penerapan operasi matriks dalam...

Makalah IF2123 Aljabar Geometri – Informatika ITB –Semester I Tahun 2015/2016

Penerapan Operasi Matriks dalam Kriptografi

Muhammad Farhan Kemal 13513085

Program Studi Informatika

Sekolah Teknik Elektro dan Informatika

Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung 40132, Indonesia

[email protected]

Abstract— Dalam era informatika seperti saat ini,

pengiriman dan penerimaan pesan teks secara digital telah

memegang peranan yang sangat penting dalam pertukaran

informasi. Pengiriman pesan teks secara digital tersebut

contohnya adalah surat elektronik atau e-mail, SMS, media

sosial berbasis chat seperti whatsapp dan LINE, dan masih

banyak lagi. Namun dalam prosesnya, dalam sebuah pesan

suatu huruf yang sama memiliki image yang sama. Hal ini

memiliki risiko yang besar terhadap tingkat keamanan

pertukaran informasi tersebut karena mudah ditebak apa isi

pesan tersebut dan bisa saja merugikan berbagai pihak.

Untuk itu dalam pengiriman sebuah pesan, isi pesan tersebut

harus disandikan (encoded) terlebih dahulu. Tujuan

penyandian ini agar aman dari para pembongkar sandi dan

hanya penerima pesan yang mengetahui isi pesan tersebut.

Pesan dikemas dan ditulis dalam bentuk barisan bilangan

atau huruf tidak beraturan. Pesan sandi yang dikirim

merupakan hasil pengolahan dan pemrosesan dengan satu

atau lebih operasi matriks. Tingkat keamanan suatu pesan

tergantung pada kompleksitas pemrosesan operasi matriks

yang digunakan. Pada proses pengiriman pesan,

sender(pengirim) menyertakan juga perangkat yang

digunakan untuk mengolah/merubah pesan. Perangkat yang

dimaksud adalah aturan konversi dan matriks pemrosesnya

(matriks kunci). Berdasarkan ketiga perangkat inilah

receiver (penerima) dapat membongkar/membaca makna

pesan yang dikirim.

Keywords— kriptografi, encoding, matriks, invers.

I. INTRODUCTION

Pertukaran informasi adalah hal yang sangat penting

saat ini. Tidak seperti dahulu, saat ini informasi sudah

berada pada jalur yang sangat bebas dan dengan

perputaran yang sangat cepat. Dahulu sebelum ada

teknologi perpindahan informasi seperti saat ini, informasi

cenderung statis dan persebarannya sangat sempit. Karena

dibutuhkan waktu yang lama dan biaya yang mahal agar

pertukaran informasi bisa terjadi. Pada saat ini, informasi

bisa dikirimkan dengan cepat dengan menggunakan

berbagai media. Biaya dan waktu sudah tidak menjadi isu

yang perlu diperhatikan. Saat ini, hal yang menjadi

perhatian dalam pengiriman sebuah informasi adalah

tingkat keamanan informasi tersebut saat dikirim. Sebab

dalam prosesnya,

ternyata dalam suatu

pesan huruf yang sama

memiliki penggambaran

dan penyimbolan yang

sama pula. Hal ini

mengakibatkan saat

perpindahan informasi

tersebut, jika terdapat

pembobolan paksa maka

pesan tersebut akan

diketahui maknanya

secara mudah. Untuk itu

diperlukan suatu metode

yang efektif dalam hal

keamanan informasi

tersebut. Hal ini disebut

kriptografi. Kriptografi

adalah algoritma untuk mengubah suatu informasi dari

bentuk aslinya ke dalam bentuk yang acak/random yang

hanya bisa dibobol oleh orang yang mengetahui

passwordnya. Pada makalah ini metode kriptografi yang

dilakukan adalah dengan mengubah setiap huruf ke dalam

bilangan dan menempatkannya ke dalam sebuah matriks.

Tingkat keamanan suatu pesan tergantung pada

kompleksitas pemrosesan operasi matriks yang digunakan.

Pada proses pengiriman pesan, sender(pengirim)

menyertakan juga perangkat yang digunakan untuk

mengolah/merubah pesan. Perangkat yang dimaksud

adalah aturan konversi dan matriks pemrosesnya (matriks

kunci). Berdasarkan ketiga perangkat inilah receiver

(penerima) dapat membongkar/membaca makna pesan

yang dikirim. Pada tulisan ini akan dibahas proses

pengiriman dan pembacaan suatu pesan sandiyang sangat

sederhana.

II. KRIPTOGRAFI

Mesin Kriptografi Lorenz

yang digunakan Jerman

pada masa perang Dunia I

Sumber :

billtuttememorial.org.uk


Kata kriptografi berasal dari bahasa Yunani, yaitu

kriptos yang berarti rahasia dan graphein yang berarti

menggambar. Kriptografi merupakan keahlian dan ilmu

dari cara-cara untuk komunikasi aman pada kehadirannya

di pihak ketiga. Secara umum, kriptografi ialah mengenai

mengkonstruksi dan menganalisis protokol komunikasi

yang dapat memblokir pihak ketiga. Aplikasi dari

kriptografi termasuk ATM, password komputer, dan E-

commerce.

Hingga zaman modern kriptografi mengacu hampir

secara ekslusif pada enkripsi, yang merupakan proses

mengkonversikan informasi biasa menjadi teks yang tak

dapat dipahami (disebut teks sandi). Deskripsi merupakan

kebalikan, dengan kata lain, memindahkan teks sandi yang

tidak dapat dibaca menjadi teks yang dapat dipahami

secara eksplisit

Sebelum zaman modern, kriptografi dilihat hanya

semata-mata berhubungan dengan pesan rahasia seperti

enkripsi-konversi pesan dari bentuk dapat dipahami

menjadi bentuk yang tak dapat dipahami dan kembali lagi

satu dengan yang lain, menjadikannya tak dapat dibaca

oleh pencegat atau penyadap tanpa ilmu khusus (di mana

sandi dibutuhkan untuk dekripsi pesan itu). Enkripsi

digunakan untuk menyakinkan kerahasiaan di komunikasi,

termasuk teknik untuk pemeriksaan integritas pesan,

autentikasi identitas pengirim/penerima, tanda-tangan

digital, bukti interaktif dan komputasi keamanan, serta

banyak lagi yang lain.

III. MATRIKS

Dalam matematika, matriks adalah kumpulan bilangan,

simbol, atau ekspresi, berbentuk persegi panjang yang

disusun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang

terdapat di suatu matriks disebut dengan elemen atau

anggota matriks. Contoh matriks dengan 2 baris dan 3

kolom yaitu

Pemanfaatan matriks misalnya dalam menemukan

solusi sistem persamaan linear. Penerapan lainnya adalah

dalam transformasi linear, yaitu bentuk umum dari fungsi

linear, misalnya rotasi dalam 3 dimensi. Matriks seperti

halnya variabel biasa dapat dimanipulasi, seperti

dikalikan, dijumlah, dikurangkan dan didekomposisikan.

Dengan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan

dengan lebih terstruktur.

Matriks dapat dioperasikan dengan berbagai operasi.

Salah satunya perkalian matriks. Hasil perkalian skalar k

dengan sebuah matriks A yang berordo m x n adalah

sebuah matriks yang berordo m x n dengan elemen-

elemennya adalah hasil kali skalar k dengan setiap elemen

matriks A. Dua matriks A dan B dapat dikalikan jika

jumlah kolom matriks A (matriks kiri) sama dengan

jumlah baris matriks B (matriks kanan). Ordo hasil

perkalian matriks Amxn dengan Bnxp , misalnya matriks

C yang akan berordo mxp.

Cara mengalikan matriks A dan B yaitu dengan

menjumlahkan setiap perkalian elemen pada baris matriks

A dengan elemen kolom matriks B dan hasilnya

diletakkan sesuai dengan baris dan kolom pada matriks C

(matriks hasil perkalian).

Matriks dapat dioperasikan dengan menggunakan

operasi baris elementer (OBE). Banyak kegunaan dari

OBE itu sendiri, diantaranya menentukan solusi dari

persamaan linier yang telah diaugmentasikan ke dalam

matriks, menentukan inverm matriks, dan lain sebagainya.

OBE ini didapatkan dalam suatu tahapan dengan

menerapkan ketiga tipe operasi berikut untuk

menghilangkan bilangan-bilangan tak diketahui secara

Sebuah scytale, benda yang merupakan

mesin kriptografi klasik . Sumber

google.com


sistematik.

• Kalikan persamaan dengan konstanta yang tak

sama dengan nol.

• Pertukarkan dua persamaan tersebut.

• Tambahkan kelipatan dari satu persamaan bagi

yang lainnya.

Sifat-sifat matriks yang berbentuk eselon baris (row-

echelon form) dan eselon baris tereduksi (reduced row-

echelon form) :

• Jika baris tidak terdiri seluruhnya dari nol, maka

bilangan taknol pertama dalam baris tersebut

adalah 1. (kita namakan ini 1 utama).

• Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari

nol, maka semua baris seperti itu dikelompokkan

berama-sama dibawah matriks.

• Dalam sebarang dua baris yang berurutan yang

seluruhnya tidak terdiri dari nol, maka 1 utama

dalam baris yang lebih rendah terdapat lebih jauh

kekanan dari 1 utama dalam baris yang lebih

tinggi.

• Masing-masing kolom yang mengandung 1

utama mempunyai nol di tempat lain.

Dikatakan matriks berada dalam bentuk eselon baris

jika memiliki sifat 1, 2, dan 3. Prosedur untuk mereduksi

menjadi eselon baris tereduksi disebut Eliminasi Gauss-

Jordan. Jika memiliki keempat sifat tersebut, maka

matriks tersebut berada dalam bentuk eselon baris

tereduksi dan prosedurnya disebut Eliminasi Gauss.

Selain itu, dapat ditentukan invers matriks

menggunakan operasi baris elementer. Pertama, susun

matriks menjadi dua bagian dengan ukuran yang identik

sebesar matriks yang akan dicari inversnya. Matriks

disebelah kiri adalah matriks A dan sebelah kanan adalah

matriks identitas. Kemudian lakukan Operasi Baris

Elementer sedemikan sehingga matriks sebelah kiri

menjadi matriks identitas dan matriks identitas (pada

sebelah kanan) yang akan menjadi invers matriks tersebut.

IV. KRIPTOGRAFI DENGAN MENGGUNAKAN OPERASI

MATRIKS

Dalam operasi kriptografi ini, dibagi ke dalam dua

tahapan yaitu mengirim pesan dan menerima pesan

tersebut.

1. Mengirim Pesan

Langkah-langkah yang harus dilakukan dalam

mengirim pesan adalah:

• Tulis pesan yang akan dikirim [dalam deretan

huruf yang bermakna]

• Tentukan “aturan konversi” yang Anda

gunakan, misal

• Tulis pesan (1) dalam bentuk konversi

• Tulis pesan (3) dalam bentuk matriks, misal

M

• Tentukan matriks kunci A, dengan kriteria

sbb:

� Semua unsur dari matriks A dan A-1

adalah bulat

� Matriks A dan M dapat

dikalikan(multiplicable)

• Tentukan matriks P, dengan P = AM

• Tulis matriks P dalam deretan bilangan. [ P

inilah pesan yang dikirim]

Dalam proses pengiriman pesan khusus tersebut,

seorang penerima (receiver) akan menerima

beberapa perangkat. Perangkat yang disertakan

digunakan untuk membongkar/membaca pesan

yang dikirimkan. Perangkat tersebut adalah :

- Pesan dalam deretan bilangan [pesan (7)]

- Aturan konversi [pesan (2)]

- Matriks kunci [pesan (5)].

Contoh:

Seseorang mengirim pesan . Pesan tersebut adalah “BE

SELF FOREVER.”

• Pesan : BE SELF FOREVER.

• Aturan konversi :

• Pesan (1) menjadi :

2 5 27 19 5 12 6 27 6 15 18 5 22 5 18 29

• Tulis pesan (3) dalam matriks,

• Ukuran matriks M bergantung pada ukuran

matriks kunci A. Ukuran M adalah (2x…), angka

2 mengacu pada ukuran A, yaitu 2x2. Misalkan

diberikan matriks kunci A, dengan


• Misalkan P, dengan P = AM maka diperoleh

• Pesan akhir yang didapat adalah

22 55 108 53 76 39 66 141 14 35 63 29 49 22 42 85

• Perangkat yang dikirim terdiri 3 hal yaitu :

- Pesan : 22 55 108 53 76 39 66 141 14 35

63 29 49 22 42 85

- Aturan konversi

- Matriks kunci

2. Membaca Isi Pesan

Seseorang mengirim pesan mengharapkan pesan

tersebut dapat dibaca sehingga isi pesan segera

diketahui oleh penerima. Maka penulisan alamat,

bahasa dan teknik penulisan

sangatlah penting untuk diketahui kedua pihak.

Khusus teknik penulisan pesan, disamping faham

cara membaca juga diberi fasilitas untuk

membongkarnya. Dalam membaca suatu pesan

sandi, penentuan matriks balikan dari matriks kunci

menjadi langkah pokok.

Langkah-langkah pembacaan pesan :

• Tulis pesan yang diterima dalam bentuk matriks,

misal P. Ukuran P

• multiplicable dengan matriks A-1 artinya matriks

A-1 dan matriks P dapat dikalikan. [ ingat :

ukuran matriks A-1 = ukuran matriks A]

• Tentukan A-1 (dengan menggunakan metode

yang telah diketahui)

• Tentukan M = A-1 P. [ karena A-1 P = A-1

(AM) = (A-1.A) M = I. M = M]

• Tulis M dalam bentuk deretan bilangan

• Tulis konversi dari (4) dengan aturan konversi

• . Tulis pesan yang dimaksud.

Contoh: akan dilakukan pembacaan pesan dari

hasil enkripsi pada contoh pengiriman pesan.

• Pesan : 22 55 108 53 76 39 66 141 14 35 63 29

49 22 42 85

• Aturan konversi : masih sama dengan yang

sebelumnya

• matriks kunci A,

• Tulis pesan dalam matriks P, yaitu

• Mencari A-1

Dengan menggunakan invers matriks, didapat

• Mencari M

• Menulis pesan P dalam deretan bilangan, yaitu :

2 5 27 19 5 12 6 27 6 15 18 5 22 18 29

• Tulis pesan dalam bentuk konversi yang dikirim,

yaitu :

B E _S E L F _ F O R E V E R .

• Pesan yang dikirim adalah : BE SELF

FOREVER.

V. KESIMPULAN

Berdasarkan pembahasan dapat disimpulkan sebagai

berikut:

1. Matriks memberikan tingkat keamanan yang tinggi

dalam mengirim suatu pesan sandi

2. Tingkat keamanan suatu pesan sandi ditentukan

oleh kompleksitas aturan konversi dan matriks

kunci yang digunakan

VI. DAFTAR PUSTAKA

[1] https://pinooon.wordpress.com/2014/03/19/aljabar-linier-dan-

aplikasinya/. Tanggal akses 15 Desember 2015

[2] Anton, Howard, “Elementary Linear Algebra”, 10th ed, NewYork:

John WIley & Sons

[3] Munir, Rinaldi. Bahan Kuliah Aljabar Geometri

[4] https://www.academia.edu/9966743/OPERASI_MATRIKS,

Diakses tanggal 15 Desember 2015

PERNYATAAN

Dengan ini saya menyatakan bahwa makalah yang saya

tulis ini adalah tulisan saya sendiri, bukan saduran, atau

terjemahan dari makalah orang lain, dan bukan plagiasi.


Bandung, 16 November 2015

Muhammad Farhan Kemal

13513085

penerapan operasi matriks dalam...

Documents