PENDUGAAN JUMLAH POPULASI

WARGA RENTAN DAN TERINFEKSI WABAH PES DI EYAM

MENGGUNAKAN MODEL MATEMATIKA SIR

(Skripsi)

Oleh

Tiyas Riskitha

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG

2017

PENDUGAAN JUMLAH POPULASI

WARGA RENTAN DAN TERINFEKSI WABAH PES DI EYAM

MENGGUNAKAN MODEL MATEMATIKA SIR

Oleh

Tiyas Riskitha

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Mencapai Gelar

SARJANA SAINS

Pada

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS LAMPUNG

2017

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Bandar Lampung pada tanggal 7 Juni 1995, sebagai anak ke-

dua dari tiga bersaudara, dari Bapak Jenahar dan Ibu Gusnasari.

Pendidikan Taman Kanak-kanak (TK) Al-Azhar 4 diselesaikan tahun 2001,

Sekolah Dasar Al-Azhar 2 diselesaikan pada tahun 2007, Sekolah Menengah

Pertama Al-Azhar 3 diselesaikan pada tahun 2010, dan Sekolah Menengah Atas

Al-Azhar 3 diselesaikan pada tahun 2013.

Tahun 2013, melalui jalur SNMPTN penulis terdaftar sebagai mahasiswa jurusan

Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas

Lampung. Selama menjadi mahasiswa penulis aktif organisasi pada periode

2014/2015 sebagai annggota biro danus Himpunan Mahasiswa Jurusan

Matematika (HIMATIKA).

Pada tanggal 18 Januari – 14 Februari 2016 penulis melakukan kerja praktek di

KCU Bank Lampung, dan pada tanggal 13 Juli- 21 Agustus 2017 penulis

melaksanakan Kuliah Kerja Nyata (KKN) di Desa Badran Sari, kecamatan

Punggur Lampung Tengah.

PERSEMBAHAN

Dengan mengucap Alhamdulillah, puji syukur kehadirat Allah SWT

penulis mempersembahkan skripsi ini kepada:

Kedua Orang Tua Tercinta,

Ayahanda Jenahar dan Ibunda Gusnasari

Orang yang telah merawat, mendidik, membesarkan penulis hingga saat ini.

Terimakasih atas doa dan dukungan moril maupun materil selama menempuh

pendidikan hingga saat ini, atas segala cinta kasih sayang yang tulus ikhlas

serta telah menjadi pembimbing hidup disetiap langkah

SANWACANA

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan

rahmat serta nikmat kepada penulis sehingga dapat menyelesaikan skripsi yang

berjudul “PENDUGAAN JUMLAH POPULASI WARGA RENTAN DAN

TERINFEKSI WABAH PES DI EYAM MENGGUNAKAN MODEL

MATEMATIKA SIR” sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana

Sains di Universitas Lampung.

Dalam penulisan skripsi ini banyak pihak yang telah membantu, baik dalam

memberikan bimbingan maupun saran sehingga skripsi ini dapat terselesaikan.

Untuk itu penulis mengucapkan terimakasih kepada:

1. Bapak Aang Nuryaman, S.Si., M.Si., Dr. selaku dosen pembimbing utama

yang telah meluangkan waktu untuk membimbing, mengarahkan, dan

memotivasi penulis sehingga skripsi ini dapat terselesaikan.

2. Bapak Suharsono S., M.S., M.Sc., Ph.D. selaku dosen pembimbing

pembantu yang memberikan bantuan dan saran dalam penyelesaian skripsi

ini.

3. Bapak Tiryono Ruby, Drs., M.Sc., Ph.D. selaku dosen penguji atas saran

dan kritik yang diberikan bagi skripsi ini.

4. Ibu Wamiliana, Dra., M.A., Ph.D. selaku ketua jurusan Matematika

fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

5. Bapak Mustofa Usman, Drs., M.A., Ph.D. selaku dosen pembimbing

akademik.

6. Bapak Prof. Warsito, S.Si., D.E.A., Ph.D. selaku Dekan Fakultas

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

7. Yang tercinta Papa Jenahar dan Mama Gusnasari yang selalu mendoakan

dan memberi dukungan moril dan materil.

8. Saudaraku Tari Trinatha dan Maja Saputra yang telah memberikan

dukungan serta canda tawa di sela-sela penulisan skripsi ini.

9. Sahabat tersayang Lia, Rifa, Nina, Galuh, Hanifah, Dita, Nafisha, Aulia,

Evita, Nur Risky yang selalu berusaha menghibur dan telah memberikan

semangat tersendiri.

10. Teman-teman matematika angkatan 2013 dan seluruh pihak yang telah

membantu penulis yang tidak dapat disebutkan satu persatu.

Akhir kata, penulis menyadari bahwa skripsi ini jauh dari sempurna, namun

penulis berharap penelitian ini dapat berguna dan bermanfaat bagi pembaca.

Bandar Lampung, Agustus 2017Penulis,

Tiyas RiskithaNPM. 1317031088

DAFTAR ISI

DAFTAR TABEL......................................................................................... xiii

DAFTAR GAMBAR..................................................................................... xiv

I. PENDAHULUAN...................................................................................... 1

1.1 Latar Belakang dan Masalah...................................................... 1

1.2 Tujuan Penelitian....................................................................... 3

1.3 Manfaat penelitian...................................................................... 3

II. TINJAUAN PUSTAKA............................................................................ 4

2.1 Pemodelan matematika.............................................................. 4

2.2 Model SIR.................................................................................. 6

2.3 Persamaan Diferensial Biasa (PDB).......................................... 6

2.4 Metode Runge Kutta.................................................................. 8

2.5 Akar Rata-rata Kuadrat Kesalahan............................................. 10

III. METODOLOGI PENELITIAN............................................................... 12

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian.................................................... 12

3.2 Metode Penelitian....................................................................... 12

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN................................................................ 13

4.1 Model matematika...................................................................... 13

4.2 Rasio Laju perubahan Individu Meninggal TerhadapLaju Perubahan Individu Terinfeksi............................................ 15

4.3 Root Mean Squared Error.......................................................... 22

4.4 Runge Kutta Orde Empat........................................................... 23

V. KESIMPULAN......................................................................................... 26

DAFTAR TABEL

TABEL

1. Data Jumlah Warga Meninggal................................................................ 17

2. Data Sebenarnya Jumlah Warga Rentan dan terinfeksi............................ 18

3. Nilai Error................................................................................................. 22

4. Nilai Pendekatan Jumlah Warga Rentan, Terinfeksi, dan Meninggal....... 25

DAFTAR GAMBAR

GAMBAR

1. Diagram Proses Pemodelan...................................................................... 5

2. Grafik Jumlah Warga Rentan, Terinfeksi, dan Meninggal....................... 24

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang dan Masalah

Pes adalah penyakit menular yang disebabkan oleh bakteri Yersinia pestis.

Penyakit ini dapat menular ke manusia melalui berbagai cara. Salah satunya

melalui perantara kutu yang sebelumnya menggigit hewan pengerat yang

terinfeksi, seperti tikus, anjing padang rumput, tupai, bajing, atau kelinci. Selain

itu, penyakit ini juga dapat menyebar melalui partikel air yang keluar saat batuk

atau bersin, dan akibat kontak secara langsung dengan individu yang terinfeksi,

baik manusia atau hewan. Pes pada manusia juga dapat berasal dari cakaran

kucing atau anjing piaraan yang telah terinfeksi, termasuk melalui luka yang

terkena darah hewan yang terinfeksi. Hewan piaraan juga dapat terinfeksi akibat

memakan tikus yang sudah terinfeksi.

Gejala pes atau sampar (plague) biasa muncul 2-6 hari setelah seseorang

terinfeksi. Gejala berupa batuk mengeluarkan dahak/air liur/nanah dari paru-paru,

dan sesak napas. Namun gejala lain juga dapat menyertai penyakit ini, seperti

pembengkakan atau rasa sakit pada kelenjar getah bening, pusing, nyeri otot,

demam, gemetar, dan lemas, hingga terjadi pendarahan yang keluar dari mulut,

hidung, anus, atau di balik kulit. Pembengkakan biasanya muncul di sekitar area

gigitan atau cakaran hewan.

2

Pada akhir abad ketujuh belas, desa Eyam yang terletak di sebelah tenggara

Sheffield Inggris terserang wabah pes (Raggett, 1982). Banyak buku yang

menceritakan wabah pes di Eyam, diantaranya ditulis oleh Wood, dan dilanjutkan

oleh Daniel. Kedua buku tersebut menjelaskan bahwa pada musim panas 1665,

penjahit desa menerima bingkisan bahan dari pemasok di London. Bingkisan ini

mengandung kutu yang menyebabkan wabah. Penjahit itu mati karena wabah

dalam waktu satu minggu setelah menerima paketnya.

Pada akhir September, lima desa telah terserang wabah. Dua puluh tiga meninggal

pada Oktober. Wabah ini membuat desa hancur sehingga hanya 83 warga selamat

dari jumlah awal 350 warga desa. Wabah ini dapat dikatakan lebih besar dari

wabah besar London, yang meskipun ribuan warga terserang, hanya sekitar 61

warga yang akhirnya meninggal. Korban pertama adalah George yang

dimakamkan pada 7 September 1665. Setelah itu, wabah mulai menginfeksi

penduduk desa lainnya dan berkembang selama 9 bulan pertama, dan samakin

parah pada bulan ke 10-14. Dari hasil penelitian diperoleh data mengenai jumlah

warga yang rentan dan terinfeksi dimana terdapat data yang hilang pada tanggal 4

Oktober1666. Pendugaan untuk jumlah warga yang rentan dan terinfeksi pada 4

Oktober 1666 akan diduga dengan model SIR.

3

1.2 Tujuan

Tujuan dalam penelitian ini adalah mendapatkan data yang mendekati data

sebenarnya, mengenai jumlah individu rentan dan terinfeksi pada tanggal 4

Oktober 1666.

1.3 Manfaat

Manfaat dari penelitian ini untuk memahami lebih jauh mengenai teori selama

kegiatan perkuliahan, sehinggga peneliti dapat menerapkan secara langsung teori

dalam suatu masalah di dunia nyata.

4

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1. Pemodelan matematika

Pemodelan matematika merupakan proses dalam menurunkan model matematika

dari suatu fenomena berdasarkan asumsi-asumsi yang digunakan. Proses ini

merupakan langkah awal yang tak terpisahkan dalam menerapkan matematika

untuk mempelajari fenomena-fenomena alam, ekonomi, sosial maupun

fenomena-fenomena lainnya. Secara umum dalam menerapkan matematika untuk

mempelajari fenomena meliputi 3 langkah, yaitu:

1. Pemodelan matematika suatu fenomena, perumusan masalah.

Langkah ini untuk menterjemahkan data maupun informasi yang diperoleh

tentang suatu fenomena dari masalah nyata menjadi model matematika. Data

maupun informasi tentang suatu fenomena dapat diperoleh melalui eksperimen di

laboratorium, pengamatan di industri ataupun dalam kehidupan sehari-hari. Dalam

model matematika, suatu fenomena dapat dipelajari secara lebih terukur

(kuantitatif) dalam bentuk (sistem) persamaan/pertidaksamaan matematika

ataupun ekspresi matematika. Namun demikian karena asumsi-asumsi yang

digunakan dalam prosesnya, model matematika juga mempunyai kelemahan-

kelemahan dibandingkan dengan fenomena sebenarnya, yaitu keterbatasan dalam

generalisasi interprestasinya.

5

Gambar 1 : Diagram Proses Pemodelan

2. Pencarian solusi/kesimpulan matematika.

Setelah model matematika diperoleh, solusi atas model tersebut dicari dengan

menggunakan metode-metode matematika yang sesuai. Ada kalanya belum

terdapat metode matematika pencarian solusi yang sesuai dengan permasalahan

yang dihadapi. Hal ini sering menjadi motivasi para ahli matematika terapan

untuk menciptakan metode matematika baru. Solusi matematika ini sering

dinyatakan dalam fungsi-fungsi matematika, angka-angka maupun grafik.

3. Interpretasi solusi/kesimpulan matematika pada fenomena yang dipelajari.

Dalam matematika terapan, solusi yang berupa fungsi, angka-angka maupun

grafik tidak berarti banyak apabila solusi tersebut tidak menjelaskan permasalahan

awalnya. Oleh karena itu, interpretasi solusi penting untuk mengerti arti implikasi

solusi tersebut terhadap fenomena awal dari mana masalahnya berasal (Cahyono,

2013)

Desain diagram proses pemodelan yang dikemukakan oleh Verschaffel, Greer,

dan De Corte (2002) sebagai berikut:

pemodelan

komunikasi

pemahaman

evaluasianalisis

matematika

interpretasi

Fenomenayang diamati

Hasilinterpretasi

Penurunandari model

Modelmatematika

Model situasi

Laporan

6

Untuk memodelkan suatu masalah, harus terlebih dahulu memahami masalah

tersebut. Kemudian dilakukan pemodelan yang digambarkan dengan peubah

(variabel) yang memiliki arti. Setelah itu, analisis model dilakukan untuk

mengetahui hubungan antara peubah tersebut. Model yang dihasilkan dapat

diinterpretasikan, sehingga dengan model tersebut seseorang dapat memahami

masalah yang terkait.

2.2. Model SIR (S-I-R)

Model SIR pertama kali diperkenalkan oleh Kermack dan Kendrick (1927) dan

kemudian memegang peranan penting dalam perkembangan matematika epidemi.

Mengenai rangkuman tersebut telah dituliskan secara lengkap oleh Murray. Di

dalam modelnya, populasi manusia dibagi menjadi tiga kelompok, yaitu suspected

(rentan), infected (terinfeksi), dan recovery (sembuh) yang secara berurutan

dinotasikan S, I, dan R. Jumlah total dari keseluruhan kelompok tersebut adalah

N = S + I + R (Iswanto, 2012).

2.3. Persamaan Diferensial Biasa (PDB)

Persamaan diferensial biasa dapat diklasifikasikan berdasarkan pangkat/ orde

(order) dan linearitas. Orde dari suatu persamaan diferensial merupakan orde

tertinggi dari suatu derivasi (turunan) yang ada di dalam persamaan tersebut.

Contoh derikut merupakan persamaan diferensial biasa orde satu, dua, dan tiga.

7

PDB orde satu : + = (2.3.1)

PDB orde dua : + = (2.3.2)

PDB orde tiga : + + = (2.3.3)

Berdasarkan linearitasnya, PDB dapat dikelompokan menjadi persamaan linear

dan nonlinear. Dalam hal ini, persamaan (2.3.2) dan (2.3.3) merupakan bentuk

nonlinear, sedangkan persamaan (2.3.1) merupakan bentuk linear. Secara umum,

bentuk persamaan diferensial biasa linear adalah sebagai berikut:

( ) + ( ) + . . . + ( ) + ( ) = ( ) (2.3.4)

Apabila ( ) = 0, persamaan (2.3.4) disebut persamaan diferensial biasa linear

homogen, sebaliknya apabila ( ) ≠ 0, disebut nonhomogen atau heterogen

(Sasongko, 2010).

Pada kasus PDB non linear, umumnya solusi sukar diperoleh secara analitik. Oleh

karena itu, biasanya digunakan pendekatan numerik. Salah satu metode

penyelesaian dengan cara numerik yang paling sederhana untuk persamaan

diferensial biasa orde satu dengan permasalahan kondisi awal yang diketahui

adalah metode Euler. Akan tetapi, metode ini mempunyai penyimpangan yang

relatif lebih besar dibandingkan dengan metode analitik. Subbab berikut akan

8

membahas metode yang relatif lebih teliti dan sering digunakan pada penyelesaian

persamaan diferensial biasa, yaitu metode Runge Kutta (Sasongko, 2010).

2.4. Metode Runge Kutta

Metode Runge Kutta merupakan metode untuk menyelesaikan persamaan

diferensial biasa dengan ketelitian dan kestabilan yang cukup tinggi. Metode ini

sangat umum digunakan untuk menyelesaikan bentuk persamaan diferensial biasa

orde satu, baik linear maupun nonlinear dengan permasalahan syarat awal.

Metode ini didasarkan pada konsep formula pembobotan. Secara umum,

persamaan dengan metode Runge Kutta adalah

= + + + . . . + (2.4.1)

Dengan nilai

= ℎ ( , )= ℎ ( + ℎ, + )

= ℎ ( + ℎ, + + )

⁞

= ℎ ( + ℎ, + + + . . . + , ) (2.4.2)

9

Secara umum persamaan dapat ditulis dalam bentuk:

= + ∑ (2.4.3)

= ℎ + ℎ, + ∑ (2.4.4)

Bentuk penyelesaian Runge Kutta dilakukan berdasarkan orde (pangkat):

1. Orde dua: = + ( + ) (2.4.3)

Dengan nilai dari , i = 1, 2

= ℎ ( , )= ℎ ( + ℎ, + ) (2.4.4)

2. Orde tiga:

= + ( + 4 + ) (2.4.5)

Dengan nilai dari , i = 1, 2, 3

= ℎ ( , )= ℎ + , + (2.4.6)

= ℎ ( + ℎ, + 2 − )

10

3. Orde empat

= + ( + 2 + 2 + ) (2.4.7)

Dengan nilai dari , i = 1, 2, 3, 4

= ℎ ( , )= ℎ + , + (2.4.8)

= ℎ + ℎ2 , + 2= ℎ ( + ℎ, + )

Pada metode Runge Kutta, semakin tinggi ordenya, semakin tinggi juga tingkat

ketelitian (akurasi) yang akan di dapatkan. Di sisi lain, parameter yang

diperlukan juga akan lebih banyak. Pada umumnya, penyelesaian persamaan

diferensial biasa akan menggunakan metode Runge Kutta orde empat (Sasongko,

2010).

2.5. Akar Rata-Rata Kuadrat Kesalahan (Root Mean Squared Error/RMSE)

Root Mean Square Error (RMSE) digunakan untuk mengukur tingkat akurasi hasil

prakiraan suatu model. RMSE merupakan nilai rata-rata dari jumlah kuadrat

kesalahan. Nilai RMSE rendah menunjukkan bahwa nilai dugaan yang dihasilkan

oleh suatu model prakiraan mendekati nilai observasinya.

11

Root Mean Square Error (RMSE) Root Mean Square Error dihitung dengan cara

menjumlahkan semua kuadrat kesalahan prediksi. Kemudian membagi jumlah

tersebut dengan banyaknya data waktu prediksi. Selanjutnya menarik akarnya.

Persamaan untuk menghitung Root Mean Square Error (RMSE) adalah sebagai

berikut

= ∑ ( ) − ( )(2.5.1)

Keterangan:Y( ) = Nilai data observasiY( ) = Nilai data dugaann = Banyaknya data(M. Jalili Ghazi Zade dan R. Noori, 2008)

12

III. METODE PENELITIAN

3.1. Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun ajaran 2016/2017 bertempat di

Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,

Universitas Lampung.

3.2. Metode Penelitian

Langkah-langkah yang digunakan pada penelitian ini adalah:

1. Menyusun kerangka teori mengenai konsep pada kasus wabah Eyam.

2. Melakukan pemodelan matematika dengan model SIR.

3. Mencari nilai laju perubahan warga yang meninggal terhadap laju perubahan

warga yang terinfeksi dengan mengasumsikan jumlah warga yang selamat

setelah wabah berakhir.

4. Menggunakan metode root mean square error (RMSE) untuk mencari nilai

laju perubahan warga yang meninggal, kemudian memilih nilai error terkecil.

5. Mencari nilai pendekatan warga rentan dan terinfeksi dengan model yang

telah ditentukan, menggunakan metode Runge Kutta orde empat, memakai

software Matlab.

26

V. KESIMPULAN

Nilai Pendugaan jumlah populasi warga rentan dan terinfeksi wabah di Eyam

menggunakan model matematika SIR, dengan pendekatan metode range kutta

orde 4 ditunjukan pada tabel 4:

Interval waktu (1666) S(t) I(t)Juni 19 - Juli ¾ 232 15Juli 4/5 - Jul 19 195 24

Juli 20 - Agust ¾ 155 27

Agust 4/5 - Agust 19 124 23Agust 20 - Sept ¾ 105 15Sept 4/5- Sept 19 94 9Sept 20 - Okt 4/5 89 5Okt 5/6 - Okt 19 86 3

Pada kasus wabah di Eyam tahun 1666, nilai duga jumlah warga rentan pada

tanggal 4 Oktober adalah 89 jiwa, dan nilai duga jumlah warga terinfeksi pada

tanggal 4 Oktober adalah 5 jiwa. Pada penelitian ini, nilai duga memiliki nilai

error sebesar 3,36%.

DAFTAR PUSTAKA

Raggett GF.1982. Modelling the Eyam plague. Department of Mathematics,

Statistics and Operational Research, Sheffield City Polytechnic.

Jalili Ghazi Zade, M. and Noori, R. 2008. Prediction of Municipal Solid WasteGeneration by Use of Artificial Neural Net- work: A Case Study of Mashhad. Int.J. Environ. Res., 2(1): 13-22, Winter 2008. ISSN: 1735-6865.

Verschaffel, L., Greer, B. & de Corte, E. 2002. Everyday Knowledge andMathematical Modeling of School Word Problems. Dalam Koeno Gravemeijer,Richard Lehler, Bert van Oers dan Lieven Verschaffel (Eds.), Symbolizing,Modeling and Tool use in Mathematics Education.(halaman 257-276). KluwerAcademic Publishers: Dordrecht.

Sangkoso, Setia Budi. 2010. Metode Numerik dengan Scilab. Andi Offset,Yogyakarta.

Cahyono, Edi. 2013. Pemodelan Matematika. Graha Ilmu, Yogyakarta.

Iswanto, Ripno Juli. 2012. Pemodelan Matematika. Graha Ilmu, Yogyakarta.