PENELITIAN OPERASIONALPENELITIAN OPERASIONAL

Hartrisari.H.Hartrisari.H.Jurusan Tekn. Ind. Pertanian - Fateta - Jurusan Tekn. Ind. Pertanian - Fateta -

IPBIPBFax./Tel. : 62 251 621974Fax./Tel. : 62 251 621974

E-mail : hartrisari@ipb.ac.idE-mail : hartrisari@ipb.ac.id

Sejarah :Sejarah :

Selama perang dunia ke II, kekuatan milter yang Selama perang dunia ke II, kekuatan milter yang berpusat di Inggris harus berusaha memenangkan berpusat di Inggris harus berusaha memenangkan perang dengan kendala jumlah tentara dan perang dengan kendala jumlah tentara dan peralatan yang terbatas.peralatan yang terbatas.

Setelah perang selesai, aplikasinya meluas dan menyebar ke AS.

OR banyak digunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah manajemen

Tujuan : memenangkan perangTujuan : memenangkan perang

Kelompok ilmuwan dipanggil untuk Kelompok ilmuwan dipanggil untuk mempelajari masalah inimempelajari masalah ini

Strategi efektif untuk mengatasi Strategi efektif untuk mengatasi kendala keterbatasan sumberdayakendala keterbatasan sumberdaya

BERHASILBERHASIL

Istilah OR pertama kali digunakan tahun 1940(Mc Closky dan Trefthen di Bowdsey, Inggris)

Pada masa awal PD II, pemimpin militer Inggris memerlukan para ahli untuk memikirkan cara-cara memenangkan perang, antara lain dengan :• mencari cara efisien untuk mendistribusikan persenjataan dan makanan ke daratan Eropa• sistem peringatan dini untuk menghadapi serangan udara • dll

Setelah perang Setelah perang selesaiselesai

Penggunaan diperluas di Penggunaan diperluas di bidang industri di ASbidang industri di AS

• 880% masalah diselesaikan dengan LP = f 0% masalah diselesaikan dengan LP = f { PO}{ PO}

• 1947 George B Dantzig menemukan metoda 1947 George B Dantzig menemukan metoda SimplexSimplex

LP :LP :Membangun dan menyelesaikan Membangun dan menyelesaikan permasalahan dengan persamaan permasalahan dengan persamaan matematika yang bersifat liniermatematika yang bersifat linier

DEFINISI OR

Penerapan metoda ilmiah terhadap masalah-masalah yang rumit dan biasanya berkaitan dengan sumberdaya yang terbatas dalam rangka menghasilkan keputusan yang optimal

Contoh :• Bank dalam mengalokasikan kredit

• Perusahaan manufaktur dalam memenuhi permintaan

• Agen periklanan dalam menentukan media

• Peneliti dalam menetapkan prioritas

OR SEBAGAI ILMU DAN SENI

OR sebagai ilmu

Menyediakan teknik dan algoritma untuk menyelesaikan permasalahan yang dihadapi

OR sebagai seni

Keberhasilan semua tahap (merancang model dan interpretasi) tergantung kreatifitas dan kemampuan orang.

Contoh : kasus gedung bertingkat

TAHAPAN DALAM OR

• Perumusan masalah.

• Pembentukan model

• Penyelesaian masalah

• Validasi model

• Penerapan

Perumusan masalah :3 hal penting :

Variabel keputusan, tujuan, kendala

Pembentukan modelEkspresi kuantitatif dari persoalan yang dihadapi (kadang-kadang dapat dogunakan kombinasi model)

Penyelesaian masalahAplikasi dari teknik-teknik dan metoda solusi kuantitatif. Seringkali solusinya adalah mencari nilai variabel - variabel keputusan dengan mengoptimumkan fungsi tujuan.

Dari solusi yang didapat perlu dilihat perilaku solusi karena perubahan parameternya (analisis sensitivitas)

Validasi modelbiasanya diuji dengan data masa lampau. Model dikatakan valid bila dengan kondisi input serupa menghasilkan performance seperti masa lampaunya

Penerapan hasilCara menerapkan hasil model menjadi kenyataan

FORMULASI MODEL LP

Formulasi masalah dengan penentuan variabel keputusan, tujuan dan kendala

ContohSebuah perusahaan menghasilkan 3 jenis produk, yaitu sepatu, tas dan dompet. Jumlah waktu kerja buruh yang tersedia adalah 240 jam kerja dan bahan mentah 400 kg. Keuntungan masing-masing produk tertera pada Tabel. Berapa kombinasi produk yang optimal agar keuntungan yang didapatkan maksimum ?

Buruh(jam/unit)

Bahan(kg/unit)

Profit(Rp/unit)

Produk sepatu

5 4 3

Produk tas

2 6 5

Produk dompet

4 3 2

Kebutuhan sumberdaya

FORMULASI PERMASALAHAN

Variabel keputusan :

3 variabel dalam masalah ini : sepatu, tas dan dompet

Variabel ini dapat dilambangkan :

X1 : jumlah sepatu yang diproduksi

X2 : jumlah tas yang diproduksi

X3 : jumlah dompet yang diproduksi

Fungsi tujuan

Kombinasi produk untuk memaksimumkan keuntungan.Keuntungan didapat dari penerimaan penjualan produkPenerimaan penjualan produk adalah jumlah yang dijual dikalikan keuntungan per unitZ = 3 X1 + 5 X2 + 2 X3

KendalaDalam persoalan ini yang menjadi kendala adalah jumlah buruh dan bahan baku

Masing-masing produk membutuhkan baik buruh dan bahan mentah

•Untuk produk sepatu : tenaga buruh yang dibutuhkan untuk menghasilkan tiap unit adalah 5 jam ( 5 X1 jam)

Dengan cara serupa produk tas membutuhkan 2 X2 jam dan produk dompet membutuhkan 4 X3 jam

Jumlah jam kerja buruh yang tersedia 240 jamkerja

Jadi kendala tenaga buruh :

5 X1 + 2 X2 + 4 X3 <= 240•Kendala bahan mentah dirumuskan dengan cara yang sama

4 X1 + 6 X2 + 3 X3 <= 400

• Non negativity constraints : X1 , X2 , X3 >= 0

Jadi rumusan masalahnya menjadi :

Maksimumkan Z = 3 X1 + 5 X2 + 2 X3

Kendala :

5 X1 + 2 X2 + 4 X3 <= 240

4 X1 + 6 X2 + 3 X3 <= 400

X1 , X2 , X3 >= 0

Contoh :Contoh :

Sebuah perusahaan cat memproduksi 2 macam Sebuah perusahaan cat memproduksi 2 macam cat, cat interior dan exterior. Dalam pembuatan cat, cat interior dan exterior. Dalam pembuatan kedua macam cat tersebut dibutuhkan dua bahan kedua macam cat tersebut dibutuhkan dua bahan baku A dan B. Pemakaian maksimum bahan baku A baku A dan B. Pemakaian maksimum bahan baku A per hari adalah 6 ton, sedangkan pemakaian per hari adalah 6 ton, sedangkan pemakaian maksimum untuk B adalah 8 ton. Pemakaian maksimum untuk B adalah 8 ton. Pemakaian harian untuk pembuatan cat dapat dilihat pada harian untuk pembuatan cat dapat dilihat pada Tabel.Tabel.

Pemakaian bahan baku

Eksterior (ton)

Interior (ton)

Maksimum (ton)

Bahan A 1 2 6 Bahan B 2 1 8

Survey pasar menyatakan bahwa permintaan Survey pasar menyatakan bahwa permintaan harian cat interior tidak dapat melebihi permintaan harian cat interior tidak dapat melebihi permintaan cat eksterior lebih dari 1 ton. Survey juga cat eksterior lebih dari 1 ton. Survey juga menyatakan bahwa permintaan cat interior per menyatakan bahwa permintaan cat interior per hari tidak lebih dari 2 ton.hari tidak lebih dari 2 ton.

Harga cat eksterior $ 3 000 per ton, sedangkan cat Harga cat eksterior $ 3 000 per ton, sedangkan cat interior $ 2 000 per toninterior $ 2 000 per ton

Berapa jumlah cat interior dan eksterior yang Berapa jumlah cat interior dan eksterior yang harus diproduksi per hari agar memaksimumkan harus diproduksi per hari agar memaksimumkan keuntungan ?keuntungan ?

LP : LP : 1. MEMBANGUN 1. MEMBANGUN PERSAMAAN MATEMATIKPERSAMAAN MATEMATIK 2.MENYELESAIKAN 2.MENYELESAIKAN MASALAHMASALAH

PENYUSUNAN MODELPENYUSUNAN MODEL

1.1. Apa yang harus diselesaikan ?Apa yang harus diselesaikan ?

(Apa (Apa variabelvariabel dari masalah yang dihadapi) dari masalah yang dihadapi)

2.2. Apa Apa tujuantujuan yang harus dicapai dalam rangka yang harus dicapai dalam rangka mendapatkan solusi optimal dari variabel mendapatkan solusi optimal dari variabel tersebut ?tersebut ?

3.3. Apa Apa kendala kendala yang perlu dipertimbangkan yang perlu dipertimbangkan sebagai batasan dari model yang dibangun ?sebagai batasan dari model yang dibangun ?

SITUASISITUASIPerusahaan harus menentukan Perusahaan harus menentukan jumlahjumlah (ton) dari cat (ton) dari cat interior dan eksterior yang harus diproduksi, untuk interior dan eksterior yang harus diproduksi, untuk memaksimumkanmemaksimumkan keuntungan, dengan memenuhi keuntungan, dengan memenuhi kendalakendala permintaan dan penggunaan bahan baku permintaan dan penggunaan bahan baku

VARIABELVARIABELKita akan menentukan jumlah cat interior dan Kita akan menentukan jumlah cat interior dan eksterior yang harus diproduksieksterior yang harus diproduksi

XXEE : produksi cat eksterior per hari (ton) : produksi cat eksterior per hari (ton)

XXII : produksi cat interior per hari (ton) : produksi cat interior per hari (ton)

FUNGSI TUJUANFUNGSI TUJUAN

• setiap ton cat eksterior dijual dengan harga $ 3 setiap ton cat eksterior dijual dengan harga $ 3 000, maka keuntungan menjual sejumlah X000, maka keuntungan menjual sejumlah XE E = $ 3 = $ 3 000 X000 XE E dan untuk cat interior Xdan untuk cat interior XII = $ 2 000 X = $ 2 000 XII

Jika diasumsikan bahwa penjualan cat eksterior Jika diasumsikan bahwa penjualan cat eksterior independen terhadap cat interior, maka total independen terhadap cat interior, maka total keuntungan = keuntungan = jumlah dari penerimaan dari jumlah dari penerimaan dari penjualan keduanyapenjualan keduanya

Max Z = 3 000 XMax Z = 3 000 XEE + 2 000 X + 2 000 XII

CONSTRAINTSCONSTRAINTS

pemakaian bahan baku untuk kedua cat pemakaian bahan baku untuk kedua cat < =< =Ketersediaan maksimum bahan bakuKetersediaan maksimum bahan baku

XXEE + 2 X + 2 XI I < = 6< = 6 ( for A) ( for A)

2 X2 XEE + X + XI I < = 8< = 8 ( for B) ( for B)

• Kelebihan Kelebihan penjualan cat interior thd eksterior penjualan cat interior thd eksterior < = 1 ton / per hari< = 1 ton / per hari

• permintaan cat interior < = 2 tons / per haripermintaan cat interior < = 2 tons / per hari

XXII - X - XE E < = 1< = 1

((kelebihan penjualan cat interior thd eksterior)kelebihan penjualan cat interior thd eksterior)

XXI I < = 2< = 2

( ( permintaan maksimum cat interiorpermintaan maksimum cat interior))

KENDALA NON NEGATIF (NON KENDALA NON NEGATIF (NON NEGATIVITY CONSTRAINTS)NEGATIVITY CONSTRAINTS)

XXEE , X , XI I > = 0> = 0

MAX. Z = 3 XMAX. Z = 3 XEE + 2 X + 2 XII

kendala :kendala :

XXEE + 2 X + 2 XI I < = 6< = 6

2 X2 XEE + X + XI I < = 8< = 8

- X- XEE + X + XI I < = 1< = 1

XXI I < = 2< = 2

XXEE , X , XI I > = 0> = 0

PROGRAM LINIERPROGRAM LINIER

• Fungsi tujuan dan kendala bersifat linierFungsi tujuan dan kendala bersifat linier

• proportionalproportional

• aditifitasaditifitas

JAWABJAWAB

xE + 2x1 + S1 = 6

5

9

4

75B

31A

1

CF

DE3

5

37

9

1

2

6

XI

Titik XTitik XEE X XII PenerimaanPenerimaan

0 0 0 00 0 0 0

A 4 0 12A 4 0 12

B 3 1/3 1 1/3 12 B 3 1/3 1 1/3 12 2/32/3

C 2 1 8C 2 1 8

D 1 2 7D 1 2 7

E 0 2 4E 0 2 4TITIK C : XTITIK C : XEE = 3 1/3 , X = 3 1/3 , XI I = 1 1/3 = 1 1/3 Z = 12 2/3Z = 12 2/3

Bentuk umum model LP

m

Maksimumkan Z = Cj Xj j=i

syarat :

aij Xj ( <= , =, >= ) bi untuk semua I ( I = 1,2 … m) dan Xj >= 0

ASUMSI MODEL LP

• Linearity dan Additivity Semua fungsi (tujuan dan kendala) harus linier. Jumlah variabel kriteria (fungsi tujuan) dan kendala bersifat aditif

• Divisibility Nilai solusi tak perlu bilangan bulat

• Deterministic parameter model bersifat deterministik

Sumber daya

Meja Kursi Total tersedia

Bahan 1 2 10

Buruh 6 6 36

Profit per unit

4 5

CONTOH PENYELESAIAN MASALAH LP DENGAN METODA GRAFIK

CONTOH PENYELESAIAN MASALAH LP DENGAN METODA GRAFIK

Sumber

daya

Meja Kursi Total

tersedia

Bahan 1 2 10

Buruh 6 6 36

Profit per unit

4 5

Ramalan penjualan : permintaan meja tak mungkin melebihi 4 unit

Maksimumkan Z = 4 X1 + 5 X2

Kendala :

X1 + 2 X2 <= 10

6 X1 + 6 X2 <= 36

X1 <= 4

X1 , X2 >= 0

Formulasi permasalahan tersebut adalah sebagai berikut :

GRAFIK

X2

X10 2 4 6 8 10

2

4

6

8

X1 = 4

X1 + X2 = 10

6 X1 + 6 X2 = 36

B

C

A

D

Titik B (2,4) berada dalam ruang solusi dan menghasilkan nilai Z terbesar ( 28)

Titik ini merupakan perpotongan dari dua kendala, jadi nilai variabel dapat dicari secara langsung :

X1 + 2 X2 <= 10

6 X1 + 6 X2 <= 36

maka X1 = 2 dan X2 = 4

LATIHAN 1 :LATIHAN 1 :

Seseorang menjual hotdog dan minuman soda. Seseorang menjual hotdog dan minuman soda. Kapasitas gerobaknya adalah 210 kg. Satu hotdog Kapasitas gerobaknya adalah 210 kg. Satu hotdog beratnya 1/8 kg dan minuman soda ½ kg. beratnya 1/8 kg dan minuman soda ½ kg. Berdasarkan pengalaman diketahui bahwa sedikitnya Berdasarkan pengalaman diketahui bahwa sedikitnya ia harus membawa 80 hotdog dan 60 soda.ia harus membawa 80 hotdog dan 60 soda.Pengalaman juga menunjukkan bahwa penjualan Pengalaman juga menunjukkan bahwa penjualan rata-rata 2 hotdog terkait dengan penjualan 1 soda.rata-rata 2 hotdog terkait dengan penjualan 1 soda.Jika harga hotdog $ 0.08 dan soda $ 0.04, maka Jika harga hotdog $ 0.08 dan soda $ 0.04, maka untuk memaksimumkan keuntunganberapa jumlah untuk memaksimumkan keuntunganberapa jumlah hotdog dan soda yang harus dijual ?hotdog dan soda yang harus dijual ?

JAWABJAWAB

variabel X = jumlah hotdog yang dijualX = jumlah hotdog yang dijual

Y = jumlah soda yang dijualY = jumlah soda yang dijual

Fungsi tujuan• setiap hotdog yang dijual akan ada keuntungan $ setiap hotdog yang dijual akan ada keuntungan $ 0.08 0.08 X yang terjual : Keuntungan 0.08 XX yang terjual : Keuntungan 0.08 X• setiap soda yang terjual akan ada keuntungan $ setiap soda yang terjual akan ada keuntungan $ 0.040.04 Y yang terjual : Keuntungan 0.04 YY yang terjual : Keuntungan 0.04 Y

Max. Z = 0.08 X + 0.04 YMax. Z = 0.08 X + 0.04 Y

kendalakendala

• berat soda ½ kg, hotdog 1/8 kg, jumlah berat soda ½ kg, hotdog 1/8 kg, jumlah maksimum yang dapat diangkut 210 kgmaksimum yang dapat diangkut 210 kg

1/8 X + 1/2 Y < = 2101/8 X + 1/2 Y < = 210

• Ia harus membawa sedikitnya 60 sodaIa harus membawa sedikitnya 60 soda

Y > = 60Y > = 60

• Sedikitnya harus ada 80 hotdogSedikitnya harus ada 80 hotdog

X > = 80X > = 80

• Setiap 2 hotdog terjual, akan terjual 1 soda, jadi Setiap 2 hotdog terjual, akan terjual 1 soda, jadi jumlah hotdog minimal harus 2 kali sodajumlah hotdog minimal harus 2 kali soda

Y - 2X > = 0Y - 2X > = 0

• non negativity constraintsnon negativity constraints

X, Y > = 0X, Y > = 0

Max. Z = 0.08 X + 0.04 YMax. Z = 0.08 X + 0.04 Y

Constraints :Constraints :

1/8 X + 1/2 Y < = 2101/8 X + 1/2 Y < = 210

Y > = 60Y > = 60

X > = 80X > = 80

- 2 X + Y > = 0- 2 X + Y > = 0

X , Y > = 0X , Y > = 0

SELESAIKAN DENGAN GRAFIKSELESAIKAN DENGAN GRAFIK

X Y PermintaanX Y Permintaan

A 80 60 8.80A 80 60 8.80

B 120 60 12B 120 60 12

C 560 280 56C 560 280 56

D 80 420 18.40D 80 420 18.40

Point C : X = 560 , Y = 420 , Z = 56 Point C : X = 560 , Y = 420 , Z = 56

Sebuah perusahaan membuat agenda. Model Sebuah perusahaan membuat agenda. Model standar membutuhkan2 jam pemotongan dan 1 standar membutuhkan2 jam pemotongan dan 1 jam untuk penyelesaian. Model “lux” jam untuk penyelesaian. Model “lux” membutuhkan 1 jam pemotongan dan 2 jam membutuhkan 1 jam pemotongan dan 2 jam penyelesaian. penyelesaian. Waktu pemotongan maksimum per bulan 104 Waktu pemotongan maksimum per bulan 104 jamsedangkan waktu penyelesaian 76 jamjamsedangkan waktu penyelesaian 76 jamHarga jual model standar $ 6 per unit, sedangkan Harga jual model standar $ 6 per unit, sedangkan model “lux” $ 11 per unit. model “lux” $ 11 per unit. Perusahaan ingin memaksimumkan keuntungan. Perusahaan ingin memaksimumkan keuntungan. Jika diasumsikan semua produk dapat terjual Jika diasumsikan semua produk dapat terjual habis, berapa jumlah model standar dan lux yang habis, berapa jumlah model standar dan lux yang harus diproduksi per bulan ?harus diproduksi per bulan ?

LATIHAN 2LATIHAN 2

JAWAB :JAWAB :

VariabelVariabel : X = jumlah model standar : X = jumlah model standar

Y = jumlah model luxY = jumlah model lux

Perusahaan ingin memaksimumkan keuntungan, Perusahaan ingin memaksimumkan keuntungan, jadi keuntungan :jadi keuntungan :

Keuntungan = 6 X + 11 YKeuntungan = 6 X + 11 Y

Kendala :Kendala :• Waktu penyelesaian total 76 jam, model Waktu penyelesaian total 76 jam, model standar memerlukan 1 jam penyelesaian dan standar memerlukan 1 jam penyelesaian dan model lux 2 jam makamodel lux 2 jam maka

X + 2 Y < = 76 X + 2 Y < = 76

• Waktu pemotongan maksimum 104 jam, model Waktu pemotongan maksimum 104 jam, model standar membutuhkan 2 jam pemotongan dan model standar membutuhkan 2 jam pemotongan dan model lux 1 jam, makalux 1 jam, maka

2 X + Y < = 1042 X + Y < = 104

• non negativity constraintsnon negativity constraints

X , Y > = 0X , Y > = 0

SELESAIKAN DENGAN SELESAIKAN DENGAN GRAFIKGRAFIK

X Y ProfitX Y Profit

A 0 0 0A 0 0 0

B 52 0 312B 52 0 312

C 44 16 440C 44 16 440

D 0 38 418D 0 38 418

Titik C : X = 44, Y = 16, Z = 440Titik C : X = 44, Y = 16, Z = 440

Seorang direktur membutuhkan 5 lemari, 12 Seorang direktur membutuhkan 5 lemari, 12 meja dan 18 rak besih. Ia memiliki 2 pekerja meja dan 18 rak besih. Ia memiliki 2 pekerja paruh waktu Susi dan Jane.paruh waktu Susi dan Jane.Susi dapat membersihkan 1 lemari, 3 meja dan 3 Susi dapat membersihkan 1 lemari, 3 meja dan 3 rak per hari, sedangkan Jane dapat rak per hari, sedangkan Jane dapat membersihkan 1 lemari, 2 meja dan 6 rak per membersihkan 1 lemari, 2 meja dan 6 rak per hari. Susi dibayar $ 25 per hari dan Jane dibayar hari. Susi dibayar $ 25 per hari dan Jane dibayar $ 22 per hari. $ 22 per hari. Untuk meminimumkan biaya, berapa hari Susi Untuk meminimumkan biaya, berapa hari Susi dan Jane harus dipekerjakan ?dan Jane harus dipekerjakan ?

LATIHAN 3LATIHAN 3

Min Z = 25 X + 22 YMin Z = 25 X + 22 Y

Kendala :Kendala :

X + Y > = 5X + Y > = 5

3 X + 2 Y > = 123 X + 2 Y > = 12

3 X + 6 Y > = 183 X + 6 Y > = 18

X , Y > = 0X , Y > = 0

GRAFIK :GRAFIK :

X Y CostX Y Cost

A 6 0 150A 6 0 150

B 4 1 122B 4 1 122

C 2 3 116C 2 3 116

D 0 6 132D 0 6 132

Untuk meminimumkan biaya, Jane Untuk meminimumkan biaya, Jane bekerja 3 hari dan Susi 2 haribekerja 3 hari dan Susi 2 hari

TUGAS :

Seorang petani memiliki lahan seluas 2000 ha yang terbagi menjadi 3 bagian terpisah. Petani ingin menanam 3 jenis tanaman : kacang, padi dan jagung.

Ukuran lahan berturut-turut adalah 500, 800 dan 700 ha

Luas maksimum untuk tanaman kacang, padi dan jagung adalah 900, 700 dan 1000 ha

Profit yang didapatkan ( ribu Rp per ha) untuk tanaman kacang, padi dan jagung adalah : 600, 450 dan 300

Masing-masing tanaman dapat ditanam pada lahan manapun namun sekurang-kurangnya 60% dari masing-masing lahan harus dibudidayakan

Petani menginginkan proporsi masing-masing lahan yang dibudidayakan sama

Berapa luas areal setiap jenis tanaman pada setiap lahan agar diperoleh profit maksimum ?