pengaruhkonstantakosmologiterhadapmodel...

TUGAS AKHIR - SF 141501

PENGARUH KONSTANTA KOSMOLOGI TERHADAP MODELSTANDAR ALAM SEMESTA

MUHAMMAD RAMADHANNRP 1111100074

Dosen PembimbingDr.rer.nat. Bintoro Anang Subagyo

JURUSAN FISIKAFakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan AlamInstitut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya, 2016

UNDERGRADUATE THESIS - SF 141501

INFLUENCE OF COSMOLOGICAL CONSTANT TO THE STAN-DARD MODEL OF THE UNIVERSE

MUHAMMAD RAMADHANNRP 1111100074

SupervisorDr.rer.nat. Bintoro Anang Subagyo

Department of PHYSICSFaculty of Mathematics and Natural ScienceInstitut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya, 2016

vii

P£ .'(GARUH KONSTANTA KOSMOLOGJ TERHAOAP MODEL STANOAR ALAM SEMESTA

TUGASAKHIR Diajukan Guua Memeuuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains pada

Bidang Studi Fisika Teori dan Filsafat A lam Program Studi S 1 Jurusan Fisika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan A lam lnstitut Teknologi Sepuluh Nopember

Oleh: Muhammad Ramadhan

NRP: 1111100074

viii

Halaman ini sengaja dikosongkan

ix

PENGARUH KONSTANTA KOSMOLOGI TERHADAP MODELSTANDAR ALAM SEMESTA

Nama : MUHAMMAD RAMADHANNRP : 1111100074Jurusan : Fisika FMIPAPembimbing : Dr.rer.nat. Bintoro Anang Subagyo

ABSTRAK

Metrik FLRW adalah sebuah metrik ruang-waktu yang digunakan un-tuk memodelkan alam semesta. Dalam membangun metrik ini, digunak-an asumsi prinsip kosmologi, yaitu alam semesta isotropik dan homogen.Setelah itu, metrik FLRW dikerjakan pada Persamaan Medan Einstein de-ngan Konstanta Kosmologi, sehingga didapatkan dua solusi Friedmann.Solusi tersebut adalah solusi Friedmann jenis pertama dan solusi Frie-dmann jenis kedua. Pada tugas akhir ini, digunakan solusi Friedmann jenispertama yang telah dimodifikasi agar sesuai dengan keadaan fisis alamsemesta untuk memodelkan alam semesta. Dari model ini, dibandingk-an antara model yang memiliki konstanta kosmologi dan tidak sehinggadidapatkan pengaruh konstanta kosmologi terhadap model standar alamsemesta.

Kata-Kunci: Persamaan Medan Einstein, Solusi Friedmann, KonstantaKosmologi

x


xi

INFLUENCE OF COSMOLOGICAL CONSTANT TO THE STAN-DARD MODEL OF THE UNIVERSE

Name : MUHAMMAD RAMADHANNRP : 1111100074Department : PhysicsSupervisor : Dr.rer.nat. Bintoro Anang Subagyo

ABSTRACT

Friedmann - Lemaitre - Robertson - Walker metric is a space-time metricusing to make a model of the universe. Cosmological principles, isotro-pic and homogeneous universe, is used to build this metric. After that,the FLRW metric applied to Einstein Field Equation with CosmologicalConstant and consist two solutions. These solutions are first Friedmannequation and second Friedmann equation. In this final project, first Fri-edmann equation with some modifications are chosen to so it would fitthe physical properties of the universe. From this model, universe withcosmological constant can be compared to universe without cosmologicalconstant. In this work, we investigate the influence of cosmological con-stant to the standard model of the universe.

Keywords: Einstein Field Equation, Friedmann Equation, CosmologicalConstant

xii


xv

xiii

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala limpahan rahmat berkah, rahmat, dan petunjukNya atas nikmat iman, Islam, dan ikhsan yang diberikan kepada penulis sehingga dapat menyelesaikan laporan Tugas Akhir (TA) ini dengan optimal dan tepat waktu. Sholawat serta salam senantiasa tercurahkan kepada Rasulullah, Nabi Muhammad SAW yang telah menuntun kami dari kebodohan menuju cahaya kebenaran. Tugas Akhir (TA) ini penulis susun untuk memenuhi persyaratan menyelesaikan pendidikan strata satu (S1) di Jurusan Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya. Tugas Akhir ini ditulis dengan judul :

“PENGARUH KONSTANTA KOSMOLOGI TERHADAP MODEL STANDAR ALAM SEMESTA”

Penulis berharap penelitian ini berguna untuk orang-

orang yang tertarik pada bidang kosmologi khususnya . Penulis mengucapkan terima kasih kepada pihak-pihak yang membantu penyusunan laporan Tugas Akhir (TA) dan proses penelitiannya.

1. Keluarga tercinta: kedua orang tua dan saudara-saudara

penulis yang selalu memberi semangat, modal serta dukungan.

2. Bapak Prof. Eddy Yahya sebagai dosen wali yang selalu memberikan bimbingan dan pengarahan setiap semester juga nasehat atas masalah-masalah yang sering diberikan oleh penulis.

3. Bapak Dr. rer. nat Bintoro Anang Subagyo, selaku dosen pembimbing yang telah memberi inspirasi dan

xv

xiv

membagi pengalaman serta memberikan pengarahan dalam menyelesaikan permasalahan kosmologi.

4. Bapak Agus Purwanto D.Sc., dosen Fisika Teori yang sangat inspiratif dan sering memberikan nasehat-nasehat kepada penulis agar menjadi seorang fisikawan teoritis yang siap menghadapi kerasnya kehidupan teoritikus di tanah Indonesia ini.

5. Bapak Heru Sukamto M.Si, seorang dosen Fisika Teori yang sangat dekat dengan mahasiswanya dan mampu memberikan jalan keluar yang tidak disangka-sangka saat penulis mengalami kesulitan.

6. Seluruh Staf Pengajar dan Karyawan di Jurusan Fisika ITS 7. Kawan-kawan di Laboratorium Fisika Teori dan Filsafat

Alam (LaFTiFA) ITS: Mas Nurhadi, Mbak Nova, Mas Yohannes, Mas Fadlol, Mas Taufiqi, Philin, Usykur, Andika, Afif, Ira, Afidah, Anom, dan Dwi atas canda tawa, diskusi-diskusi dan bantuan-bantuannya.

8. Segenap teman-teman Fisika FOTON 2011 yang telah menjadi keluarga penulis selama di Surabaya dan telah memberikan dukungan terbaik bagi penulis.

9. Sahabat penulis sedari kecil, Fahmi Gibran Syahadat, atas semua petuah-petuah, dukungan moral, semangat, dan segala bantuan yang pernah dan akan diberikan kepada penulis.

10. Kawan-kawan Howling Architecture: Lord Maraya “the Defiler”, Lord Ivan, Lord Thalib, dan Lord Ahnaf atas nasehat, semangat, dan kekonyolan yang tidak disangka-sangka yang mampu menghibur penulis disaat waktu-waktu kesusahan. Mariki’..

11. Pengurus IKAMI SULSEL Surabaya 2012-2013: Syamsualam Syamsuddin, Hery Nugroho, Bagus Agwin, Jimmy Sa’pang, Syamsul Irfan, Andi Heynoum Dala Rifat, Rizky Maharja, Azwar, Winda D.P. serta penasehat-penasehatnya yaitu kak Lilis Widiastuty, kak Ridhayani Adiningsih, kak Abdul Malik, kak Andi

xv

xv

Irhamsyah, kak Taufiq, kak Syafaatul Haq atas kekeluargaan bernuansa kampung yang sangat dirindukan penulisi di tanah perantauan.

12. Kakanda RUDAL dan RADAR: Haerul Ahmadi, A.Rosman, A. Ichsan, Muflih Noer, Yassir Arafat, A. Asrafiani Arafah, A. Sri Rahayu, A. Wulansari R. atas suasan kekeluargaan dan motivasi kepada penulis.

13. Meutia Ikawidjaja, seseorang yang spesial, terima kasih atas motivasi, dukungan, kekhawatiran, dan bantuan lainnya kepada penulis.

14. Kevin Devalentino, teman senasib dan sesama pendukung Juventus F.C., terima kasih atas semua bantuan saat penulis mengalami kesulitan saat praktikum, contoh-contoh laporan, serta waktu-waktu nonton bareng Juventus. Semoga segera dipertemukan dengan jodohnya, amin! FINO ALLA FINE FORZA JUVENTUS!

15. Dwita Ratu K.P., sepupu seperjuangan walau berbeda kampus. EWAKO!

16. Seluruh pihak yang membantu dalam pengerjaan Tugas Akhir secara langsung dan tidak langsung yang tidak dapat disebutkan satu per satu.

17. Kamu, yang membaca Tugas Akhir ini. Semoga menjadi inspirasi ßuntuk memahami alam semesta lebih dalam.

Penulis menyadari dalam penyusunan laporan ini masih

jauh dari sempurna. Oleh karena itu penulis mohon kritik dan saran membangun dari pembaca guna menyempurnakan laporan ini demi kemajuan ilmu pengetahuan dan teknologi di masa mendatang. Akhir kata penulis berharap semoga laporan Tugas Akhir ini bermanfaat bagi semua pihak, terutama untuk penelitian selanjutnya.

xv

xvi

Surabaya, Juni 2016

Penulis [email protected]

xvii

DAFTAR ISI

Halaman Judul ............................................................................. i Cover Page .................................................................................... ii Lembar Pengesahan .................................................................. vii Abstrak ........................................................................................ ix Abstract ........................................................................................ xi Kata Pengantar ......................................................................... xiii Daftar Isi .................................................................................. xvii Daftar Gambar ......................................................................... xix BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang ................................................................... 1 1.2 Perumusan Masalah ........................................................... 2 1.3 Batasan Masalah ................................................................ 2 1.4 Tujuan ............................................................................... 2 1.5 Metode Penelitian ............................................................. 3 1.5 Sistematika Penulisan ...................................................... 3

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Prinsip Kosmologi ............................................................. 5 2.2 Persamaan Medan Einstein dengan Konstanta Kosmologi 7 2.3 Metrik FLRW (Friedmann – Lemaitre – Robertson –Walker) .................................................................................. 11

BAB III SOLUSI FRIEDMANN

3.1 Solusi Friedmann ............................................................. 17 3.2 Bentuk Lain dari Persamaan Friedmann Jenis Pertama ... 22

BAB IV MODEL STANDAR ALAM SEMESTA 4.1 Model Alam Semesta Pertama ......................................... 27

4.2 Model Alam Semesta Kedua ........................................... 29 4.3 Model Alam Semesta Ketiga ........................................... 30 4.4 Model Alam Semesta Keempat ....................................... 31 4.5 Model Alam Semesta Kelima .......................................... 33

xviii

4.6 Model Alam Semesta Keenam ......................................... 34 4.7 Model Alam Semesta Ketujuh ......................................... 35

BAB 5 DISKUSI ........................................................................ 39 BAB VI PENUTUP

5.1 Kesimpulan ...................................................................... 45 5.2 Saran ................................................................................. 46

DAFTAR PUSTAKA ................................................................ 47 LAMPIRAN ............................................................................... 49 BIOGRAFI PENULIS ............................................................ 101

xix

DAFTAR GAMBAR Gambar 2.1 Illustrasi Prinsip Kosmologi ................................... 6 Gambar 2.2 Cosmic Microwave Backrgound ............................ 7 Gambar 4.1 Model Alam Semesta dengan Dominasi Materi .... 28 Gambar 4.2 Model Alam Semesta dengan Dominasi Radiasi ... 30 Gambar 4.3 Model Alam Semesta dengan Dominasi

Konstanta Kosmologi ............................................. 31 Gambar 4.4 Model Alam Semesta dengan Konstanta

Kosmologi dan Kurvatur tidak Nol ....................... 32 Gambar 4.5 Model Alam Semesta dengan Konstanta

Kosmologi dan Kurvatur tidak Nol ........................ 34 Gambar 4.6 Model Alam Semesta dengan Konstanta

Kosmologi, Materi dan Kurvatur tidak Nol ........... 35 Gambar 4.7 Model Alam Semesta dengan Ω!,! = 0,7 dan

Ω!,! = 0,3 ............................................................... 37 Gambar 4.8 Model Alam Semesta dengan Ω!,! = 0,3 dan

Ω!,! = 0,7 ............................................................... 38 Gambar 4.9 Model Alam Semesta dengan Ω!,! dan Ω!,!

yang bervariasi ....................................................... 38 Gambar 5.1 Perbandingan dari Model-model Alam Semesta ... 40 Gambar 5.2 Pergeseran Merah Oleh Bintang Supernovae Ia

(Riess et al.,1998) .................................................. 42 Gambar 5.3 Model Alam Semesta dengan Ω!,! = 0,2 dan

Ω!,! = 0,8 ............................................................... 43

xx


BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Pada tahun 1916, Albert Einstein dalam bukunya yangberjudul Relativity: Special and General Theory memperke-nalkan sebuah konsep gravitasi baru yang sangat berbeda den-gan Hukum Gravitasi Universal yang diperkenalkan oleh IsaacNewton. Menurut Einstein, gravitasi bukan merupakan se-buah gaya biasa, melainkan sebuah properti dari ruang danwaktu. Dari konsep tersebut, Einstein berhasil menurunkansebuah persamaan yang dinamakan sebagai Persamaan MedanGravitasi Einstein (Einstein, 2005).

Pada tahun 1917, Einstein memodifikasi kembali persamaan-nya. Einstein mengasumsikan bahwa alam semesta yang kitahuni merupakan alam semesta yang statik. Prinsip Mach men-gatakan bahwa ”keberadaan seluruh materi, secara rata-ratadan global, di alam semesta, merupakan latar belakang yangmendefinisikan aturan yang berkaitan dengan gerak dari su-atu materi spesifik di suatu titik dan di manapun di alamsemesta.” Menurut Mach, keberadaan ”bintang-bintang tetap”-lah yang mendefinisikan kerangka acuan terhadap gerak benda-benda di suatu posisi dan waktu. Jika suatu benda dikatakanbergerak dengan kecepatan konstan, maka gerak tersebut re-latif terhadap bintang-bintang tetap, dan inersia merupakantanggapan benda terhadap perubahan keadaan geraknya. Se-hingga untuk memenuhi konsep itu, Einstein mengusulkan se-buah parameter bebas yang bernama Konstanta Kosmologi(dilambangkan dengan ⇤) untuk ditambahkan pada Persamaan

1

Medan Gravitasi Einstein (Einstein, 1917).Suku ⇤ ini diinterpretasikan sebagai efek dari gaya to-

lak (repulsif) yang mengkompensasi gaya tarik gravitasi dandengan demikian dapat mempertahankan struktur ruang darikeruntuhan akibat alam semesta homogen (Einstein, 1917).Bukti observasi oleh Hubble menunjukkan bahwa alam semestamemang mengembang, demikian pula dapat diperoleh suatusolusi non-statik dari persamaan medan Einstein tanpa sukukonstanta kosmologi, sehingga akhirnya Einstein menyatakanbahwa tidak perlu lagi memasukkan konstanta kosmologi kedalam persamaan medannya. Hal ini sering disebut sebagaikesalahan terbesarnya (Weinberg, 1989).

1.2 Perumusan Masalah

Dalam tugas akhir ini permasalahan yang akan dibahasadalah apa pengaruh konstanta kosmologi terhadap modelstandar alam semesta.

1.3 Batasan Masalah

Pada tugas akhir ini permasalahan hanya dibatasi padakonstanta kosmologi dari Persamaan Medan Einstein dan MetrikFriedmann Lemaitre Robertson Walker.

1.4 Tujuan

Dalam tugas akhir ini akan dilakukan penurunan ulang se-cara lengkap mengenai Persamaan Medan Einstein dengan pe-nambahan konstanta kosmologi, Metrik Friedmann LemaitreRobertson Walker dan memahami pengaruh konstanta kos-mologi terhadap model standar alam semesta.

2

1.5 Metode Penelitian

Metode yang digunakan dalam penyusunan Tugas Akhirini adalah metode analitis dari studi literatur.

1.6 Sistematika Penulisan

Dalam penulisan Tugas Akhir ini , terdiri dari enam bab.BabI diuraikan mengenai pendahuluan yang meliputi latar be-lakang, perumusan masalah, batasan masalah, tujuan dan sis-tematika penulisan. Pada bab II akan diuraikan mengenai tin-jauan pustaka yang meliputi Prinsip Kosmologi, PersamaanMedan Einsten dengan Konstanta Kosmologi dan Metrik FLRW.Pada bab III akan diuraikan mengenai Solusi Friedmann. Padabab IV akan diuraikan bagaimana memodelkan alam semesta.Pada bab V adalah diskusi dan bab VI berisi kesimpulan.

3


4

BAB 2

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Prinsip Kosmologi

Kosmologi adalah cabang dari ilmu astronomi yang mem-pelajari asal-usul dan evolusi alam semesta, dari awal pencip-taan yaitu Ledakan Besar hingga hari ini dan prediksinya dimasa depan. Sejak jaman pertengahan, alam semesta dipan-dang sebagai sesuatu yang tetap, dengan bumi berada di pusatalam semesta. Teori ini dinamakan sebagai teori geosentris,dimana seluruh benda-benda di langit seperti bulan, mata-hari, planet, bahkan bintang-bintang, bergerak dengan orbitlingkaran sempurna. Paham tersebut dipatahkan oleh Nico-laus Copernicus pada abad ke-16 yang mengatakan bahwabumi bukan merupakan pusat alam semesta. Copernicus men-gusulkan bahwa matahari adalah pusat dari alam semesta den-gan planet-planet dan benda langit yang lain bergerak men-gelilingi matahari. Teori ini disebut sebagai teori heliosentris(Ryden, 2006).

Pada abad ke-17, Isaac Newton memberikan penjelasanlebih jauh mengenai interaksi antara benda-benda langit den-gan Hukum Gravitasi Universal yang ia buat. Hukum ituberbunyi: Setiap benda di alam semesta akan menarik satusama lain dengan gaya yang sebanding dengan massa bendatersebut dan berbanding terbalik dengan jarak kuadrat daribenda tersebut (Newton, 1687). Ilmu kosmologi kemudianmengalami kemajuan pesat pada abad ke-20.

Albert Einstein memberikan pandangan baru mengenaikosmologi melalui Teori Relativitas Umum. Teori ini meny-

5

atakan ruang dan waktu sebagai satu kesatuan (Einstein, 2005).Masih pada waktu yang sama, ilmuwan-ilmuwan di bidang as-tronomi mulai melakukan penelitian mengenai alam semestadengan satu pernyataan mendasar: apakah galaksi tempatbumi berada merupakan alam semesta secara keseluruhan atauhanya sebuah galaksi biasa yang mempunyai bintang denganjumlah banyak?

Edwin Hubble menemukan bahwa objek-objek seperti neb-ula berada di luar Galaksi Bima Sakti, sehingga dari pene-muan Hubble tersebut dapat disimpulkan bahwa Galaksi BimaSakti hanyalah galaksi biasa di alam semesta ini. Selain itu,Hubble juga menemukan bahwa di alam semesta terdapatbanyak galaksi dan terdistribusi secara merata pada skalayang besar. Skala besar yang dimaksud adalah skala yangtidak lagi mengacu pada skala galaksi, ataupun kluster galaksi,melainkan skala dengan orde milyaran tahun cahaya. Padaskala ini, galaksi mempunyai distribusi isotropik yang berartiterdistribusi secara merata dengan arah berbeda di langit.Galaksi-galaksi ini juga terdistribusi secara merata di ruangangkasa, atau homogen (Weinberg, 1989).

Gambar 2.1: Illustrasi Prinsip Kosmologi (Ryden, 2006).

6

Dua fakta ini akhirnya dikenal sebagai dua prinsip kosmologi:

1. Tidak ada titik spesial di alam semesta; galaksi-galaksiterdistribusi secara merata di ruang angkasa pada skalayang sangat besar. Alam semesta dapat dikatakan ho-mogen pada skala besar ini.

2. Tidak ada arah yang spesial di alam semesta; galaksi-galaksi terdistribusi secara merata dengan arah yangberbeda-beda pada skala yang sangat besar. Alam semestaini disebut sebagai isotropik (Frieman dkk., 2008), (Pad-manabahan, 2003).

Kedua prinsip ini tidak dapat diaplikasikan untuk skalayang kecil karena adanya ketidak-homogen-an. Namun modelini tetap digunakan karena dua alasan:

1. Merupakan model paling sederhana dari evolusi alamsemesta (Friemann dkk., 2008).

2. Bukti observasi berupa CMB (Cosmic Microwave Back-ground) mengindikasikan bahwa alam semesta memenuhiprinsip kosmologi (lihat gambar 2.2) (Penzias dkk., 1965).

2.2 PersamaanMedan Einstein dengan Konstanta

Kosmologi

Einstein melalui persamaan medannya mengatakan bahwaseharusnya materi dan energi membelokkan ruang-waktu. Ben-tuk kelengkungan ruang-waktu ini digambarkan oleh bentuktensor metrik. Tensor metrik sendiri dipengaruhi oleh dis-tribusi massa sebagai sumber gravitasi. Integral aksi total

7

Gambar 2.2: Cosmic Microwave Background atau sebuah relik ca-haya dari awal penciptaan alam semesta, diobservasi pada tahun1964 oleh Penzias dan Wilson menggunakan teleskop radio denganpanjang gelombang gamma. Radiasi ini merupakan radiasi bendahitam dengan temperatur 2,725 K.

yang disebabkan aksi massa sumber dan aksi oleh gravitasidinyatakan sebagai berikut

S = SG + SM . (2.1)

Untuk mendapatkan persamaan gerak, maka diperlukan prin-sip aksi minimum dengan variasi

�S = 0. (2.2)

Persamaan (2.1) menjadi

�SG + �SM = 0

�SG = ��SM , (2.3)

8

dengan nilai �SG dan �SM masing-masing adalah

�SG =1

2

Z

MLG[gµ⌫ ]

p�gd4x

�SM =

Z

MLM

p�gd4x. (2.4)

Dimana LM adalah lagrangian massa dan LG adalah lagrangiangravitasi.

Lagrangian gravitasi dengan penambahan suku konstantakosmologi ⇤ adalah

LG = R� 2⇤. (2.5)

Modifikasi ini berdasarkan prinsip Mach. Suku ⇤ diinterpre-tasikan sebagai efek dari gaya tolak (repulsif) yang mengkom-pensasi gaya tarik gravitasional sehingga dengan demikian da-pat mempertahankan struktur ruang akibat kehomogenan ma-teri alam semesta. Persamaan �SG = ��SM menjadi (lihatlampiran A.1 untuk detail penurunan Persamaan Medan Ein-stein)

1

2

Z

M(R� 2⇤)

p�gd4x = �

Z

MLM

p�gd4x

1

2

Z p�g

✓Rµ⌫ �

1

2Rgµ⌫ + ⇤gµ⌫

◆�g

µ⌫d

4x =

1

2

Z p�gTµ⌫�gµ⌫d4x.

(2.6)

Solusi persamaan (2.6) adalah

Rµ⌫ �1

2Rgµ⌫ + ⇤gµ⌫ = 8⇡GTµ⌫ . (2.7)

Persamaan (2.7) merupakan Persamaan Medan Einsteindengan penambahan konstanta kosmologi. Ruas kiri persamaanmedan Einstein menggambarkan kelengkungan ruang-waktu

9

dan ruas kanannya menggambarkan distribusi materi. Inter-pretasi dari persamaan ini adalah materi menyebabkan ruang-waktu melengkung atau kelengkungan ruang waktu memerin-tahkan materi untuk bergerak (Gron dan Hervik, 2007).

Secara historis, Einstein menambahkan konstanta kosmologiuntuk mendukung postulatnya bahwa alam semesta ini statis.Namun, pada 1917, de Sitter memberikan model alam semestastatis tanpa keterlibatan konstanta kosmologi. Selain itu,hasil obervasi astronom-astronom pada jaman itu memberikanbukti mengenai adanya pergeseran merah oleh galaksi-galaksiyang berada sangat jauh dari Bumi. Bukti ini pertama kaliditemukan oleh Slipher pada tahun 1924. Pada tahun yangsama, Friedmann mengajukan sebuah model kosmologi den-gan ekspansi alam semesta. Setahun sebelumnya, yaitu tahun1923, Weyl sudah memprediksi dari model de Sitter bahwamodel yang diberikan oleh de Sitter akan menghasilkan perge-seran merah oleh benda angkasa, bertambah seiring jarakbanda tersebut. Hal ini karena pada metrik de Sitter, sis-tem koordinat yang diberikan tidak bergantung pada waktu,namun benda yang dijadikan acuan tidak diam. Berdasarkanprediksi Weyl ini, Einstein kemudian mengirimkan surat kepadaWeyl, reaksi terhadap ditemukannya ekspansi alam semestayang berisi: Jika alam semesta ini tidak statis, maka janganpernah gunakan konstanta kosmologi! (Weinberg, 1989)

Setelah tahun-tahun penuh kontroversi, ditambah denganperkataan Einstein menjelang akhir hayatnya bahwa konstantakosmologi merupakan salah satu kesalahan terbesar dalamhidupnya, penggunaan konstanta ini mulai ditinggalkan. Se-hingga persamaan medan Einstein yang umum digunakan un-tuk memodelkan alam semesta adalah persamaan medan Ein-stein tanpa konstanta kosmologi. Namun, pada tahun 1998,Riess bersama timnya menemukan pergeseran merah oleh bin-tang Supernova tipe Ia dan menyimpulkan bahwa ada keterli-

10

batan konstanta kosmologi dalam pergeseran merah tersebut.Penemuan ini menyebabkan dibukanya kembali penggunaankonstanta kosmologi pada model standar alam semesta.

2.3 Metrik FLRW (Friedmann - Lemaitre - Robert-

son - Walker)

Pada tahun 1922, matematikawan Uni Soviet bernamaAlexander Friedmann menjadi orang pertama yang memprediksiekspansi alam semesta melalui persamaan matematika. Prediksiini ia dapatkan dari penurunan Persamaan Medan Einsteindengan menggunakan metrik yang ia bangun sendiri. Prediksiini di periksa langsung oleh Albert Einstein , namun Einsteingagal memahami kondisi fisis dari persamaan Friedmann se-hingga ia menganggap bahwa prediksi Friedmann ini hanyalahrasa penasaran matematis saja.

Pada tahun 1928, seorang biarawan dan astronom dariBelgia bernama Georges Lemaitre, secara independen mem-berikan hasil yang sama dengan prediksi Friedmann. Setahunsetelah hasil kalkulasi Lemaitre dipublikasian di Belgia, EdwinHubble menemukan bahwa alam semesta mengembang. Halini memicu Sir Arthur Eddington, seorang astronom Inggris,untuk menerjemahkan jurnal Lemaitre ke Bahasa Inggris danmenerbitkannya.

Pada tahun 1935, pekerjaan Friedmann dan Lemaitre dikajilebih jauh lagi oleh fisikawan Amerika , Howard P. Robertsondan matematikawan Inggris, Arthur Geo↵rey Walker, yangmembuat metrik ini dinamakan metrik FLRW. Penamaan inimengikuti nama keempat ilmuwan yang menggagas metrikini(walaupun terdapat kontroversi untuk penamaan ini, il-muwan di luar Amerika memberikan nama metrik ini seba-gai metrik Friedmann - Lemaitre atau metrik FL berdasarkandua penggagas utama. Sedangkan ilmuwan di Amerika mem-

11

berikan nama metrik ini sebagai metrik Robertson - Walkeratau metrik RW saja) (Bergstrom, 2006).

Metrik FLRW ini dibangun berdasarkan prinsip kosmologi,yaitu isotropik dan homogen. Asumsi pertama yaitu alamsemesta adalah isotropik dan mengalami ekspansi sejauh aseiring waktu, maka bentuk metrik ruang-waktunya berupa

ds

2 = �c2dt2 + a(t)dl2. (2.8)

Untuk memudahkan perhitungan, maka diambil nilai c=1, se-hingga metrik tersebut menjadi

ds

2 = �dt2 + a2(t)dl2. (2.9)

Metrik ruang-waktu di atas terdiri atas bagian ruang dantemporal. Metrik waktu disini dapat diinterpretasikan seba-gai waktu kosmologi atau waktu alam semesta. Sementaraitu, bagian ruang harus dikonstruksi berdasarkan sifat alamsemesta, sehingga akan diambil beberapa asumsi untuk mem-bentuk komponen metrik dari ruang. Pertama, materi dariruang-waktu dan ruang harus melengkung. Kehomogenanalam semesta membuat kurvatur dari ruang harus sama padasetiap titik. Kedua, metrik ruang ini dapat ditinjau sebagaipermukaan dari ruang Euclid tiga dimensi. Dari asumsi ini,terdapat dua tipe permukaan yang mempunyai kurvatur ho-mogen, yaitu bidang datar dan bola. Sehingga metrik ruangalam semesta dapat dirumuskan sebagai

dl

2 = dx2 + dy2 + dz2. (2.10)

Hanya saja, bidang datar tidak memiliki kelengkungan samasekali karena kedatarannya, sehingga satu-satunya permukaanyang mungkin adalah bola. Metrik ruang tersebut harus di-transformasi dari koordinat kartesian menjadi koordinat bola

12

dengan

x = r sin ✓cos�

y = r sin ✓ sin�

z = r cos ✓, (2.11)

maka didapatkan (lihat persamaan A.29 - A.31 pada lampi-ran)

dx =@x

@r

dr +@x

@✓

d✓ +@x

@�

d�

= sin ✓ cos�dr + r cos ✓ cos�d✓ � r sin ✓ sin�d�

dy =@y

@r

dr +@y

@✓

d✓ +@y

@�

d�

= sin ✓ sin�dr + r sin� cos ✓d✓ + r sin ✓ cos�d�

dz =@z

@r

dr +@z

@✓

d✓

= cos ✓dr � r sin ✓d✓. (2.12)

Elemen-elemen garis tersebut dikuadratkan, sehingga (lihatpersamaan A.32-A.34 pada lampiran)

dx

2 = sin2 ✓ cos2 �dr2 + r cos2 ✓ cos2 �d✓2 + r sin2 ✓ sin2 �d�2

+2r sin ✓ cos ✓ cos2 �drd✓ � 2r sin2 ✓ sin� cos�drd��2r2 cos ✓ cos� sin ✓ sin�d✓d�,

dy

2 = sin2 ✓ sin2 �dr2 + r2 sin2 � cos2 ✓d✓2 + r2 sin2 ✓ cos2 �d�2

+2r sin ✓ sin2 � cos ✓drd✓ + 2r sin2 ✓ sin� cos�drd�

+2r2 sin ✓ sin� cos ✓ cos�d✓d�,

dz

2 = cos2 ✓dr2 � 2r sin ✓ cos ✓drd✓ + r2 sin2 ✓d✓2, (2.13)

dan menyisakan metrik ruang dalam koordinat bola (lihat per-samaan A.35 pada lampiran)

dl

2 = dr2 + r2d✓2 + r2 sin2 ✓d�2. (2.14)

13

Pada kenyataannya, geometri alam semesta bukan merupakanbidang Euclid tiga dimensi, namun merupakan tiga dimensihyper-bola atau bidang Euclid empat dimensi. Sehingga metrikruang diubah lagi menjadi

dl

2 = dx2 + dy2 + dz2 + dw2, (2.15)

dimana dw adalah suku dari kurvatur empat dimensi

R

2 = x2 + y2 + z2 + w2. (2.16)

Dimisalkan

r

2 = x2 + y2 + z2 (2.17)

maka

R

2 = r2 + w2. (2.18)

Kemudian substitusikan persamaan (2.19) ke persamaan (2.18)

w

2 = R2 � r2

2wdw = �2rdrdw =

�rw

dr

dw

2 = (�rdrw

)2

= [�r dr(R2 � r2)1/2

]2

dw

2 = r2dr

2

R

2 � r2 . (2.19)

Selanjutnya, dari persamaan (2.12) dan (2.19), menyisakan(lihat persamaan A.43 pada lampiran)

dl

2 = dr2(1

1� r2R2) + r2d✓2 + r2 sin2 ✓d�2. (2.20)

14

Untuk menyederhanakan bentuk (2.20), diperkenalkan simbolkurvatur k = 1R2 , sehingga persamaan (2.20) menjadi

dl

2 = dr2✓

1

1� kr2

◆+ r2d✓2 + r2 sin2 ✓d�2 (2.21)

dengan nilai k adalah nilai kelengkungan kurvatur. Berdasarkank, alam semesta tertutup mempunyai nilai k = 1, alam semestadatar mempunyai nilai k = 0 dan alam semesta terbuka mem-punyai nilai k = -1.

Setelah itu, persamaan (2.24) disubstitusi ke persamaan(2.12) untuk mendapatkan metrik ruang-waktu seutuhnya

ds

2 = �dt2 + a2(t)dr

2

✓1

1� kr2

◆+ r2d✓2 + r2 sin2 ✓d�2

�

(2.22)metrik ruang-waktu diatas disebut sebagai metrik FLRW.

15


16

BAB 3

SOLUSI FRIEDMANN

3.1 Solusi Friedmann

Solusi Friedmann adalah salah satu dari solusi PersamaanMedan Einstein dengan Konstanta Kosmologi. Solusi ini meru-pakan hasil dari penurunan metrik FLRW yang tidak noldan pertama kali dilakukan oleh Friedmann pada tahun 1924yang menceritakan ekspansi alam semesta akibat adanya fak-tor skala, yaitu sebuah faktor jarak yang menggambarkanalam semesta mengembang.

Langkah pertama dalam mencari solusi Friedmann adalahmengidentifikasi tensor metrik gµ⌫ , diberikan oleh Metrik FLRW

ds2 = �dt2+a2(t)[dr2( 11� kr2 )+r

2d✓2+r2 sin2 ✓d�2]. (3.1)

Dengan mengalikan faktor skala pada metrik ruang, maka di-dapatkan

ds2 = �dt2 + a2(t)( dr2

1� kr2 ) + a2(t)r2d✓2 + a2(t)r2 sin2 ✓d�2.

(3.2)Dari metrik ruang-waktu tersebut, didapatkan empat buahelemen, yaitu elemen waktu dt dan tiga buah elemen ruang,a2(t)1�kr2dr

2, a2(t)r2d✓2, dan a2(t)r2 sin2 ✓d�2. Keempat elemenini adalah elemen diagonal dari tensor metrik gµ⌫ yang dapat

17

dituliskan sebagai

gµ⌫ =

0

BBB@

�1 0 0 00 a

2(t)1�kr2 0 0

0 0 a2(t)r2 00 0 0 a2(t)r2 sin2 ✓

1

CCCA. (3.3)

Bentuk kontravarian dari tensor metrik diatas adalah

gµ⌫ =

0

BBB@

�1 0 0 00 1�kr

2

a2(t) 0 0

0 0 1a2(t)r2 0

0 0 0 1a2(t)r2 sin2 ✓

1

CCCA. (3.4)

Setelah itu, langkah berikutnya adalah mencari nilai darisimbol Christo↵el jenis ke-2 dari tensor metrik diatas denganpersamaan

��µ⌫ =1

2g��(@µg⌫� + @⌫gµ� � @�gµ⌫). (3.5)

Nilai dari simbol Christo↵el berjumlah 64 komponen dan seba-gian besar bernilai nol. Komponen-komponen simbol Christof-fel yang tidak bernilai nol adalah (lihat persamaan A.51 -

18

A.114 pada lampiran)

�011 =aȧ

1� kr2�022 = r

2aȧ

�033 = r2aȧ sin2 ✓

�101 = �110 = �

202 = �

220 = �

303 = �

330 =

ȧ

a

�111 =kr

1� kr2�122 = �r(1� kr2)�133 = �r(1� kr2) sin2✓

�221 = �212 = �

313 = �

331 =

1

r�233 = � sin ✓ cos ✓

�323 = �332 =

1

tan ✓. (3.6)

Langkah berikutnya adalah mencari Tensor Ricci (Romeu,2013). Tensor Ricci merupakan kontraksi dari Tensor Rie-mann dan dituliskan sebagai

Rµ⌫ = @⌫��µ� � @��µ⌫ + �⇢µ⌫��⇢⌫ � �⇢µ⌫��⇢�. (3.7)

Tensor Ricci bersifat simetri (Rµ⌫ = R⌫µ), sehingga hanyaterdapat 10 komponen bebas. Untuk komponen Ri0, (i =1,2,3), didapatkan:

Ri0 = @0��i� � @��i0 + �

⇢i��

�⇢0 � �

⇢i0�

�⇢�. (3.8)

Kondisi statik mensyaratkan bahwa @0gµ⌫ = 0 sehingga @0��i�= 0. Tensor Ricci menjadi

Ri0 = �@j�ji0 + �⇢ij�

j⇢0 � �

⇢i0�

j⇢j . (3.9)

19

Dengan menggunakan nilai �ij0= 0, �⇢0⇢= 0 dan �

0ij= 0, maka

didapatkanRi0 = R0i = 0, (3.10)

maka komponen tensor Ricci yang tersisa adalah komponendalam arah diagonal (Rµµ). Nilai dari Rµµ ini adalah (lihatpersamaan A.117 - A.120 pada lampiran):

Rµµ = @µ��µ� � @��µµ + ��⇢µ�⇢µ� � �⇢µµ��⇢�. (3.11)

Untuk µ = 0

R00 = �3ä

a. (3.12)

Untuk µ = 1

R11 =2ȧ2

1� kr2 +aä

1� kr2 +2k

1� kr2 . (3.13)

Untuk µ = 2

R22 = 2r2ȧ2 + r2aä+ 2kr2. (3.14)

Untuk µ = 3

R33 = r2aä2 sin2 ✓ + 2r2ȧ2 sin2 ✓ + 2kr2 sin2 ✓. (3.15)

Kemudian, langkah berikutnya adalah mencari nilai dariSkalar Ricci dengan persamaan

R = gµ⌫Rµ⌫ . (3.16)

Dari persamaan (3.12), (3.13), (3.14) dan (3.15) terlihat bahwakomponen Tensor Ricci memiliki nilai hanya jika µ = ⌫, se-hingga syarat tersebut berlaku juga terhadap metrik gµ⌫ . Den-gan memasukkan nilai µ = ⌫ = 0, 1, 2, dan 3, maka nilai SkalarRicci adalah (lihat persamaan A.123 pada lampiran)

R = g00R00 + g11R11 + g

22R22 + g33R33

=6ä

a+

6ȧ2

a2+

6k

a2. (3.17)

20

Ruas kiri pada persamaan Medan Einstein telah selesaidikerjakan. Langkah berikutnya adalah dengan mengerjakanTensor Energi-Momentum pada ruas kanan persamaan MedanEinstein. Diasumsikan bahwa Tensor Energi-Momentum dialam semesta adalah fluida ideal

Tµ⌫ = (⇢+ p)UµU⌫ + pgµ⌫ , (3.18)

dengan matriks U

U↵ =

0

BB@

1 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

1

CCA , (3.19)

dimana U↵ menyatakan bahwa pada persamaan (3.18) yangmemiliki nilai adalah ⇢ = 1 dan p = 0.

Sama seperti pada Tensor Ricci dan metrik gµ⌫ , TensorEnergi-Momentum yang tidak bernilai nol adalah matriks di-agonalnya, maka nilai µ harus sama dengan nilai ⌫ denganµ = ⌫ = 0, 1, 2, 3. Sehingga didapatkan solusi umum per-samaan Medan Einstein (lihat persamaan A.127-A.128 padalampiran):Untuk µ = ⌫ = 0

R00 �1

2Rg00 + ⇤g00 = 8⇡GT00

✓ȧ

a

◆2=

8⇡G⇢

3+

⇤

3� k

a2. (3.20)

Persamaan (3.20) disebut juga sebagai Persamaan Friedmannjenis pertama. Didefinisikan

✓ȧ

a

◆2= H2, (3.21)

21

maka persamaan (3.20) dibaca

H2 ⌘✓ȧ

a

◆2=

8⇡G⇢

3+

⇤

3� k

a2. (3.22)

Sehingga Persamaan Friedmann jenis pertama dikenal jugasebagai persamaan Parameter Hubble. Solusi ini akan digu-nakan untuk memodelkan alam semesta.Untuk µ = ⌫ = 1

R11 �1

2Rg11 + ⇤g11 = 8⇡GT11

ä

a+

ȧ2

2a2= �4⇡Gp+ ⇤

2� k

2a2(3.23)

Untuk µ = ⌫ = 2

R22 �1

2Rg22 + ⇤g22 = 8⇡GT22

ä

a+

ȧ2

2a2= �4⇡Gp+ ⇤

2� k

2a2(3.24)

Untuk µ = ⌫ = 3

R33 �1

2Rg33 + ⇤g33 = 8⇡GT33

ä

a+

ȧ2

2a2= �4⇡Gp+ ⇤

2� k

2a2(3.25)

Dari persamaan (3.23), (3.24), dan (3.25) didapatkan solusiyang sama. Berikutnya adalah mengeliminasi persamaan (3.24)dengan persamaan (3.20), maka didapatkan (lihat A.129 padalampiran)

ä

a= �4⇡G

3(⇢+ 3p) +

⇤

3. (3.26)

Persamaan (3.26) ini dinamakan sebagai Persamaan Fried-mann jenis kedua.

22

3.2 Bentuk Lain dari Persamaan Friedmann Je-nis Pertama

Setelah didapatkan solusi Friedmann jenis pertama, diper-lukan modifikasi untuk memenuhi keadaan fisis alam semesta.Ada beberapa faktor yang berpengaruh pada solusi ini, yaitukurvatur, konstanta kosmologi, dan materi. Diketahui Per-samaan Friedmann jenis pertama

H =ȧ

a

H2 =8⇡G

3

✓⇢+

⇤

8⇡G

◆=

k

a2

=8⇡G

3(⇢+ ⇢⇤)�

k

a2(3.27)

dengan

⇢⇤ =⇤

8⇡G(3.28)

dan⇢ = ⇢m + ⇢r. (3.29)

Dimana ⇢m = densitas materi dan ⇢r = densitas radiasi. Dialam semesta ini, densitas materi berupa

⇢m = ⇢b + ⇢cdm, (3.30)

dengan ⇢b = densitas baryon dan ⇢r = densitas radiasi. Didefin-isikan lagi densitas radiasi

⇢r = ⇢� + ⇢⌫ , (3.31)

dengan ⇢� = foton dan ⇢⌫ = neutron. Hanya saja, pada Per-samaan Friedmann, densitas yang digunakan adalah densitasmateri dan densitas radiasi saja, sehingga

H2 =8⇡G

3(⇢m + ⇢r + ⇢⇤)�

k

a2. (3.32)

23

Alam semesta pada saat ini berada dalam keadaan denganmassa dan volume yang cukup untuk membuat alam semestamenuju penyusutan. Keadaan ini dinamakan sebagai alamsemesta kritis, dimana bila keadaan ini telah dicapai makaalam semesta akan berbentuk flat atau k=0 (Friemann dkk,2008)

H2 =8⇡G

3(⇢m + ⇢r + ⇢⇤)

3H2

8⇡G= (⇢m + ⇢r + ⇢⇤)| {z }

⇢crit

3H2

8⇡G= ⇢crit

3H208⇡G

= ⇢crit,0. (3.33)

Kemudian persamaan (3.33) disubstitusi ke persamaan (3.32),sehingga

H2 =8⇡G

3(⇢m + ⇢r + ⇢⇤)

H2

⇢crit,0=

8⇡G

3

✓⇢m + ⇢r + ⇢⇤

⇢crit,0

◆

H2

3H208⇡G

=8⇡G

3

✓⇢m + ⇢r + ⇢⇤

⇢crit,0

◆

H2

H20=

✓⇢m + ⇢r + ⇢⇤

⇢crit,0

◆

H2 = H20

✓⇢m + ⇢r + ⇢⇤

⇢crit,0

◆� k

a2, (3.34)

dengan

⌦m =⇢m(a)

⇢crit(a), ⌦r =

⇢r(a)

⇢crit(a), ⌦⇤ =

⇢⇤(a)

⇢crit(a). (3.35)

24

Maka

H2 = H20 (⌦m,0 + ⌦r,0 + ⌦⇤,0)�k

a2

k

a2= H20 (⌦m,0 + ⌦r,0 + ⌦⇤,0)�H2. (3.36)

untuk alam semesta saat ini digunakan nilai H = H0 dana0 = 1

k

a20= H20 (⌦m,0 + ⌦r,0 + ⌦⇤,0)�H20

k = H20 (⌦m,0 + ⌦r,0 + ⌦⇤,0 � 1)

� kH20

= 1� ⌦m,0 � ⌦r,0 � ⌦⇤,0, (3.37)

didefinisikan ⌦k,0 ⌘ � kH20 , maka

⌦k,0 = 1� ⌦m,0 � ⌦r,0 � ⌦⇤,0

⌦k,0 + ⌦m,0 + ⌦r,0 + ⌦⇤,0 = 1. (3.38)

Pada literatur (Gron dan Hervik, 2007), didapatkan per-bandingan antara kerapatan dan skala faktor:

⇢r =1

a4

⇢m =1

a3

⇢k =1

a2. (3.39)

Menyempurnakan persamaan (3.32) menjadi

H2 = H20

✓⌦r,0a4

+⌦m,0a3

+⌦k,0a2

+ ⌦⇤,0

◆

25

BAB 4

MODEL STANDAR ALAM SEMESTA

Dalam bab sebelumnya telah ditunjukkan bahwa solusiFriedmann yang didapatkan ada dua, yaitu Persamaan Fried-mann jenis pertama dan Persamaan Friedmann jenis kedua.Untuk memodelkan alam semesta, solusi yang digunakan hanyasolusi Friedmann jenis pertama yang telah diubah bentuknyasesuai dengan keadaan fisis alam semesta. Ada beberapa pa-rameter yang berpengaruh untuk memodelkan alam semesta,yaitu parameter materi, parameter radiasi, paramater kur-vatur, dan parameter konstanta kosmologi (Ohanian dan Ru�ni,2013).

Pada Tugas Akhir ini, parameter radiasi yang digunakannilainya sangat kecil atau mendekati nol, sehingga untuk se-mua model kecuali model alam semesta yang dipenuhi radi-asi, akan digunakan nilai ⌦r,0 = 0. Selain itu, nilai parame-ter konstanta kosmologi yang digunakan hanya dibatasi untuk⌦⇤,0 lebih dari nol. Untuk parameter kurvatur, nilai ⌦k,0 =-1 hanya digunakan untuk satu model alam semesta saja, se-hingga didapatkan tujuh model alam semesta yang akan diba-has pada Tugas Akhir ini (untuk detail integral, lihat lampiranA.4)

4.1 Model Alam Semesta Pertama

Untuk model alam semesta pertama ini diambil nilai ⌦m,0= 1 dan nilai ⌦r,0 = ⌦k,0 = ⌦⇤,0 = 0. Nilai-nilai ini dima-

27

sukkan pada persamaan (3.27), sehingga didapatkan

✓ȧ

a

◆2= H20 (

0

a4+

1

a3+

0

a2+ 0)

✓ȧ

a

◆2= H20

✓1

a3

◆

ȧ

a=

H20

✓1

a3

◆�1/2

1

a

da

dt= H0

✓1

a3/2

◆. (4.1)

Persamaan diatas kemudian diintegralkan, sehingga didap-atkan solusi

a(t) =

✓3

2H0t

◆2/3. (4.2)

Setelah itu, solusi tersebut di plot menggunakan software Math-ematica.

Gambar 4.1: Model Alam Semesta dengan Dominasi Materi

Alam semesta ini didominasi oleh materi. Bila ditinjausecara fisis alam semesta, keadaan ini terjadi saat awal mula

28

alam semesta mulai terbentuk. Saat itu alam semesta memi-liki jumlah materi yang sangat berlimpah, sehingga parame-ter radiasi, parameter konstanta kosmologi belum muncul saatitu. Selain itu, saat itu alam semesta belum mempunyai ke-lengkungan, sehingga alam semesta dapat dikatakan flat. Darigrafik terlihat bahwa alam semesta ini memiliki keadaan awalatau terbentuk dari big bang. Model ini biasa disebut sebagaimodel alam semesta Friedmann.

4.2 Model Alam Semesta Kedua

Untuk model alam semesta kedua ini diambil nilai ⌦r,0 =1 dan nilai ⌦m,0 = ⌦k,0 = ⌦⇤,0 = 0. Nilai-nilai ini dimasukkanpada persamaan (3.27), sehingga didapatkan

✓ȧ

a

◆2= H20

✓1

a4+

0

a3+

0

a2+ 0

◆

✓ȧ

a

◆2= H20

✓1

a4

◆

ȧ

a=

H20

✓1

a4

◆�1/2

1

a

da

dt= H0

✓1

a2

◆. (4.3)

Persamaan (4.3) kemudian diintegralkan, sehingga didapatkansolusi

a(t) = (2H0t)1/2. (4.4)

Setelah itu, solusi tersebut di plot menggunakan software Math-ematica (lihat gambar 4.2).

Alam semesta ini didominasi oleh radiasi. Bila ditinjausecara fisis alam semesta saat ini, jumlah radiasi sangatlah ke-cil, sehingga model ini tidak cocok untuk model alam semesta

29

Gambar 4.2: Model Alam Semesta dengan Dominasi Radiasi

sekarang. Dari grafik terlihat bahwa alam semesta ini mem-punyai keadaan awal (t = 0) atau tercipta dari big bang.

4.3 Model Alam Semesta Ketiga

Untuk model alam semesta ketiga ini diambil nilai ⌦⇤,0 =1 dan nilai ⌦m,0 = ⌦k,0 = ⌦r,0 = 0. Nilai-nilai ini dimasukkanpada persamaan (3.27), sehingga didapatkan

✓ȧ

a

◆2= H20

✓0

a4+

0

a3+

0

a2+ 1

◆

✓ȧ

a

◆2= H20 (1)

ȧ

a=

�H20

�1/2

1

a

da

dt= H0. (4.5)

Persamaan diatas kemudian diintegralkan, sehingga dida-

30

patkan solusi

a(t) = eH0t. (4.6)


Gambar 4.3: Model Alam Semesta dengan Dominasi Konstanta

Kosmologi

Alam semesta ini didominasi oleh konstanta kosmologi.Bila ditinjau secara fisis alam semesta saat ini, konstantakosmologi adalah penyebab terjadinya ekspansi alam semesta.Hanya saja, model ini mempunyai kekurangan. Terlihat darigrafik, keadaan awal alam semesta tidak mulai dari t = 0. Halini menyebabkam alam semesta tidak tercipta dari big bang.

4.4 Model Alam Semesta Keempat

Model alam semesta keempat adalah pengembangan darimodel alam semesta ketiga. Untuk model alam semesta inidiambil dua parameter yang memiliki nilai, yaitu ⌦⇤,0 = ⌦k,0= 1 dan nilai ⌦m,0 = ⌦r,0 = 0. Nilai-nilai ini dimasukkan

31

pada persamaan (3.27), sehingga didapatkan✓ȧ

a

◆2= H20

✓0

a4+

0

a3+

1

a2+ 1

◆

✓ȧ

a

◆2= H20 (

1

a2+ 1)

ȧ

a=

H20

✓a2 + 1

a2

◆�1/2

1

a

da

dt= H0

✓a2 + 1

a2

◆1/2. (4.7)


a(t) = sinh(H0t). (4.8)


Gambar 4.4: Model Alam Semesta dengan Konstanta Kosmologi

dan Kurvatur tidak Nol

Alam semesta ini didominasi oleh konstanta kosmologi na-mun mempunyai nilai kelengkungan yang lebih dari nol. Hal

32

ini akan berimplikasi pada model alam semesta yaitu modelalam semesta tertutup. Selain itu, nilai kelengkungan yangtidak nol akan menyebabkan jari-jari kelengkungannya tidakpernah nol sehingga jika ditinjau secara fisis alam semesta,model ini tidak mempunyai awal penciptaan atau big bang.

4.5 Model Alam Semesta Kelima

Model alam semesta kelima ini hampir menyerupai modelalam semesta keempat. Perbedaannya adalah nilai parameterkurvatur yang diambil. Untuk model alam semesta ini diambildua parameter yang memiliki nilai, yaitu ⌦⇤,0 = 1, ⌦k,0 = -1dan nilai ⌦m,0 = ⌦r,0 = 0. Nilai-nilai ini dimasukkan padapersamaan (3.27), sehingga didapatkan

✓ȧ

a

◆2= H20

✓0

a4+

0

a3� 1

a2+ 1

◆

✓ȧ

a

◆2= H20

✓� 1a2

+ 1

◆

ȧ

a=

H20

✓a2 � 1a2

◆�1/2

1

a

da

dt= H0

✓a2 � 1a2

◆1/2. (4.9)


a(t) = cosh(H0t). (4.10)


Sama seperti pada model alam semesta keempat, modelalam semesta kelima ini didominasi oleh konstanta kosmologidan mempunyai nilai parameter kurvatur yang kurang dari

33

Gambar 4.5: Model Alam Semesta dengan Konstanta Kosmologi

dan Kurvatur tidak Nol

nol. Hal ini akan berimplikasi pada model alam semesta yaitumodel alam semesta terbuka. Perbedaan antara model alamsemesta kelima dan keempat adalah model alam semesta ke-lima mempunyai awal atau tercipta dari big bang.

4.6 Model Alam Semesta Keenam

Model alam semesta keenam ini adalah model alam semestadengan menggunakan tiga parameter yang tidak bernilai nol.Paramater-parameter tersebut adalah parameter materi, pa-rameter kurvatur, dan parameter konstanta kosmologi. Diam-bil masing-masing nilai paramater, yaitu ⌦m,0 = ⌦k,0 = ⌦⇤,0= 1 dan ⌦r,0 = 0. Hanya saja, untuk mendapatkan modelalam semesta dengan menggunakan parameter ini, tidak da-pat dengan memasukkan langsung nilai-nilai tersebut padapersamaan (3.27). Hal ini akan membuat perhitungan sangatsulit untuk dikerjakan. Sehingga model ini merupakan kom-binasi dari dua model, yaitu model alam semesta yang hanya

34

terdiri dari materi (grafik 4.1) saja kemudian dilanjutkan den-gan model alam semesta yang terdiri dari konstanta kosmologidan kurvatur positif (grafik 4.4).

Gambar 4.6: Model Alam Semesta dengan Konstanta Kosmologi,

Materi dan Kurvatur tidak Nol

Model alam semesta ini memenuhi keadaan fisis alam semesta.Pada awal penciptaan, alam semesta memiliki kelimpahanmateri yang sangat banyak. Seiring dengan perkembanganalam semesta, kelimpahan materi tersebut mulai berkurang,sehingga konstanta kosmologi mulai muncul dan mendomi-nasi alam semesta. Kemudian, alam semesta yang dari awal-nya tidak memiliki kurvatur setelah big bang, perlahan mulaimempunyai kelengkungan dan akan terus mengembang.

4.7 Model Alam Semesta Ketujuh

Untuk model alam semesta ini, diambil dua parameteryang tidak bernilai nol, yaitu ⌦m,0 dan ⌦⇤,0. Sementara itu,nilai ⌦r,0 = ⌦k,0 = 0. Model ini harus memenuhi syarat pa-

35

rameter

⌦m,0 + ⌦r,0 + ⌦⇤,0 = 1

⌦m,0 + 0 + ⌦⇤,0 = 1

⌦m,0 + ⌦⇤,0 = 1. (4.11)

Nilai parameter-parameter tersebut dimasukkan ke persamaan(3.27) Sehingga didapatkan

✓ȧ

a

◆2= H20

✓0

a4+

⌦m,0a3

+0

a2+ ⌦⇤,0

◆

✓ȧ

a

◆2= H20

✓⌦m,0a3

+ ⌦⇤,0

◆

ȧ

a=

H20

✓⌦m,0a3

+ ⌦⇤,0a3

a3

◆�1/2

1

a

da

dt= H0

✓⌦m,0 + ⌦⇤,0a3

a3

◆1/2. (4.12)


a(t) =

✓⌦m,0⌦⇤,0

◆1/3sinh2/3

✓3

2H0t

p⌦⇤,0

◆. (4.13)

Setelah itu, solusi tersebut diplot dengan menggunakan soft-ware Mathematica dengan menggunakan nilai ⌦m,0 dan ⌦⇤,0yang bervariasi.

Alam semesta ini terdiri dari dua komponen, yaitu materidan konstanta kosmologi. Dari grafik terlihat bahwa ketikajumlah materi lebih mendominasi dibandingkan dengan kon-stanta kosmologi, maka alam semesta berekspansi dengan lam-bat. Sebaliknya, ketika konstanta kosmologi lebih mendomi-nasi bila dibandingkan dengan jumlah materi, maka pada satu

36

Gambar 4.7: Model Alam Semesta dengan ⌦m,0=0.7 dan ⌦⇤,0=0.3

titik alam semesta akan mulai berekspansi lebih cepat dari-pada alam semesta dengan dominasi materi.

Bila diinterpretasi menurut keadaan fisis alam semesta,keadaan materi lebih mendominasi dibanding konstanta kos-mologi terjadi pada awal terciptanya alam semesta. Hal inimenghasilkan alam semesta yang linier saja. Setelah itu, seir-ing perkembangannya, perlahan konstanta kosmologi mulaimendominasi alam semesta, sehingga terjadi ekspansi dariyang awalnya linier menjadi eksponensial. Namun, ketiadaaankurvatur membuat model alam semesta ini berbentuk datar.

37

Gambar 4.8: Model Alam Semesta dengan ⌦m,0=0.3 dan ⌦⇤,0=0.7

Gambar 4.9: Model Alam Semesta dengan ⌦m,0 dan ⌦⇤,0 yangbervariasi

38

BAB 5

DISKUSI

Persamaan Medan Einstein dengan Konstanta Kosmologiyang tidak nol ini mempunyai berbagai macam solusi, salahsatunya adalah solusi Friedmann. Solusi Friedmann yang di-dapatkan ada dua, yaitu jenis pertama dan kedua. Untukmelakukan pemodelan alam semesta, solusi yang digunakanadalah Persamaan Friedmann jenis pertama. Sementara itu,Persamaan Friedmann jenis kedua digunakan untuk menda-patkan parameter-parameter alam semesta yang digunakanuntuk memodifikasi Persamaan Friedmann jenis pertama (Car-roll, 2001).

Namun sebelum dilakukan pemodelan, solusi ini harus di-modifikasi terlebih dahulu agar sesuai dengan keadaan fisisalam semesta. Setelah itu, didapatkan parameter-parameteryang mempengaruhi pemodelan alam semesta, yaitu param-eter materi (⌦

m,0), parameter radiasi (⌦r,0), parameter kur-vatur (⌦

k,0), dan parameter konstanta kosmologi (⌦⇤,0). Den-gan memasukkan syarat-syarat parameter dan beberapa penge-cualian, maka didapatkan tujuh model alam semesta. Namunpada grafik dibawah hanya akan dibandingkan enam modelalam semesta karena model alam semesta keenam merupakankombinasi dari alam semesta pertama dan keempat

Dari gambar 5.1, hanya dua model alam semesta saja yangtidak dipengaruhi oleh konstanta kosmologi, yaitu model alamsemesta pertama yang hanya berisi materi saja dan modelalam semesta kedua yang hanya berisi radiasi saja. Sementaraitu, model alam semesta ketiga hingga model alam semesta ke-tujuh semuanya dipengaruhi oleh konstanta kosmologi. Hal ini

39

Gambar 5.1: Perbandingan dari Model-model Alam Semesta

memperlihatkan pengaruh konstanta kosmologi yang cukupmencolok. Untuk model alam semesta yang tidak dipengaruhioleh konstanta kosmologi, terlihat bahwa alam semesta terse-but mengembang secara linier kemudian pada suatu titik ham-pir konstan atau tidak mengalami ekspansi sama sekali. Se-baliknya, ketika model alam semesta diberikan pengaruh kon-stanta kosmologi, maka perlahan-lahan model tersebut akanmengalami ekspansi terus-menerus secara eksponensial.

Dari model-model tersebut, ada dua model alam semestayang tidak dimulai dari big bang, yaitu model alam semestaketiga dan keempat. Model alam semesta ketiga hanya berisikonstanta kosmologi saja. Hal ini dapat diinterpretasikanbahwa kehadiran konstanta kosmologi saat penciptaan alamsemesta belum ada. Begitu pula dengan model alam semestakeempat. Alam semesta ini berisi konstanta kosmologi danmemiliki kurvatur positif (k=1). Hal ini dapat diinterpre-tasikan bahwa pada awal penciptaan, alam semesta belummemiliki kelengkungan atau masih datar(k=0).

40

Sementara itu, dari ketujuh alam semesta yang telah di-modelkan, ada satu model alam semesta yang cocok untukalam semesta saat ini, yaitu model alam semesta ketujuh.Model ini memiliki nilai ⌦

m,0 dan ⌦⇤,0 bervariasi, sehinggadiperlukan nilai parameter yang tepat agar didapatkan modelalam semesta yang sesuai. Untuk menentukan nilai yang dibu-tuhkan, maka model alam semesta ini haruslah sesuai den-gan hasil observasi. Pada tahun 1998, Adam G. Riess dansekelompok astronom menemukan bukti bahwa alam semestamengembang. Riess dan timnya meneliti pergeseran merahyang dialami oleh bintang Supernovae Ia dan menyimpulkanbahwa pergeseran merah tersebut dipengaruhi oleh konstantakosmologi yang ditunjukkan pada grafik berikutDari gambar 5.2, terlihat bahwa nilai parameter yang digu-nakan adalah ⌦

m,o

= 0.20 dan ⌦⇤,0=0.80. Nilai-nilai param-eter tersebut dimasukkan ke model alam semesta ketujuh se-hingga didapatkan grafik seperti pada gambar 5.3.

Ketika grafik pada gambar 5.2 dan grafik pada gambar 5.3dibandingkan, maka masih terdapat perbedaan. Pada gam-bar 5.2, grafik ekspansi alam semesta tidak terlalu terlihat,sementara pada gambar 5.3 terlihat bahwa alam semesta men-galami ekspansi yang cukup mencolok. Bila perbedaan itudiinterpretasikan pada keadaan alam semesta sekarang, makaada dua kemungkinan yang bisa didapatkan. Pertama, umuralam semesta masih sangat muda. Pada gambar 5.3, sumbux menunjukkan prediksi umur alam semesta, sehingga dapatdikatakan alam semesta masih berada di daerah 0 < H0t < 1.Kedua, model alam semesta yang terlihat pada gambar 5.3merupakan prediksi dari model alam semesta yang didapatkanoleh observasi Riess dan timnya.

Hasil observasi ini tentu saja mengubah pandangan ilmuwan-ilmuwan mengenai model standar alam semesta yang digu-nakan. Saat persamaan Medan Einstein pertama kali diru-

41

Gambar 5.2: Pergeseran Merah Oleh Bintang Supernovae Ia (Riesset al.,1998)

muskan oleh Einstein, model alam semesta pertama yang munculadalah model Einsten-de Sitter. Model ini dibuat oleh de Sit-ter yang mengatakan bahwa alam semesta statis dan hanyaberisi materi saja. Model ini telah diuraikan pada subbab 4.1.

Setelah itu, Friedmann mengusulkan adanya pengaruh kon-stanta kosmologi yang mengatakan bahwa alam semesta mengem-bang. Namun kontroversi yang muncul pada saat itu membuatkonstanta kosmologi diragukan dan dihapuskan keberadaan-nya oleh ilmuwan. Beberapa tahun kemudian, tepatnya padatahun 1998, hasil observasi Riess et al. membuka babak baru

42

Gambar 5.3: Model Alam Semesta dengan ⌦m,0= 0.20 dan⌦⇤,0=0.80

dalam memodelkan alam semesta: konstanta kosmologi adadan membuat alam semesta mengembang. Sehingga munculsatu pertanyaan, apakah bentuk dari konstanta kosmologi ini?Hingga saat ini, jawaban untuk pertanyaan tersebut adalahkonstanta kosmologi di alam semesta berupa energi gelap. En-ergi ini merupakan energi hipotesis yang belum dapat dide-teksi keberadaannya, namun membuat alam semesta men-galami ekspansi.

43


44

LAMPIRAN A

Detail Penurunan Rumus

A.1 PersamaanMedan Einstein dengan Konstanta

Kosmologi

Aksi medan gravitasi pada ruang vakum

SG =1

2

Z

MLG (gµ⌫ , @�gµ⌫)

p�gd4x (A.1)

Bentuk dari LG adalah

LG = R� 2⇤ (A.2)

Pers.(A.2)disubstitusikan ke pers.(A.1)

SG =1

2

Z

M(R� 2⇤)

p�gd4x (A.3)

jika dilakukan variasi terhadap SG di atas, maka

�SG =1

2

Z��p

�gR� 2p�g⇤

�d4x, dengan R = Rµ⌫g

µ⌫

=1

2

Z��p

�gRµ⌫gµ⌫ � 2p�g⇤

�d4x

=1

2

Z(Rµ⌫g

µ⌫�p�g +Rµ⌫

p�g�gµ⌫ + gµ⌫

p�g�Rµ⌫

�2⇤�p�g)d4x (A.4)

dengan

��p

�gR�

= ��p

�ggµ⌫Rµ⌫�

=��p�g

�gµ⌫Rµ⌫ +

p�g (�gµ⌫)Rµ⌫

+p�ggµ⌫ (�Rµ⌫) (A.5)

49

karena

�g = ggµ⌫�gµ⌫ = �ggµ⌫�gµ⌫ (A.6)

maka

�p�g = @

p�g

@g�g

= � 12p�g �g

= � 12p�g (�ggµ⌫�g

µ⌫)

= �p�g2

gµ⌫�gµ⌫ (A.7)

Subetitusi pers.(A.7) ke pers.(A.5)

��p

�gR�

= �p�g2

gµ⌫�gµ⌫gµ⌫Rµ⌫ +


+p�ggµ⌫ (�Rµ⌫)

= �p�g2

gµ⌫�gµ⌫R+


+p�ggµ⌫ (�Rµ⌫)

=p�g

✓Rµ⌫ �

1

2gµ⌫R

◆�gµ⌫ +

p�ggµ⌫ (�Rµ⌫)

(A.8)

dengan suku ke-3 adalah

50

gµ⌫�Rµ⌫ = gµ⌫�

⇣@⌫�

⇢µ⇢ � @⇢�⇢µ⌫ + ��µ⇢�

⇢�⌫ � �

�µ⌫�

⇢�⇢

⌘

= gµ⌫��@⌫�

⇢µ⇢ � @⇢�⇢µ⌫

�

+gµ⌫��µ⇢�⇢�⌫ + g

µ⌫��µ⇢��⇢�⌫

�gµ⌫��µ⌫�⇢�⇢ � g

µ⌫��µ⌫��⇢�⇢

+ gµ⌫�⇢⌫⇢��µ� � gµ⌫�⇢⌫⇢��µ�| {z }

suku tambahan=0

= gµ⌫��@⌫�

⇢µ⇢ � @⇢�⇢µ⌫

�| {z }

⇢!�

+gµ⌫⇣�⇢⌫⇢��

�µ� � �

⇢�⇢��

�µ⌫

⌘

| {z }⇢!�

+ gµ⌫��µ⇢�⇢�⌫| {z }

�!µ,µ!⇢,⇢!�

+ gµ⌫��µ⇢��⇢�⌫| {z }

⇢$⌫

�gµ⌫��µ⌫��⇢�⇢| {z }

�!µ,µ!⇢,⇢!�

� gµ⌫�⇢⌫⇢��µ�| {z }⌫$⇢

= gµ⌫�⇣@⌫�

�µ� � @��µ⌫

⌘

+gµ⌫⇣��⌫��

�µ� � �

��

�µ⌫

⌘

+g⇢⌫�µ⇢��⌫µ + g

µ⇢�⌫⇢��µ⌫

�g⇢⌫�µ⇢⌫��µ� � gµ⇢�⌫⇢⌫��µ�= gµ⌫�

⇣@⌫�

�µ� � @��µ⌫

⌘

+gµ⌫⇣��⌫��

�µ� � �

��

�µ⌫

⌘

�⇣�g⇢⌫�µ⇢� � g

µ⇢�⌫⇢�

⌘��µ⌫

+��g⇢⌫�µ⇢⌫ � gµ⇢�⌫⇢⌫

��µ� (A.9)

51

Karena turunan kovarian tensor metrik adalah nol

D�gµ⌫ = @�g

µ⌫ + �µ⇢�g⇢⌫ + �⌫⇢�g

µ⇢ = 0

@�gµ⌫ = ��µ⇢�g

⇢⌫ � �⌫⇢�gµ⇢ (A.10)

dan

D⌫gµ⌫ = @⌫g

µ⌫ + �µ⇢⌫g⇢⌫ + �⌫⇢⌫g

µ⇢ = 0

@⌫gµ⌫ = ��µ⇢⌫g⇢⌫ � �⌫⇢⌫gµ⇢ (A.11)

pers.(A.10) dan pers.(A.11) disubstitusikan ke pers.(A.9)

gµ⌫�Rµ⌫ = gµ⌫�

⇣@⌫�

�µ�

⌘� gµ⌫�

⇣@��

�µ⌫

⌘

�@�gµ⌫��µ⌫ + @⌫gµ⌫��µ�+gµ⌫

⇣��⌫��

�µ� � �

��

�µ⌫

⌘

= gµ⌫@⌫⇣��µ�

⌘� gµ⌫@�

⇣��µ⌫

⌘

�@�gµ⌫��µ⌫ + @⌫gµ⌫��µ�+gµ⌫

⇣��⌫��

�µ� � �

��

�µ⌫

⌘

= @⌫⇣gµ⌫��µ�

⌘

| {z }�$⌫

�@�⇣gµ⌫��µ⌫

⌘

+��⌫�

⇣gµ⌫��µ�

⌘

| {z }�$⌫

��⇣gµ⌫��µ⌫

⌘

= @�⇣gµ��⌫µ⌫ � gµ⌫��µ�

⌘

+��

⇣gµ��⌫µ⌫ � gµ⌫��µ⌫

⌘(A.12)

didefinisikan vektor-4

52

A� = gµ��⌫µ⌫ � gµ⌫��µ⌫ (A.13)

serta menggunakan nilai simbol Christo↵el

�� = @� lnp�g (A.14)

pers.(A.13) dan pers.(A.14) disubstitusikan ke dalam pers.(A.12)sehingga didapatkan

gµ⌫�Rµ⌫ = @�A� + ��A

�

= @�A� +

1p�g@� ln

p�gA�

=1p�g@�

⇣p�gA�

⌘(A.15)

substitusi pers.(A.15) ke dalam pers.(A.8)

��p

�gR�

=p�g

✓Rµ⌫ �

1

2gµ⌫R

◆�gµ⌫ +

p�ggµ⌫�Rµ⌫

=p�g

✓Rµ⌫ �

1

2gµ⌫R

◆�gµ⌫ +

p�g 1p�g@�

⇣p�gA�

⌘

=p�g

✓Rµ⌫ �

1

2gµ⌫R

◆�gµ⌫ + @�

⇣p�gA�

⌘(A.16)

Pers.(A.16) disubstitusikan pers.(A.4) sehingga

�SG =1

2

Z

M

⇢p�g

✓Rµ⌫ �

1

2gµ⌫R

◆�gµ⌫ + 2⇤�

p�g

+ @�⇣p

�g!�⌘

| {z }=0(teorema Gauss)

9>>=

>>;d4x

=1

2

Z

⌦

p�g

✓Rµ⌫ �

1


◆�gµ⌫d4x(A.17)

53

Sedangkan aksi oleh massa sumber adalah

�SM =

Z

M@(p�gLM )d4x (A.18)

dengan

�(p�gLM ) =

@(p�gLM )@gµ⌫

�gµ⌫

=

✓@p�g

@gµ⌫LM +

p�g@LM

@gµ⌫

◆�gµ⌫

=

✓@p�g

@g

@g

@gµ⌫LM +

p�g@LM

@gµ⌫

◆�gµ⌫

=

✓� 12p�g

ggµ⌫@gµ⌫@gµ⌫

LM +p�g@LM

@gµ⌫

◆�gµ⌫

=

✓� 12p�g (�

p�g

p�g)gµ⌫LM +

p�g@LM

@gµ⌫

◆�gµ⌫

=

✓1

2(p�g)gµ⌫LM +

p�g@LM

@gµ⌫

◆�gµ⌫

=

✓1

2gµ⌫LM +

@LM@gµ⌫

◆p�g�gµ⌫

(A.19)

karena

Tµ⌫ = �2@LM@gµ⌫

+ gµ⌫LM , (A.20)

54

maka

�(p�gLM ) =

1

2

✓gµ⌫LM + 2

@LM@gµ⌫

◆p�g�gµ⌫

= �12Tµ⌫

p�g�gµ⌫

= �12

p�gTµ⌫�gµ⌫

= �12

p�gg�µg�⌫T��gµ⌫

= �12

p�gT��g�µg�⌫�gµ⌫

= �12

p�gT��g��

= �12


(A.21)

pers.(A.21) disubstitusikan ke pers.(A.18) sehingga dida-patkan

�SM = �1

2

Z

M

p�gTµ⌫�gµ⌫ (A.22)

Aksi total adalah

S = SG + SM

�S = �SG + �SM = 0

�SG = ��SM (A.23)

dari pers.(A.17) dan pers.(A.22), didapatkan

55

�SG = ��SM1

2

Z

M

p�g

✓Rµ⌫ �

1


◆�gµ⌫d4x = �

✓�12

Z

M


◆

1

2

✓Rµ⌫ �

1


◆=

1

2Tµ⌫

Rµ⌫ �1

2Rgµ⌫ + ⇤gµ⌫ = Tµ⌫ (A.24)

didefinisikan = 8⇡G (A.25)

maka

Rµ⌫ �1

2Rgµ⌫ + ⇤gµ⌫ = 8⇡GTµ⌫ (A.26)

Pers.(A.26) adalah persamaan medan Einstein dengan kon-stanta kosmologi.

A.2 Metrik FLRW

Diketahui koordinat Euclid tiga dimensi

dl2 = dx2 + dy2 + dz2 (A.27)

Dengan mengambil asumsi bahwa alam semesta mempunyaikelengkungan, sehingga koordinat tersebut ditransformasi kekoordinat bola dengan

x = r sin ✓cos�

y = r sin ✓ sin�

z = r cos ✓ (A.28)

56

maka

dx =@x

@rdr +

@x

@✓d✓ +

@x

@�d�

=@r sin ✓cos�

@rdr +

@r sin ✓cos�

@✓d✓ +

@r sin ✓cos�

@�d�

= sin ✓ cos�dr + r cos ✓ cos�d✓ � r sin ✓ sin�d� (A.29)

Hal yang sama dilakukan pada elemen garis y

dy =@y

@rdr +

@y

@✓d✓ +

@y

@�d�

=@r sin ✓ sin�

@rdr +

@r sin ✓ sin�

@✓d✓ +

@r sin ✓ sin�

@�d�

= sin ✓ sin�dr + r sin� cos ✓d✓ + r sin ✓ cos�d� (A.30)

begitu juga dengan elemen garis z

dz =@z

@rdr +

@z

@✓d✓

=@r cos ✓

@rdr +

@r cos ✓

@✓d✓

= cos ✓dr � r sin ✓d✓ (A.31)

Kemudian persamaan (A.29), (A.30), dan (A.31) dikuadratkan

dx2 = (sin ✓ cos�dr + r cos ✓ cos�d✓ � r sin ✓ sin�d�)2

= sin2 ✓ cos2 �dr2 + r2 cos2 ✓ cos2 �d✓2 + r2 sin2 ✓ sin2 �d�2

+r sin ✓ cos ✓ cos2 �drd✓ � r sin2 ✓ sin� cos�drd�+r sin ✓ cos2 � cos ✓drd✓ � r2 cos ✓ cos� sin ✓ sin�d✓d��r sin2 ✓ cos� sin�drd�� r2 cos ✓ cos� sin ✓ sin�d✓d�

= sin2 ✓ cos2 �dr2 + r cos2 ✓ cos2 �d✓2 + r sin2 ✓ sin2 �d�2

+2r sin ✓ cos ✓ cos2 �drd✓ � 2r sin2 ✓ sin� cos�drd��2r2 cos ✓ cos� sin ✓ sin�d✓d� (A.32)

57

dy2 = (sin ✓ sin�dr + r sin� cos ✓d✓ + r sin ✓ cos�d�)2

= sin2 ✓ sin2 �dr2 + r2 sin2 � cos2 ✓d✓2 + r2 sin2 ✓ cos2 �d�2

+r sin ✓ sin2 � cos ✓drd✓ + r sin2 ✓ sin� cos�drd�

+r sin ✓ sin2 � cos ✓drd✓ + r2 sin ✓ sin� cos� cos ✓d✓d�

+r sin2 ✓ sin� cos�drd�+ r2 sin ✓ sin� cos ✓ cos�d✓d�

= sin2 ✓ sin2 �dr2 + r2 sin2 � cos2 ✓d✓2 + r2 sin2 ✓ cos2 �d�2


+2r2 sin ✓ sin� cos ✓ cos�d✓d� (A.33)

dz2 = (cos ✓dr � r sin ✓d✓)2

= cos2 ✓dr2 � 2r sin ✓ cos ✓drd✓ + r2 sin2 ✓d✓2(A.34)

maka didapatkan

dl2 = dx2 + dy2 + dz2

= sin2 ✓ cos2 �dr2 + r cos2 ✓ cos2 �d✓2 + r sin2 ✓ sin2 �d�2

+2r sin ✓ cos ✓ cos2 �drd✓ � 2r sin2 ✓ sin� cos�drd��2r2 cos ✓ cos� sin ✓ sin�d✓d�+ sin2 ✓ sin2 �dr2

+r2 sin2 � cos2 ✓d✓2 + r2 sin2 ✓ cos2 �d�2


+2r2 sin ✓ sin� cos ✓ cos�d✓d�+ cos2 ✓dr2

�2r sin ✓ cos ✓drd✓ + r2 sin2 ✓d✓2

= [sin2 ✓ cos2 �dr2 + sin2 ✓ sin2 �dr2 + cos2 dr2

+r2cos2✓ cos2 �d✓2 + r2 sin2 � cos2 ✓d✓2 + r sin2 d✓2

+r2 sin2 ✓ sin2 �d�2 + r2 sin2 ✓ cos2 �d�2] ! Suku Pertama+[2r sin ✓ cos ✓ cos2 �drd✓ + 2r sin ✓ sin2 � cos ✓drd✓

�2r sin ✓ cos ✓drd✓] ! Suku Kedua (A.35)

58

Solusi untuk suku pertama

sin2 ✓ cos2 �dr2 + sin2 ✓ sin2 �dr2 + cos2 dr2 + r2cos2✓ cos2 �d✓2

+r2 sin2 � cos2 ✓d✓2 + r sin2 d✓2 + r2 sin2 ✓ sin2 �d�2

+r2 sin2 ✓ cos2 �d�2

= (sin2 ✓ cos2 �+ sin2 ✓ sin2 �+ cos2✓)dr2

+(r2 cos2 ✓ cos2 �+ r2 sin2 � cos2 ✓ + r2 sin2 ✓)d✓2

+(r2 sin2 ✓ sin2 �+ r2 sin2 ✓cos2�)d�2

= [sin2 ✓(cos2 �+ sin2 �) + cos2✓]dr2 + [r2 cos2 ✓(cos2 �+ sin2 �)

+r2 sin2 ✓]d✓2 + [r2 sin2 ✓(sin2 �+ cos2�)]d�2

= (sin2✓ + cos2 ✓)dr2 + (r2 cos2 ✓ + r2 sin2 ✓)d✓2 + (r2 sin2 ✓)d�2

= dr2 + r2(cos2 ✓ + sin2 ✓)d✓2 + r2 sin2 ✓d�2

= dr2 + r2d✓2 + r2 sin2 ✓d�2 (A.36)

Solusi untuk suku kedua

2r sin ✓ cos ✓ cos2 �drd✓ + 2r sin ✓ sin2 � cos ✓drd✓

�2r sin ✓ cos ✓drd✓= 2r sin ✓ cos ✓(cos2 �+ sin2 �)drd✓ � 2r sin ✓ cos ✓drd✓= 2r sin ✓ cos ✓drd✓ � 2r sin ✓ cos ✓drd✓= 0 (A.37)

Sehingga dengan mensubtitusi persamaan (A.33) dan (A.32)ke persamaan (A.31), didapatkan transformasi koordinatnya

dl2 = dx2 + dy2 + dz2

= dr2 + r2d✓2 + r2 sin2 ✓d�2 (A.38)

Didefinisikan kurvatur untuk 4 - dimensi

R2 = x2 + y2 + z2 + w2 (A.39)

59

dengan

r2 = x2 + y2 + z2 (A.40)

sehingga

R2 = r2 + w2

w2 = R2 � r2 (A.41)

Persamaan (A.37) didiferensialkan

2wdw = �2rdrdw =

�rw

dr

dw2 =

✓�rdr

w

◆2

=

�r dr

(R2 � r2)1/2

�2

= r2✓

dr2

R2 � r2

◆(A.42)

60

maka didapatkan koordinat baru dengan penambahan kur-vatur

dl2 = dx2 + dy2 + dz2 + dw2

= dr2 + r2d✓2 + r2 sin2 ✓d�2 + r2dr2

R2 � r2

= dr2✓1 +

r2

R2 � r2

◆+ r2d✓2 + r2 sin2 ✓d�2

= dr2✓R2 � r2

R2 � r2 +r2

R2 � r2

◆+ r2d✓2 + r2 sin2 ✓d�2

= dr2✓

R2

R2 � r2

◆+ r2d✓2 + r2 sin2 ✓d�2

= dr2"

R2

(R2 � r2)R2R2

#+ r2d✓2 + r2 sin2 ✓d�2

= dr2

1

1� r2R2

!+ r2d✓2 + r2 sin2 ✓d�2 (A.43)

Diperkenalkan simbol kurvatur k = 1R2 , sehingga persamaantersebut menjadi

dl2 = dr2✓

1

1� kr2

◆+ r2d✓2 + r2 sin2 ✓d�2 (A.44)

Salah satu asas kosmologi FLRW adalah alam semesta yangisotropik, sehingga diperkenalkan persamaan metrik FLRW

ds2 = �c2dt2 + a2(t)dl2 (A.45)

diambil nilai c = 1, sehingga didapatkan bentuk akhir darimetrik FLRW

ds2 = �dt2 + a2(t)dr2

✓1

1� kr2

◆+ r2d✓2 + r2 sin2 ✓d�2

�

(A.46)

61

A.3 Solusi Friedmann

Didapatkan metrik FLRW

ds2 = �dt2 + a2(t)dr2

✓1

1� kr2

◆+ r2d✓2 + r2 sin2 ✓d�2

�

= �dt2 + a2t

1� kr2 + a2(t)r2d✓2 + a2(t)r2 sin2 ✓d'

(A.47)

sehingga didapatkan metrik gµ⌫

gµ⌫ =

0

BB@

�1 0 0 00 a

2

1�kr2 0 00 0 a2r2 00 0 0 a2r2 sin2 ✓

1

CCA (A.48)

Setelah itu, metrik kontravarian dari gµ⌫ dapat dutentukan

gµ⌫ =

0

BB@

�1 0 0 00 1�kr

2

a2 0 00 0 1a2r2 00 0 0 1

a2r2 sin2 ✓

1

CCA (A.49)

Langkah selanjutnya adalah mencari nilai dari simbol Christof-fel jenis kedua dengan persamaan

��µ⌫ =1

2g��(@µg⌫� + @⌫gµ� � @�gµ⌫) (A.50)

Untuk menghitung nilai dari simbol christo↵el, digunakan ni-lai µ = ⌫ = � = � = 0, 1, 2, 3. Untuk � = � = 0

µ = 0, ⌫ = 0

�000

=1

2g00(@

0

g00

+ @0

g00

� @0

g00

)

= �12[@(�1)@t

]

= 0 (A.51)

62

µ = 0, ⌫ = 1

�001

=1

2g00(@

0

g10

+ @1

g00

� @0

g01

)

= �12[0 +

@(�1)@r

� 0]

= 0 (A.52)

µ = 0, ⌫ = 2

�002

=1

2g00(@

0

g20

+ @2

g00

� @0

g02

)

= �12

0 +

@(�1)@✓

� 0�

= 0 (A.53)

µ = 0, ⌫ = 3

�003

=1

2g00(@

0

g30

+ @3

g00

� @0

g03

)

= �12

0 +

@(�1)@'

� 0�

= 0 (A.54)

µ = 1, ⌫ = 0

�010

=1

2g00(@

1

g00

+ @0

g10

� @0

g10

)

= �12

@(�1)@r

+ 0� 0�

= 0 (A.55)

63

µ = 1, ⌫ = 1

�011

=1

2g00(@

1

g10

+ @1

g10

� @0

g11

)

= �12

2

40 + 0�@⇣

a2

1�kr2

⌘

@t

3

5

= �12

✓� 1kr2

◆@(a2)

@t

�

=1

2

✓1

1� kr2

◆(2a)(ȧ)

=aȧ

1� kr2 (A.56)

µ = 1, ⌫ = 2

�012

=1

2g00(@

1

g20

+ @2

g10

� @0

g12

)

= �12(0 + 0� 0)

= 0 (A.57)

µ = 1, ⌫ = 3

�013

=1

2g00(@

1

g30

+ @3

g10

� @0

g13

)

= �12(0 + 0� 0)

= 0 (A.58)

µ = 2, ⌫ = 0

�020

=1

2g00(@

2

g00

+ @0

g20

� @0

g20

)

= �12

@(�1)@✓

+ 0� 0�

= 0 (A.59)

64

µ = 2, ⌫ = 1

�021

=1

2g00(@

2

g10

+ @1

g20

� @0

g21

)

= �12(0 + 0� 0)

= 0 (A.60)

µ = 2, ⌫ = 2

�022

=1

2g00(@

2

g20

+ @2

g20

� @0

g22

)

= �12

0 + 0� (@a

2r2)

@t

�

= �12(�r2)

�@(a

2)

@t

�

=1

2(r2)(2a)(ȧ)

= r2aȧ (A.61)

µ = 2, ⌫ = 3

�023

=1

2g00(@

2

g30

+ @3

g20

� @0

g23

)

= �12(0 + 0� 0)

= 0 (A.62)

µ = 3, ⌫ = 0

�030

=1

2g00(@

3

g00

+ @0

g30

� @0

g30

)

= �12(0 + 0� 0)

= 0 (A.63)

65

µ = 3, ⌫ = 1

�031

=1

2g00(@

3

g10

+ @1

g30

� @0

g31

)

= �12(0 + 0� 0)

= 0 (A.64)

µ = 3, ⌫ = 2

�032

=1

2g00(@

3

g20

+ @2

g30

� @0

g32

)

= �12(0 + 0� 0)

= 0 (A.65)

µ = 3, ⌫ = 3

�033

=1

2g00(@

3

g30

+ @3

g30

� @0

g33

)

= �12

0 + 0�

✓@a2r2 sin2 ✓

@t

◆�

= �12

�r2 sin2 ✓

✓@a2

@t

◆�

=1

2(r22aȧ sin2 ✓)

= r2aȧ sin2 ✓ (A.66)

Untuk � = � = 1

µ = 0, ⌫ = 0

�100

=1

2g11(@

0

g01

+ @0

g01

� @1

g00

)

=1� kr2

2a2

0 + 0� @(�1)

@r

�

= 0 (A.67)

66

µ = 0, ⌫ = 1

�101

=1

2g11(@

0

g11

+ @1

g01

� @1

g10

)

=1� kr2

2a2

2

4@⇣

a2

1�kr2

⌘

@t+ 0� 0

3

5

=1� kr2

2a21

1� kr2@(a2)

@t

=1

2a2(2aȧ)

=ȧ

a(A.68)

µ = 0, ⌫ = 2

�102

=1

2g11(@

0

g21

+ @2

g01

� @1

g02

)

=1� kr2

2a2(0 + 0� 0)

= 0 (A.69)

µ = 0, ⌫ = 3

�103

=1

2g11(@

0

g31

+ @3

g01

� @1

g03

)

=1� kr2

2a2(0 + 0� 0)

= 0 (A.70)

67

µ = 1, ⌫ = 0

�110

=1

2g11(@

1

g01

+ @0

g11

� @1

g10

)

=1� kr2

2a2

2

40 +@⇣

a2

1�kr2

⌘

@t� 0

3

5

=1� kr2

2a21

1� kr2@(a2)

@t

=1

2a22aȧ

=ȧ

a(A.71)

µ = 1, ⌫ = 1

�111

=1

2g11(@

1

g11

+ @1

g11

� @1

g11

)

=1� kr2

2a2

2

4@⇣

a2

1�kr2

⌘

@r

3

5

=1� kr2

2a2(a2)

@⇣

1

1�kr2

⌘

@t

=1� kr2

2

� (�2kr)(1� 2kr2)2

�

=kr

1� kr2 (A.72)

µ = 1, ⌫ = 2

�112

=1

2g11(@

1

g21

+ @2

g11

� @1

g12

)

=1� kr2

2a2(0 +

@( a2

1�kr2 )

@✓� 0)

= 0 (A.73)

68

µ = 1, ⌫ = 3

�113

=1

2g11(@

1

g31

+ @3

g11

� @1

g13

)

=1� kr2

2a2(0 +

@( a2

1�kr2 )

@'� 0)

= 0 (A.74)

µ = 2, ⌫ = 0

�120

=1

2g11(@

2

g01

+ @0

g21

� @1

g20

)

=1� kr2

2a2(0 + 0� 0)

= 0 (A.75)

µ = 2, ⌫ = 1

�121

=1

2g11(@

2

g11

+ @1

g21

� @1

g21

)

=1� kr2

2a2

2

4@⇣

a2

1�kr2

⌘

@✓+ 0� 0

3

5

= 0 (A.76)

µ = 2, ⌫ = 2

�122

=1

2g11(@

2

g21

+ @2

g21

� @1

g22

)

=1� kr2

2a2

0 + 0�

✓@(a2r2)

@r

◆�

=1� kr2

2a2(a2)

�(@(r

2)

@r)

�

=1� kr2

2(2r)

= �r(1� kr2) (A.77)

69

µ = 2, ⌫ = 3

�123

=1

2g11(@

2

g31

+ @3

g21

� @1

g23

)

=1� kr2

2a2(0 + 0� 0)

= 0 (A.78)

µ = 3, ⌫ = 0

�130

=1

2g11(@

3

g01

+ @0

g31

� @1

g30

)

=1� kr2

2a2(0 + 0� 0)

= 0 (A.79)

µ = 3, ⌫ = 1

�131

=1

2g11(@

3

g11

+ @1

g31

� @1

g31

)

=1� kr2

2a2

2

4@⇣

a2

1�kr2

⌘

@'+ 0� 0

3

5

= 0 (A.80)

µ = 3, ⌫ = 2

�132

=1

2g11(@

3

g21

+ @2

g31

� @1

g32

)

=1� kr2

2a2(0 + 0� 0)

= 0 (A.81)

70

µ = 3, ⌫ = 3

�133

=1

2g11(@

3

g31

+ @3

g31

� @1

g33

)

=1� kr2

2a2

0 + 0�

✓@(a2r2 sin2 ✓)

@r

◆�

=1� kr2

2a2(a2 sin2 ✓)

�(@(r

2)

@r)

�

=1� kr2

2(2r)(sin2 ✓)

= �r(1� kr2) sin2 ✓ (A.82)

Untuk � = � = 2

µ = 0, ⌫ = 0

�200

=1

2g22(@

0

g02

+ @0

g02

� @2

g00

)

=1

2a2r2(0 + 0� 0)

= 0 (A.83)

µ = 0, ⌫ = 1

�201

=1

2g22(@

0

g12

+ @1

g02

� @2

g01

)

=1

2a2r2(0 + 0� 0)

= 0 (A.84)

71

µ = 0, ⌫ = 2

�202

=1

2g22(@

0

g22

+ @2

g02

� @2

g02

)

=1

2a2r2

@(a2r2)

@t+ 0� 0

�

=1

2a2r2(r2)

@(a2)

@t

=1

2a2(2a)(ȧ)

=ȧ

a(A.85)

µ = 0, ⌫ = 3

�203

=1

2g22(@

0

g32

+ @3

g02

� @2

g03

)

=1

2a2r2(0 + 0� 0)

= 0 (A.86)

µ = 1, ⌫ = 0

�210

=1

2g22(@

1

g02

+ @0

g12

� @2

g10

)

=1

2a2r2(0 + 0� 0)

= 0 (A.87)

µ = 1, ⌫ = 1

�211

=1

2g22(@

1

g12

+ @1

g12

� @2

g10

)

=1

2a2r2

2

40 + 0�@⇣

a2

1�kr2

⌘

@✓

3

5

= 0 (A.88)

72

µ = 1, ⌫ = 2

�212

=1

2g22(@

1

g22

+ @2

g12

� @2

g12

)

=1

2a2r2

@(a2r2)

@r+ 0� 0

�

=1

2a2r2(a2)

@(r2)

@r

�

=1

2r2(2r)

=1

r(A.89)

µ = 1, ⌫ = 3

�213

=1

2g22(@

1

g32

+ @3

g12

� @2

g13

)

=1

2a2r2(0 + 0� 0)

= 0 (A.90)

µ = 2, ⌫ = 0

�220

=1

2g22(@

2

g22

+ @0

g22

� @2

g20

)

=1

2a2r2

0 +

@(a2r2)

@t� 0

�

=1

2a2r2(r2)

@(a2)

@t

=1

2a2(2a)(ȧ)

=ȧ

a(A.91)

73

µ = 2, ⌫ = 1

�221

=1

2g22(@

2

g12

+ @1

g22

� @2

g21

)

=1

2a2r2

0 +

@(a2r2)

@r� 0

�

=1

2a2r2(a2)

@(r2)

@r

�

=1

2r2(2r)

=1

r(A.92)

µ = 2, ⌫ = 2

�222

=1

2g22(@

2

g22

+ @2

g22

� @2

g22

)

=1

2a2r2

@(a2r2)

@✓

�

= 0 (A.93)

µ = 2, ⌫ = 3

�223

=1

2g22(@

2

g32

+ @3

g22

� @2

g23

)

=1

2a2r2

0 +

@(a2r2)

@'� 0

�

= 0 (A.94)

µ = 3, ⌫ = 0

�230

=1

2g22(@

3

g02

+ @0

g32

� @2

g30

)

=1

2a2r2(0 + 0� 0)

= 0 (A.95)

74

µ = 3, ⌫ = 1

�231

=1

2g22(@

3

g12

+ @1

g32

� @2

g31

)

=1

2a2r2(0 + 0� 0)

= 0 (A.96)

µ = 3, ⌫ = 2

�232

=1

2g22(@

3

g22

+ @2

g32

� @2

g32

)

=1

2a2r2

@(a2r2)

@'+ 0� 0

�

= 0 (A.97)

µ = 3, ⌫ = 3

�233

=1

2g22(@

3

g32

+ @3

g32

� @2

g33

)

=1

2a2r2

0 + 0� @(a

2r2 sin2 ✓)

@✓

�

=1

2a2r2(�a2r2)@(sin

2 ✓)

@✓

= �12(2 sin ✓ cos ✓)

= � sin ✓ cos ✓ (A.98)

Untuk � = � = 3

µ = 0, ⌫ = 0

�300

=1

2g33(@

0

g03

+ @0

g03

� @3

g00

)

=1

2a2r2 sin2 ✓

0 + 0� @(�1)

@'

�

= 0 (A.99)

75

µ = 0, ⌫ = 1

�301

=1

2g33(@

0

g13

+ @1

g03

� @3

g01

)

=1

2a2r2 sin2 ✓(0 + 0� 0)

= 0 (A.100)

µ = 0, ⌫ = 2

�302

=1

2g33(@

0

g23

+ @2

g03

� @3

g02

)

=1

2a2r2 sin2 ✓(0 + 0� 0)

= 0 (A.101)

µ = 0, ⌫ = 3

�303

=1

2g33(@

0

g33

+ @3

g03

� @3

g03

)

=1

2a2r2 sin2 ✓

@(a2r2 sin2 ✓)

@t+ 0� 0

�

=1

2a2r2 sin2 ✓(r2 sin2 ✓)

@(a2)

@t

�

=1

2a2(2a)(ȧ)

=ȧ

a(A.102)

µ = 1, ⌫ = 0

�310

=1

2g33(@

1

g03

+ @0

g13

� @3

g10

)

=1

2a2r2 sin2 ✓(0 + 0� 0)

= 0 (A.103)

76

µ = 1, ⌫ = 1

�311

=1

2g33(@

1

g13

+ @1

g13

� @3

g11

)

=1

2a2r2 sin2 ✓

2

40 + 0�@⇣

a2

1�kr2

⌘

@'

3

5

= 0 (A.104)

µ = 1, ⌫ = 2

�312

=1

2g33(@

1

g23

+ @2

g13

� @3

g12

)

=1

2a2r2 sin2 ✓(0 + 0� 0)

= 0 (A.105)

µ = 1, ⌫ = 3

�313

=1

2g33(@

1

g33

+ @3

g13

� @3

g13

)

=1

2a2r2 sin2 ✓

@(a2r2 sin2 ✓)

@r+ 0� 0

�

=1

2a2r2 sin2 ✓(a2 sin2 ✓)

@(r2)

@r

�

=1

2r2(2r)

=1

r(A.106)

µ = 2, ⌫ = 0

�320

=1

2g33(@

2

g03

+ @0

g23

� @3

g20

)

=1

2a2r2 sin2 ✓(0 + 0� 0)

= 0 (A.107)

77

µ = 2, ⌫ = 1

�321

=1

2g33(@

2

g13

+ @1

g23

� @3

g21

)

=1

2a2r2 sin2 ✓(0 + 0� 0)

= 0 (A.108)

µ = 2, ⌫ = 2

�322

=1

2g33(@

2

g23

+ @2

g23

� @3

g22

)

=1

2a2r2 sin2 ✓

0 + 0� @(a

2r2)

@'

�

= 0 (A.109)

µ = 2, ⌫ = 3

�323

=1

2g33(@

2

g33

+ @3

g23

� @3

g23

)

=1

2a2r2 sin2 ✓

@(a2r2 sin2 ✓)

@✓+ 0� 0

�

=1

2a2r2 sin2 ✓(a2r2)

@(sin2 ✓)

@✓

�

=1

2sin2✓(2 sin ✓ cos ✓)

=cos ✓

sin ✓

=1

tan ✓(A.110)

78

µ = 3, ⌫ = 0

�330

=1

2g33(@

3

g03

+ @0

g33

� @3

g30

)

=1

2a2r2 sin2 ✓

0 +

@(a2r2 sin2 ✓)

@t� 0

�

=1

2a2r2 sin2 ✓(r2 sin2 ✓)

@(a2)

@t

�

=1

2a2(2a)(ȧ)

=ȧ

a(A.111)

µ = 3, ⌫ = 1

�331

=1

2g33(@

3

g13

+ @1

g33

� @3

g31

)

=1

2a2r2 sin2 ✓

0 +

@(a2r2sin2✓)

@r� 0

�

=1

2a2r2 sin2 ✓(a2 sin2 ✓)

@(r2)

@r

�

=1

2r2(2r)

=1

r(A.112)

79

µ = 3, ⌫ = 2

�332

=1

2g33(@

3

g23

+ @2

g33

� @3

g32

)

=1

2a2r2 sin2 ✓

0 +

@(a2r2 sin2 ✓)

@✓� 0

�

=1

2a2r2 sin2 ✓(a2r2)

@(sin2 ✓)

@✓

�

=1

2 sin2 ✓(2 sin ✓ cos ✓)

=cos ✓

sin ✓

=1

tan ✓(A.113)

µ = 3, ⌫ = 3

�333

=1

2g33(@

3

g33

+ @3

g33

� @3

g33

)

=1

2a2r2s 22 ✓

@(a2r2 sin2 ✓)

@'

�

=1

2a2r2 sin2 ✓(0)

= 0 (A.114)

80

Sehingga didapatkan simbol Christo↵el yang memiliki nilai

�011

=aȧ

1� kr2�022

= r2aȧ

�033

= r2aȧ sin2 ✓

�101

= �110

= �202

= �220

= �303

= �330

=ȧ

a

�111

=kr

1� kr2�122

= �r(1� kr2)�133

= �r(1� kr2) sin2 ✓

�221

= �212

= �313

= �331

=1

r�233

= � sin ✓ cos ✓

�323

= �332

=1

tan ✓(A.115)

Selanjutnya adalah menghitung nilai tensor Ricci dengan per-samaan

Rµ⌫ = @��µ⌫ � @⌫��⌫ + ��µ⌫ � ��⌫��

pengaruhkonstantakosmologiterhadapmodel...

Documents