PEMODELAN DENGAN STATE SPACE

A. Pengantar Semakin berkembangnya teknologi banyak persoalan yang semakin rumit terutama dalam sistem rekayasa. Karena sistem yang rumit mungkin mempunyai banyak masukan, banyak keluaran, dan waktu yang berubah-ubah. Karena kebutuhan yang ketat terhadap unjuk kerja sistem, akses yang mudah ke komputer, maka pendekatan baru terhadap analisa dan disain sekitar tahun 1960 dikembangkan dan didasarkan pada konsep Kedudukan. Dan dikenal dengan istilah state space.PEMODELAN DENGAN RUANG KEADAAN (STATE SPACE) Perbedaan antara pendekatan konvensional dan modern(state space) terutama pada sistem MIMO akan lebih mudah bila mengggunakan pendekatan statespace sedang pendekatan konvensional digunakan untuk sistem SISO.B. Pengertian state space- State (keadaan) State suatu sistem dinamik adalah sekelompok variabel terkecil (variabel keadaan) sehingga pengetahuan dari variabel tersebut pada t = to, bersama masukan untuk t > to secara lengkap menentukan kelakuan sistem untuk t>to

Untuk sistem linier tidak berubah waktu biasanya dipilih acuan to sama dengan 0.- Variabel keadaan. Variabel keadaan dari suatu sistem dinamik adalah variabel yang membentuk variabel terkecil yang menentukan keadaan sistem dinamik . Jika paling sedikit n variabel maka variabel x1, x2, ..., xn diperlukan untuk menggambarkan secara lengkap tentang dinamika sistem yang disebut variabel keadaan.- Vektor keadaan (state vector) Jika n variabel keadaan diperlukan untuk menggambarkan secara lengkap kelakuan suatu sistem, maka n variabel keadaan tersebut dapat dipandang sebagai n komponen vektor x yang disebut vektor keadaan.

Ruang Keadaan Ruang n dimensi yang sumbu koordinatnya sumbu x1, sumbu x2, , sumbu xn disebut ruang keadaan. Suatu keadaan dapat dinyatakan dengan satu titik dalam ruang keadaan.- Persamaan ruang keadaan (state space equation) Ada tiga jenis variabel yang terlibat dalam model sistem dinamika suatu persamaan ruang keadaan yaitu : a. variabrel masukan b. variabel keadaan c. variabel keluaranContoh : Suatu sistem dengan integrator sebagai alat pengingat (momori device), maka keluaran dari integrator demikian dianggap sebagai variabel yang menentukan kedudukan internal dari sistem dinamika. Jadi keluaran dari integrator bekerja sebagai variabel kedudukan. Jumlah variabel kedudukan untuk menentukan dinamika sistem secara lengkap adalah sama dengan jumlah integrator yang terlibat dalam sistem.Sistemu(t)y(t)

::Keluaran y1(t), y2(t), , ym(t) diberikan oleh : y = g(x,u,t) Anggap sistem dengan banyak masukan, banyak keluaran melibatkan n integrator. Jika terdapat r masukan dan m keluaran maka :Sistem dapat dinyatakan sebagai : x = f(x,u,t)Jika sistem diatas diatas invarian terhadap waktu maka persamaan keadaan yang baru menjadi ;Jika persamaan diatas dilinierkan terhadap keadaan operasi, maka menjadi :

::

A. Perubahan dari fungsi alih ke persamaan state spaceContoh :Suatu sistem mekanik seperti pada gambar dibawah ini ;

Jika dianggap sistem ini linier. Gaya luar u(t) adalah masukan ke sistem, dan perpindahan massa y(t) adalah keluaran. Perpindahan diukur dari posisi kesetimbangan pada saat tidak ada gaya luar. Sistem ini bersifat SISOPersamaan sistem adalahSistem ini adalah sistem orde kedua. Ini berarti sistem melibatkan dua integrator. Variabel kedududukan x1(t) dan x2(t) sebagai berikut :

Diubah ke dalam transformasi Laplacems2Y(s) +bsY(s) + kY(s) = U(s)Y(s)[ms2+bs +k]=U(s)Y(s)/U(s) = 1/ms2+bs+k

Persamaan keluaran adalah :Y = x1Sehingga dalam bentuk persamaan keadaan

Persamaan keluaran :

atauKemudian akan diperoleh

B. Perubahan dari persamaan state ke fungsi alihRumus yang digunakan adalah : G(s) = C(sI A) -1B Contoh : Jika diketahui suatu persamaan state seperti soal sebelumnya, diman diketahui matriks A = matriks B = , matriks C = maka untuk mengubahnya ke bentuk fungsi alih maka :

G(s)= C(sI A) -1B

=

Karena

Sehingga