pemodelan pengurangan populasi a la thanos dalam film

LOMBA DAN SEMINAR MATEMATIKA XXVII

Pemodelan Pengurangan Populasi a la Thanos dalam Film Avengers:

Infinity War

Muhammad Rizki Fadillah1, Septiana2

Institut Teknologi Bandung1

Institut Teknologi Bandung2

[email protected]

Abstrak—Pada akhir film Avengers: Infinity War, tokoh antagonis utama film

tersebut, Thanos, berhasil memperoleh enam batu yang disebut Infinity Stones yang

dibutuhkan untuk mencapai tujuan akhir yakni memusnahkan sebagian populasi

makhluk hidup di dunia supaya makhluk hidup yang tersisa dapat hidup dengan

sumber daya yang melimpah, bahagia, dan terbebas dari kelaparan dan perang. Pada

makalah ini akan dimodelkan bagaimana dinamika populasi manusia jika kejadian

pemusnahan populasi manusia oleh Thanos benar-benar terjadi dengan menggunakan

asumsi-asumsi sebagai berikut: laju populasi manusia mengikuti model logistik dan

pemusnahan populasi dilakukan jika populasi manusia sudah mencapai (1-α)100%

dari carrying capacity planet Bumi. Selain dengan menggunakan model logistik, akan

digunakan simulasi dengan random number untuk memodelkan peluang pemusnahan

setiap individu yang bersifat saling bebas dengan ekspektasi 0.5. Kemudian, akan

dimodelkan untuk keadaan dari pada memusnahkan sebagian populasi makhluk hidup,

Thanos memilih untuk meningkatkan carrying capacity dengan kekuatan Infinity

Stones yang dimilikinya jika populasi manusia mencapai (1-α)100% dari carrying

capacity planet Bumi.

Kata kunci: Infinity War, Logistik, Populasi, Thanos

I. PENDAHULUAN

Avengers: Infinity War adalah film pahlawan super yang dirilis pada 27 April 2018. Pada film tersebut,

sekumpulan pahlawan super bernama Avengers bertarung melawan Thanos, penjahat yang berniat

mengumpulkan enam buah batu sakti yang disebut Infinity Stones dengan tujuan melakukan pengurangan

populasi makhluk hidup di seluruh alam semesta. Menurut Thanos, terlalu banyak populasi akan

mengakibatkan menipisnya sumber daya dan pada akhirnya terjadi peperangan, kelaparan, dan berbagai

bencana sehingga mengurangi populasi, menurut Thanos, adalah upaya untuk menciptakan dunia yang

“damai dan penuh rasa syukur”. Pada akhirnya,Thanos berhasil mengumpulkan Infinity Stones dan

menghilangkan separuh populasi dunia.

Di dalam makalah ini akan dijelaskan bagaimana dinamika populasi manusia jika terjadi pemusnahan

populasi ketika populasi manusia sudah mencapai batas tertentu, yakni (1-α)100% dari carrying capacity

planet Bumi untuk suatu α dengan 0 < α < 1. Selain itu akan disimulasikan kondisi jika yang terjadi adalah

setiap individu mempunyai peluang 50% untuk musnah, dan kejadian antar individu dipandang saling

bebas. Kemudian akan ditinjau bagaimana dinamika populasi jika Thanos memilih untuk meningkatkan

carrying capacity setiap kali populasi mencapai (1-α)100% dari carrying capacity.

Pada makalah ini, model pertumbuhan populasi yang digunakan adalah model logistik yang dicetuskan

oleh Pierre-François Verhulst pada 1838. Verhulst terinspirasi oleh Adolphe Quatelet yang menyatakan

bahwa populasi tidak dapat bertumbuh secara geometrik terus-menerus (seperti yang dicetuskan oleh

Thomas Malthus) karena terdapat faktor-faktor yang menghambat pertumbuhan tersebut. Faktor

penghambat tersebut, menurut Quatelet, sebanding dengan kuadrat dari laju pertumbuhan populasi

(menurut [1]), namun Verhulst menolak ide tersebut dan mengajukan model dengan penghambat

pertumbuhan populasinya adalah rasio antara populasi dengan titik jenuh populasi yang disebut carrying

capacity (K). Model logistik Verhulst mempunyai parameter-parameter berupa populasi awal, laju populasi

awal dan K, dengan K membentuk batas atas bagi besaran populasi. Model logistik Verhulst dinyatakan

dalam persamaan diferensial orde satu:

SEMINAR MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2019

2

𝑑𝑃

𝑑𝑡= 𝑟𝑃(1 −

𝑃

𝐾) ()

dengan P menyatakan banyaknya populasi, r menyatakan laju pertumbuhan populasi, dan K adalah

carrying capacity dari tempat tinggal populasi tersebut. Laju populasi akan mendekati model eksponensial

sederhana (model yang dicetuskan oleh Malthus) untuk banyaknya populasi yang relatif kecil

dibandingkan dengan K (tepatnya untuk populasi lebih kecil dari K/2), laju populasi akan menurun ketika

banyaknya populasi lebih besar dari K/2, dan populasi akan menuju K pada keadaan steady-state.

Berdasarkan [2] model logistik digunakan dalam makalah ini karena cukup mudah untuk diselesaikan

secara analitik, dan menjadi basis bagi model-model populasi yang lebih kompleks.

Tujuan penelitian ini adalah untuk menginvestigasi apakah solusi dari permasalahan dunia yang

diajukan oleh Thanos dalam film Infinity War sudah tepat, atau apakah penambahan carrying capacity

merupakan pilihan yang lebih tepat. Karya ilmiah ini bersifat rekreasional namun semoga karya ilmiah ini

dapat menyadarkan kita sebagai manusia bahwa kita hidup di bumi bersama-sama dengan sumber daya

yang terbatas sehingga sudah seyogyanya kita menjaga dan melestarikan sumber daya yang ada.

II. METODE PENELITIAN

Penelitian dilakukan dengan cara eksplorasi. Setiap permasalahan yang diajukan akan dilakukan

eksplorasi secara analisis dan numerik (simulasi menggunakan perangkat lunak MATLAB).

A. Asumsi

Asumsi – asumsi yang digunakan dalam eksplorasi ini adalah

1. Laju banyaknya populasi manusia mengikuti model logistik, yakni (1)

2. Populasi awal selalu berada di bawah threshold yakni (1-α)100% dari carrying capacity

3. Aksi pemusnahan atau penambahan carrying capacity hanya dilakukan ketika populasi lebih besar

daripada threshold

4. Setelah pemusnahan atau penambahan carrying capacity terjadi, laju pertumbuhan populasi

(parameter r) tetap sama seperti sebelum terjadi pemusnahan

B. Data dan Parameter

Data yang digunakan adalah data dari dunia nyata, yakni (menurut [3]) populasi awal adalah P0=7.7

miliar jiwa dengan pertumbuhan saat ini sebesar 82 juta per tahun. Untuk carrying capacity, karena

menurut [4] estimasi terkait carrying capacity bervariasi dari 2 miliar hingga 1024 miliar, dipilih nilai

K=10 miliar yakni nilai di antara dua buah estimasi paling populer (yakni 8 miliar dan 16 miliar), dan

dipilih α=0.1. Sedangkan parameter r dapat diperoleh dari persamaan

82 × 106 =𝑑𝑃

𝑑𝑡|𝑃=𝑃0

= 𝑟𝑃0(1 −𝑃0

𝐾) ()

sehingga diperoleh r≈0.04.

III. HASIL DAN PEMBAHASAN

Menurut [5], solusi umum dari (1) adalah

𝑃(𝑡) =𝐾

𝐴𝑒−𝑟𝑡+1 ()

dengan A suatu konstanta, sedangkan solusi dari (1) dengan nilai awal P(0)=P0 dengan 0<P0<K adalah

𝑃(𝑡) =𝐾𝑃0

𝑒−𝑟𝑡(𝐾−𝑃0)+𝑃0 ()


3

A. Metode Analitik

Masalah pertumbuhan populasi logistik dengan pemusnahan ini dapat dipandang sebagai berikut:

Perhatikan bahwa fungsi (4) bersifat monoton naik, sehingga jika diberikan suatu P0 dengan P0<(1- α)K

(berdasarkan asumsi bahwa nilai awal berada dibawah threshold) maka P akan menuju (1-α)K, dan ketika

nilai P sudah berada di atas (1- α)K, maka pemusnahan dilakukan, yakni menghilangkan setengah populasi

hingga hanya tersisa setengahnya. Secara diskrit, hal ini dapat dimodelkan sebagai berikut (diturunkan dari

(1)).

𝑃(𝑡 + 1) = {𝑃(𝑡) + 𝑟 ⋅ 𝑃(𝑡) ⋅ (1 −

𝑃(𝑡)

𝐾) ⋅ Δ𝑡 jika 𝑃(𝑡) < (1 − 𝛼)𝐾

𝑃(𝑡)

2jika 𝑃(𝑡) ≥ (1 − 𝛼)𝐾

()

Secara kontinu, peristiwa pemusnahan dapat digambarkan dengan membuat jump discontinuity pada

titik dimana P pertama kali menyentuh garis y= (1-α)K, yakni t yang memenuhi

(1 − 𝛼)𝐾 =𝐾𝑃0

𝑒−𝑟𝑡(𝐾−𝑃0)+𝑃0 ()

Solusi dari (6) adalah

𝑡1 =ln((

1−𝛼

𝛼)(𝐾−𝑃0𝑃0

))

𝑟 ()

yang merupakan waktu pemusnahan pertama terjadi. Setelah pemusnahan terjadi, populasi penduduk

menjadi (1-α)K/2. Lebih jauh lagi, dengan laju pertumbuhan penduduk yang sama seperti waktu sebelum

pemusnahan, P akan naik kembali hingga mencapai threshold, kemudian ketika sudah mencapai threshold

pemusnahan terjadi lagi sehingga populasi penduduk kembali menjadi (1-α)K/2 dan begitu seterusnya.

Pada akhirnya, proses pertumbuhan dan pemusnahan akan terjadi secara periodik dengan periode

𝑡𝑝 =ln(

1+𝛼

𝛼)

𝑟 ()

yang diperoleh dengan memasukkan P0=(1-α)K/2 ke (7).

Diperoleh fungsi yang memodelkan pertumbuhan dan pemusnahan populasi sebagai berikut:

𝑃(𝑡) =

{

𝐾𝑃0

𝑒−𝑟𝑡(𝐾−𝑃0)+𝑃0, 0 < 𝑡 < 𝑡1

𝐾(1−𝛼)

(1+𝛼)𝑒−𝑟(𝑡−𝑡1)+(1−𝛼)

𝑃(𝑡 − 𝑡𝑝), 𝑡 > 𝑡𝑝

, 𝑡1 ≤ 𝑡 < 𝑡1 + 𝑡𝑝 ()

dengan bagian fungsi untuk t yang memenuhi (𝑡1 ≤ 𝑡 < 𝑡1 + 𝑡𝑝) diperoleh dengan memasukkan P0=(1-

α)K/2 ke (4) dan mentranslasi fungsinya sejauh t1 searah sumbu x.

Pada Gambar 1, terlihat bahwa grafik kontinu deterministik (yakni plot fungsi secara langsung) dan

diskrit deterministik berimpit, dan akan terus berosilasi dengan periode tp≈51 tahun. Jadi, setelah

pemusnahan pertama, Thanos harus memusnahkan populasi setiap 51 tahun sekali agar populasi tetap

berada di bawah threshold.


4

GAMBAR 1. GRAFIK FUNGSI POPULASI DENGAN PEMUSNAAHAN (DETERMINISTIK)

Perhatikan bahwa periode (tp) hanya dipengaruhi oleh parameter-parameter α dan r dan tidak

dipengaruhi oleh populasi awal dan carrying capacity.

Pada Gambar 2, terlihat bahwa untuk nilai awal P0=(1-α)K/2 (yang menandakan periode pasca

pemusnahan pertama), α=0.1 dan r=2 ketiga grafik fungsi akan menyentuh P=(1-α)K pada waktu yang

sama (t1≈1.20).

GAMBAR 2. GRAFIK FUNGSI POPULASI (MODEL LOGISTIK BIASA)

B. Simulasi Probabilistik

Pada film Avengers: Infinity War, makhluk hidup tidak hanya berada di Bumi, namun tersebar di

berbagai planet di alam semesta. Jika metode pemusnahan makhluk hidup oleh Thanos berjalan di seluruh

alam semesta, maka pemusnahan tersebut dapat dipandang sebagai proses membalikkan koin: setiap

individu punya peluang musnah 0.5 dan pemusnahan antar-individu berlangsung saling bebas, dengan total

(di seluruh alam semesta, setidaknya pada semesta film tersebut) individu yang tersisa adalah setengah dari

total populasi. Jadi kejadian pemusnahan setiap individu dapat dipandang sebagai kejadian Bernoulli


5

dengan peluang 0.5, sedangkan secara total (di planet Bumi) kejadian pemusnahan tersebut adalah kejadian

binomial dengan p=0.5 dan n=P(t) ketika P(t)≥ (1-α)K, dengan asumsi carrying capacity yang dijadikan

acuan (kapan akan terjadi pemusnahan) adalah carrying capacity Bumi.

Menurut [6], untuk n besar dan p=0.5, peubah acak berdistribusi binomial(n,p) akan mendekati peubah

acak normal dengan rataan np=0.5n dan variansi np(1-p)=0.25n. Namun karena peubah acak normal dapat

bernilai sangat besar maupun sangat kecil, realisasi nilai peubah acak ini akan dibatasi diantara suatu batas

bawah Pb dan batas atas (1-α)K. Model diskrit untuk pemusnahan dengan metode probabilistik dapat

diperoleh dengan memodifikasi (5) menjadi

𝑃(𝑡 + 1) = {𝑃(𝑡) + 𝑟 ⋅ 𝑃(𝑡) ⋅ (1 −

𝑃(𝑡)

𝐾) ⋅ Δ𝑡 jika 𝑃(𝑡) < (1 − 𝛼)𝐾

min{max{𝑞, 𝑃𝑏}, (1 − 𝛼)𝐾} jika 𝑃(𝑡) ≥ (1 − 𝛼)𝐾 ()

dengan q adalah realisasi dari peubah acak Q~N(P(t)/2,P(t)/4)) yang pada aplikasinya dapat di-generate

dengan menggunakan sintaks normrnd pada program MATLAB. Sebagai contoh akan digunakan data

penduduk dunia asli seperti pada contoh sebelumnya, dan dengan batas bawah Pb=1.000.000.

Dari Gambar 3 diperoleh bahwa meskipun setiap simulasi menghasilkan nilai setelah pemusnahan yang berbeda-beda namun masih berada di sekitar grafik fungsi analitik dari model pemusnahan, sehingga peridoe antar pemusnahan tidak berbeda jauh dengan periode yang diperoleh menggunakan cara analitik.

GAMBAR 3. GRAFIK HASIL SIMULASI DENGAN METODE PROBABILISTIK (3 SIMULASI)

C. Menggandakan Carrying Capacity

Bagaimana jika dari pada memusnahkan sebagian populasi, Thanos memilih untuk meningkatkan

carrying capacity dua kali lipat setiap kali populasi mencapai threshold dengan kekuatan Infinity Stones

yang dimilikinya?

Misalkan populasi awal adalah P0 dengan P0<(1-α)K. Ketika populasi mencapai (1-α)K (sebut ketika

t=t1), maka carrying capacity bertambah dua kali lipat menjadi 2K, sehingga untuk t>t1, fungsi yang

digunakan adalah (4) dengan nilai awal (1-α)K dan ditranslasi sejauh t1 searah sumbu x.

𝑃(𝑡) = {

𝐾𝑃0

𝑒−𝑟𝑡(𝐾−𝑃0)+𝑃0, 0 < 𝑡 < 𝑡1

2𝐾(1−𝛼)

(1+𝛼)𝑒−𝑟(𝑡−𝑡1)+(1−𝛼), 𝑡1 ≤ 𝑡

()

Pada akhirnya, P akan melewati threshold baru yakni 2(1-α)K. Waktu yang dibutuhkan oleh populasi

untuk mencapai nilai P=(1-α)2K dari P=(1-α)K adalah (diperoleh melalui (6) dengan mengubah K menjadi

2K dan P0=(1-α)K) sama seperti periode pemusnahan pada uraian sebelumnya yakni tp yang diberikan oleh

(8). Jadi pada saat t=t1+tp, P akan mencapai 2(1-α)K. Pada saat itu, carrying capacity akan menjadi 4(1-


6

α)K, sehingga untuk t>t1+tp, fungsi yang digunakan adalah fungsi (11) yang “disambung” dengan fungsi

(4) dengan nilai awal 2(1-α)K, carrying capacity 4K dan ditranslasi sejauh t1+tp searah sumbu x.

𝑃(𝑡) =

{

𝐾𝑃0

𝑒−𝑟𝑡(𝐾−𝑃0)+𝑃0, 0 < 𝑡 < 𝑡1

2𝐾(1−𝛼)

(1+𝛼)𝑒−𝑟(𝑡−𝑡1)+(1−𝛼), 𝑡1 ≤ 𝑡 < 𝑡1 + 𝑡𝑝

4𝐾(1−𝛼)

(1+𝛼)𝑒−𝑟(𝑡−𝑡1−𝑡𝑝)+(1−𝛼), 𝑡1 + 𝑡𝑝 ≤ 𝑡

()

Selanjutnya, waktu yang dibutuhkan untuk P bergerak dari P=2(1-α)K ke P=4(1-α)K akan sama

dengan tp, sehingga P akan mencapai 4(1-α)K pada t=t1+2tp, dan untuk t1+tp fungsi yang digunakan adalah

fungsi (12) yang “disambung” dengan fungsi (4) dengan nilai awal 4(1-α)K, carrying capacity 8K dan

ditranslasi sejauh t1+2tp searah sumbu x. Pada akhirnya dapat diperoleh fungsi populasi dengan

pelipatgandaan carrying capacity dengan induksi matematika,

𝑃(𝑡) = {

𝐾𝑃0

𝑒−𝑟𝑡(𝐾−𝑃0)+𝑃0, 0 < 𝑡 < 𝑡1

2𝑛+1𝐾(1−𝛼)

(1+𝛼)𝑒−𝑟(𝑡−𝑡1−𝑛𝑡𝑝)+(1−𝛼)

, 𝑡1 + 𝑛𝑡𝑝 ≤ 𝑡 < 𝑡1 + (𝑛 + 1)𝑡𝑝, 𝑛 ∈ {0,1,2, … } ()

Sebagai contoh, akan digunakan data populasi dunia asli seperti pada uraian sebelumnya. Pada Gambar

4 terlihat bahwa pada waktu yang sama, kedua grafik fungsi akan mencapai threshold-nya masing-masing.

GAMBAR 4. GRAFIK POPULASI DENGAN METODE PEMUSNAHAN VERSUS PELIPATGANDAAN CARRYING CAPACITY

D. Eksplorasi Permasalahan Lainnya

Bagaimana jika diinginkan populasi yang tersisa setelah pemusnahan adalah sebesar β kali populasi

sebelumnya, dengan 0<β<1? Permasalahan ini serupa dengan permasalahan pada subbab A, namun kali ini

setelah pemusnahan pertama populasi yang tersisa adalah sebanyak β(1-α)K, dan waktu yang dibutuhkan

untuk kembali mencapai threshold adalah (dengan memasukkan P0= β(1-α)K ke (7))

𝑡𝑝 =ln(1+

1−𝛽

𝛼𝛽)

𝑟 ()

Dengan menuliskan ln (1 +1−𝛽

𝛼𝛽) = ln (

1

𝛼𝛽+ 1 −

1

𝛼), terlihat bahwa tp berbanding terbalik dengan β.

Hal ini dapat dipahami karena semakin banyak populasi yang disisakan (selamat) maka akan semakin cepat


7

waktu yang dibutuhkan untuk kembali ke threshold populasi sehingga periode antar pemusnahan semakin

singkat.

Setelah dilakukan eksplorasi permasalahan untuk berbagai nilai β, kemudian dibuat grafik, maka

menghasilkan grafik pada Gambar 5.

GAMBAR 5. GRAFIK POPULASI (METODE PEMUSNAHAN) DENGAN BERBAGAI NILAI BETA

Selain itu, bagaimana jika diinginkan pelipatgandaan carrying capacity seperti pada bagian C namun

setiap kali populasi mencapai threshold, carrying capacity bertambah menjadi M kali carrying capacity

sebelumnya dengan M>1. Untuk kasus ini, periode yang dibutuhkan untuk mencapai suatu threshold dari

threshold sebelumnya adalah (dengan menggunakan (7), mengganti K dengan MnK dan P0 dengan Mn-1K

untuk sebarang n)

𝑡𝑝 =ln(1+

𝑀−1

𝛼)

𝑟 ()

sedangkan fungsi populasinya diperoleh dengan cara yang sama dengan bagian C hanya saja mengganti

faktor 2 dengan M, yakni

𝑃(𝑡) = {

𝐾𝑃0

𝑒−𝑟𝑡(𝐾−𝑃0)+𝑃0, 0 < 𝑡 < 𝑡1

𝑀𝑛+1𝐾(1−𝛼)

(𝑀−1+𝛼)𝑒−𝑟(𝑡−𝑡1−𝑛𝑡𝑝)+(1−𝛼), 𝑡1 + 𝑛𝑡𝑝 ≤ 𝑡 < 𝑡1 + (𝑛 + 1)𝑡𝑝, 𝑛 ∈ {0,1,2, … }

()

Perhatikan pada Gambar 6 dapat diambil kesimpulan, bahwa semakin besar M maka semakin lama

periode antar penambahan carrying capacity. Hal ini dapat dilihat dari 𝑡𝑝 =ln(1+

𝑀−1

𝛼)

𝑟 dimana tp

berbanding lurus dengan M.


8

GAMBAR 6. GRAFIK POPULASI (MODEL PENAMBAHAN CARRYING CAPACITY ) UNTUK BEBERAPA NILAI M

IV. SIMPULAN DAN SARAN

Simpulan yang diperoleh adalah, periode waktu yang dilakukan untuk melakukan pemusnahan populasi

hingga setengah populasi total adalah sama dengan periode waktu yang dibutuhkan untuk menggandakan

carrying capacity ketika populasi sudah mencapai ambang batas tertentu. Namun dengan performansi

sama, pilihan untuk menggandakan carrying capacity setiap kali populasi melewati threshold lebih

bijaksana daripada melakukan pemusnahan separuh populasi dunia, karena nyawa manusia tidak ternilai

harganya.

Saran untuk penelitian selanjutnya adalah menggunakan model pertumbuhan populasi lain (selain

model logistik) dan menghilangkan beberapa asumsi yang digunakan dalam makalah ini.

DAFTAR PUSTAKA

[1] N. Bacaër. “A Short History of Mathematical Population Dynamics”. London: Springer-Verlag. 2011. pp. 35-36.

[2] A. Tsoularis and J. Wallace. “Analysis of Logistic Growth Models”. Mathematical Biosciences 179. pp. 21-55. July 2002.

[3] Worldometers. “World Population Clock”. Diakses di http://www.worldometers.info/world-population/ pada Januari 2019.

[4] B. Pengra. “One Planet, How Many People? A Review of Earth’s Carrying Capacity”. UNEP Global Environmental Alert Service (GEAS). 2012.

[5] D. Kalman. “A Discrete Approach to Continuous Logistic Growth”. Joint Math Meetings, Atlanta, 2017.

[6] R. Walpole, R. Myers, S. Myers, and K. Ye. “Probability & Statistics for Engineers & Scientists Ninth Edition”. Boston: Pearson. 2012. pp.187-188.

pemodelan pengurangan populasi a la thanos dalam film

Documents