penyelesaian model reaktor aliran bolak-balik (r abb ...digilib.unila.ac.id/60306/2/tesis tanpa bab...
TRANSCRIPT
PENYELESAIAN MODEL REAKTOR ALIRAN BOLAK-BALIK (RABB)MENGGUNAKAN METODE ANALISIS HOMOTOPI
(TESIS)
Oleh
SRI WULANDARI
PROGRAM STUDI MAGISTER MATEMATIKAJURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG2019
ABSTRAK
PENYELESAIAN MODEL REAKTOR ALIRAN BOLAK-BALIK (RABB)MENGGUNAKAN METODE ANALISIS HOMOTOPI
Oleh
Sri Wulandari
Metana (CH4) merupakan salah satu gas rumah kaca yang berbahaya danberjumlah banyak di atmosfer. Strategi untuk mengurangi pengaruh pemanasanglobal adalah dengan mengkonversi gas CH4 menjadi gas CO2 denganmenggunakan reaktor aliran bolak balik (RABB). Salah satu model matematikayang menggambarkan dinamika suhu dan konsentrasi pada oksidasi metanamenggunakan RABB adalah model homogen semu 1-D yang dikemukakan olehKhinast, et. al.(1999). Penyelesaikan model dinamika suhu dan konversi padaproses oksidasi metana menggunakan RABB tanpa pendingin dengan metodeanalisis homotopi. Metode ini pertama kali diperkenalkan oleh Liao pada tahun1992. Metode ini kemudian dimodifikasi lebih lanjut pada tahun 1997 untukmemperkenalkan parameter yang membangun homotopi pada sistem diferensialdalam bentuk umum. Dalam beberapa tahun belakangan ini, metode ini dapatdiaplikasikan untuk menyelesaikan berbagai sistem persamaan linear maupun taklinear dan yang homogen maupun tak homogen. Metode analisis homotopi inidigunakan untuk menyelesaikan masalah dengan menggunakan penentuankonvergensi deret. Metode analisis homotopi tidak bergantung pada besarkecilnya parameter.
Kata kunci: solusi analitik, model homogen semu 1-D, reaktor aliran bolak-balik,homotopi.
PENYELESAIAN MODEL REAKTOR ALIRAN BOLAK-BALIK (RABB)MENGGUNAKAN METODE ANALISIS HOMOTOPI
Oleh
SRI WULANDARI
Tesis
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh GelarMAGISTER SAINS
Pada
Jurusan Matematika Program Studi Magister MatematikaFakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
PROGRAM STUDI MAGISTER MATEMATIKAJURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG2019
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Bumi Kencana Kabupaten Lampung Tengah pada tanggal 15
Mei 1993. Penulis merupakan anak keempat dari pasangan Bapak Sunardi dan Ibu
Sujini.
Penulis menyelesaikan pendidikan sekolah dasar di SDN 3 Bumi Kencana dan
lulus pada tahun 2005. Selanjutnya, penulis melanjutkan pendidikan sekolah
menengah pertama di SMPN 3 Terbanggi Besar dan lulus pada tahun 2008.
Kemudian melanjutkan pendidikan sekolah menengah atas di SMAN 1 Terbanggi
Besar dan lulus pada tahun 2011.
Pada tahun 2011 penulis terdaftar sebagai mahasiswa Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui
jalur Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Undangan (SNMPTN Undangan )
dan lulus pada tahun 2015. Di tahun 2017 penulis terdaftar sebagai mahasiswa
Pascasarjana Program Studi Magister Matematika, Jurusan Matematika FMIPA
Universitas Lampung.
PERSEMBAHAN
Puji dan syukur atas rahmat Allah SWT, karena berkat ridho-Nya lah tesis
ini dapat terselesaikan. Dan dengan setulus hati, kupersembahkan karya
sederhanaku ini teruntuk :
Kedua orangtuaku tercinta Ibunda Sujini dan Ayahanda Sunardi terimakasih
untuk setiap do’a, dukungan, semangat, kasih sayang, serta perhatian yang
selalu diberikan untukku.
Kakak-kakakku tercinta Mas Sunandar dan Mbak Tri Windari serta adikku
Imam Wardani yang selalu memberikan dukungan dan semangat untuk
menyelesaikan tesis ini.
Suami tercinta Muchamad Riwanto Putro yang selalu memberikan
semangat, dukungan, serta do’a yang tiada hentinya untuk kesuksesan
penulis.
Anakku tersayang Daffa Hafidz Al Harist yang menjadi penyemangat
penulis dalam menyelesaikan tesis ini.
Kedua Mertua, Ibu Suparti dan Bapak Lukito Harmono yang selalu
medo’akan untuk kesuksesan penulis.
Dosen Pembimbing dan Penguji yang sangat berjasa dan selalu memberikan
motivasi kepada penulis.
Almamater Tercinta.
Niscaya Allah akan meninggikan beberapa derajat orang-orang yang beriman
diantaramu dan orang-orang yang diberi ilmu pengetahuan beberapa derajat.
(QS. Al-Mujaadalah : 11)
Dan perumpamaan-perumpamaan ini kami buat untuk manusia, dan tidak ada
yang akan memahaminya kecuali mereka yang berilmu.
(QS. Al-Ankabut : 43)
Sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan. Maka apabila kamu telah
selesai (dari sesuatu urusan), kerjakanlah dengan sungguh-sungguh (urusan)
yang lain.
(QS. Asy-Syarh : 6-7)
Barang siapa yang menghendaki kehidupan di dunia maka wajib baginya
memiliki ilmu, dan barang siapa yang menghendaki kehidupan akhirat, maka wajib
baginya memiliki ilmu, dan barang siapa menghendaki keduannya maka wajib
baginya memiliki ilmu.
(HR. Tirmidzi)
Barang siapa berjalan untuk menuntut ilmu maka Allah akan memudahkan
baginya jalan ke surga.
(HR. Muslim)
SANWACANA
Puji syukur penulis panjatkan pada Allah SWT. atas berkat rahmat dan
hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan tesis yang berjudul
“Penyelesaian Model Reaktor Aliran Bolak-Balik (RABB) Menggunakan
Metode Analisis Homotopi”. Pada proses penyusunan tesis ini, penulis
memperoleh banyak bimbingan, kritik, dan saran yang membangun sehingga tesis
ini mampu penulis selesaikan. Untuk itu penulis ingin mengucapkan terimakasih
kepada :
1. Bapak Drs. Suharsono S., M.S., M.Sc., Ph.D., selaku dosen pembimbing
utama yang telah memberikan bimbingan, pengarahan, dan waktu kepada
penulis dalam menyelesaikan tesis ini.
2. Bapak Dr. Aang Nuryaman, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing pembantu
yang telah memberikan bimbingan, pengarahan, dan waktu kepada penulis
dalam menyelesaikan tesis ini.
3. Bapak Dr. La Zakaria, S.Si., M.Sc., selaku dosen penguji pertama sekaligus
pembimbing akademik yang telah memberikan kritik dan saran.
4. Bapak Dr. Muslim Ansori, S.Si., M.Si., selaku dosen penguji kedua yang telah
memberikan kritik dan saran.
5. Ibu Prof. Dra. Wamiliana, M.A., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika
FMIPA Universitas Lampung.
6. Ibu Dr. Asmiati, S.Si., M.Si., selaku Ketua Prodi. Magister Matematika
FMIPA Universitas Lampung.
7. Bapak Drs. Suratman, M.Sc., selaku dekan FMIPA Universitas Lampung.
8. Seluruh dosen, staff, dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA Universitas
Lampung yang telah memberikan ilmu pengetahuan dan bantuan kepada
penulis.
9. Kedua orang tua tercinta Bapak Sunardi dan Ibu Sujini, Mas Nandar, Mbak
Windari, serta adikku Imam Wardani yang selalu memberikan doa, dukungan,
motivasi, serta kasih sayang yang tulus.
10. Suamiku tercinta Muchamad Riwanto Putro dan anakku tersayang Daffa
Hafidz Al Harist yang amat luar biasa selalu memberikan do’a, semangat
kepada penulis untuk menyelesaikan program magister ini.
11. Ibu Suparti dan Bapak Lukito Harmono, selaku mertua yang selalu
mendo’akan dan memberikan motivasi untuk menyelesaikan program
magister ini.
12. Teman-teman seperjuangan Riyama, Dewi, Hanna, Mbak Umi, Cindy, Rafli,
Aldino, Dhani yang luar biasa atas pengalaman, kebersamaan, serta
kekeluargaan yang diberikan kepada penulis.
13. Semua pihak yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan penulisan
tesis ini yang tidak dapat disebutkan satu persatu.
Bandar Lampung, Desember 2019Penulis,
Sri Wulandari
xiii
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL .................................................................................... xiv
DAFTAR GAMBAR ............................................................................... xv
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang .......................................................................... 1 11.2 Perumusan Masalah .................................................................... 41.3 Maksud dan Tujuan ..................................................................... 41.4 Manfaat Penelitian ...................................................................... 4
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Reaktor Aliran Bolak-Balik (RABB) ........................................ 52.2 Persamaan Diferensial Parsial ..................................................... 62.3 Model Homogen Semu 1-D ........................................................ 72.4 Metode Analisis Homotopi ......................................................... 11
III. METODE PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ...................................................... 153.2 Metode Penelitian ........................................................................ 15
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Mengkontruksi Persamaan Deformasi Orde- ........................... 184.2 Menentukan Solusi Persamaan Deformasi Orde- ....................... 224.3 Menentukan Deret Solusi Homotopi ............................................ 354.4 Grafik Solusi dari ( , ) dan ( , ) ....................................... 40
V. KESIMPULAN
DAFTAR PUSTAKA
xv
DAFTAR GAMBAR
Gambar Halaman
1. Grafik Solusi untuk ( , ) ............................................................. 40
2. Grafik Solusi untuk ( , ) ............................................................. 40
xiv
DAFTAR TABEL
Tabel Halaman
1. Nilai Parameter Fisis RABB ................................................................ 8
2. Nilai Parameter Tak Berdimensi pada RABB ...................................... 11
1
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Dalam kehidupan sehari-hari sering kita jumpai fenomena-fenomena alam yang
dapat dimodelkan dalam model matematika. Fenomena tersebut terkadang bisa
dimodelkan dalam persamaan diferensial, baik diferensial biasa ataupun
diferensial parsial. Jika fenomena tersebut merupakan sistem fisik yang sederhana
maka dapat dimodelkan dengan persamaan diferensial biasa, sedangkan jika
merupakan masalah-masalah yang lebih rumit maka harus dimodelkan dengan
persamaan diferensial parsial.
Pada kenyataannya, banyak model-model matematika yang memiliki persamaan
yang sulit untuk diselesaikan dengan menggunakan persamaan diferensial parsial
analitik biasa. Sehingga dikembangkan berbagai metode untuk menyelesaikan
persamaan tersebut, seperti metode transformasi Laplace, metode perturbasi,
metode beda hingga, dan lain sebagainya.
Salah satu fenomena alam adalah pemanasan global. Salah satu gas rumah kaca
yang berbahaya dan berjumlah banyak di atmosfer adalah gas metana (CH4).
2
Strategi untuk mengurangi pengaruh pemanasan global adalah dengan
mengkonversi gas CH4 menjadi gas CO2 menurut persamaan reaksi oksidasi
(pembakaran) :
CH4 + 2O2 → CO2 + 2H2O; ΔH298 = −802,7 Kj/mol (1.1)
Setiap 1 mol gas CH4 yang dioksidasi akan melepaskan energi panas sebesar
802,7 kJ. Konversi gas CH4 menjadi gas CO2 akan menurunkan pengaruh
pemanasan sebesar 87%. Keberadaan gas metana yang cukup kecil di udara (0,1-
1% volume) menyebabkan konversi gas metana menjadi gas CO2 membutuhkan
katalis agar reaksi tersebut dapat berlangsung. Di sisi lain temperatur metana
yang rendah (sekitar 303 K) sangat jauh dari temperatur reaksi sehingga
membutuhkan pemanasan awal gas umpan.
Reaktor Aliran Bolak-Balik (RABB) adalah reaktor yang tepat untuk
mengoksidasi gas CH4 menjadi CO2. RABB mempunyai keunggulan
dibandingkan reaktor unggun diam katalitik konvensional dalam hal kemampuan
beroperasi secara ototermal. Dinamika perilaku suhu dan konsentrasi pada proses
oksidasi metana pada RABB dapat dimodelkan dalam bentuk sistem persamaan
diferensial parsial yang di dalamnya memuat suku diffusi dan konveksi.
Salah satu model matematika yang menggambarkan dinamika suhu dan
konsentrasi pada oksidasi metana menggunakan RABB adalah model homogen
semu 1-D yang dikemukakan oleh Khinast, et. al.(1999). Model tersebut telah
3
dicari solusi numerik yang dikemukakan oleh Nuryaman, dkk.(2012). Selain itu,
untuk persamaan konversi pada model oksidasi metana menggunakan RABB
telah dikaji oleh Nuryaman, dkk.(2012) dengan menggunakan metode perturbasi,
serta menggunakan metode homotopi perturbasi (Nuryaman, 2018).
Metode analisis homotopi pertama kali diperkenalkan oleh Liao pada tahun 1992.
Metode ini kemudian dimodifikasi lebih lanjut pada tahun 1997 untuk
memperkenalkan parameter yang membangun homotopi pada sistem diferensial
dalam bentuk umum. Dalam beberapa tahun belakangan ini, metode ini dapat
diaplikasikan untuk menyelesaikan berbagai sistem persamaan linear maupun tak
linear dan yang homogen maupun tak homogen. Metode analisis homotopi ini
digunakan untuk menyelesaikan masalah dengan menggunakan penentuan
konvergensi deret. Metode analisis homotopi tidak bergantung pada besar
kecilnya parameter. Kenyataannya metode homotopi lebih mudah digunakan
dalam menyelesaikan masalah yang sulit.
Berdasarkan hal tersebut, maka penulis mencoba menerapkan metode analisis
homotopi untuk menyelesaikan model dinamika suhu dan konversi pada proses
oksidasi metana menggunakan RABB tanpa pendingin.
4
1.2 Perumusan Masalah
Perumusan masalah dalam penelitian ini adalah menentukan bagaimana cara
penyelesaian model RABB menggunakan metode analisis homotopi.
1.3 Maksud dan Tujuan
Maksud dan tujuan dalam penelitian ini adalah untuk memperoleh cara
penyelesaian baru untuk model RABB dengan metode analisis homotopi.
1.4 Manfaat Penelitian
Adapun manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Menambah pengetahuan mengenai metode analisis homotopi.
2. Memahami cara menyelesaikan model RABB menggunakan metode analisis
homotopi.
3. Menjadi alternatif untuk mencari solusi dari suatu persamaan dalam model
matematika.
5
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Reaktor Aliran Bolak-Balik (RABB)
Reaktor tak tunak merupakan reaktor yang memiliki variabel proses bervariasi
terhadap waktu. Ketidaktunakan ini dapat diimplementasikan pada variabel
proses reaktor utama berupa temperatur, tekanan, laju alir, dan konsentrasi.
Perubahan variabel proses (terutama temperatur) terhadap waktu memberikan
kesempatan mempertahankan laju reaksi di permukaan katalis pada laju yang
optimal.
Salah satu alternatif pengoperasian reaktor tak tunak adalah dengan cara
mengubah aliran yang melalui reaktor secara periodik. Konsep ini dikenal dengan
Reaktor Aliran Bolak Balik (RABB) atau Reverse Flow Reactor (RFR). RABB
dapat didefinisikan sebagai reaktor unggun diam yang arah alirannya diubah
secara periodik dalam selang waktu tertentu, selang waktu ini disebut waktu
balikan (Budhi, 2005).
6
2.2 Persamaan Diferensial Parsial
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat turunan terhadap satu
atau lebih dari variabel-variabel bebas. Berdasarkan jumlah variabel bebasnya
persamaan diferensial dibagi dalam dua kelas, yaitu persamaan diferensial biasa
(PDB) dan persamaan diferensial parsial (PDP). Jika turunan fungsi itu hanya
tergantung pada satu variabel bebas, maka disebut persamaan diferensial biasa.
Sedangkan, jika turunan fungsi itu tergantung pada lebih dari satu variabel bebas
disebut persamaan diferensial parsial (Bronson dan Costa, 2007).
Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial yang memuat lebih
dari satu turunan parsial. Persamaan diferensial parsial ini merupakan persamaan
yang menghubungkan fungsi yang memiliki lebih dari satu variabel turunan
parsialnya. Persamaan diferensial muncul secara alami dalam sains fisika, model
matematika, dan dalam matematika itu sendiri. Persamaan diferensial parsial
digolongkan berdasarkan unsur yang sama, yaitu orde, linearitas dan kondisi
batas. Orde dari persamaan diferensial parsial ditentukan oleh orde dari turunan
tertinggi dari persamaan diferensial parsial tersebut.
Persamaan diferensial orde 1− = 0 (2.1)
Persamaan diferensial orde 2+ = 0 (2.2)
7
Persamaan diferensial orde 3( ) + + = 0 (2.3)
(Sasongko, 2010).
2.3 Model Homogen Semu 1-D
Model matematika yang menggambarkan dinamika suhu dan konsentrasi pada
oksidasi metana menggunakan RABB adalah model homogen 1-D untuk reaktor
dengan pendingin (Khinast, 1999). Asumsi yang digunakan pada model ini adalah
distribusi suhu dan konsentrasi sepanjang garis = dengan adalah koordinat
titik ke-i dari panjang reaktor adalah bernilai sama dan tidak ada hambatan antara
fasa gas dan fasa padat (perubahan suhu gas metana dan katalis dianggap sama).
Model matematika ini diturunkan dari hukum kekekalan massa dan kekekalan
energi untuk reaksi:
Input – output + generasi = akumulasi
Berdasarkan asumsi yang digunakan maka model semu 1-D yang terbentuk dalam
aliran ke kanan diberikan oleh persamaan:((1 − )( ) + ( ) ) = − ( ) − ( − ) +(−∆ ) ( ) (2.4)= − − ( ) (2.5)
dimana konstanta laju reaksi ( ) diberikan oleh:
8
( ) = exp+ expDengan syarat batas di = 0− ( ) = − ,− = − (2.6)
dan di = = = 0 (2.7)
Kedua syarat batas di atas sering disebut syarat batas Danckwert yang
menyatakan laju flux suhu (konsentrasi) yang masuk di = 0 sebanding dengan
selisih antara suhu (konsentrasi) gas umpan dengan suhu (konsentrasi) di titik
tersebut serta tidak ada panas (konsentrasi) yang keluar dari daerah pengamatan.
Pada persamaan (2.4) –(2.7) , peubah = ( , ) dan = ( , ) berturut-turut
menyatakan suhu dan konsentrasi gas CH4 pada posisi dan pada saat . Adapun
keterangan parameter lain yang terdapat dalam persamaan (2.4)-(2.7) dapat dilihat
dalam Tabel 1. Pada kasus RABB tanpa pendingin maka suku ketiga di ruas
kanan pada persamaan (2.4) tidak ada.
Tabel 1. Nilai Parameter Fisis RABB
Parameter Nilai Keterangan4. 10 m s Konstanta difusi aksial60 Waktu pembalikan aliran1,26 Konduktivitas fasa padat1 Panjang reaktor
9
( ) 624,4 Kapasitas panas fasa gas( ) 1,319. 10 Kapasitas panas fasa padat2 Laju aliran gasΔ 50 Kenaikan suhu adiabatik0,69 Bed voidage323 Suhu gas umpanℎ 130 Koefisien transfer panas fluida0,005 Jari-jari luar reaktor1,815. 10 Faktor frekuensi1001,7 Energi aktivasi2628,8 Luas permukaan partikel katalis0,115 Koefisien transfer massa8,3145 Konstanta gas
Koefisien transfer panas keseluruhan
Dengan melakukan penskalaan ulang pada persamaan (2.4) – (2.7) maka
diperoleh persamaan tak berdimensi (Van Noorden, 2003) sebagai berikut:= − + ( )(1 − ) + (1 − )= − + ( )(1 − ) (2.8)(0, ) = ( (0, ) − 1)(0, ) = (0, )(1, ) = 0, (1, ) = 0 (2.9)
10
dimana :
( ) = 1,6656 x 10 , ( )/1,6656 x 10 + , /Peubah tak berdimensi yang digunakan pada persamaan (2.8) – (2.9) adalah
sebagai berikut:
= (1 − ) + ( )ℎ(1 − ) += (1 − ) += Δ /
(1 − ) += 2(1 − ) +
==
= /
( ) = exp ( − 1)+ exp
= , = (Nuryaman dkk, 2012).
11
Dengan = ( , ), = ( , ) adalah variabel tak berdimensi untuk suhu dan
konversi. Sedangkan , , , , , , dan adalah parameter tak berdimensi yang
nilainya diberikan pada Tabel 2. Sedangkan untuk ( ) adalah fungsi nonlinier
yang sesuai dengan laju reaksi pada RABB.
Tabel 2. Nilai parameter tak berdimensi pada RABB
No Parameter Nilai
1 6,9393 x 102 0,17493 1,5577 x 104 0,01745 2,4038 x 106 174,067 0,01
(Nuryaman, dkk., 2012)
2.4 Metode Analisis Homotopi
Metode analisis homotopi pertama kali dirancang pada tahun 1992 oleh Shijun
Liao dari Shanghai Jiaotong University dalam disertasi Ph.D-nya dan dimodifikasi
lebih lanjut pada tahun 1997 untuk memperkenalkan parameter tambahan nol-nol
atau disebut sebagai parameter konvergensi-kontrol yang dilambangkan c0 untuk
membangun homotopi pada sistem diferensial dalam bentuk umum.
12
Metode analisis homotopi adalah teknik semianalitis untuk memecahkan masalah
taklinear biasa atau persamaan diferensial parsial. Homotopi dapat didefinisikan
sebagai suatu penghubung antara dua benda yang berbeda di dalam matematika
yang memiliki karakteristik yang sama dibeberapa aspek (Liao, 2012).
Metode analisis homotopi yang diusulkan oleh Shijun Liao didasarkan pada
konsep dalam topologi dan diferensial geometri untuk menghasilkan
kekonvergenan deret dari sistem taklinear. Konsep homotopi kemudian ditelusuri
kembali oleh Jules Henri Poincare, seorang matematikawan Perancis. Homotopi
menjelaskan semacam variasi deformasi dalam matematika. Sebagai contoh
sebuah lingkaran dapat dideformasikan secara kontinu menjadi elips, dan bentuk
dari cangkir kopi dapat dideformasikan secara kontinu menjadi bentuk donat.
Pada intinya, homotopi didefinisikan sebagai suatu penghubung antara benda
yang berbeda dalam matematika yang memiliki karakteristik yang sama
diberbagai aspek.
Misalkan terdapat persamaan diferensial:
[ ( , )] = 0, = 1,2, … , (2.10)
dengan adalah operator tak linear yang mewakili seluruh persamaan, dan
adalah variabel bebas dan ( , ) adalah fungsi yang tidak diketahui. Dengan cara
menggeneralisasi metode homotopi sederhana, Liao menyusun persamaan
deformasi orde nol.
13
(1 − ) ( , ; ) − , ( , ) = ℏ [ ( , ; )] (2.11)
Dimana [0,1] adalah parameter homotopi, ℏ adalah fungsi taknol tambahan,
adalah operator linear tambahan, , ( , ) adalah syarat awal dari ( , ) dan( , ; ) adalah fungsi yang tidak diketahui. Penting untuk diingat bahwa, bebas
untuk memiligh objek tambahan seperti ℏ dan pada metode analisis homotopi.
Terlihat jelas bahwa saat = 0 dan = 1 , keduanya menghasilkan:
( , ; 0) = , ( , ) dan ( , ; 1) = ( , ) (2.12)
Maka, seiring dengan bertambahnya nilai dari 0 ke 1, solusi ( , ; ) berubah
dari syarat awal , ( , ) ke solusi ( , ). Mengekspansikan ( , ; ) ke
dalam deret Taylor terhadap , akan menghasilkan:
( , ; ) = , ( , ) + ∑ , ( , ) (2.13)
dimana
, = ! ( , ; ) | (2.14)
Jika operator linear tambahan, syarat awal, parameter tambahan ℏ , dan fungsi
tambahan dipilih dengan benar, maka deret pada persamaan (2.13) konvergen ke= 1 dan ( , ; 1) = , ( , ) + ∑ , ( , ) (2.15)
14
merupakan salah satu dari solusi – solusi persamaan tak linear, seperti yang telah
dibuktikan oleh Liao. Jika ℏ = −1, persamaan (2.11) menjadi
(1 − ) ( , ; ) − , ( , ) + [ ( , ; )] = 0 (2.16)
merupakan persamaan yang paling sering digunakan dalam metode analisis
homotopi. Berdasarkan (2.14), persamaan tersebut dapat di deduksi dari
persamaan deformasi orde nol (2.11). Didefinisikan vektor
, = { , ( , ), , ( , ),… , , ( , )} (2.17)
Mendiferensialkan (2.11) sebanyak kali terhadap parameter homotopi dan
substitusikan = 0 dan akhirnya membaginya dengan ! , maka diperoleh
persamaan deformasi orde ke- .
, ( , ) − , ( , ) = ℏ , ( , ) (2.18)
dimana
, , = ( )! [ ( , ; ) | (2.19)
dan
= 0, ≤ 11, > 1 (2.20)Perhatikan bahwa , ( , ) ( ≥ 1) berdasarkan persamaan linear (2.18) dengan
kondisi batas linear yang didapat dari masalah awalnya (Bataineh, 2007).
15
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilaksanakan pada semester ganjil tahun akademik 2019/2020
bertempat di gedung Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam.
3.2 Metode Penelitian
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah Metode Analisis Homotopi.
Dengan menggunakan persamaan tak berdimensi (Van Noorden, 2003) dengan
RABB dalam kondisi tanpa pendinginan adalah sebagai berikut:
= − + ( )(1 − )= − + ( )(1 − )dimana :
( ) = 1,6656 x 10 , ( )/1,6656 x 10 + , /
16
Dengan = ( , ), = ( , ) adalah variabel tak berdimensi untuk suhu dan
konversi. Sedangkan , , , , , , dan adalah parameter tak berdimensi yang
nilainya diberikan pada Tabel 2. Sedangkan untuk ( ) adalah fungsi nonlinier
yang sesuai dengan laju reaksi pada RABB.
Dalam penyelesaian persamaan tersebut nilai
( ) = 1,6656 × 10 exp 25,785( − 1)1,6656 × 10 + exp −25,785Berasal dari persamaan
( ) = exp + 1 + exp + 1Dimana
= exp −Jika dianggap nilai sangat kecil ( ≪ 1) maka fungsi ( ) ≈ 1(Nuryaman dan Gunawan, 2017).
Sehingga persamaan menjadi:= − + (1 − )= − + (1 − )Adapun langkah-langkah yang dilakukan pada penelitian ini adalah sebagai
berikut:
17
1. Mendefinisikan operator linear L dan mengkontruksikan persamaan
deformasi orde ke-nol.
2. Menentukan rangkaian solusi dari komponen yang telah diperoleh melalui
perkiraan awal jika = 0, dan = 1.3. Mengkontruksikan persamaan deformasi orde- .
4. Menentukan solusi persamaan deformasi pada persamaan yang diperoleh dari
langkah ke (3) untuk setiap = 1, 2, … , 5.5. Membuktikan solusi yang diperoleh memenuhi persamaan= − + (1 − ) dan = − + ( )(1 − ).6. Menggambar dan menjelaskan grafik solusi persamaan yang diperoleh dari
metode homotopi.
V. KESIMPULAN
Kesimpulan yang diperoleh dari penelitian ini adalah
1. Solusi dari sistem persamaan persamaan tak berdimensi yang menggambarkan
dinamika suhu dan konversi pada oksidasi metana menggunakan RABB tanpa
pendingin diperoleh ( , ) = dan ( , ) = 1 − .
2. Grafik solusi dari ( , ) mengambarkan terjadi peningkatan suhu dalam
selang waktu tertentu, setelah itu suhu tidak mengalami peningkatan ataupun
penurunan tetapi bergerak konstan, nah kondisi ini telah mencapai keadaan
ototermal sehingga tidak diperlukan preheater. Untuk grafik ( , )menggambarkan jumlah kosentrasi yang bereaksi, setelah konsentrasi bereaksi
seluruhnya dalam waktu tertentu maka grafik akan bergerak konstan.
DAFTAR PUSTAKA
Bataineh, Noorani, dan Hashim. 2007. Approximate Analytical Solutions ofSystems of PDEs by Homotopy Analysis Method. Journal of Computers andMathematics with Applications, Malaysia. No.55: 2913–2923.
Bronson, R. dan Costa, G. 2007. Persamaan Differensial. Erlangga, Jakarta.
Budhi, Y.W. 2005. Reverse Flow Reactor Operation for Control of CatalystSurface Coverage. Disertasi. Eindhoven University of Technology, TheNetherlands.
Khinast, J., Jeong, Y.O. dan Luss, D. 1999. Dependence of Colled Reverse-FlowReactor Dynamics on Reactor Model. A.I.Ch.E. Journal, 45, pp. 299-309.
Liao, S. 2012. Homotopy Analysis Method in Nonlinear Differential Equation.Hinger Education Press, Beijing
Nuryaman, A., Gunawan, A.Y., Budhi, Y.W., 2012. Solusi Numerik KondisiTunak Dinamika Suhu dan Konversi pada Proses Oksidasi Metana MenggunakanReaktor Aliran Bolak Balik.Prosiding Seminar Nasional Sains MatematikaInformatika dan Aplikasinya III.
Nuryaman, A., Gunawan, A.Y., Sidarto, A.S., dan Budhi, Y.W. 2012. A SingularPerturbation Problem for Steady State Conversion of Methane Oxidation in aReserve Flow Reactor.ITB J.Sci. , Vol. 44 A, No. 3. 275-284.
Nuryaman, A., Gunawan, A.Y., 2017. A Singular Pertubation Problem in SteadyState of Methane Combustion Using Reverse Flow Reactor. Far East Journal ofMathematical Sciences (FJMS), Vol. 102, No. 9. 2069-2079.
Nuryaman, A. 2018. An Analytical Solution of 1-D Pseudo Homogenenous Modelfor Oxidation Reaction Using Homotopy Perturbation Method.Journal ofResearch in Mathematics Trends and Technology, Vol.01, No.01. 8-15.
Sasongko, S.B. 2010. Metode Numerik dengan Scilab. Andi, Yogyakarta.
Van Noorden, T.L., Verduyn Lunel, S.M.V., Bliek, A. 2003. The EfficientComputation of Periodic States of Cyclically Operated Chemical Processes. IMAJournal of Applied Mathematics, 68, 149-166.
Wibisono,F., Rimbualam, H.G. 2009. Dinamika Reverse Flow Reactor untukOksidasi Emisi Gas Metana Encer.ITB.