ANALISIS MULTIVARIAT

Pengantar Analisis Multivariat Lanjutang j

Irlandia Ginanjar M.Si

Jurusan Statistika FMIPA UnpadJurusan Statistika‐FMIPA Unpad

Notasi untuk variabel‐variabel berskalalinterval atau rasio

k b l k• Vektor variabel acak:

⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎡

=p

XX

X...

2

1

1

• Nilai harapan vektor

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ pX

• Nilai harapan vektorvariabel acak

( )( )( )

μμμ

=⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

=⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

=XEXE

XE 2

1

2

1

1( )( )

μ

μ

=

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

=

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

=

pp

p

XE

XE......1

Matriks Ragam-peragam (Variance Covariance Matrix)

⎥⎤

⎢⎡

⎥⎤

⎢⎡ ppxxxxx σσσ LL 112111211 ),cov(),cov()var(

Matriks Ragam peragam (Variance Covariance Matrix)

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

=∑= p

p

p

p

pp

xxxxx

xxxxxXCov

σσσ

σσσMOMM

L

MOMM

L 222212212

)var()cov()cov(

),cov()var(),cov()(

⎥⎦⎢⎣⎥⎦⎢⎣ ppppppp xxxxx σσσ LL 2121 )var(),cov(),cov(

dimana:

( )( )( ))()(),(

)()(),( 22

jjiiijji

iiiiiiii

XEXXEXEXXCovXEXEXVarXXCov

−−==−====

σσσ

M t ik k l i b k ⎤⎡ 1 ρρ• Matriks korelasi berukuran pxp

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

1...

11

21

221

112

pp

p

p

pp R

ρρ

ρρρρ

• Hubungan matriks ragam peragam dengan matriks korelasi

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

iipp DDR

σσ11

korelasi

• Matriks D, matriks diagonal berukuruan pxp ⎥

⎤⎢⎡ 001berukuruan pxp

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

i

D σ

σ

σ100............

0...10

0...0

12

1

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ pσ

...00

Beberapa notasi untuk data sampelBeberapa notasi untuk data sampel

k b k ⎤⎡ n• Vektor rataan berukuran px1, merupakan penduga bagi vektor μ μ̂1

2

11

2

1

1 =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡

=⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

=∑

∑

=

=

xn

x

xx

x

n

ii

n

ii

pe to μ...

...

1 ⎥⎥⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣∑=

n

x

nx

n

ipi

p

• Matriks ragam peragam berukuran pxp, merupakan 

d b i t ik Σ

ˆ......

21

22221

11211

∑=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

sss

ssssss

S

n

pppp

p

p

pp

penduga bagi matriks Σ ( )

( )( )1

1

1

1

2

2

−−=

−

−==

∑

∑

=

=

n

xxxxs

n

xxss

n

kjjkiik

ij

n

jiij

iii

1−n

k k l• Matriks korelasi berukuran pxp, merupakan penduga 

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

pp

p

p

pp

rr

rrrr

R

21

221

112

ˆ

1...............

...1

...1

ρ

p p gbagi matriks ρ

( )( )

( ) ( )∑∑

∑=

−−

−−=

=⎦⎣

n

jjk

n

iik

n

kjjkiik

ij

ii

xxxx

xxxxr

r

22

1

1

( ) ( )∑∑== k

jjkk

iik xxxx11

Konsep JarakKonsep Jarak

k k• Jarak pengamatan ke titik pusat

• Jarak antar

( ) ( )xxxxd iii −−= '

Jarak antar pengamatan (i,j)– Jarak Euclidean ( ) ( )jijiji xxxxd −−= '.

– Jarak Mahalanobis

– Jarak Minkowski (City Block)

( ) ( )jijiji xxSxxd −−= −1. '

( ) ( ) ,....4,3,2,'. =−−= kxxxxd kjijiji)

Definisi MatriksDefinisi Matriks

Susunan angka‐angka di dalam kotak yang dibagi ke dalam baris dan kolom.

Misalkan terdiri dari n baris dan p kolom, maka matriks tersebut berdimensi n x p.

contoh :

⎥⎤

⎢⎡ 543

⎥⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢⎢

⎣ 10557012291

⎦⎣ 1055

kMatriks Putaran

Diperoleh dengan cara menukar baris dan kolomnya, di t ik d A’dinotasikan dengan A’.

contoh :⎤⎡ 21

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

642531

'A⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

654321

A⎥⎦⎢⎣ 65

Matriks SimetrikJika A = A’ maka A adalah matriks simetrik

⎥⎤

⎢⎡ 521

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ 095972

Matriks Diagonal

Jika matriks n x n yang semua unsur nondiagonalnya bernilai nol, disebut matriks diagonal. 

⎥⎤

⎢⎡ 005

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ 700000

M t ik KhMatriks Khusus- matriks identitas

k l- matriks nol- matriks segitiga

Kebebasan Linier

Sekumpulan vektor kolom atau baris tak nol dikatakan bebas linier jika tidak ada satupun yang bisa dituliskan b i k bi i li i d i kt l isebagai kombinasi linier  dari vektor lainnya.

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

4931

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ 1110

Pangkat MatriksPangkat MatriksBanyaknya baris atau kolom pada matriks itu yang bersifat bebas linier.pada matriks di atas berpangkat r(A)=2

Matriks Singular dan NonsingularMatriks Singular dan Nonsingular

Matriks A n x n dikatakan singular jika semua barisatau kolomnya saling bebas linier.y g

Kebalikan Matriks

Untuk matriks persegi A, jika berlakuUntuk matriks persegi A, jika berlaku

AB = BA= I, maka B adalah matriks kebalikan dari A,dinotasikan A‐1.dinotasikan A .

⎤⎡ 31 ⎤⎡ 34⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

4931

A⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=−

231

239

23231A

⎦⎣ 2323

Normal Vektor Euclidian

Sebuah vektor a berukuran n x 1 memiliki panjangSebuah vektor a berukuran n x 1 memiliki panjang yang didefinisikan sebagai :

aa'aa

Dan vektor normal dari a =a/√a’amemiliki norma √22+12+22 3memiliki norma √22+12+22 =3

⎥⎤

⎢⎡ 2

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

212

a⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

313

212

31b

⎥⎦⎢⎣2

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

⎥⎦⎢⎣322

Jarak Euclid antar Dua Vektor

Jika dua buah vektor a dan b berukuran n x 1 makaJika dua buah vektor a dan b berukuran n x 1 maka jarak euclid:

)()'(),( bababad −−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

235

a

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

=

⎥⎦⎢⎣

16

2

b

3)42()13()65(),( 222 =−+−+−=bad

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

=41b

Vektor dan Matriks OrtogonalDua buah vektor berukuran n x 1 dikatakan ortogonal gsatu sama lain jika a’b=0.

⎤⎡5 ⎤⎡−1

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

59a

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

101

b

⎦⎣

Sebuah matriks A berukuran n x n adalahmatriks ortogonal jika A’A=AA’=I.

⎥⎤

⎢⎡ −

111

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

−−=6

12

13

1623

A

⎥⎥

⎦⎢⎢

⎣ 620

31

Akar Ciri dan Vektor Ciri

Untuk matriks A berukuran n x n makapasangan‐pasangan (λ1,x1),…,(λn,xn) dikatakanpasa ga pasa ga (λ1, 1), ,(λn, n) d ata asebagai pasangan akar ciri dan vektor ciri yangortonormal jika berlaku:j

Ax1= λ1x1:

:

Axn= λnxnAtau memenuhi det(Ax – λIx)=0( )

Penguraian Spektral dari Sebuah Matriks SimetrikA=PΛP’A=PΛP

dengan A adalah matriks simetrik n x n, P adalah suatu matriks ortogonal dan Λ adalah matriks diagonal. P=(x1|x2|…|xn) dan 

λ λ )Λ=diag(λ1,…, λn)

Determinan MatriksDeterminan Matriksyaitu perkalian dari seluruh akar ciri dari matriks persegi n x n A, |A|= λ1x….x λn

Teras Matriksteras dari matriks A n x n, tr(A) adalah penjumlahan semuateras dari matriks A n x n, tr(A) adalah penjumlahan semua akar cirinya.tr(A)= λ1+ ….+λn , yang sebanding dengan jumlah dari semua unsur diagonal utamanyaunsur diagonal utamanya.

Bentuk Kuadratik

Mi l A d l h ik b k d d l hMisal A adalah matrik berukuran n x n dan x adalah vektor peubah berukuran n x 1 maka:

n n

∑∑= =

=n

i

n

jjiij xxaAxx

1 1'

22 )()( nnnnnnnnn xxaaxxaaxaxa 11,,121211222

111 )(...)(... −−− +++++++=

Bentuk itu adalah bentuk kuadratik dari x.Contoh:

⎥⎤

⎢⎡ 321

⎥⎤

⎢⎡ 1x

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

=111124A

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

=32

xxx

maka

32312123

22

21 2462' xxxxxxxxxAxx

maka+++++=

Matriks Definit dan Semidefinit Positif

ik i ik b k b ifMatriks simetrik berukuran n x n bersifat:

‐definit positif jika

x’Ax > 0     untuk sembarang vektor x ≠ 0

‐semidefinit positif jika 

x’Ax ≥ 0     untuk sembarang vektor x ≠ 0

Akar Kuadratik Matrik Semidefinit PositifAkar Kuadratik Matrik Semidefinit Positif

A=matrik semidefinit positif, diperoleh matriks ∆ atas U sehingga∆ atas U sehingga

A=U’U (penguraian Cholesky)

Akar kuadrat dari matrik simetrik:

A=PΛP’=(PΛ1/2P’)(PΛ1/2P’)=A1/2A1/2( )( )

dimana P matrik ortogonal dan Λmatriks diagonal.diagonal.

Perkalian KroneckerPerkalian Kronecker C denganD dinotasikan

DC ⊗DC ⊗Yaitu dengan mengalikan setiap unsur matriks C dengan matriks D, dan matriks C dengan matriks D, dan kemudian membuat matriks gabungannya.

h⎤⎡ 4301

⎥⎤

⎢⎡

11404301

C

contoh:

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

= 31

D ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡

−=⊗ 33120

114028210712903

DC

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ −−=23111140C

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

=73D

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

−−

−−=⊗

69332311

7728033120DC

⎥⎦

⎢⎣ − 142177

Partisi MatriksPartisi Matriks

⎥⎤

⎢⎡ 1x

⎥⎤

⎢⎡ + pqq ssss ...|... 11,1111

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

−−−=⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

−−−=

)1(

)1(

:xx

xq

px

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

+ qpqqqqq ssssS

...|...:...:|:...:

1,1

⎥⎥

⎦⎢⎢

⎣

⎥⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢⎢

⎣

+)2(

1

)1(

:x

x

x

p

q

px

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢ −−−−−−−−−−−−−=

+++++ pqqqqqqpxp

n

ssssS

::|::...|... ,11,1,11,1

)(

⎦⎣ p

⎥⎥

⎦⎢⎢

⎣ + ppqppqp ssss ...|...:...:|:...:

1,1

q qp −

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

−−−−1211

|| ss

q

q

qp −

=⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ 2221 | ssqp −

TERIMAKASIH