bab2_2 state space

25

Click here to load reader

Upload: muhammad-irfan

Post on 13-Jun-2015

861 views

Category:

Documents


1 download

TRANSCRIPT

Page 1: Bab2_2 State Space

Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________

Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-29 _____________________________________________________________________________

PEMODELAN STATE SPACE

♦Beberapa Pengertian: ♦♦State:

State suatu sistem dinamik adalah sekumpulan minimum variabel (disebut variabel-variabel state) sedemikian rupa sehingga dengan mengetahui variabel-variabel tsb pada t = t0, bersama sama dengan informasi input untuk t ≥ t0, maka perilaku sistem pada t ≥ t0 dapat ditentukan secara utuh. Pengertian state tidak hanya untuk sistem fisis, tapi juga sistem-sistem lain: biologi, ekonomi, sosial dsb.

♦♦Variabel-variabel State:

Variabel-variabel state suatu sistem dinamik adalah sekumpulan minimum variabel yang menentukan state sistem dinamik tsb. Variabel state tidak harus merupakan besaran yang dapat diukur atau diamati secara fisik (merupakan keunggulan metoda ini). Secara praktis, pilih besaran yang dapat diukur sebagai variabel state ( agar dapat diumpanbalikkan) .

Page 2: Bab2_2 State Space

Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________

Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-30 _____________________________________________________________________________

♦♦Vektor State

Bila dibutuhkan n var state untuk mendeskripsikan secara utuh perlaku suatu sistem, maka n variabel tsb dapat dipandang sebagai n komponen dari suatu vektor x. Suatu vektor state adalah suatu vektor yang menentukan secara unik state sistem x(t) untuk t ƒ t0 bila state pada t = t0

diberikan dan input u(t) pada t ƒ t0 juga diberikan. ♦♦State Space

Merupakan ruang berdimensi n dengan sumbu-sumbu x1, x2, … xn. Setiap state dapat terletak disuatu titik dalam ruang tsb.

♦♦Persamaan State-Space

Perlu 3 jenis variabel dalam analisis: 1. Variabel-variabel input, 2. Variabel-variabel output, 3. Variabel-variabel state. Representasi state space untuk suatu sistem tidak unik, tetapi jumlah variabel state nya adalah sama untuk sistem yang sama.

Page 3: Bab2_2 State Space

Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________

Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-31 _____________________________________________________________________________

♦♦Representasi State Space untuk sistem MIMO:

Input : u1(t), u2(t), …,ur(t)

Output : y1(t), y2(t), . . . , ym(t).

Definisikan n output integrator sebagai variabel state: x1(t), x2(t), . . . , xn(t).

♦Sistem dapat didiskripsikan:

♦Output sistem dapat dinyatakan:

Page 4: Bab2_2 State Space

Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________

Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-32 _____________________________________________________________________________

Bila didefinisikan:

Maka persamaaan state dan persamaan output menjadi:

(Disebut sistem time varying bila fungsi f dan g mengandung variabel t). Bila persamaan state dan output diatas dilinearisasikan disekitar titik operasinya, maka persamaan state dan output linear dapat dituliskan:

Page 5: Bab2_2 State Space

Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________

Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-33 _____________________________________________________________________________

Dengan:

A(t) : Matrix state B(t) : Matrix input C(t) : Matrix output D(t) : Matrix transmisi langsung

Untuk sistem time-invariant:

Diagram Blok nya:

Page 6: Bab2_2 State Space

Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________

Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-34 _____________________________________________________________________________

Contoh:

Sehingga diperoleh:

Atau:

Sehingga Persamaan output: y = x1

Persamaan sistem :

Definisikan variabel state:

Page 7: Bab2_2 State Space

Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________

Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-35 _____________________________________________________________________________

Persamaan state dalam bentuk vektor:

Persamaan output dalam bentuk vektor:

Sehingga:

Blok diagram sistem:

Page 8: Bab2_2 State Space

Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________

Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-36 _____________________________________________________________________________

♦♦ Kaitan antara Fungsi Alih dan Persamaan-Persamaan State Space Fungsi alih suatu sistem :

Representasi State Space sistem tsb:

Bentuk Laplace nya:

(Ambil kondisi mula =0), diperoleh: sX(s) – AX(s) = BU(s) atau: (sI – A)X(s) = BU(s) Diperoleh:

X(s) = (sI – A)-1BU(s)

Page 9: Bab2_2 State Space

Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________

Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-37 _____________________________________________________________________________

Persamaan Output menjadi:

Y(s) =[C(sI – A)-1B + D] U(s) Dengan membandingkan Fungsi alih dan Persamaan Output, diperoleh:

G(s) = C(sI – A)-1B + D atau:

Terlihat bahwa: Eigenvalue A adalah pole-pole G(s).

Page 10: Bab2_2 State Space

Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________

Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-38 _____________________________________________________________________________

Contoh Memperoleh Fungsi Alih dari State Space:

Diperoleh:

Mengingat:

Persamaan State dan Output semula:

Page 11: Bab2_2 State Space

Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________

Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-39 _____________________________________________________________________________

Maka Fungsi Alihnya:

Untuk sistem MIMO:

Maka diperoleh matriks transfer G(s) berdimensi (m x r) melalui persamaan: Y(s) = G(s) U(s)

Page 12: Bab2_2 State Space

Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________

Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-40 _____________________________________________________________________________

Representasi State Space untuk Sistem Dinamis • Suatu sistem dinamik dengan elemen-elemennya bersifat

lumped dinyatakan dalam Persamaan Differential biasa, dengan

waktu merupakan variabel independen.

• Dengan menggunakan notasi matriks vektor, Persamaan

Differential orde-n dapat dinyatakan sebagai Persamaaan

Differential matriks vektor orde pertama.

• Bila n elemen dari vektor tsb adalah kumpulan variabel state,

maka Persamaaan Differential matriks vektor merupakan

Persamaan State.

Page 13: Bab2_2 State Space

Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________

Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-41 _____________________________________________________________________________

♥♥ Sistem orde-n dengan input tak mengandung suku-suku turunan:

Alternatif pemilihan n variabel state: • y*(t), y**(t) , …, y(t) : tak praktis karena memperkuat derau . • Ambil :

Sehingga persamaan differential semula menjadi:

Page 14: Bab2_2 State Space

Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________

Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-42 _____________________________________________________________________________

Atau :

dengan:

dan

Atau :

y = C x dengan

C = [1 0 . . . 0]

Page 15: Bab2_2 State Space

Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________

Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-43 _____________________________________________________________________________

Fungsi Alih sistem:

Diagram blok nya:

Page 16: Bab2_2 State Space

Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________

Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-44 _____________________________________________________________________________

♥♥ Sistem orde-n dengan input tak mengandung suku-suku turunan: Ambil:

Maka : n variabel y*, y**, …, y(n) tak dapat menjadi kumpulan variabel state, mengingat:

dengan x1 = y, dapat menghasilkan solusi tak unik. Salah satu alternatif menentukan variabel-variabel state:

Page 17: Bab2_2 State Space

Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________

Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-45 _____________________________________________________________________________

dengan

(Solusi persamaan state terjamin ada dan unik!) Diperoleh:

Page 18: Bab2_2 State Space

Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________

Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-46 _____________________________________________________________________________

Dalam bentuk matriks vektor:

Atau:

Page 19: Bab2_2 State Space

Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________

Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-47 _____________________________________________________________________________

dengan:

Fungsi Alih nya:

Blok Diagramnya:

Page 20: Bab2_2 State Space

Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________

Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-48 _____________________________________________________________________________

Contoh Sistem Mekanis:

Model matematisnya:

Bentuk Laplace nya:

Dengan mengambil semua kondisi mula = 0, diperoleh :

(Hanya untuk sistem linear, time-invariant).

Page 21: Bab2_2 State Space

Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________

Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-49 _____________________________________________________________________________

Model State Space nya:

Dengan bentuk standard:

Definisikan:

Perhatikan kembali Persamaan:

diperoleh:

Page 22: Bab2_2 State Space

Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________

Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-50 _____________________________________________________________________________

Dengan merujuk lagi persamaan:

Definisikan:

Dari Persamaan:

Diperoleh:

Page 23: Bab2_2 State Space

Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________

Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-51 _____________________________________________________________________________

Persamaan Output:

Page 24: Bab2_2 State Space

Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________

Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-52 _____________________________________________________________________________

Contoh Rangkaian Elektrik:

Page 25: Bab2_2 State Space

Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL-303 : Sistem Kendali _____________________________________________________________________________

Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-53 _____________________________________________________________________________