PENGGUNAAN TEOREMA HOMEOMORPHY 2-MANIFOLD

DAN TEOREMA EULER POINCARE PADA TORUS 𝑻 DAN

SIMPLICIAL COMPLEX 𝑲

QOWIYYUL AMIN SIREGAR

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2014

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA

Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penggunaan Teorema

Homeomorphy 2-Manifold dan Teorema Euler Poincare pada Torus 𝑇𝑇 dan Simplicial Complex 𝐾𝐾 adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi uang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.

Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.

Bogor, Mei 2014

Qowiyyul Amin Siregar

NIM G54090061

ABSTRAK

QOWIYYUL AMIN SIREGAR. Penggunaan Teorema Homeomorphy 2-

Manifold dan Teorema Euler Poincare pada Torus 𝑇 dan Simplicial Complex 𝐾.

Dibimbing oleh SUGI GURITMAN dan NUR ALIATININGTYAS.

Dua ruang topologi berdimensi dua dikatakan homeomorfik apabila

memiliki invarian topologi yang sama, di mana salah satu invarian topologi yang

digunakan adalah karakteristik Euler. Dasar teorema yang digunakan untuk

membedakan ruang topologi berdimensi dua adalah Teorema Homeomorphy 2-

Manifold dan Teorema Euler Poincare. Teorema Homeomorphy 2-Manifold

melihat nilai karakteristik Euler dari ruang topologi untuk membedakan ruang

topologi berdimensi dua. Lalu Teorema Euler Poincare untuk alternatif pencarian

nilai karakteristik Euler dari nilai Betti number, yang juga merupakan invarian

topologi. Tujuan karya ilmiah ini adalah untuk melihat kehomeomorfisan torus 𝑇

dan Simplicial Complex 𝐾 . Ruang topologi torus 𝑇 dan simplicial complex 𝐾

memiliki nilai karakteristik Euler yang sama, yaitu bernilai dua. Berdasarkan

Teorema Homeomorphy 2-Manifold Torus 𝑇 dan simplicial complex 𝐾 dapat

dikatakan homeomorfik.

Kata kunci: topologi, homeomorfis, Euler, torus, simplicial

ABSTRACT

QOWIYYUL AMIN SIREGAR. The Use of Homeomorphy 2-Manifold’s

Theorem and Euler Poincare’s Theorem on Torus 𝑇 and Simplicial Complex 𝐾.

Supervised by SUGI GURITMAN and NUR ALIATININGTYAS.

Two dimensional topological spaces are said to be homeomorphic if they

have the same topological invariant, where one of topological invariant used is an

Euler characteristic. Homeomorphy 2-Manifold’s Theorem and Euler Poincare’s

Theorem are used to distinguish two topological spaces. Homeomorphy 2-

Manifold’s Theorem uses Euler characteristic to identify two dimensional

topological spaces. Euler Poincare’s Theorem is an alternative way to find Euler

characteristic with Betti number, which is topological invariant as well. The

objective of this paper is to investigate the homeomorphism of torus 𝑇 and

simplicial complex 𝐾. Topological space torus and simplicial complex 𝐾 have the

same Euler characteristic, which is two. Based on Homeomorphy 2-Manifold’s

Theorem topological space torus 𝑇 and simplicial complex 𝐾 is homeomorphic.

Keywords: topology, homeomorphism, Euler, torus, simplicial

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains

pada

Departemen Matematika

PENGGUNAAN TEOREMA HOMEOMORPHY 2-MANIFOLD

DAN TEOREMA EULER POINCARE PADA TORUS 𝑻 DAN

SIMPLICIAL COMPLEX 𝑲

QOWIYYUL AMIN SIREGAR

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2014

Judul Skripsi : Penggunaan Teorema Homeomorphy 2-Manifold dan Teorema

Euler Poincare pada Torus 𝑇 dan Simplicial Complex 𝐾

Nama : Qowiyyul Amin Siregar

NIM : G54090061

Disetujui oleh

Dr Sugi Guritman

Pembimbing I

Dra Nur Aliatiningtyas, MS

Pembimbing II

Diketahui oleh

Dr Toni Bakhtiar, MSc

Ketua Departemen

Tanggal Lulus:

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas

segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang

dipilih dalam penilitian yang dilaksanakan sejak bulan Maret 2013 ini adalah

topologi, dengan judul Penggunaan Teorema Homeomorphy 2-Manifold dan

Teorema Euler Poincare pada Torus 𝑇 dan Simplicial Complex 𝐾.

Terima Kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr Sugi Guritman dan Ibu Dra

Nur Aliatiningtyas selaku pembimbing, serta Bapak Muhammad Ilyas, MSi yang

telah banyak memberi saran. Di samping itu, Penghargaan penulis sampaikan

kepada Bapak Regi Wahyu selaku Presiden PT. Mediatrac, Bapak Imron Zuhri

selaku komisioner PT. Mediatrac, Bapak Tom Malik selaku CEO PT. Mediatrac

dan Bapak HasanYusuf selaku Manajer Serta bapak Lurino Bertorani. Ungkapan

terimakasih juga disampaikan kepada Ayah, Ibu, teman-teman Departemen

Matematika Angkatan 45, 46, dan 47 atas segala doanya.

Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, Mei 2014

Qowiyyul Amin Siregar

DAFTAR ISI

DAFTAR GAMBAR vi

DAFTAR LAMPIRAN vi

PENDAHULUAN 1

Latar Belakang 1

Tujuan Penelitian 2

TINJAUAN PUSTAKA 2

HASIL DAN PEMBAHASAN 12

SIMPULAN DAN SARAN 18

Simpulan 18

Saran 18

DAFTAR PUSTAKA 18

LAMPIRAN 13

RIWAYAT HIDUP 15

DAFTAR GAMBAR

Beberapa objek 2-manifold. 4

Torus 𝑇 13

Simplicial complex 𝐾 14

Basic 2-manifold torus. 14

Basic 2-manifold dengan tambahan edge 𝑐. 16

DAFTAR LAMPIRAN

Koding bentukan simplicial complex 𝐾. 20

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Topologi adalah cabang ilmu matematika yang memelajari bentuk dan

ruang. Secara formal topologi dapat dikatakan ilmu tentang sifat yang dilihat

secara kualitatif terhadap objek-objek yang tidak berubah dalam beberapa macam

transformasi. Untuk lebih sederhana topologi adalah ilmu tentang kekontinuan

dan keterhubungan.

Suatu permasalahan dasar pada ruang topologi ialah penentuan apakah dua

ruang tersebut homeomorfik atau tidak (isomorfik dalam struktur ruang topologi

atau tidak). Untuk memperlihatkan apakah dua ruang dalam ruang topologi

tersebut homeomorfik dapat dilihat dengan mengkonstruksi sebuah fungsi bijektif,

dengan fungsi invers yang kontinu yang memetakan suatu ruang ke ruang lainnya.

Lalu untuk membuktikan bahwa dua ruang topologi tersebut tidak homeomorfik

perlu memperlihatkan tidak ada fungsi seperti yang disebutkan sebelumnya.

Namun cara seperti itu sangat sulit untuk dilakukan. Cara yang biasa dilakukan

untuk menyelesaikan masalah yang disebutkan sebelumnya (menunjukan dua

ruang topologi tidak homeomorfik) ialah dengan menemukan suatu sifat atau ciri

ruang topologi (contoh, suatu sifat invariant dalam fungsi homeomorfisma) yang

hanya dimiliki satu ruang topologi tersebut dan tidak dimiliki ruang topogi

lainnya (Munkres 1984).

Suatu ciri atau sifat dasar suatu ruang topologi tidak selalu dapat menjadi

acuan untuk menentukan apakah ada suatu homeomorfisma atau tidak. Untuk

mengklasifikasikan permukaan kompak dengan dasar homeomorfisma

membutuhkan suatu invariant topologi yang ‘luar biasa’ dibandingkan yang lain.

Sehingga dapat menyelesaikan masalah apakah dua ruang topologi tersebut

homeomorfik (Munkres 1984).

Aljabar topologi sendiri ditemukan oleh dua orang matematikawan yaitu

Poincare dan Betti yang bertujuan untuk menemukan suatu invariant topologi.

Poincare memperkenalkan suatu grup yang disebut Fundamental Group. Dan

Betti memperkenalkan asosiasi dari setiap ruang dengan suatu sekuens dari grup

abelian yang disebut grup homologi. Di mana grup homologi ini merupakan suatu

invariant topologi juga. Jadi grup homologi dapat menjadi salah satu cara untuk

menyelesaikan masalah homeomorfik dengan kelebihan grup homologi lebih

mudah untuk dihitung dibandingkan dengan Fundamental Group (Munkres c984).

Betti number adalah cara yang paling mudah untuk mendeskripsikan grup

homologi. Simplicial complex adalah objek amatan yang berada pada ruang

topologi.

Pada karya ilmiah ini akan dibahas mengenai pemakaian Teorema

homeomorphy 2-manifold dan Teorema Euler Poincare. Penggunana Teorema

homeomorphy 2-manifold dipakai untuk melihat homeomorfisma pada torus 𝑇

dan simplicial complex 𝐾 . Dan penggunaan Teorema Euler Poincare untuk

mencari karakteristik Euler di mana Betti number diperlukan di dalamnya.

2

Tujuan Penelitian

Penulisan karya ilmiah ini bertujuan untuk:

1. Mengkontruksi grup homologi dari sebuah 2-simplex yang berupa simplicial

complex 𝐽. 2. Menggunakan Teorema homeomorphy 2-manifold untuk menunjukan

kehomeomorfisan torus 𝑇 dan simplicial complex 𝐾.

3. Mencari nilai karakteristik Euler torus 𝑇 dan simplicial complex 𝐾

menggunakan Teorema Euler Poincare.

TINJAUAN PUSTAKA

Pada bab ini akan diberikan definisi-definisi mengenai teori himpunan dan

fungsi, ruang topologi, teori grup, ruang vektor, simplicial complex, karakeristik

Euler, free abelian group, grup homologi dan Betti number.

Teori Himpunan dan Fungsi

Definisi Koleksi Himpunan

Koleksi adalah sebuah himpunan yang anggotanya berupa himpunan-himpunan

(Munkres 2000).

Definisi Produk Cartesian

Diberikan himpunan 𝐴 dan himpunan 𝐵. Didefinisikan 𝐴 × 𝐵 merupakan produk

kartesian di mana,

𝐴 × 𝐵 = 𝑎, 𝑏 𝑎 ∈ 𝐴 dan 𝑏 ∈ 𝐵 . (Munkres 2000)

Definisi Fungsi, Domain, Image

Suatu fungsi 𝑓:𝐴 → 𝐵 adalah aturan yang memadankan setiap elemen 𝑥 dalam

himpunan 𝐴 secara tepat ke satu elemen yang disebut 𝑓(𝑥), dalam himpunan 𝐵.

Himpunan 𝐴 disebut daerah asal (domain) fungsi, daerah hasil (image) adalah

himpunan semua nilai 𝑓(𝑥) (Stewart 2001).

Definisi Injektif

Suatu fungsi 𝑓:𝐴 → 𝐵 dikatakan injektif (atau fungsi satu-satu) jika

𝑓 𝑎 = 𝑓(𝑎′) maka 𝑎 = 𝑎′ (Munkres 2000).

Definisi Surjektif

Fungsi 𝑓:𝐴 → 𝐵 dikatakan surjektif jika 𝑏 ∈ 𝐵 maka

ada𝑎 ∈ 𝐴, di mana 𝑏 = 𝑓(𝑎) (Munkres 2000).

3

Definisi Bijektif

Jika 𝑓:𝐴 → 𝐵 keduanya surjektif dan injektif, maka dikatakan 𝑓 bijektif

(atau dikatakan korespondensi satu-satu) (Munkres 2000).

Ruang Topologi

Definisi Topologi

Sebuah topologi pada himpunan 𝑋 adalah sebuah koleksi 𝒯 dari koleksi himpunan

bagian 𝑋 yang mempunyai beberapa ciri:

1. ∅ dan 𝑋 ada di dalam 𝒯.

2. Gabungan dari anggota-anggota dari semua bagian koleksi berhingga 𝒯

ada di dalam 𝒯.

3. Irisan dari anggota-anggota dari semua bagian koleksi berhingga 𝒯 ada di

dalam 𝒯 .

Pasangan terurut (𝑋 , 𝒯 ) disebut ruang topologi. Selanjutnya Pasangan

terurut (𝑋, 𝒯) akan dinyatakan sebagai 𝑋 saja. Himpunan bagian 𝑋 yang dimuat

dalam 𝒯 disebut himpunan terbuka (Munkres 2000).

Definisi Basis

Jika 𝑋 adalah sebuah himpunan, sebuah basis dari topologi pada 𝑋 adalah koleksi

𝔅 dari himpunan bagian 𝑋 yang memenuhi pernyataan berikut:

1. Untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋, terdapat paling sedikit satu elemen 𝐵 yang memuat 𝑥.

2. Jika 𝑥 berada pada irisan dari dua elemen 1B dan 2B , maka ada sebuah

elemen 3B yang mengandung 𝑥 di mana 213 BBB .

Jika 𝔅 basis, maka topologi 𝒯 dibangkitkan dari 𝔅 (Munkres 2000).

Definisi Produk Topologi

Misal 𝑋 dan 𝑌 menjadi ruang topologi. Produk 𝑋 × 𝑌 adalah ruang topologi

(Munkres 2000).

Teorema Basis Produk Topologi

Produk topologi 𝑋 × 𝑌 mempunyai basis 𝔅 dari koleksi himpunan 𝑈 × 𝑉 , di

mana 𝑈 adalah himpunan bagian yang terbuka dari 𝑋 dan 𝑉 juga himpunan bagian

terbuka dari 𝑌 (Munkres 2000).

Definisi Himpunan Tertutup

Sebuah himpunan bagian 𝐴 dari ruang topologi 𝑋 dikatakan tertutup jika

himpunan 𝑋 − 𝐴 terbuka (Munkres 2000).

Definisi Neighborhood

Himpunan 𝑈 adalah neighborhood dari 𝑥 jika 𝑈 himpunan terbuka yang memuat

𝑥 (Munkres 2000).

4

Definisi Kekontinuan dari Fungsi

Misal 𝑋 dan 𝑌 ruang topologi. Sebuah fungsi 𝑓:𝑋 → 𝑌 dikatakan kontinu jika

untuk setiap himpunan bagian terbuka 𝑉 dari 𝑌 , maka himpunan 𝑓−1(𝑉)

merupakan himpunan terbuka dari 𝑋 (Munkres 2000).

Definisi Terhubung

Suatu ruang topologi 𝑋 dikatakan terhubung jika dan hanya jika satu-satunya

himpunan bagian dari 𝑋 yang terbuka dan tertutup adalah himpunan kosong dan

𝑋 itu sendiri (Munkres 2000).

Definisi Open Covering

Suatu koleksi 𝒜 dari himpunan bagian ruang topologi 𝑋 disebut open covering 𝑋

jika gabungan elemen 𝒜 sama dengan 𝑋.

Definisi Compact

Ruang topologi 𝑋 dikatakan compact jika setiap open covering 𝑋 (𝒜) memuat

subkoleksi berhingga yang juga open covering 𝑋.

Definisi Basic 𝟐-Manifold

Gambar 1 memberikan basic 2-manifold menggunakan diagram. Pada karya

ilmiah ini fokus pada gambar kedua dari kiri yang berupa basic 2-manifold dari

torus, suatu kotak dengan verteks 𝑣 dan sisi 𝑎, 𝑏. Gambar paling kiri merupakan

basic 2-manifold dari bola adalah lingkaran dengan sisi 𝑣 . Kemudian gambar

kedua dari kiri merupakan 2-manifold dari torus. Lalu gambar paling kanan

merupakan basic 2-manifold dari klein bottle adalah kotak dengan verteks 𝑣 dan

sisi 𝑎, 𝑏. Yang terakhir adalah basic 2-manifold dari projective plane adalah kotak

dengan verterks 𝑣,w dan sisi 𝑎, 𝑏.

Dari basic 2 -manifold torus dapat dikonstruksi kembali menjadi torus

berdimensi tiga dengan menyatukan edge yang sama. Pertama bila kita

menyatukan edge 𝑎 akan membuat tansformasi basic 2-manifold torus menjadi

tabung lalu dengan menyatukan edge 𝑏 maka akan menjadi torus berdimensi tiga

(Zomorodian 2005).

Definisi Metrik

Suatu metrik pada himpunan 𝑋 adalah fungsi dari 𝑑:𝑋 × 𝑋 → 𝑅 yang mempunyai

sifat seperti berikut:

(1) 𝑑 𝑥,𝑦 ≥ 0 untuk semua 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋.

(2) 𝑑 𝑥,𝑦 = 𝑑(𝑥,𝑦) untuk semua 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋.

Gambar 1 Beberapa objek 2-manifold.

5

(3) (Pertaksamaan segitiga) 𝒅 𝒙,𝒚 + 𝒅 𝒚,𝒛 ≥ 𝒅(𝒙, 𝒛) , untuk semua

𝒙,𝒚,𝒛 ∈ 𝑿.

(Munkres 2000)

Definisi Ruang Metrik

Pasangan terurut (𝑋, 𝑑) adalah ruang metrik di mana 𝑋 adalah himpunan dan 𝑑

adalah fungsi metrik (Munkres 2000).

Definisi Separable

Suatu ruang topologi 𝑋 dikatakan separable jika ruang topologi tersebut memiliki

basis yang terhitung (Zomorodian 2005).

Definisi 𝟐-Manifold

Suatu 2 -manifold atau permukaan adalah suatu separable, ruang metrik Σ2 di

mana untuk setiap 𝑝 ∈ Σ2, ada suatu neighborhood 𝑈 dari 𝑝 yang homeomorfik

terhadap ℝ2 (Zomorodian 2005).

Definisi Ruang Euclidean

Produk Cartesian ℝ𝑛 dengan metrik Euclidean 𝑑 𝑥, 𝑦 = (𝑢𝑖 𝑥 − 𝑢𝑖 𝑦 )𝑛𝑖=1

adalah ruang Euclidian ℝ𝑛 (Zomorodian 2005).

Definisi Homeomorfisma, Homeomorfik

Misal 𝑋 dan 𝑌 ruang topologi. Ada 𝑓:𝑋 → 𝑌 merupakan fungsi bijektif. Jika

kedua fungsi 𝑓 dan 𝑓−1 itu kontinu maka 𝑓 dikatakan sebuah homeomorfisma.

Dan jika 𝑓 fungsi hoemomorfisma maka 𝑋 dan 𝑌 dapat dikatakan homeomorfik

(Munkres 2000).

Teori Grup

Definisi Operasi Biner

Operasi biner ∗ pada suatu himpunan 𝑆 adalah suatu fungsi dari 𝑆 × 𝑆 ke 𝑆 yang

membawa setiap (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑆 × 𝑆 ke 𝑎 ∗ 𝑏 ∈ 𝑆 yang unik. Jadi 𝑎, 𝑏 → 𝑎 ∗ 𝑏 .

Karena 𝑎 ∗ 𝑏 juga berada dalam 𝑆 maka dikatakan 𝑆 tertutup di bawah operasi ∗

(Fraleigh 1994).

Definisi Grup

Struktur aljabar 𝐺 dengan operasi biner ∗ disebut grup jika memenuhi aksioma

berikut ini,

1. Operasi ∗ bersifat asosiatif (𝑥 ∗ 𝑦) ∗ 𝑧 = 𝑥 ∗ 𝑦 ∗ 𝑧 ,∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐺.

2. Ada unsur identitas 𝑒 ∈ 𝐺 untuk ∗ pada 𝐺 sehingga berlaku 𝑒 ∗ 𝑥 =𝑥 ∗ 𝑒 = 𝑥,∀𝑥 ∈ 𝐺.

3. Untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐺 ada unsur 𝑥−1 ∈ 𝐺 sehingga 𝑥 ∗ 𝑥−1 = 𝑥−1 ∗𝑥 = 𝑒 (Fraleigh 1994).

6

Definisi Grup Abelian

Grup 𝐺 disebut Grup komutatif jika operasi biner ∗ bersifat komutatif yaitu:

∀𝑥,𝑦 ∈ 𝐺,𝑥 ∗ 𝑦 = 𝑦 ∗ 𝑥 . Grup abelian adalah grup yang bersifat komutatif

(Zomorodian 2005).

Definisi Order Grup

Banyak unsur dari grup hingga 𝐺 disebut order dari 𝐺, dinotasikan o(𝐺) atau |𝐺| (Fraleigh 1994).

Definisi Grup Siklik

Dinotasikan 𝑎 = {𝑛𝑎|𝑛 ∈ ℤ}. Jika 𝐺 = 𝑎 maka 𝐺 disebut grup siklik yang

dihasilkan oleh 𝑎 (Fraleigh 1994).

Selanjutnya operasi grup berada di bawah operasi tambah.

Definisi Grup Hasil Jumlah Langsung

Misalkan 𝐺1,𝐺2,… ,𝐺𝑛 grup dengan unsur identitas, 𝑒𝑖 , 𝑖 = 1, 2, 3,… , 𝑛 dan invers

dari (𝑎1, 𝑎2,… ,𝑎𝑛) adalah (𝑎1−1 ,𝑎2

−1 ,… , 𝑎𝑛−1) . Untuk notasi aditif, ∏𝑖=1

𝑛 𝐺𝑖 dinotasikan dengan ⊕𝑖=1

𝑛 𝐺𝑖 = 𝐺1⨁𝐺2 ⨁…⨁𝐺𝑛 , dan disebut grup hasil jumlah

langsung dari 𝐺𝑖 (Fraleigh 1994).

Definisi Homomorfisma

Misalkan 𝐺 grup dengan operasi + dan 𝐺 ′ adalah grup di bawah operasi #. Fungsi

𝜃:𝐺 → 𝐺 ′ disebut homomorfisma grup jika 𝜃 𝑥 + 𝑦 = 𝜃 𝑥 ⋕ 𝜃(𝑦),∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺

(Fraleigh 1994).

Definisi Monomorfisma, Epimorfisma, Isomorfisma, Automorfisma

Ada fungsi homomorfisma 𝜃:𝐺 → 𝐺 ′ , jika 𝜃 injektif maka 𝜃 disebut

monomorfisma. Jika 𝜃 surjektif maka 𝜃 disebut epimorfisma. Jika 𝜃 bijektif

maka 𝜃 disebut isomorfisma. Jika 𝐺 = 𝐺 ′ dan 𝜃 isomorfisma maka 𝜃 disebut

authomorfisma (Fraleigh 1994).

Definisi Kernel

Misalkan 𝜃:𝐺 → 𝐺 ′ grup homomorfisma. Grup 𝜃−1({𝑒 ′}) disebut kernel dari 𝜃

dan dinotasikan ker 𝜃. Jadi ker 𝜃 = {𝑥 ∈ 𝐺|𝜃 𝑥 = 𝑒 ′} (Fraleigh 1994).

Teorema Isomorfik Grup Siklik Takhingga

Setiap grup siklik takhingga 𝐺 isomorfik dengan ℤ (Fraleigh 1994).

Definisi Subgrup Normal

Misalkan 𝐺 grup dan 𝑁 subgrup dari 𝐺. Maka 𝑁 disebut subgrup normal dari 𝐺

jika ∀𝑔 ∈ 𝐺,∀𝑛 ∈ 𝑁,𝑔𝑛𝑔−1 ∈ 𝑁 (Fraleigh 1994).

7

Teorema Grup Faktor

Misalkan 𝐺 grup, 𝑁 subgrup normal dari 𝐺 dan himpunan 𝐺 𝑁 beserta operasi

perkalian pada 𝐺 𝑁 adalah sebagai berikut:

𝐺𝑁 = 𝑎 𝑁 𝑎 ∈ 𝐺

𝑎𝑁 ∙ 𝑏𝑁 = 𝑎𝑏𝑁.

maka 𝐺 𝑁 adalah grup dan disebut grup faktor (Fraleigh 1994).

Ruang Vektor

Definisi Ruang Vektor

Himpunan 𝑉 bersama-sama dengan operasi penjumlahan dan perkalian dengan

skalar dikatakan membentuk suatu ruang vektor jika aksioma-aksioma berikut

terpenuhi.

A1. 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥 untuk setiap 𝑥 dan 𝑦 di 𝑉.

A2. 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 untuk setiap 𝑥 ,𝑦 , 𝑧 di 𝑉.

A3. Terdapat elemen 0 di 𝑉 sehingga 𝑥 + 0 = 𝑥 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑉.

A4. Untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑉 terdapat elemen −𝑥 di 𝑉 sehingga 𝑥 + −𝑥 =0 .

A5. 𝛼 𝑥 + 𝑦 = 𝛼𝑥 + 𝛼𝑦 untuk setiap skalar 𝛼 dan setiap 𝑥 dan 𝑦 di 𝑉.

A6. 𝛼 + 𝛽 𝑥 = 𝛼𝑥 + 𝛽𝑥 untuk setiap skalar 𝛼 dan 𝛽 dan setiap 𝑥 ∈ 𝑉.

A7. 𝛼𝛽 𝑥 = 𝛼(𝛽𝑥 ) untuk setiap skalar 𝛼 dan 𝛽 dan setiap 𝑥 ∈ 𝑉.

A8. 1 ⋅ 𝑥 = 𝑥 . (Leon 2001)

Definisi Bebas Linear

Vektor-vektor 𝑣 1,… , 𝑣 𝑛 dalam ruang vektor 𝑉 disebut bebas linear (linearly

independent) jika

𝑐1𝑣 1 + 𝑐2𝑣 2 + ⋯+ 𝑐𝑛 𝑣 𝑛 = 0

mengakibatkan semua skalar-skalar 𝑐1,… , 𝑐𝑛 harus sama dengan 0 (Leon 2001).

Definisi Merentang

Himpunan {𝑣 1,… , 𝑣 𝑛} disebut himpunan perentang untuk 𝑉 jika dan hanya jika

setiap vektor dalam 𝑉 dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari 𝑣 1,𝑣 2,… , 𝑣 𝑛

Definisi Basis

Vektor-vektor 𝑣 1,… , 𝑣 𝑛 membentuk basis untuk ruang vektor 𝑉 jika dan hanya

jika

(i) 𝑣 1,… ,𝑣 𝑛 bebas linear.

(ii) 𝑣 1,… ,𝑣 𝑛 merentang 𝑉 (Leon 2001).

8

Simplicial Complex

Definisi Bebas Geometri

Poin-poin 𝑣0, 𝑣1,… , 𝑣𝑞 di ruang Euclidean ℝ𝑘 dikatakan bebas geometri (atau

affine independent) jika satu-satunya solusi dari sistem linear

𝜆𝑗𝑣𝑗 = 𝟎

𝑞

𝑗=0

𝜆𝑗 = 0

𝑞

𝑗=0

(2.1)

adalah solusi trivial 𝜆0 = 𝜆1 = ⋯ = 𝜆𝑞 = 0 (Wilkins 2008).

Dari definisi di atas dapat ditunjukan bahwa poin-poin 𝑣0, 𝑣1,… , 𝑣𝑗

merupakan bebas geometri jika hanya jika vektor 𝑣 1 − 𝑣 0,𝑣 2 − 𝑣 0,… , 𝑣 𝑗 − 𝑣 0

merupakan bebas linear. Akibatnya suatu himpunan dari poin bebas geometri di

ℝ𝑘 mempunyai paling banyak 𝑘 + 1 elemen. Perlu diketahui juga bahwa jika

suatu himpunan terdiri dari poin yang bebas geometri di ℝ𝑘 maka setiap

himpunan bagian dari himpunan tersebut juga terdiri dari poin yang bebas

geometri.

Definisi 𝒒-Simplex

Sebuah 𝑞-simplex di ℝ𝑘 dari 𝑆 = {𝑣0, 𝑣1,… , 𝑣𝑞 } didefinisikan sebagai himpunan

𝑡𝑗𝑣 𝑗

𝑞

𝑗=0

; 0 ≤ 𝑡𝑗 ≤ 1 untuk 𝑗 = 0,1,… ,𝑞 dan 𝑡𝑗

𝑞

𝑗=0

= 1 (2.2)

di mana 𝑣0, 𝑣1,… ,𝑣𝑞 merupakan poin bebas geometri dari ℝ𝑘 . Poin 𝑣0, 𝑣1,… ,𝑣𝑞

dapat dikatakan verteks dari simplex. Bilangan bulat taknegatif 𝑞 menunjukan

sebagai dimensi dari simplex (Wilkins 2008). Kumpulan dari 𝑞-simplex disebut

simplices atau kumpulan simplicial.

Sebuah 𝑞-simplex juga bisa dilihat sebagai selubung cembung (convex hull)

dari 𝑞 + 1 titik yang bebas goemetri 𝑆 = {𝑣0, 𝑣1,… , 𝑣𝑞}. Semua titik di dalam 𝑆

adalah verteks-verteks dari simplex (Zomorodian 2005).

Definisi Face, Coface

Misal 𝜎 suatu 𝑞 -simplex didefinisikan dari 𝑆 = {𝑣0 ,𝑣1,… , 𝑣𝑞} . Simplex 𝜏 dari

𝑇 ⊆ 𝑆, disebut face dari 𝜎 dan 𝜎 disebut coface. Hubungan tersebut dinotasikan

dengan 𝜎 ≥ 𝜏 dan 𝜎 ≤ 𝜏.

Definisi Simplicial Complex

Sebuah koleksi berhingga 𝐾 dari kumpulan simplicial di ℝ𝑘 dikatakan simplicial

complex jika memenuhi dua kondisi berikut:

1. jika 𝜎 adalah simplex yang dimiliki 𝐾 maka setiap face (𝜏) dari 𝜎 juga

dimiliki oleh 𝐾.

9

2. jika 𝜎1 dan 𝜎2 adalah kumpulan simplicial yang dimiliki 𝐾 maka kedua

𝜎1 ∩ 𝜎2 = ∅ atau 𝜎1 ∩ 𝜎2 merupakan face umum dari kedua 𝜎1 dan 𝜎2

(Wilkins 2008).

Dimensi dari simplicial complex 𝐾 adalah bilangan bulat tak negatif

terbesar 𝑛 sedemikian sehingga 𝐾 mengandung sebuah 𝑛-simplex.

Definisi Underlying Space

Underlying Space |𝐾| dari simplicial complex 𝐾 adalah 𝐾 = 𝜎𝜎∈𝐾 . Dapat

dikatakan |𝐾| adalah topologi (Zomorodian 2005).

Gabungan dari semua simplicial dari 𝐾 adalah sebuah himpunan bagian

compact |𝐾| dari ℝ𝑘 dikenal sebagai polyhedron dari 𝐾.

Contoh. Misal 𝐾𝜎 terdiri dari beberapa 𝑛-simplex 𝜎 beserta dengan face 𝜎.

Maka 𝐾𝜎 adalah simplicial complex dari dimensi n, dan 𝐾𝜎 = 𝜎.

Definisi Interior

Misal 𝑣0 , 𝑣1,… , 𝑣𝑞 verteks-verteks dari suatu 𝑞-simplex 𝜎 di ruang Euclidan ℝ𝑘 .

Didefinisikan interior dari suatu simplex 𝜎 adalah himpunan titik-titik dari 𝜎,

𝑡𝑗𝑣 𝑗

𝑞

𝑗=0

; 𝑡𝑗 > 0 , 𝑗 = 0,1,2,… ,𝑞 dan 𝑡𝑗

𝑞

𝑗=0

= 1 (2.3)

Dari bentuk di atas dapat dilihat bahwa interior dari simplex 𝜎 memuat

semua titik di 𝜎 kecuali titik-titik yang berada di ujung 𝜎 (Wilkins 2008).

Definisi Rentangan Verteks

Suatu himpunan verteks 𝐾 yang dinotasikan dengan vert 𝐾 = {𝑣0, 𝑣1, 𝑣2} ,

dikatakan merentang 𝐾 jika elemen elemen vert 𝐾 merentang suatu simplex di

dalam 𝐾 (Wilkins 2008).

Karakteristik Euler

Definisi invariant

Invariant topologi adalah suatu fungsi yang memetakan objek yang dipandang

sama menuju ruang dengan tipe topologi yang sama (Zomorodian 2005).

Karakteristik Euler merupakan suatu invariant topologi, di mana dapat

mendeskripsikan topologi. Karakteristik Euler dapat membedakan objek topologi

berdimensi rendah (dimensi dua) namun gagal untuk membedakan dimensi yang

lebih tinggi.

Definisi Karakteristik Euler

Misal 𝐿 simplicial complex dan 𝑠𝑖 = {𝜎 ∈ 𝐿| dim𝜎 = 𝑖} . Karakteristik Euler

𝜒(𝐾) adalah

𝜒 𝐿 = −1 𝑖|𝑠𝑖|

dim 𝐾

𝑖=0

(Zomorodian 2005)

10

Karakteristik Euler adalah invariant integer untuk |𝐿|, yang berada dalam

ruang 𝐿.

Free Abelian Group

Misal 𝐺 Merupakan grup abelian, {𝑎𝛼 } index dari keluarga 𝐺 , dan 𝐺𝛼

menjadi subgrup dari 𝐺 yang dibangkitkan oleh {𝑎𝛼} . Jika setiap grup 𝐺𝛼

merupakan siklik takhingga dan jika 𝐺 merupakan hasil jumlah langsung dari

grup 𝐺𝛼 maka 𝐺 merupakan free abelian group yang mempunyai basis 𝑎𝛼

(Munkres 2000).

Himpunan ℤ merupakan suatu free abelian group karena ℤ dapat

dikonstruksi dari 1 yang merupakan grup siklik takhingga. Lalu contoh lain

akan dikonstruksi sebuah free abelian group dari himpunan 𝑋 = {𝑎, 𝑏}. 𝐹𝐴 𝑋 =𝑚1𝑎 + 𝑚2𝑏,𝑚1 ,𝑚2 ∈ ℤ, di mana 𝐹𝐴(𝑋) adalah suatu free abelian group yang

merupakan suatu kombinasi linear dari elemen-elemen 𝑋. Operasi biner dari free

abelian group 𝐹𝐴(𝑋) adalah +,

Grup Homologi

Definisi Chain Groups

Chain group 𝑘 dari suatu simplicial complex 𝐽 𝐶𝑘 𝐽 , + adalah free abelian

group pada 𝑞-simplices yang berorientasi, di mana 𝜎 = −[𝜏] jika 𝜎 = 𝜏 dan 𝜎

dan 𝜏 mempunyai orientasi yang berbeda. Elemen dari 𝐶𝑘(𝐾) adalah suatu 𝑘 -

chain, 𝑛𝑞[𝜎𝑞]𝑞 ,𝑛𝑞 ∈ ℤ, 𝜎𝑞 ∈ 𝐽 (Zomorodian 2005).

Contoh. Misal 𝑣0, 𝑣1 dan 𝑣2 menjadi verteks dari segitiga pada suatu ruang

Euclidean. Misal 𝐾 menjadi simplicial complex yang memiliki segitiga tersebut,

bersama dengan himpunan verteks dan edge segitiga tersebut. Setiap 0-chain dari

𝐾 dapat diekspresikan secara unik dalam bentuk 𝑛0 𝑣0 + 𝑛1 𝑣1 + 𝑛2 𝑣2 untuk

nilai 𝑛0 ,𝑛1, 𝑛2 ∈ ℤ . Hal ini merupakan suatu 1 -chain dari 𝐾 yang juga dapat

diekspresikan secara unik dalam bentuk 𝑚0 𝑣0, 𝑣1 + 𝑚1 𝑣1, 𝑣2 + 𝑚2 𝑣2, 𝑣0 untuk 𝑚0 ,𝑚1 ,𝑚2 ∈ ℤ . Suatu 2 -chain dari 𝐾 dapat diekspresikan secara unik

dalam bentuk 𝑛 𝑣0, 𝑣1,𝑣2 untuk 𝑛 ∈ ℤ.

Definisi Boundary Homomorphism

Misal 𝐾 menjadi suatu simplicial complex dan 𝜎 ∈ 𝐾,𝜎 = 𝑣0, 𝑣1,… , 𝑣𝑘 .

Boundary homomorphism 𝜕𝑘 :𝐶𝑘 𝐾 → 𝐶𝑘−1(𝐾) didefinisikan dengan 𝜕𝑘𝜎 = (−1)𝑖𝑖 𝑣0,𝑣1,… ,𝑣 𝑖 ,… , 𝑣𝑛 , di mana 𝑣𝑖 dihapus dari sekuens (Zomorodian

2005).

Contoh. Misal diletakkan boundary dari simplices berorientasi di dalam

gambar. 𝜕1 𝑎, 𝑏 = 𝑏 − 𝑎 , 𝜕2 𝑎,𝑏, 𝑐 = 𝑏, 𝑐 − 𝑎, 𝑐 + 𝑎, 𝑏 = 𝑏, 𝑐 + 𝑐,𝑎 +[𝑎,𝑏], 𝜕3 𝑎, 𝑏, 𝑐,𝑑 = 𝑏, 𝑐, 𝑑 − 𝑎, 𝑐, 𝑑 + 𝑎, 𝑏,𝑑 − [𝑎,𝑏, 𝑐].

Definisi Cycle, Boundary

Grup cycle 𝑘 adalah 𝑍𝑘 = ker 𝜕𝑘 . Grup boundary 𝑘 adalah 𝐵𝑘 = im𝜕𝑘+1

(Zomorodian 2005).

11

Teorema Dua Boundary

𝜕𝑘−1𝜕𝑘 𝑣0, 𝑣1,… , 𝑣𝑘 = 0,untuk semua 𝑘.

Bukti. 𝜕𝑘−1𝜕𝑘 𝑣0,𝑣1,… ,𝑣𝑘 = 𝜕𝑘−1 (−1)𝑖𝑖 𝑣0,𝑣1 ,… , 𝑣 𝑖 ,… ,𝑣𝑘

= −1 𝑖 −1 𝑗

𝑗<𝑖

𝑣0, 𝑣1,… , 𝑣 𝑖 ,… ,𝑣 𝑖 ,… , 𝑣𝑘

+ −1 𝑖 −1 𝑗−1

𝑗>𝑖

𝑣0,𝑣1,… ,𝑣 𝑖 ,… , 𝑣 𝑖 ,… ,𝑣𝑘

= 0.

(Zomorodian 2005)

Chain Complex

Dari 𝑛 dimensional 𝐽 dan boundary homomorfism dapat dikonstruksi suatu

sekuens berikut ini,

0𝜕𝑛+1 𝐶𝑛 𝐽

𝜕𝑛 𝐶𝑛−1 𝐽

𝜕𝑛−1 …

𝐶1 𝐽

𝜕1 𝐶0(𝐽)

𝜕0 0

Dengan 𝜕𝑛 𝜕𝑛−1𝐶𝑘(𝐽) = 0 untuk semua nilai 𝑘. Catatan bahwa jika dimensi

𝑛 < 0 maka 𝐶𝑛 = 0 dan 𝐶𝑛+1 = 0 karena tidak ada 𝑛 + 1 -simplex di 𝐾 .

Sekuens tersebut disebut chain complex.

Definisi Grup Homologi

Grup homologi 𝑘 adalah 𝐻𝑘 = 𝑍𝑘 𝐵𝑘 = ker 𝜕𝑘 im𝜕𝑘+1 (Zomorodian 2005).

Betti Number

Betti number ke- 𝑛 yang dinotasikan dengan 𝛽𝑛 , dari suatu simplicial

complex adalah suatu jumlah lubang berdimensi 𝑛 di dalam complex.

Secara intuitif Betti number dapat dijelaskan sebagai berikut:

Lubang 0-dimensi menjadi sebuah unit yang terhubung (titik).

Lubang 1-dimensi menjadi sebuah lingkaran atau independent tunnel.

Lubang 2-dimensi menjadi sebuah ruang tak tertutup.

Betti number juga merupakan invariant topologi, seperti juga karakteristik

Euler dan grup homologi. Grup homologi merupakan salah satu cara untuk

mendeskripsikan topologi dan cara termudah utuk mendeskripsikan grup

homologi dengan Betti number. Grup homologi ini dapat mendeskripsikan suatu

ruang topologi secara feasible yang artinya dapat dipakai secara komputasi. Lalu

akan diberikan Betti number:

𝛽𝑛 = rank 𝐻𝑛 ,𝑛 = 0,1,2,… (2.4)

𝛽𝑛 = Betti number dimensi ke- 𝑛

𝐻𝑛= grup homologi dimensi ke- 𝑛.

(Zomorodian 2005)

12

HASIL DAN PEMBAHASAN

Dalam bab pembahasan ini akan dikonstruksi grup homologi dari sebuah 2-

simplex yang berupa simplicial complex 𝐽. Selanjutnya dibuktikan bahwa torus 𝑇

dan simplicial complex 𝐾 homeomorfik. Lalu akan diberikan alternatif pencarian

karakteristik Euler dari Torus 𝑇 dan simplicial complex 𝐾.

Konstruksi Grup Homologi Simplicial Complex 𝑱

Diketahui Sebuah 2 - simplex mempunyai himpunan simplicial complex

𝐽 = {[𝑣0], [𝑣1], [𝑣2], [𝑣0,𝑣1], [𝑣1,𝑣2], [𝑣2, 𝑣0], [𝑣0,𝑣1 ,𝑣2]} . Di mana 𝑣0 = (0,3),

𝑣1 = (4,0), 𝑣2 = (4,3), 𝑣0, 𝑣1, 𝑣2 ∈ ℤ × ℤ.Akan dikonstruksi suatu 𝑘-chain group 𝐶𝑘(𝐽), + dari simplicial complex 𝐽 . Pertama akan dikontruksi 0 - chain , dari

himpunan 𝜎0 = {𝑣0 ,𝑣1, 𝑣2} lalu dibuat suatu free abelian group, 𝑛1𝑣0 + 𝑛2𝑣1 +𝑛3𝑣2 yang merupakan anggota 0 - chain . Selanjutnya konstruksi 1 -chain dari

himpunan 𝜎1 = {[𝑣0, 𝑣1], [𝑣1,𝑣2], [𝑣2, 𝑣0]} Lalu dibuat suatu free abelian group,

𝑚1[𝑣0, 𝑣1] + 𝑚2[𝑣1, 𝑣2] + 𝑚3[𝑣2,𝑣0] yang merupakan anggota 1 - chain . Dan

terakhir konstruksi 2-chain dari himpunan 𝜎2 = {[𝑣0, 𝑣1,𝑣2]} dibuat free abelian

group, 𝑝0[𝑣0, 𝑣1,𝑣2] yang merupakan anggota 2-chain . Selanjutnya akan dikonstruksi chain complex dari simplicial complex 𝐽.

0 → 𝐶2 𝐽 → 𝐶1 𝐽 → 𝐶0 𝐽 → 0 Karena 𝑛1𝑣0 + 𝑛2𝑣1 + 𝑛3𝑣2 elemen 0-chain maka 𝑣0,𝑣1 ,𝑣2 adalah grup

𝐶0(𝐽). Begitu juga 𝑚1[𝑣0,𝑣1] + 𝑚2[𝑣1,𝑣2] + 𝑚3[𝑣2,𝑣0] yang merupakan elemen

1 - chain maka [𝑣0,𝑣1], [𝑣1, 𝑣2], [𝑣2,𝑣0] adalah grup 𝐶1(𝐽) . Dan juga

𝑝0[𝑣0,𝑣1, 𝑣2] yang merupakan elemen 2 - chain maka [𝑣0,𝑣1 ,𝑣2] adalah grup

𝐶2(𝐽). Dapat dituliskan sebagai berikut,

𝐶0(𝐽) = 𝑣0, 𝑣1, 𝑣2 𝐶1 𝐽 = 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝐶2 𝐽 = 𝐴

Di mana 𝑎 = [𝑣0,𝑣1], 𝑏 = [𝑣1,𝑣2], 𝑐 = [𝑣2,𝑣0], dan 𝐴 = [𝑣0,𝑣1, 𝑣2]. Setelah itu akan dicari homologi dari simplicial complex 𝐽. Karena 𝜕𝑣0 = 𝜕𝑣0 = 𝜕𝑣0 = 0 sehingga 𝑍 = 𝑣0, 𝑣1,𝑣2 = 𝐶0(𝐽).

Dengan 𝐵0

𝜕(𝑎) = 𝜕[𝑣0,𝑣1] 𝜕(𝑐) = 𝜕[𝑣2, 𝑣0] = 𝑣1 − 𝑣0 = 𝑣0 − 𝑣2

𝜕(𝑏) = 𝑑[𝑣1, 𝑣2] = 𝑣2 − 𝑣1

𝐻0 𝐽 = 𝑍0/𝐵0

= 𝑣0, 𝑣1,𝑣1 / 𝑣1 − 𝑣0, 𝑣2 − 𝑣1 ,𝑣0 − 𝑣2

= 𝑣0 − 𝑣1,𝑣1 − 𝑣2, 𝑣2 / 𝑣0 − 𝑣1,𝑣1 − 𝑣2, 0 = 𝑣0 − 𝑣1,𝑣1 − 𝑣2, 𝑣2 / 𝑣0 − 𝑣1,𝑣1 − 𝑣2 = 𝑣2 = ℤ

grup 𝑍1 didapat dari,

13

𝜕𝐶1 𝐽 = 𝜕 𝑚1𝑎 + 𝑚2𝑏 + 𝑚3𝑐 = 𝜕(𝑚1[𝑣0, 𝑣1] + 𝑚2[𝑣1,𝑣2] + 𝑚2[𝑣2,𝑣0])

= 𝑚1([𝑣1] − [𝑣0]) + 𝑚2([𝑣2] − [𝑣1]) + 𝑚3([𝑣0] − [𝑣2])

= (𝑚1 −𝑚2)[𝑣1] + (𝑚2 −𝑚3)[𝑣2] + (𝑚3 −𝑚1)[𝑣0] lalu

0 = (𝑚1 −𝑚2)[𝑣1] + (𝑚2 −𝑚3)[𝑣2] + (𝑚3 −𝑚1)[𝑣0] Sehingga 𝑚1 = 𝑚2 ,𝑚2 = 𝑚3,𝑚3 = 𝑚1

𝑚1 = 𝑚2 = 𝑚3

didapatlah 𝑍1 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐

𝐻1(𝐽) = 𝑍1/𝐵1 𝐵1 = 𝜕𝐴 = 𝜕[𝑣0,𝑣1, 𝑣2] = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 / 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = [𝑣0,𝑣1] + [𝑣1,𝑣2] + [𝑣2,𝑣0] = 0 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐

Kemudian 𝑍2 didapatkan dari

𝜕(𝑝0𝐴) = 𝜕𝑝0[𝑣0,𝑣1, 𝑣2] = 𝑝0([𝑣1 − 𝑣0] + [𝑣2 − 𝑣1] + [𝑣0 − 𝑣2])

Jika 𝜕𝐶2(𝐽) = 0 maka,

0 = 𝑝0([𝑣1 − 𝑣0] + [𝑣2 − 𝑣1] + [𝑣0 − 𝑣2]) ⟷ 𝑝0 = 0

Jadi 𝑍2 = 0,

dilanjutkan dengan

𝐻2(𝐽) = 𝑍2/𝐵2 𝐵2 = 𝜕0

= 0/0 = 0

= 0

Penggunaan Teorema Homeomorphy 2-Manifold

Didefinisikan 𝑆1 adalah sebuah lingkaran pada ℝ2 . Himpunan 𝑆1 ini

dinotasikan sebagai berikut:

𝑆1 = {(𝑥,𝑦)|𝑥2 + 𝑦2 = 1}

Ruang 𝑆1 merupakan topologi dengan basis 𝑈 di mana 𝑈 merupakan

himpunan dari busur-busur pada lingkaran.

Didefinisikan bahwa suatu torus 𝑇 di mana 𝑇 ∶ 𝑆1 × 𝑆1 adalah topologi

dengan basis 𝑈 × 𝑉 di mana 𝑈 dan 𝑉 merupakan basis dari 𝑆1 (Munkres 2000).

Didefinisikan simplicial complex 𝐾 dengan himpunan vertek-verteks vert

𝐾 = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} dan himpunan,

Gambar 2 Torus 𝑇

14

𝐾 = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 1,2 , 2,3 , 3,1 , 4,1 , 5,2 , 6,3 , [4, 5], 5,6 , 6,4 , 7,4 , 8,5 , 9,5 , 7,8 , 8,9 , 1,5 , 2,6 , 3,4 , 4,8 , 5,9 , [6 ,7], 7,2 , 8,3 , 9,1 , 9,7 , 1,7 , 2,8 , 3,9 , 1,5,2 , 4,1,5 , 2,6,3 , 5,2,6 , 3,4,1 , 6,3,1 , 4,8,5 , 7,4,8 , 5,9,6 , 8,5,9 , 6,7,4 , 9,6,7 , 7,2,8 , [1,7,2] 8,3,9 , [2,8,3] 9,1,7 , [3,9,1]}. (2.1)

Kemudian ada polyhedron |𝐾| yang merupakan gabungan dari semua

anggota 𝐾, dan polyhedron |𝐾| merupakan topologi (Zomorodian 2005).

Transformasi torus 𝑇 dengan definisi basic 2 -manifold sehingga berupa

manifold dimensi dua. Dapat dilihat pada Gambar 4, yang merubah himpunan

torus tersebut menjadi 𝑇 = { 𝑣 ,𝑎,𝑏, 𝑎𝑏}.

Lalu akan dibuktikan bahwa torus 𝑇 dan simplicial complex 𝐾 adalah

homeomorfik. Untuk membuktikan hal tersebut pada umumnya akan

menggunakan definisi homeomorfisma. Namun itu terlalu sulit untuk dilakukan,

maka digunakanlah teorema berikut:

Teorema Homeomorphy 2-Manifold

Permukaan kompak tertutup 𝕄1 dan 𝕄2 adalah homeomorfik jika hanya

jika,

a) 𝜒 𝕄1 = 𝜒 𝕄2 b) Kedua permukaannya orientable atau keduanya tidak orientable

(Zomorodian 2005).

Teorema ini dapat digunakan pada ruang topologi yang berupa manifold

dimensi dua. Dalam kasus ini ruang topologi (𝐾, |𝐾|) merupakan objek dua

dimensi (lihat Gambar 5) dan juga torus yang sudah di transformasi dengan

definisi basic 2-manifold. Selanjutnya ruang topologi (𝐾, |𝐾|) akan disebutkan

menjadi simplicial complex 𝐾.

Gambar 3 Simplicial complex 𝐾

Gambar 4 Basic 2-manifold torus.

15

Untuk menggunakan teorema tersebut pertama harus mencari karakteristik

Euler dari torus 𝑇 dan simplicial complex 𝐾. Nilai Karakteristik Euler didapatkan

dengan menggunakan definisi karakteristik Euler, dimulai dengan mencari nilai

karakteristik Euler torus 𝑇;

𝜒 𝑇1 = −1 𝑖|𝑠𝑖|2𝑖=0

= −1 0|𝑠0|+ −1 1|𝑠1|+ −1 2|𝑠2| = 1 − 2 + 1

= 0

Setelah itu mencari nilai karakteristik Euler dari simplicial complex 𝐾,

𝜒 𝐾 = −1 𝑖|𝑠𝑖 |2𝑖=0

= −1 0|𝑠0 + −1 1|𝑠1 + −1 2|𝑠2| = 9 − 27 + 18

= 0

Poin a) terpenuhi karena kedua nilai karakteristik yang didapat bernilai sama.

Bila melihat Gambar 3 dan Gambar 4 terlihat bahwa masing-masing torus 𝑇 dan

simplicial complex 𝐾 mempunyai orientasi, poin b) terpenuhi. Sehingga dengan

menggunakan Teorema homeomorphy 2-manifold dapat diyatakan bahwa torus T

dan simplicial complex 𝐾 itu homeomorfik.

Selanjutnya akan diberikan alternatif pencarian karakteristik 𝐸𝑢𝑙𝑒𝑟 dari

simplicial complex 𝐾 dan torus 𝑇

.

Penggunaan Teorema Euler Poincare

Untuk dapat mencari karakteristik Euler di mana dibutuhkan suatu Betti

number dari torus 𝑇 dan simplicial complex 𝐾. Betti number didapatkan dari rank

grup homologi. Sehingga langkah pertama yang dilakukan yaitu mencari Betti

number dari torus 𝑇 dengan mencari grup homologi torus 𝑇. Di mana teorema

berikut ini yang akan digunakan:

Teorema Euler Poincare

Jika 𝐾 adalah suatu simplicial complex hingga maka karakterisitik Euler 𝐾

sama dengan alternatif penjumlahan Betti number dari setiap dimensi:

𝜒 𝐾 = −1 𝑘

𝑘

𝛽𝑘(𝐾) (2.2)

Bukti

Diperlukan beberapa fakta dari aljabar linear.

pertama. Jika Suatu 𝑀, 𝐿 adalah ruang vektor dan 𝐴:𝑀 → 𝐿 operator linear

maka 𝑀/ker 𝐴 ≃ im 𝐴.

Fakta kedua. Jika 𝑌 ruang bagian dari ruang vektor 𝑋 maka dim 𝑋/𝑌 =dim 𝑋 − dim 𝑌.

Ada empat Vektor yang terlibat dalam peritungan Betti number dari 𝐾:

grup chain, grup cycle, grup boundary dan grup homologi. Ini merupakan notasi

dimensi mereka: 𝑐𝑘 = dim 𝐶𝑘(𝐾) , 𝑧𝑘 = dim 𝑍𝑘 𝑘 , 𝑏𝑘 = dim 𝐵𝑘 𝐾 , 𝛽𝑘 =dim𝐻𝑘(𝐾).

Ada operator boundary 𝜕𝑘 :𝐶𝑘 𝐾 → 𝐶𝑘−1(𝐾) , lalu definisikan 𝑍𝑘 𝐾 =ker 𝜕𝑘 , dan 𝐵𝑘 = Im 𝜕𝑘+1. Fakta satu dan fakta dua mengimplikasikan suatu,

16

dim𝑀 − dim ker 𝐴 = dim im 𝐴

Kemudian mengaplikasikannya kepada operator boundary di atas, didapatkan:

dim 𝐶𝑘(𝐾) − dim ker 𝜕𝑘 = dim im 𝜕𝑘 . Atau ,

𝑐𝑘 − 𝑧𝑘 = 𝑏𝑘−1 (2.3)

Mengingat bahwa 𝐻𝑘 𝐾 = 𝑍𝑘(𝐾)/𝐵𝑘(𝐾) . Maka dari fakta dua

mengakibatkan.

𝛽𝑘 = 𝑧𝑘 − 𝑏𝑘 (2.4)

Langkah selanjutnya, misalkan 𝑛 dimensi tertinggi dari 𝐾, maka:

𝛽0 − 𝛽1 + 𝛽2 −⋯+ −1 𝑛 𝛽𝑛 subtitusikan persamaan (2.4)

= 𝑧0 − 𝑏0 − 𝑧1 − 𝑏1 + 𝑧2 − 𝑏2 −⋯+ −1 𝑛(𝑧𝑛 − 𝑏𝑛).

= 𝑧0 − 𝑏0 − 𝑧1 + 𝑏1 + 𝑧2 − 𝑏2 −⋯+ −1 𝑛𝑧𝑛 − (−1)𝑛𝑏𝑛 .

= 𝑧0 − 𝑐1 − 𝑧1 − 𝑧1 + 𝑐2 − 𝑧2 + 𝑧2 − 𝑐3 − 𝑧3 − ⋯+ (−1)𝑛𝑧𝑛 − −1 𝑛(𝑐𝑛+1 − 𝑧𝑛+1).

= 𝑧0 − 𝑐1 + 𝑐2 − 𝑐3 + ⋯+ (−1)𝑛𝑐𝑛+1 + (−1)𝑛𝑧𝑛+1.

= 𝑐0 − 𝑐1 + 𝑐2 − 𝑐3 + ⋯+ 0 + 0.

= 𝜒(𝐾). ∎

Kelebihan bila mencari karakteristik Euler dengan menggunakan teorema

ini adalah akan didapatkan gambaran geometri yang lebih rinci dari Betti number

yang didapat bila dibandingkan dengan hanya mengetahui nilai karakteristik Euler

saja dari definisi.

Untuk mempermudah penggunaan grup homologi, ditambahkan satu edge 𝑐

(Wieldberg 2012f). Sehingga terjadi perubahan pada torus 𝑇 menjadi Gambar 5,

Lalu akan dimulai menghitung grup homologi torus 𝑇.

Akan dibuat chain complex terlebih dahulu,

0 → 𝐶2 → 𝐶1 → 𝐶0 → 0

Di mana 𝐶0 = 𝑥 , 𝐶1 = 𝑎,𝑏, 𝑐 , 𝐶2 = 𝑈, 𝐿 . Kemudian akan dicari

𝐻𝑛 , 𝑛 ∈ ℤ.

𝐻0 =𝑍0

𝐵0 ≃ 𝑥 /0 ≃ ℤ (2.5)

𝐻1 =𝑍1

𝐵1 ≃

𝑎,𝑏, 𝑐 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 ≃

𝑎+𝑏+𝑐 ,𝑏 ,𝑐

𝑎+𝑏+𝑐 ≃ 𝑏, 𝑐 ≃ ℤ⨁ℤ (2.6)

Gambar 5 Basic 2-manifold dengan tambahan

edge 𝑐.

17

% get persistence algorithm over Z/2Z >>persistence = api.Plex4.getModularSimplicialAlgorithm(3, 2);

% compute the intervals >>intervals = persistence.computeIntervals(stream);

% get the infinite barcodes >>infinite_barcodes = intervals.getInfiniteIntervals();

% print out betti numbers array >>betti_numbers_array = infinite_barcodes.getBettiSequence()

𝐻2 =𝑍2

𝐵2 ≃

𝑈 − 𝑇 0 ≃ ℤ (2.7)

𝐻𝑛 = 0 untuk 𝑛 ≥ 0. (2.8)

Setelah mendapat grup homologi torus 𝑇 dilanjutkan dengan mencari Betti

number,

𝛽0 = rank 𝐻0 = 1. (2.9)

𝛽1 = rank 𝐻1 = 2. (2.10)

𝛽2 = rank 𝐻2 = 1. (2.11)

𝛽𝑛 = rank 𝐻𝑛 = 0,𝑛 ≥ 3. (2.12)

Jadi Betti number dari torus 𝑇 adalah 1 2 1.

Lalu setelah mengetahui Betti number dari torus maka akan digunakan

Teorema Euler Poincare untuk mencari nilai karakteristik Euler dari torus

tersebut.

Berdasarkan Betti number yang didapat sebelumnya akan dicari

karakteristik Euler dari torus tersebut (lihat Persamaan (2.9), (2.10). (2.11),

(2.12)),

𝜒 𝑇 = 𝛽0 − 𝛽1 + 𝛽2 −⋯+ (−1)𝑛𝛽𝑛 .

= 1 − 2 + 1 − 0 + ⋯+ 0; 𝛽𝑛 = 0 Untuk 𝑛 ≥ 2

= 0.

Setelah itu langkah ketiga. Dengan menggunakan peranti lunak Matlab

dapat dihitung Betti number dari simplicial complex 𝐾, pemakaian peranti lunak

Matlab dikarenakan kesulitan yang dihadapi saat mencari Betti number dari

simplicial complex 𝐾.

Akan dimulai mengkonstruksi dengan menggunakan perangkat lunak

Matlab. Kemudian diberikan kodingan dari pembuatan simplicial complex 𝐾

(lampiran 1). Setelah memasukan koding sebelumnya lalu untuk menunjukan

Betti number dari objek tersebut dengan menuliskan perintah berikut:

Sehingga output yang muncul ialah:

betti_numbers_array =

1

2

1

18

Nilai Betti number simplicial complex 𝐾 yang didapat akan dipakai dalam

penggunaan Teorema Euler Poincare,

𝜒 𝑇 = 𝛽0 − 𝛽1 + 𝛽2

= 1 − 2 + 1 = 0

SIMPULAN DAN SARAN

Simpulan

Didapat grup homologi simplicial complex 𝐽 adalah 𝐻0 = ℤ, dan 𝐻𝑛 = 0

untuk 𝑛 ≥ 1. Lalu dalam subbab selanjutnya terlihat bahwa torus 𝑇 dan simplicial

complex 𝐾 itu homeomorfik dengan menggunakan Teorema homeomorphy 2 -

manifold. karena terlihat karakteristik Euler dari keduanya bernilai sama yaitu

bernilai nol. Dan juga keduanya mempunyai orientasi. Dengan menggunakan

Teorema homeomorphy 2-manifold didapat kesimpulan bahwa torus 𝑇 dan

simplicial complex 𝐾 adalah homeomorfik sehingga ada 𝑓 ∶ 𝑇 → 𝐾 yang

memetakan ruang topologi 𝑇 menuju ruang topologi 𝐾 . Dan fungsi tersebut

berupa fungsi homeomorfisma.

Didapatkan hasil pada pembahasan yaitu pertama nilai Betti number torus

𝑇 adalah 1 2 1 kemudian didapat juga karakteristik Euler torus 𝑇 adalah 0 dengan

penggunaan Teorema Euler Poincare. Dari langkah selanjutnya didapatkan

karakteristik Euler simplicial complex 𝐾 yang bernilai sama dengan karakteristik

Euler dari torus 𝑇 juga menggunakan Teorema Euler Poincare.

Kemudian Betti number yang didapat menggambarkan bahwa bentuk

geometri torus 𝑇 dan simplicial complex 𝐾 adalah suatu satu kesatuan yang utuh

(𝛽0 = 1) , disusun dari dua lingkaran (𝛽1 = 2 ), dan mempunyai sebuah void

(𝛽2 = 1).

Saran

Untuk mengembangkan karya ilmiah ini dapat dibuat komputasi persistent

homology dari suatu objek topologi. Lalu ruang topologi yang menarik untuk

dibahas yaitu klein bottle, bola, projevtive plane dan tetrahedron.

DAFTAR PUSTAKA

Fraleigh JB. 1994. A First Course in Abstract Algebra. Ed ke-5. Michigan

(US):Addison-Wesley.

Leon SJ. 2001. Aljabar Linear dan Aplikasinya. Bondan A, penerjemah. Hardani

HW, editor. Jakarta (ID): Penerbit Erlangga. Terjemahan dari:Linera Algebra

with Application. Ed ke-5.

19

Munkres JR. 1984. Element of Algebreic Topology. Ed ke-1. Massachusetts

(US):Addison-Wesley.

Munkres JR. 2000. Topology. Ed ke-2. New Jersey (US): Prentice Hall.

Sexton H, Vedjemo-Johannson M. Jplex simplicial complex library. [diunduh

2013 July 20]. Tersedia pada: www.comptop.standford.edu/program/jplex.

Steward J. 2001. Calculus. Ed ke-4. Kalkulus. Susila IN, Gunawan H, penerjemah.

Mahanani N, Hardani W, editor. Jakarta (ID): Penerbit Erlangga. Terjemahan

dari:Calculus. Ed ke-4.

Wilkins DR. 2008. Algabreic Topology. Ed ke-1.[tempat tidak diketahui]:

[penerbit tidak diketahui].

Wieldberg NJ. 2012a. Algabreic Topology 30. [diunduh 01 Desember 2013].

Tersedia pada:www.youtube.com/algtop30.

Wieldberg NJ. 2012b. Algabreic Topology 31. [diunduh 01 Desember 2013].

Tersedia pada:www.youtube.com/algtop31.

Wieldberg NJ. 2012c. Algabreic Topology 32. [diunduh 01 Desember 2013].

Tersedia pada:www.youtube.com/algtop32.

Wieldberg NJ. 2012d. Algabreic Topology 33. [diunduh 01 Desember 2013].

Tersedia pada:www.youtube.com/algtop33.

Wieldberg NJ. 2012e. Algabreic Topology 34. [diunduh 01 Desember 2013].

Tersedia pada:www.youtube.com/algtop34.

Wieldberg NJ. 2012f. Algabreic Topology 35. [diunduh 01 Desember 2013].

Tersedia pada:www.youtube.com/algtop35.

Zomorodian AJ. 2005. Topology for Computing. Ciarlet PG, Iserles A, Kohn RV,

Wright MH, editor. Cambridge (UK):Cambridge Pr.

20

Lampiran 1 Koding bentukan simplicial complex 𝐾.

% We use 9 vertices, which we think of as a 3x3 grid numbered

as a % telephone keypad. We identify opposite sides. For a picture,

see % "javaplex_tutorial_solutions.pdf".

clc; clear; close all;

% get a new ExplicitSimplexStream stream = api.Plex4.createExplicitSimplexStream();

% add simplices for i = 1:9 stream.addVertex(i); end

stream.addElement([1, 2]); stream.addElement([2, 3]); stream.addElement([3, 1]); stream.addElement([7, 8]); stream.addElement([8, 9]); stream.addElement([9, 7]); stream.addElement([4, 5]); stream.addElement([5, 6]); stream.addElement([6, 4]); stream.addElement([1, 7]); stream.addElement([7, 4]); stream.addElement([4, 1]); stream.addElement([2, 8]); stream.addElement([8, 5]); stream.addElement([5, 2]); stream.addElement([3, 9]); stream.addElement([9, 6]); stream.addElement([6, 3]); stream.addElement([2, 7]); stream.addElement([3, 8]); stream.addElement([8, 4]); stream.addElement([1, 9]); stream.addElement([9, 5]); stream.addElement([5, 1]); stream.addElement([7, 6]); stream.addElement([6, 2]); stream.addElement([4, 3]);

stream.addElement([1, 2, 7]); stream.addElement([2, 7, 8]); stream.addElement([2, 3, 8]); stream.addElement([3, 8, 9]); stream.addElement([1, 3, 9]); stream.addElement([1, 7, 9]); stream.addElement([4, 7, 8]); stream.addElement([4, 5, 8]); stream.addElement([5, 8, 9]); stream.addElement([5, 6, 9]); stream.addElement([6, 7, 9]); stream.addElement([4, 6, 7]);

21

stream.addElement([1, 4, 5]);

stream.addElement([1, 2, 5]); stream.addElement([2, 5, 6]); stream.addElement([2, 3, 6]); stream.addElement([3, 6, 4]); stream.addElement([1, 3, 4]); stream.finalizeStream();

22

RIWAYAT HIDUP

Penulis yang bernama Qowiyyul Amin Siregar lahir di Medan pada tanggal

07 Oktober 1991, putra pertama dari Muslil siregar dan Enjuh Juhaeriah. Riwayat

pendidikan Penulis SDN Pengadilan 2 (1997), SDIT Ummul Quro (1999), SMPN

2 Bogor (2003), SMAN 3 Bogor (2006), Institut Pertanian Bogor (2009-2014).

Penulis mempunyai pengalaman organisasi sebagai pengurus Gugus

Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) periode 2010/2011, dan anggota Badan

Pengawas GUMATIKA periode 2011/2012. Penulis juga aktif mengikuti

kepanitiaan seperti IPB Art Contest sebagai anggota. Serta menjadi asisten

Kalkulus 2 pada tahun 2011/2012 , asisten praktikum Algoritma dan

Pemrograman pada tahun 2012/2013, asisten Persamaan Differensial Biasa pada

tahun 2012/2013, dan aktif menjadi pengajar di Bimbingan Belajar Gugus

Mahasiswa Matematika untuk mata kuliah Pengantar Matematika dan Kalkulus I

program Tingkat Persiapan Bersama pada tahun 2010/2012.

Penulis aktif mengikuti kompetisi olahraga tingkat fakultas. Beberapa

prestasi yang diraih penulis antara lain Juara II Kompetisi Olahraga Cabang

Basket Tingkat Fakultas MIPA pada tahun 2010/2011 dan 2012/2013, dan Juara

III Kompetisi Olahraga Cabang Basket Tingkat Fakultas MIPA pada tahun

2013/2014.