materi 6. space-time, 22.11 - fmipa personal blogs /...

SpaceSpace--time Modelstime Modelspp

MA5182 Topik dalam Statistika I: Statistika Spasialp p22 November 2012

Utriweni Mukhaiyar

AnalisisAnalisis StatistikStatistik ACF, PACF

Box&Jenkins IterationAnalisisAnalisis StatistikStatistik

D A l i Compound

Postulate General Class of Models

Identify Model

PACF, diff

Data Analysis

Non-parametric A l i

Compound Poisson

Hidden Parameter Estimation

y

Maximum Likelihood

Resampling

St h ti

Analysis Markov

Diagnostic Checking

YesNo

Least Squares

Stochastic Processes

Multivariate

Time Series Analysis

l++

Forecasting

K i iV i Estimation & Multivariate Analysis Spatial

Analysis

S Ti ==

KriggingVariogram Estimation & Interpolation

Modelling Adopted from Time Series AnalysisSpace-Time

AnalysisStationaritySeries Analysis

Box&Jenkins Procedure/Iteration

Weight matrix, STACF,

STPACF, diff

Kovariansi dan Korelasi pada deretKovariansi dan Korelasi pada deret--waktuwaktu

S k k d Suatu proses stokastik dengan Fungsi Mean:

TttZ ),( ,...2,1,0Tg

Fungsi Autokovariansi: ( ) ( )t E Z t

Fungsi Autokovariansi:

A

22112121 ,, ttZttZEtZtZCovtt

Fungsi Autokorelasi:

2121 ,, tttZtZCovtZtZCtt

untuk

21

2211

2121

21

212121

,,,,

tttttZVartZVartZtZCorrtt

210ttuntuk ,...2,1,0, 21 tt

Kovariansi dan Korelasi pada deretKovariansi dan Korelasi pada deret--waktuwaktu

Kovariansi Korelasi 1

2

111 , tZVartt 1, 11 tt

1221 tttt tttt 2

3

1221 ,, tttt 1221 ,, tttt

221121 ,,, tttttt 1, 21 tt

Mean Mean dan Kovariansi pada Analisis dan Kovariansi pada Analisis SpasialSpasial

Untuk suatu proses stokastik dengan Fungsi Mean:

( ),Z s s L 2 3, ,L R R R

( ) ( )E Z

Kovariansi spasial: ( ) ( )s E Z s

2

,Cov Z s Z s h E Z s Z s h

E Z s Z s h C h

, 0Var Z s Cov Z s Z s C

Korelasi spasial:

,Cov Z s Z s h C h C hh

00 0h

CC CVar Z s Var Z s h

KestasioneranKestasioneranKestasioneranKestasioneran

K i D k S i l/G i ikKestasioneran Deret-waktuZ(t)

Spasial/GeostatistikZ(s)

Kuat 1 2( ), ( ),..., ( )nF Z t Z t Z t 1 2( ), ( ),..., ( )nF Z s Z s Z s

untuk sebarang n dan k. untuk sebarang n dan h.L h 1 F i k t t k 1

1 2 ( ), ( ),..., ( )nF Z t k Z t k Z t k

1 2

1 2

( ), ( ), , ( )

( ), ( ),..., ( )n

nF Z s h Z s h Z s h

( )E ZLemah 1. Fungsi mean konstan untuk semua waktu

2. untuk semua tdan k.

1.

2. kktt ,0,

( )E Z s

,Cov Z s Z s h C h a .

Intrinsik - 1.

2.

0E Z s h Z s

12

Var Z s h Z s h 2

Semivariogram

2

2 0 0 2

Var Z s h Z s Var Z s h Var Z s Cov Z s h Z s

h C C C h

glag-h

2 0 0 2

0

h C C C h

h C C h

Aplikasi Pemodelan Space Time Aplikasi Pemodelan Space Time Aplikasi Pemodelan Space Time Aplikasi Pemodelan Space Time

T (G d 2000 K k d Transportasi (Garrido; 2000, Kamarianakis and Prastacos; 2005)K i i l i (Li d B 1998) Kriminologi (Liu and Brown; 1998)

Sosial (Hernandez-Murillo and Owyang; 2004)P i k (R hj 2002) Perminyakan (Ruchjana; 2002)

Geologi dan Ekologi (Kyriakidis and Journel; 1999) Pertambangan Kedokteran Genetika Pertanian …

Analisis Space TimeAnalisis Space TimeAnalisis Space TimeAnalisis Space Time

time

0 1 i Ti 10 1 i… T…i-1

s1

sNsN-1s0s1

sNsN-1s0s1

sNsN-1s0s1

sNsN-1s0 1

s2sj

1

s2sj

01

s2sj

01

s2sj

“Observasi di suatu lokasi pada satu waktudi hi l h b i b i di dipengaruhi oleh observasi-observasi di masa lampau di lokasi tersebut dan juga di lokasi sekitarn a”sekitarnya.”

Model SpaceModel Space TimeTimeModel SpaceModel Space--TimeTimeSTARMA (p,q) :

1 0 1 0

s ssmp q( k ) ( k )

sk sks k s k

( t ) ( t s ) ( t ) ( t s )

Z W Z e W e

1980Pfeifer & DeutschSTAR (p1)

: )()()()(1

11

0 tststtp

s

p

s eWZZZ

STMA (q1) :

q

ss

q

ss ststtt

11

10 )()()()( WeeeZ

G STAR ( ) ( k ) ( k )( ) ( ) Syarat kestasioneran

11 ss

G-STAR ( ) : 1 2, ,..., pp 1 1 2 2

1 0

s ( k ) ( k )pi i( k )

i sk i( k )s k iN N

w Z (t s ) w Z (t s )Z (t ) e (t )

... w Z (t s )

2002

sp

( k ) ( k ) ( k ) ( k )( ) ( ) ( ) ( )

Syarat kestasioneranGSTAR(11)

(Nurani, dkk )

STARMAG ( ) 1 2 1 2, ,..., , ,...,,

p pm m mp q

1 1 2 21 0

1 1 2 21 0

s

( k ) ( k ) ( k ) ( k )i sk i i iN N

s k

mq( k ) ( k ) ( k ) ( k )sk i i iN N i

s k

Z (t ) w Z (t s ) w Z (t s ) ... w Z (t s )

w e (t s ) w e (t s ) ... w e (t s ) e ( t )

Di

Giacinto2006

M d l GSTAR(1 1) 2008

2010( )

Model GSTAR(1;1) untuk galat berkorelasi

waktu (Borovkova, et al.)Model GSTAR(1;1) untuk galat berkorelasi spasial 2010galat berkorelasi spasial

(Nurhayati) Kestasioneran Model GSTAR dengan

IMAk (Mukhaiyar)2012

Model VAR(1)Model VAR(1)Model VAR(1)Model VAR(1)

Jika banyaknya lokasi adalah N maka vektor Jika banyaknya lokasi adalah N maka vektor observasi z(t) = (z1(t) z2(t) ... zN(t))t yang mengikuti model VAR(1) akan memiliki bentuk:

d e(t) d l h kt l t k D

)()1()( ttt eZZ

dengan e(t) adalah vektor galat acak. Dengan menggunakan operator backshift, )()( jttB j ZZ

maka, )()( ttB eZI )()( ttB eZI

Kestasioneran Model VAR(1)Kestasioneran Model VAR(1)Kestasioneran Model VAR(1)Kestasioneran Model VAR(1)

Wei (1990 2006) menuliskan bahwa Wei (1990, 2006) menuliskan bahwa syarat kestasioneran untuk model VAR(1) adalah jika akar-akar dari B dari |I - B| = 0 berada di luar lingkaran satuan. g

Hal ini ekivalen dengan mengatakan bahwa syarat kestasioneran model VAR(1) bahwa syarat kestasioneran model VAR(1) adalah nilai eigen dari berada di dalam li k lingkaran satuan.

Operator Lag SpasialOperator Lag SpasialOperator Lag SpasialOperator Lag Spasial Untuk mempermudah dalam mendeteksi lag Untuk mempermudah dalam mendeteksi lag

spasial, diperlukan pendefinisian dari operator lag spasial orde-l (L(l) ) berikut:operator lag spasial orde l (L( ) ) berikut:

)()()0( tZtZL ii N

N

jj

liji

l tZwtZL1

)()( )()()(l

dimana merupakan kumpulan bobot-bobot yang merupakan elemen dari matriks

j 1)(lijw

berukuran yang memenuhi,

1)( N

lw 11

j

ijw

Matriks Bobot dan Orde SpasialMatriks Bobot dan Orde Spasial

1. Matriks Bobot Biner

0 112 ww N

Memiliki nilai 0 dan 1 di elemen selain diagonal utama.

0

0)(

1111

221

ww

www N

ijW

Sistem radius2. Matriks Bobot Uniform

-ke orde pada anggaadalah tet ,1

)()( lijnw l

il

ij

3. Matriks Bobot non-uniform

t t ik b b t lid

lainnya ,0

-ke orde pada anggaadalah tet ,

11

)( lijdw ll

ij

ct. matriks bobot euclidean

lainnya ,01 dw ijij

Lag Spasial Lag Spasial gridgridLag Spasial Lag Spasial -- gridgrid Tetangga Terdekat pada Lag Spasial 1 sampai 5 untuk Lokasi s0 Tetangga Terdekat pada Lag Spasial 1 sampai 5 untuk Lokasi s0

.

Angka-angka pada grid menunjukkan orde spasial titik g g p g j ptersebut yang ditentukan oleh jaraknya terhadap s0. Angka yang semakin kecil menunjukkan posisi yang semakin dekat terhadap sterhadap s0.

5 4 3 4 55 3 54 2 1 2 43 1 s0 1 33 1 s0 1 34 2 1 2 45 4 3 4 5

Model STARMAModel STARMAModel STARMAModel STARMA Misalkan Z(t) merupakan vektor variabel acak dari Misalkan Z(t) merupakan vektor variabel acak dari

suatu proses STARMA di berbagai lokasi pada suatu waktu t. Model STARMA( ) dinyatakan qp mmqp ,...,,..., 11

,( ) ydalam:

qp

q mp rs

)()()()()()(1 1

)(0

1 1

)(0 trtrtststt

q

r l

lrlr

p

s k

ksks

rs

eeWeZWZZ

dengan Z(t) merupakan vektor pengamatan (N1) dari N lokasi pada waktu t atau (Zi(t) ), W adalah

ik b b (N N) d l i l l matriks bobot (NN) pada lag spasial l, tmenyatakan waktu pengamatan ,1,2,...,T dan e(t) adalah vektor galat berdistribusi normaladalah vektor galat berdistribusi normal.

Model STARMA(1;1 1;1)Model STARMA(1;1 1;1)Model STARMA(1;1, 1;1)Model STARMA(1;1, 1;1)

)()1()1()1()1()( tttttt eWeeWZZZ )()1()1()1()1()( 11101110 tttttt eWeeWZZZ

Model STAR(1;1)Model STAR(1;1)Model STAR(1;1)Model STAR(1;1) Model STAR(1;1) yang merupakan kasus khusus dari Model STAR(1;1) yang merupakan kasus khusus dari

model STARMA(1;1, 1;1), yaitu tidak melibatkan unsur galat di lokasi sekitarnya (yang terdekat) pada waktu g y (y g ) psebelumnya, dapat direalisasikan sebagai berikut:

)()1()1()(s

WZZZ

Model STAR(1;1) ini juga dapat dinyatakan

)()1()1()(1

1110 ttttk

eWZZZ

Model STAR(1;1) ini juga dapat dinyatakan dalam bentuk model VAR (1) yaitu:

)()1()( ttt eZWIZ )()1()( 1110 ttt eZWIZ

)()1()( ttt eΦZZ

IdentifikasiIdentifikasi Model Space Model Space TimeTimeIdentifikasiIdentifikasi Model Space Model Space TimeTime(Pfeifer and Deustch, 1980)(Pfeifer and Deustch, 1980)

Model space time diidentifikasi melalui fungsi space time autokorelasiModel space time diidentifikasi melalui fungsi space time autokorelasi

(STACF) dan fungsi space time parsial autokorelasi (STPACF).

sT stt )'()(ˆ ZZ

Matriks kovariansi antara lokasi dan waktu :

'E ZZΓ

t sTstts

1

)()()( ZZΓ

)(1)( ')()( kl ΓWW

'sttEs ZZΓ

)(1)( )()( strN

s kllk ΓWWRata-rata kovariansi space time pd lag-s :

F k l (STACF) )()( lk ss Fungsi autokorelasi space time (STACF) : 2/1)0()0(

)(kkll

lk s

Fungsi parsial autokorelasi space time (STPACF) :

……lkFungsi parsial autokorelasi space time (STPACF), :

solusi persamaan Yule Walker :

lk

11

10

1111011110

0010000100

10

00

111000111000

11

solusi persamaan Yule Walker :

p

20

11010

00

0 1110001

221

p

2

21

0

10

2012

2

p

p

pppp

1

0

10

00

021

p

ppp

0

021

Pola Teoritis STACF dan STPACFPola Teoritis STACF dan STPACFPola Teoritis STACF dan STPACFPola Teoritis STACF dan STPACF

ContohContohContohContohSTACF plots

0.4

0.6

0.8

1

rela

tion

Spatial Time Autocorrelation Function (ST-ACF)- lag spatial 3

0.4

0.6

0.8

1

elat

ion


0.4

0.6

0.8

1

elat

ion


0.4

0.6

0.8

1

rela

tion


STACF plots

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

Spa

tial T

ime

Aut

ocor

r

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

Spa

tial T

ime

Aut

ocor

re

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

Spa

tial T

ime

Aut

ocor

re

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

Spa

tial T

ime

Aut

ocor

r

1Spatial Time Partial Autocorrelation Function (ST-PACF)- lag spatial 3




0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

Lag time0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

Lag time0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

Lag time0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

Lag time

STPACF plots

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

me

Par

tial A

utoc

orre

latio

n

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

me

Par

tial A

utoc

orre

latio

n

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

me

Par

tial A

utoc

orre

latio

n

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

me

Par

tial A

utoc

orre

latio

n

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

-0.8

-0.6

-0.4

Lag time

Spa

tial T

im

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

-0.8

-0.6

-0.4

Lag time

Spa

tial T

im

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

-0.8

-0.6

-0.4

Lag time

Spa

tial T

im

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

-0.8

-0.6

-0.4

Lag time

Spa

tial T

im

Model yang mungkin: GSTAR(1;1), ... ???

Model GSTARModel GSTARModel GSTARModel GSTAROrde waktu = p

1 2GSTAR ; , ,..., pp

Orde waktu = p

G li dOrde spasial = λ1, λ2,…, λp

Generalized space time autoregressive

Orde waktu = 1

Pengamatan di lokasi i saat t

Nilai Zi (t) tergantung nilai satuperiode sebelumnya yang

terjadi di i dan di lokasi yang GSTAR (1,1)

Orde waktu = 1

j y glangsung terkait dengan i

Generalized

Orde spasial =1

space time autoregressive

Model GSTAR(1;1)Model GSTAR(1;1)Model GSTAR(1;1)Model GSTAR(1;1) Model GSTAR(1;1) untuk setiap lokasi i = 1 2 N Model GSTAR(1;1) untuk setiap lokasi i = 1, 2, ..., N

dan waktu t dinyatakan oleh:( ) ( )( ) ( 1) ( 1) ( )

Ni iZ Z Z

dan dalam notasi matriks dinyatakan sebagai:

( ) ( )10 11

1( ) ( 1) ( 1) ( )i ii i ij j i

jZ t Z t w Z t e t

dan dalam notasi matriks dinyatakan sebagai:

)()1()( 10 ttt eZWΦΦZ dengan

)(1 tZ

)(1 te

0 112 Nww

)()(

)( 2

1

tZtZ

t

Z

)()(

)( 2

1

tete

t

e

0 221

112

N

N

wwW

)(tZ N

)(teN

021

NN ww

dengan dan 1N

(1) ( )Ndiag Φ dengan dan 11

j

ijw (1) ( )1 1, , Ndiag Φ

Proses Z(t) diasumsikan terpusat, yaitu E[Z(t)]=0 untuk semua t E[Z(t)] 0 untuk semua t.

Perhatikan bahwa model STAR(1;1) k k kh d d l merupakan kasus khusus dari model

GSTAR(1;1) dengan dan .IΦ 00 IΦ 11 11

GSTAR orde 1GSTAR orde 1

( ) ( )( ) ( 1) ( 1) ( ) N

i iZ Z Z

Bentuk umum

b i d kt t( ) ( )10 11

1( ) ( 1) ( 1) ( )

i i

i i ij j ij

Z t Z t w Z t e t

N t i t ik d l b t k VAR(1)

observasi pada waktu t, untuk setiap lokasi‐i

Notasi matriks, dalam bentuk VAR(1)

)()1()( 10 ttt eZWΦΦZ Bentuk VAR (1)

kestasioneran model

Struktur model liner

P k i K d

GSTAR(11)

εXβY Penaksir Kuadrat Terkecil Tβ̂

kekonsistenankekonsistenan

Kestasioneran GSTAR orde 1Kestasioneran GSTAR orde 1Kestasioneran GSTAR orde 1Kestasioneran GSTAR orde 1 Jika solusi r memenuhi persamaan Jika solusi rs memenuhi persamaan,

terletak di dalam lingkaran satuan ( ) 010 WΦΦIsr

1rterletak di dalam lingkaran satuan ( ), maka GSTAR(1;1) stasioner.(Wei, 1990, 2006)

1sr

(Wei, 1990, 2006)

Syarat cukup kestasioneran GSTAR(1;1) jika Syarat cukup kestasioneran GSTAR(1;1), jika

(Ruchjana 2002)1)(

11)(

10 ii 1)(11

)(10 ii dan

(Ruchjana, 2002)

KuadratKuadrat TerkecilTerkecil GSTAR(1GSTAR(1;1;1) ) KuadratKuadrat TerkecilTerkecil GSTAR(1GSTAR(1;1;1) )

for time t = 1 2 T and spatial i = 1 2 N for time t = 1,2,…,T and spatial i = 1,2,…,Ni i i i Y X ε

)2()1(

00)1()1(00)0()0(

)2()1(

1

1

11

11

1

1

ee

VZVZ

ZZ

)(00)1()1()( 1

02

11

01

111 TeTVTZTZ

danY Y dX X 1 dan Nε ε

)2()1(

)1()1(00)0()0(00

)2()1( 0

11

eZZZZ

ZZ NNNNN

1 dan NY Y1 dan NX X

)(

)2(

)1()1(00

)1()1(00

)(

)2( 1

Te

e

TZTZ

ZZ

TZ

Z

N

NN

NN

NN

N

N

N

jjiji tZwtV

1)()(with

KuadratKuadrat TerkecilTerkecil GSTAR(1GSTAR(1 ) ) KuadratKuadrat TerkecilTerkecil GSTAR(1GSTAR(111) )

Y Xβ εβ

ˆ ( ) '

Penaksir : memenuhi 01 11 0 1( , ,..., , ) N NPenaksir :

ˆ' ' X X X Y

memenuhi,

Akibatnya,

1ˆ ' ' X X X Y X X X Y

dimana, harus non singulir.'X X

LatihanLatihanLatihanLatihan N=3 N 3 Misalkan dipandang produksi perkebunan teh di 3

bulan berturut-turut di 3 lokasi sbb:bulan berturut turut di 3 lokasi sbb:Produksi (ribu ton)

Tahun 1992 Kebun 1 Kebun 2 Kebun 3J i 275 317 302Januari 275 317 302

Februari 178 252 176Maret 255 312 260

Misalkan proses mengikuti model GSTAR(1;1). Lakukan penaksiran parameter model dengan Lakukan penaksiran parameter model dengan metode LS. Gunakan matriks bobot seragam.

Catatan: pusatkan data terlebih dahulu.Catatan: pusatkan data terlebih dahulu.

GSTAR Orde 2GSTAR Orde 2GSTAR Orde 2GSTAR Orde 2Pengamatan di lokasi i saat t

Nilai Zi (t) tergantung nilai Orde waktu = 2

Pengamatan di lokasi i saat t

Model GSTAR(2; ) dalam dua periode sebelumnya yang terjadi di i dan di lokasi yang langsung terkait dengan iOrde spasial untuk

lag waktu 2 : λ2

1 2Model GSTAR(2; , )

Generalized space time autoregressive

2

Orde spasial untuk lag waktu 1 : λ1

autoregressive

Lag spasial (λ1, λ2)

1 2 …l( 1 2)

1 GSTAR(2;1,1) GSTAR(2;1,2) …

2 GSTAR(2;2,1) GSTAR(2;2,2) …

1 2d0d0d0

Model GSTAR orde 2Model GSTAR orde 2Model GSTAR orde 2Model GSTAR orde 2observasi pada waktu observasi pada waktu tt, untuk setiap lokasi, untuk setiap lokasi--ii

GSTAR(2;1,1) 1 110 11 20 21( ) ( 1) ( 1) ( 2) ( 2) ( )

N Ni i i i

i i ij j i ij j iZ t Z t w Z t Z t w Z t e t

GSTAR(2;1,2)1 1

j j j jj j

N N N

GSTAR(2;2,1)

1 1 210 11 20 21 22

1 1 1( ) ( 1) ( 1) ( 2) ( 2) ( 2) ( )i i i i i

i i ij j i ij j ij j ij j j

Z t Z t w Z t Z t w Z t w Z t e t

GSTAR(2;2,1)

GSTAR(2 2 2)

1 2 110 11 12 20 21

1 1 1( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 2) ( 2) ( )

N N Ni i i i i

i i ij j ij j i ij j ij j j

Z t Z t w Z t w Z t Z t w Z t e t

GSTAR(2;2,2) 1 2 1 210 11 12 20 21 22

1 1 1 1

( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 2) ( 2) ( 2) ( )N N N N

i i i i i ii i ij j ij j i ij j ij j i

j j j j

Z t Z t w Z t w Z t Z t w Z t w Z t e t

1 1 1 1j j j j

Model GSTAR orde 2Model GSTAR orde 2Model GSTAR orde 2Model GSTAR orde 2notasi matriks, dalam bentuk VAR(1)notasi matriks, dalam bentuk VAR(1)

GSTAR(211)10 11 20 21( ) ( 1) ( )t t t Z W W Z e

GSTAR(212)

10 11 20 21( ) ( 1) ( )( 1) ( 2)

t t tt t

Z W W Z eZ I 0 Z 0

( 12)

GSTAR(2 )

(2)10 11 20 21 22( ) ( 1) ( )

( 1) ( 2)t t t

t t

Z Z eW W WZ Z 0I 0

GSTAR(221)(2)

10 11 12 20 21( ) ( 1) ( )( 1) ( 2)

t t tt t

Z Z eW W WZ Z 0I 0

GSTAR(222)( 1) ( 2)t t Z Z 0I 0

(2) (2)( ) ( 1) ( )t t t Z ZW W W W(2) (2)10 11 12 20 21 22( ) ( 1) ( )

( 1) ( 2)t t t

t t

Z Z eW W W WZ Z 0I 0

Model GSTAR orde 2Model GSTAR orde 2Model GSTAR orde 2Model GSTAR orde 2struktur model linierstruktur model linier εXβY

1 1 1 1

2 2 2 2

0 00 0

' ' '' ' '

Y X εY X ε

0 0

N N N N' ' 'Y X ε

1 2

1 2

1 11 1

11 1

1 11

1 1 0 0 0 0 0 0

2 2 2 1 1 0 0 0 03

N N

ij j ij jj j

N N

ij j ij jj j

Z w Z Z w Z

Z Z w Z Z w ZZ

1

110

11

1

1

1

23

ee

2 211 1

1 11 1 2 2 0 0 0 0

N N

ij j ij jj j

Z TZ T w Z T Z T w Z T

120

2

N N

2

11

N

e T

23

N

N

N

ZZ

Z T

1 1

1 1

1 1

1 1

0 0 0 0 1 1 0 1

0 0 0 0 2 1 1 1

N N

N ij j N ij jj j

N N

N ij j N ij jj j

Z w Z Z w Z

Z w Z Z w Z

1

10

1

20

23

N

N

N N

N

N

ee

e T

1 1

1 10 0 0 0 1 1 2 1

N N

N ij j N ij jj j

Z T w Z Z T w Z

22N

KuadratKuadrat TerkecilTerkecil GSTAR(1GSTAR(1;1;1) ) KuadratKuadrat TerkecilTerkecil GSTAR(1GSTAR(1;1;1) )

εXY )1()12()2()1( NTNNNTNT εXY

X 001 )1()1()0(' TZZZMX

NX

XX

00

00 2

00100

)1()1()0( Tii ZZZMX

N

iNiiiiii wwww 1,1,1 0

M

dapat ditulis

)1()1()0(' TZZZIMX

M

M

M

0000

2

1

dapat ditulis,

dengan

NM

00

)1()12()2()1( NTNNNTNT εXY

ˆˆˆˆˆ )',,...,,( 101101 NNT Penaksir :

YXXX 'ˆ' T

memenuhi,

Akibatnya,

εXXX 'ˆ' T

XX'dimana, harus non singulir.

'

T

')'1()1(1

' MZZIMXX

t

tt

T

T

ttt

1

' )'()1( vec eZMεX

Kuadrat Terkecil GSTAR(2;λ1, λ2)

Y X ε Y X εPenaksir β : 1 1 1 1

10 1 20 2 10 1 20 2N N N Nˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ '

memenuhi,

Penaksir β : 1 2 1 210 1 20 2 10 1 20 2T ,..., , ,..., ,..., ,..., , ,...,

YXXX 'ˆ' T

Akibatnya, Akibatnya, εXXX 'ˆ' T

XX'XX'dimana, harus non singulir.

pT̂

KKekonvergenan Penaksir Parameterekonvergenan Penaksir ParameterKKekonvergenan Penaksir Parameterekonvergenan Penaksir Parameter

?ˆT

TˆMenyelidiki sifat limit dari dapat dilihat dari perilaku: T

T

)'1()1( ZZ T

1 )'()(Z

Menyelidiki sifat limit dari dapat dilihat dari perilaku:

t

tt1

)'1()1( ZZ

t

tt1

1 )'()( eZdan

ReferensiReferensiReferensiReferensi Borovkova, S.A., Lopuhaä, H.P., & Nurani, B., Consistency and Asymptotic

Normality of Least Squares Estimators in Generalized Space-Time Models, Statistica Neerlandica, 62, pp. 482-508, 2008.

Box, G.E.P., Jenkins, G.M. & Reinsel, G., Time Series Analysis, Forecasting and Control 3rd ed Prentice Hall New Jersey 1994Control, 3 ed., Prentice Hall, New Jersey, 1994.

Mukhaiyar, U. Kestasioneran Model Generalized STAR Melalui Metode Invers Matriks Autokovariansi, PhD Dissertation, Mathematics, Institut TeknologiBandung, 2012.

Mukhaiyar, U. Kekonsistenan Lemah Penaksir Kuadrat Terkecil Model Space-Time GSTAR(1;1) Melalui Proses Beda Martingale: Studi Kasus pada Produksi Bulanan Perkebunan Teh di Wilayah Jawa Barat, Magister Thesis, Institut Teknologi Bandung, 2007.Teknologi Bandung, 2007.

Pfeifer, P.E., & Deutsch, S.J., A Three-Stage Iterative Approach for Space-Time Modeling, Technometrics, 22(1), pp. 35-47, 1980.

Ruchjana, B.N. Suatu Model Generalisasi Space-Time Autoregresi dan j p gpenerapannya pada Produksi Minyak Bumi. , PhD Dissertation, Mathematics, Institut Teknologi Bandung, 2002.

Wei, W.W.S., Time Series Analysis: Univariate and Multivariate Methods 2nd. Ed Pearson Addison Wesley Boston 2006Ed., Pearson Addison Wesley, Boston, 2006.

materi 6. space-time, 22.11 - fmipa personal blogs /...

Documents