema

Cosinus

( adalah panjang

sisi yang mengha-

dap sudut , dan

dan adalah pan-

(

) (

) (

)

(

) (

)

( adalah panjang sisi yang

menghadap sudut bola ,

dan adalah panjang dua


97

jang dua sisi lain-

nya)

sisi lainnya, dan adalah

jari-jari bola)

Segitiga

sama

kaki

a. Jumlah sisi

kongruen

Dua sisi Dua sisi

b. Jumlah sudut

kongruen

Dua sudut Dua sudut

c. Jumlah sumbu

simetri

Satu sumbu simetri Satu sumbu simetri

Segitiga

sama sisi

a. Jumlah sisi

kongruen

Tiga sisi Tiga sisi

b. Jumlah sudut

kongruen

Tiga sudut Tiga sudut

c. Jumlah sumbu

simetri

Tiga sumbu simetri Tiga sumbu simetri

Segitiga

siku-siku

a. Jumlah sudut

siku-siku

Tepat satu sudut Sekurang-kurangnya satu

sudut

b. Teorema

Pythagoras

( adalah panjang

sisi yang mengha-

dap sudut siku-siku,

dan dan adalah

panjang dua sisi

lainnya)

(

) (

) (

)

( adalah panjang sisi yang

menghadap sudut bola si-

ku-siku, dan adalah

panjang dua sisi lainnya,

dan adalah jari-jari bola)

B. Saran

Untuk penelitian selanjutnya, dapat dibahas mengenai sifat-sifat

bangun lain seperti bangun segiempat. Peneliti selanjutnya dapat membandingkan

sifat-sifat segiempat pada geometri Euclides dengan sifat-sifat segiempat pada

geometri bola.


98

DAFTAR PUSTAKA

Ariawan, I Putu Wisna. (2014). Geometri Bidang. Yogyakarta: Graha Ilmu.

Brenke, C. William. (1943). Plane and Spherical Trigonometry. New York: The

Dryden Press.

Brink, Raymond W. (1942). Spherical Trigonometry. New York: Appleton

Century Croffs, Inc.

Byer, O., Lazebnik F., dan Smeltzer L. D. (2010). Methods for Euclidean

Geometry. Washington DC: The Mathematical Association of America.

Dickinson, William dan Mohammad S. (2008). The Right Right Triangle on The

Sphere. The College Mathematics Journal. (39) 1: 24-33.

Hvidsten, Michael. (2004). Geometry with Geometry Explorer. New York:

McGraw-Hill.

Kay, David C. (1993). College Geometry: A Discovery Approach. New York:

Harper Collins Publishers.

Wentworth, George A. dan David Eugene S. (1939). Plane and Solid Geometry.

Boston: Ginn & Company Publishers.


perbandingan sifat-sifat segitiga pada geometri...

Documents