PEMBUKTIAN MATEMATIS DIBALIKPERISTIWA PELANGI

Ahmad Zulfakar Rahmadi, Wikky Fawwaz Al MakiDepartemen Matematika STKIP Surya

Abstrak

Jurnal ini membahas bagaimana kita melihat matematika sebagai induk dari segalailmu sains melalui kejadian-kejadian yang riil di sekitar. Pelangi, yang sejatinya hanyaterlihat dan jarang ditanggapi secara khusus oleh sebagian orang, disini akan dibuk-tikan melalui suatu pendekatan konsep matematis dalam hal ini turunan. Denganmenghitung sudut datang dan sudut pantul dari refraksi cahaya dan refleksinya, kitadapat menentukan sudut terlihatnya pelangi dari turunan sudut yang ada, dan ke-mudian menghubungkannya dengan hukum snell tentang cahaya. Selain itu, melaluipendekatan geometri dapat dijelaskan alasan dari bentuk kurva pelangi itu sendiri.Penerapan kedua hubungan matematis tersebut diperoleh pemahaman bahwa matem-atika mempunyai banyak aplikasi kehidupan sesuai asumsinya sebagai induk sains.Kata Kunci:Sudut datang dan pantul,Refraksi, Refleksi, Hukum Snell, KurvaPelangi.

1 PENDAHULUAN

Matematika merupakan salah satu ilmuyang mendasari berkembangnya ilmupengetahuan. Namun,kondisi matematisyang abstrak terkadang membuat kita sulitbernalar tentang bagaimana aplikasi nyatadari matematika itu sendiri. Tidak hanyaitu, relasi antara matematika dan ilmulain pun terkadang kurang dikenali baiksecara abstrak maupun fenomena alamyang nyata.

Pelangi, sebagai salah satu fenom-ena alam yang indah dan sering terli-hat serta dikenali khalayak ternyata meny-impan fakta-fakta unik dibalik peristiwaterjadinya. Pada pelangi, dapat dite-mukan model matematika yang alamiahdan tetap dibuktikan dengan logika yangtepat. Dalam pembuktian model matem-atika pelangi, digunakan hubungan an-tara matematika dan fisika yang dalam hal

ini konsep turunan aljabar, geometri, danhukum refleksi dan refraksi Snellius.

Dari berbagai teori yang ditelusurihubungan dan buktinya, akhirnya akandigunakan untuk menjelaskan fakta-faktayang ada dibalik pelangi. Mulai dari be-sar sudut pandang terhadap pelangi, prosesterjadinya warna pada pelangi, hingga pen-jelasan bentuk kurva dari pelangi akan diba-has secara matematis.

2 METODE

Metode yang digunakan dalam penelitianjurnal ini berupa studi literatur yangberhubungan dengan konsep turunan al-jabar dan geometri serta hukum Snelliustentang refraksi cahaya diman setiap konsepmemiliki hubungan khusus mengenai tin-jauan matematis dari pelangi.

1

3 HASIL DAN PEMBA-

HASAN

3.1 Proses Terjadinya Pelangi

Pelangi adalah fenomena alam yang teben-tuk karena cahaya matahari melalui tetesanair yang terpancar atau tersebar di udara.Pada saat sinar menyentuh permukaan airhujan, sinar tersebut akan dibiaskan karenacahaya mengalami perubahan indeks mediadari udara ke air. Ketika sinar dihantarkankembali ke permukaan belakang tetesan air,hampir seluruhnya dibiaskan dan keluardari tetesan air. Hanya beberapa yang di-pantulkan dan saat cahaya tersebut menujukeluar permukaan, setiap warna akan dib-iaskan kembali seperti saat meninggalkantetesan air. Hal itu terjadi pembiasanlangsung dari sumber cahaya ke mediumditeruskan ke air terlalu banyak dan cepat[1]. Pada dasarnya, kita dapat membuk-

Figure 1: Pembiasan pelangi

tikannya dengan perhitungan ketika:

sin(α) = k.sin(β)

dimana α dan β adalah sudut datangsinar dan bias, dan k adalah rasio darikecepatan perubahan medium sumber kemedium penerima.

3.2 Hukum Pemantulan

Pemantulan sinar adalah peristiwa ter-jadinya perubahan arah rambat cahaya kesisi yang berbeda. Dengan kata lain,

sudutdatang = sudutpantul

Hal yang menarik dan harus dicatatbahwa pembiasan dan pemantulan meru-pakan manifestasi dari satu hukum yangdisebut Fermat’s Principle, yang meny-atakan cahaya mencapai yang sampai kemata telah diteruskan jauh dari sumbernya[2].

Figure 2: Refleksi cahaya

Seperti saat kita melihat tangan kita dikaca atau permukaan air, bayangan yangterlihat diambil dari pembiasan ke mata.

3.3 Sudut Putar dari Pelangi

Sekarang kita dapat menghitunghubungan matematis untuk beberapa faktaumum dari cahaya,mari kembali padamodel gambar tetesan air hujan.Untukmembuat hal ini menjadi simpel, kitaasumsikan bahwa air hujan ”is perfectlyspherical”,dan hal tersebut memiliki senseuntuk dillihat secara dua dimensi.

Jika sinar datang menuju tetes airdengan sudut datang α, dipantulkan olehpermukaan belakang dari tetes air,dandibiaskan kembali meninggalkan mediumtersebut. Jadi berapa sudut putar daricahaya saat keluar dari medium tersebut?

Diketahui α adalah sudut datang danβ adalah sudut bias, dimana berhubungandengan hukum Snell. Saat cahaya melaluibagian terjauh dari medium(dalam hal initetesan air), selanjutnya akan dipindahkanjauh ke dasar dari garis segitiga sama kakiyang merupakan sisi dari perpanjangan ke-dua garis radian medium hujan. Setelah

2

Figure 3: Sudut balik pelangi

direfleksikan ke bagian dalam dari medium,sinar akan dibawa kembali melalui tetesanair dan saling melengkapi bagian yang lain,segitiga sama kaki.

Seperti yang ditampilkan pada gam-bar, sudut bias untuk sinar yang mening-galkan medium dikenali sebagai β.Kembalipada hal awal yang telah kita catat, ca-haya dibawa dari air ke udara dengan sudutdatang β akan memiliki sudut bias α.

Kita misalkan T (α) adalah sudutputar atau balik yang terbentuk jika kitateruskan perpanjangan sinar datang(seolah-olah tidak dibiaskan),besarnya adalah jum-lah total sudut yang terbentuk dari sinaryang kembali ke medium air hujan, berben-tuk searah jarum jam dari garis lurus.Sudut datang α yang terbentuk antara garismedium,sinar bias, dan perpanjangan sinarmemiliki besar yang sama dengan sudutbias β, sehingga sudut pada perpotongansinar bias besarnya sama dengan 2β dansudut yang melakukan pemantulan kem-bali terhadap sinar besarnya dapat diny-atakan sebagai 180◦−2β (lihat pada Fig.4 ).Cahaya yang memasuki medium air dikem-balikan oleh α-β (mengapa)? seperti saatcahaya meninggalkan medium. Pemantu-lan dikarenakan oleh sudut 180◦ − 2β. Dariargumen tersebut, maka T (α) dapat diny-atakan sebagai jumlah seluruh sudut yangterbentuk pada sinar datang dan sinar bias.

Figure 4: sudut bias pelangi

Maka:

(1)

T (α) = (α− β) + (180 − 2β) + (α− β)(2)

= 180◦ + 2α− 4β(3)

Jadi,sinar memasuki tetesan air hujandengan sudut α akan dikembalikan arahnyaoleh sudut 180 + 2α − 4β yang kemudianhasil ini dapat kita tentukan sudut pelangiθ = 180◦ − T (α).

3.4 Warna dari Pelangi

Sejauh ini, kita telah dijelaskan proses ter-jadinya pelangi, pembiasan cahayanya danbagaimana proses masuknya cahaya ke tete-sen air hujan hingga terjadi pembiasanserta aplikasi dari hukum Snell. Namunkita belum menjelaskan sedikit pun tentangapa yang membuat pelangi berwarna.Tabelberikut menampilkan panjang gelombangdari warna-warna pelangi dimana hal terse-but nantinya akan menjelaskan tentang ben-tuk dari pelangi itu sendiri(akan dibahas disubbab lain).

Sinar matahari sebenarnya terdiri daribanyak warna. Meskipun,ketika semuawarna terkombinasi bersama, yang kita li-hat hanyalah cahaya putih. Saat mata-hari muncul, sinar matahari akan menerpatetesan air hujan. Hal tersebut akan dibi-askan, denagan panjang gelombang refraksiberbeda untuk sudut yang berbeda pula,

3

dan warna-warna yang menarik akan tam-pak. Warna dari pelangi lapis pertama ataupelangi primer selalu diikuti warna yangberbeda dan berurutan: merah,jingga, kun-ing, hijau, biru, nila, dan ungu.

Figure 5: Pembiasan warna pelangi

Efek tersebut terjadi ketika cahaya putihdibiaskan,setiap komponen warna akan di-belokkan oleh bagian lain seperti saatmelewati medium transparan ke mediumlainnya. Dispersi ini disebabkan prismamedium memproduksi spektrum warna daricahaya putih. Pada kasus tetesan air,cahaya ungu akan dibiaskan melalui sisidan sudut yang lebih baik dari cahayamerah. Hal itu menyebabkan cahaya ungudi pelangi primer selalu terlihat dibawahcahaya merah(setelah merah).Sisa cahayaselain merah dan ungu adalah warnapalsu,atau hanya berupa efek dari keduawarna tersebut. Dari penjelasan pada sub-bab sebelumnya, kita mendapatkan gam-baran umum tipe warna pelangi bahwa ca-haya biru dan ungu dibiaskan lebih dari-pada cahaya merah. Pembiasan terse-but tergantung pada indeks pembiasan dariair hujan, dan perhitungannya dapat men-galami keselahan dalam ketelitian karenaperbedaaan panjang gelombang antara ca-haya ”merah” dan ”ungu” yang tidak tentupula [3].

Catatan:Ketika hujan, terdapat banyaktetesan air hujan turun dari langit. Setiaptetesan hujan dapat membentuk ”hanyasatu” warna yang mata kita bisa lihat.Letaksetiap warna tersebut direfleksikan terhadapbagian belakang air hujan dan menuju mata

No. Warna Pelangi Panjang Spektrum1. Merah 620 - 750nm2. Jingga 590 - 620nm3. Kuning 570 - 590nm4. Hijau 495 - 570nm5. Biru 450 - 495nm6. Nila ......7. Ungu 380 - 450nm

selalu pada sudut yang terukur dari garisantara mata dan matahari. Sudutnya berk-isar 42 ◦ terukur dari puncak dari gelom-bang cahaya merah dan 40 ◦ ke bawah daricahaya ungu.

Figure 6: Warna dasar pelangi

3.5 Pembentukan Pelangi Per-tama dan Sudut PandangPelangi

Seperti yang kita ketahui bersama, pelangipertama terbentuk dengan sudut kuranglebih 42 derajat. Bagaimana pembuktian-nya? Sekarang kita akan membuktikanbagaimana menentukan sudut pengamatterhadap pelangi dengan beberapa teori.Dalam kasus ini, kita tidak hanya menggu-nakan hukum Snell, tetapi juga hukum ca-haya, turunan aljabar,trigonometri , dan ge-ometri. Pada turunan aljabar menggunakanpersamaan dibawah ini untuk menentukanpersamaan turunannya:

f ′(x) = limx→h

f(x+ h) − f(x)

h(4)

Dalam hal ini kita gunakan beberapaistilah di antaranya:α= sudut datangβ= sudut bias

4

Figure 7: sudut bias pelangi

k=perbandingan indeks bias dari duamedium yang berbeda.Sekarang kita akan menghitung tingkatperubahan pada sudut balik T (α) ter-hadap α. Dengan kata lain ,kita akanmenyatakannya dalam bentuk dT

dα. Setelah

selesai ,kita masukkan α ke persamaantadi,sehingga dT (α)

dαsama dengan nol. Perlu

diingat bahwa seluruh persamaan ini untukmenghitung konsentrasi cahaya di sudut 42◦.Turunkan kedua sisi persamaan:

T (α) = 180◦ + 2α− 4β (5)

dengan α

dT (α)

dα= 2 − 4

dβ

dα(6)

Namun bagaimana dengan dβdα

? Kita dapatmenurunkan kedua ruas dari hukum refraksiSnell:

sin(α) = ksin(β) (7)

dari persamaan hukum Snell di atas, dida-patkan

cos(α) = kcos(β)dβ

dα(8)

Perlu diingat,turunan fungsi diatas digu-nakan untuk menentukan persamaan lnearfungsi utama.Yaitu,

T (α) ≈ T (α0) + T ′(α0)(α− α0) (9)

T(α) ditaksir memiliki nilai yang hampir

sama karena diketahui α − α0 bernilai san-gat kecil sehingga tidak berpengaruh ter-hadap perubahan nilai sudut. Jika kita da-pat menemukan nilai α0 dimana T ′=0, ke-mudian T (α) ≈ T (α0) untuk setiap nilaiα mendekati nilai α0.Hal tersebut berartiberlaku untuk setiap sinar yang masuk den-gan sudut datang mendekati nilai dimanaT ′ = 0 akan dikembalikan sesuai denganhukum persamaan yang sama.Sekarang, mari tentukan nilai α0. Misalkan,

0 =dT

dα= 2 − 4cos(α0)

kcos(β0)(10)

Dari persamaan diatas, diperoleh per-samaan berikut

k2cos2(β0) = 4cos2(α0) (11)

k2(1 − sin2(β0)) = 4(1 − sin2(α0)) (12)

Substitusikan,

sin(α0) = ksin(β0) (13)

sin2(α0) = k2sin2(β0) (14)

Sehingga diperoleh:

k2 − sin2α0 = 4(1 − sin2α0) (15)

Dari persamaan-persamaan diatas, kita per-oleh rumus sudut datang dan bias

sin2(α0) =1

3(4 − k2) (16)

α0 = arcsin

(√1

3(4 − k2)

)(17)

Kemudian dari persamaan Snellius kita da-patkan

sinα0 = ksinβ0 (18)

β0 = arcsin

(sinα0

k

)(19)

Pada pembentukan pelangi pertama,akan dicari sudut pelangi untuk warnamerah. Diketahui indeks bias warna merah(k) = 1, 33. Substitusikan nilai k ke

5

persamaan berikut:

α0 = sin−1

(√1

3(4 − k2)

)(20)

Sehingga didapat α0= 59.470343460◦

β0 = sin−1

(sinα0

k

)(21)

dan diperoleh β0=40.292203370◦

Substitusikan nilai α0dan β0 ke persamaanT (α) = 180◦ + 2α− 4β.Sehingga diperoleh T (α) ≈ 138◦

Jadi, besar sudut pada pembentukanpelangi pertama atau pelangi dengan warnamerah adalah

180◦ − T (α) = 180◦ − 138◦ = 42◦ (22)

Catatan:Perhitungan diatas mengalamipembulatan yang dianggap perlu, sehinggasudut pelangi pertama ≈ 42◦ dan nilai terse-but diukur dari warna merah sebagai pun-cak pelangi.

3.6 Pelangi Kedua(Sekunder)

Pelangi sekunder trdiri dari cahaya yangkeluar dari pemantulan internal di medium.Dengan setiap pantulan dari beberapa sinarhilang, dimana hal tersebut menjadi alasanutama pelangi kedua ini lebih berwarna daripada pelangi pertama(merah). Theodoricdan Descrate menjelaskan bahwa dari di-reksi panjang dengan daerah hasil sudutyang berkorespondensi ke pelangi denganhanya satu warna pada saat terlihat dilan-git.Ketika pandangan mata berpindah ketempat lain dan menciptakan sudut pan-dangan yang lain, spektrum warna lainmulai bermunculan,satu demi satu.Ia jugamenjelaskan bahwa setiap warna yang terli-hat oleh mata berasal dari tetesan air yanglain [4].

Seperti yang dijelaskan oleh Descrate,setiap fitur utama dari pelangi akan di-mengerti melalui sebuah pertimbangan

bahwa cahaya melewati tetes air yang singu-lar. Prinsip dasar telah menentukan pelangialami yang dimana terjadi interaksi cahayadengan medium transparan,dan dinamakanrefleksi dan refraksi.

Figure 8: Pelangi sekunder

Selain itu, ada satu fakta unik lagi ten-tang kemunculan pelangi selain pelangiprimer. Fakta unik tersebut adalah kemu-ngkinannya terbentuk pelangi yang tidakkasat mata. Kemunculan pelangi tersebuttak lepas dari peran radiasi dan gelombangserta atom yang berhubungan. Pelangitersebut diproduksi dari peristiwa peng-hamburan inti atom di udara. [5]

3.7 Interpretasi BentukPelangi

Bila kita membahas pelangi, ada satu halyang menarik tentang bentuk pelangi itusendiri. Fakta unik tersebut terletak padabentuknya yang selalu menyerupai kurvaparabola, dan lingkaran.Apa yang menyebabkan bentuk tersebut?

Penjelasannya kita dapatkan dari per-samaan sudut-sudut pada pelangi,dimanasudut pembiasaan(β) masing-masinggelombang warna bersifat tetap,sehinggadari tiap warna akan membentuk lintasan-lintasan cahaya yang ketika disatukanbentuknya menyerupai sebuah parabolaatau lingkaran. Pada tabel panjang gelom-bang warna pelangi sebelumnya,setiapwarna memiliki interval panjang yang

6

berbeda. Selain itu,bila dilihat dari Fig.9,grafik tersebut menunjukkan bagaimana se-tiap sudut dari pembiasan dan pemantulansinar memiliki frekuensi berbeda terhadapwarna dan panjangnya, sehingga mem-bentuk kurva. Selain itu, kecenderungan

Figure 9: Grafik pelangi

mata manusia pada saat memandang objektertentu bersifat konvergen (menyebar) se-hingga efek yang ditimbulkan dari refraksicahaya ke mata memberikan kesan lebihterhadap bentuk pelangi itu sendiri.

4 SIMPULAN

Dari paparan di atas mengenai peris-tiwa pelangi,dapat ditarik kesimpulan seba-gai berikut.Pelangi adalah gejala optik dan meteorologiyang terjadi sacara alamiah dalam atmos-fir bumi serta melibatkan cahaya matahari,pengamat dan tetesan air hujan. Kejadianpelangi juga dapat dihubungkan dengankonsep matematis yang ada,mulai dari tu-runan aljabar, Trigonometri, geometri dankurva.Di dalam tetesan air hujan, cahaya mata-hari mengalami proses pembiasan, peman-tulan, dan dispersi cahaya. Cahaya tersebutmerupakan gelombang warna yang mem-bentuk spektrum cahaya dan membentukpelangi pertama.Kita dapat mengkontruksi model matem-atika proses terjadinya pelangi pertama.Model yang pertama ialah T (α) sebagaijumlah total sudut dan θ merupakan sudutpelangi. Model kedua ialah yang kita kenal

sebagai sudut deviasi.Selanjutnya kita dapat menentukan duapersamaan pelangi, pertama yang meru-pakan sudut datang sinar matahari (α).Model yang terakhir adalah persamaan βyang merupakan sudut bias dari pelangi.Kita harus memiliki sudut pelangi sebesar42◦ serta posisi matahari terletak dalamsatu axis dengan posisi matahari berada dibelakang pengamat.Bentuk pelangi adalah lingkaran karenadisebabkan oleh sudut pembiasan masing-masing gelombang warna tetap dan sifatkonvergen (menyebar) saat mata manusiamemandang sebuah objek.

Daftar Pustaka

[1] Thao Dang: The Theory of Rainbow,Vol. 0, No. 0,pp. 01,2006.

[2] Rachel W. Hall and Nigel Higson: TheCakculus of Rainbows, Vol. 0, No.0,pp.02–03,1998.

[3] John A. Adam: The MathematicalPhysics of Rainbows and Glories, vol.0, No.356,pp.07, 2001.

[4] Raymond L. Lee, Jr: Mie theory, Airytheory, and the natural rainbow, 1998.

[5] H. Moyses Nusseinveg: The The-ory of The Rainbow, Vol. 0, No.0,pp.007,1997.

7