pembahasan soal osn guru matematika sma 2013 tingkat kabupaten kota

z

Pembahasan Soal

OSN Guru 2013 OLIMPIADE SAINS NASIONAL KHUSUS GURU MATEMATIKA SMA

OSN Guru Matematika SMA (Olimpiade Sains Nasional Tingkat Kabupaten/Kota)

Disusun oleh:

Pak Anang

Halaman 2 dari 12

Pembahasan Soal Olimpiade Guru Matematika SMA 2013 by http://pak-anang.blogspot.com

PEMBAHASAN SOAL

OLIMPIADE GURU MATEMATIKA SMA

TINGKAT KABUPATEN/KOTA JUNI 2013

By Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

1. Seorang guru Matematika kelas XII sedang merencanakan pembelajaran materi panjang proyeksi vektor ortogonal. Agar siswa dapat memahami pentingnya materi tersebut, guru itu memikirkan bagaimana lintasan belajarnya. Tuliskan lintasan belajar (urutan proses pembelajaran) sebelum menurunkan panjang proyeksi vektor ortogonal. Pembahasan: Lintasan belajar menurunkan panjang proyeksi vektor ortogonal: (1) Mengingatkan kembali panjang proyeksi vektor ortogonal adalah tentang perbandingan

trigonometri dan berkaitan dengan sudut antara dua vektor yang sudah terlebih dahulu dibahas di bab sebelumnya.

(2) Menggambar dua vektor, misalnya, �⃗� = 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗ dan 𝑣 = 𝑃𝑅⃗⃗⃗⃗ ⃗, untuk menentukan panjang proyeksi vektor ortogonal dari �⃗� pada 𝑣 .

(3) Mendiskusikan bagaimana menentukan proyeksi vektor ortogonal adalah dengan menentukan proyeksi sebuah titik pada vektor adalah menentukan proyeksi titik 𝑄 pada vektor 𝑣 , yaitu titik 𝑆, dengan menarik garis yang melalui 𝑄 dan tegak lurus 𝑣 sehingga akan berpotongan di S.

(4) Menghubungkan konsep sudut antara dua vektor, cos 𝜃 =�⃗� ∙�⃗�

|�⃗� ||�⃗� |, dan mengingatkan

kembali bahwa cos 𝜃 juga merupakan perbandingan sisi segitiga siku-siku 𝑃𝑆𝑄, yang merupakan cikal bakal untuk menentukan panjang proyeksi vektor ortogonal, yaitu

panjang ruas garis 𝑃𝑆⃗⃗ ⃗⃗ .

𝑣

𝑄

𝑃 𝑅 𝑆

�⃗�

𝑝𝑟𝑜𝑦 �⃗� 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑣

𝑣

𝑄

𝑃 𝑅

�⃗�

http://pak-anang.blogspot.com/


Halaman 3 dari 12


2. Untuk mencapai tujuan pembelajaran ”Siswa dapat menentukan suku ke-n suatu barisan aritmetika”, pak Amin menyusun sebuah bahan ajar (LKS) dengan menggunakan pembelajaran teori konstruktivime. Tuliskan langkah-langkah untuk menentukan suku ke-n dengan bahan ajar tersebut. Pembahasan:

LEMBAR KERJA SISWA Tujuan : Siswa dapat menentukan suku ke-n suatu barisan aritmetika. Prasyarat : Siswa mempunyai kompetensi barisan bilangan. Siswa mempunyai kompetensi penyelesaian persamaan linear dua variabel. Barisan Aritmetika Perhatikan barisan bilangan di bawah ini, dan tentukan 3 suku berikutnya: (a) 2, 4, 6, 8, ......, ......, ...... (b) 65, 60, 55, 50, ......, ....., ......

(c) √3, 2√3, 3√3, 4√3, ......, ......, ......

Untuk barisan bilangan (a) 𝑈2 − 𝑈1 = ....... 𝑈3 − 𝑈2 = ....... 𝑈4 − 𝑈3 = ....... Apabila selisih dari dua suku yang berdekatan ini selalu tetap atau bernilai sama, maka selisih tetap ini disebut dengan beda barisan bilangan. Pada barisan bilangan (a) beda = ...... Pada barisan bilangan (b) beda = ...... Pada barisan bilangan (c) beda = ...... Definisi Barisan Aritmetika Barisan bilangan 𝑈1, 𝑈2, 𝑈3, 𝑈4, … , 𝑈𝑛 disebut barisan aritmetika jika 𝑈2 − 𝑈1 = 𝑈3 − 𝑈2 = 𝑈4 − 𝑈3 = .............= 𝑈𝑛 − 𝑈𝑛−1 = bilangan tetap 𝑏. Bilangan tetap 𝑏 disebut beda dari barisan aritmetika. Berikut ini kalian akan menurunkan rumus suku ke-n, 𝑈𝑛 adalah barisan aritmetika. Misalkan 𝑈1, 𝑈2, 𝑈3, 𝑈4, … , 𝑈𝑛 adalah barisan aritmetika dengan beda 𝑏, maka: 𝑈1 = 𝑎 𝑈2 − 𝑈1 = 𝑏 ⇒ 𝑈2 = 𝑈1 + 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 𝑈3 − 𝑈2 = 𝑏 ⇒ 𝑈3 = 𝑈2 + 𝑏 = ...... + ...... + ...... = .......... 𝑈3 − 𝑈2 = 𝑏 ⇒ 𝑈3 = ...... + 𝑏 = ...... + ...... + ...... = .......... Coba kalian amati 𝑈1, 𝑈2, 𝑈3, dan 𝑈4, bagaimana pola 𝑈2, 𝑈3, 𝑈4 jika dibandingkan dengan 𝑈1. Dengan demikian untuk suku ke-n, 𝑈𝑛 = ...... + ...... = ..........

Rumus suku ke-n barisan aritmetika adalah 𝑈𝑛 = .......... + ...............


Halaman 4 dari 12


3. Pada suatu tes salah satu soalnya adalah sebagai berikut:

”Bentuk √3 + √13 + 4√3 dapat disederhanakan menjadi 𝑎 + √𝑏 bentuk dimana 𝑎 dan 𝑏

masing-masing merupakan bilangan bulat. Nilai 𝑎 + 𝑏 adalah ....” Skor total untuk jawaban tersebut adalah 6. Berdasarkan soal di atas tuliskan pedoman penskorannya! Pembahasan:

√3 + √13 + 4√3 = √3 + √13 + 2√12 .……………………………….(1)

= √3 + √(12 + 1) + 2√(12 × 1)

= √3 + √12 + √1 . .…………………………………..(1)

= √4 + √12 . .…………………………………………..(1)

= √4 + 2√3 . .…………………………………………..(1)

= √(3 + 1) + 2√(3 × 1)

= √3 + √1 .……………………………………………….(1)

= √3 + 1 .………………………………..……………….(1)

Pedoman penskoran:

1. Mengubah bentuk akar 4√3 menjadi 2√12. (1 poin)

2. Menyederhanakan bentuk √13 + 2√12 menjadi √12 + √1. (1 poin)

3. Menjumlahkan 3 + √1 menjadi 4. (1 poin)

4. Mengubah bentuk akar √12 menjadi 2√3(1 poin)

5. Menyederhanakan bentuk √4 + 2√3 menjadi √3 + √1. (1 poin)

6. Mengubah bentuk √3 + √1 menjadi bentuk sederhana √3 + 1. (1 poin)

Total skor maksimal: 6 poin.


Halaman 5 dari 12


4. Nilai dari 1

1+

1

1 + 2+

1

1 + 2 + 3+

1

1 + 2 + 3 + 4+ … +

1

1 + 2 + 3 + 4 + … + 2013

adalah .... Pembahasan: Bentuk tersebut bisa dituliskan menjadi:

∑1

𝑛(𝑛 + 1)2

2013

𝑖=1

= ∑2

𝑛(𝑛 + 1)

2013

𝑖=1

Perhatikan bentuk 2

𝑛(𝑛+1) bisa dijabarkan menggunakan pecahan parsial menjadi:

2

𝑛(𝑛 + 1)=

𝐴

𝑛+

𝐵

(𝑛 + 1)

⇒2

𝑛(𝑛 + 1)=

𝐴(𝑛 + 1) + 𝐵𝑛

𝑛(𝑛 + 1)

⇔2

𝑛(𝑛 + 1)=

(𝐴 + 𝐵)𝑛 + 𝐴

𝑛(𝑛 + 1)

Dengan kesamaan aljabar diperoleh:

𝐴 = 2 dan 𝐴 + 𝐵 = 0 ⇒ 𝐵 = −2 Sehingga,

2

𝑛(𝑛 + 1)=

2

𝑛−

2

(𝑛 + 1)= 2 (

1

𝑛−

1

(𝑛 + 1))

Jadi,

∑2

𝑛(𝑛 + 1)

2013

𝑖=1

= ∑ 2(1

𝑛−

1

(𝑛 + 1))

2013

𝑖=1

= 2 ∙ ∑ (1

𝑛−

1

(𝑛 + 1))

2013

𝑖=1

= 2 ∙ [(1

1−

1

2) + (

1

2−

1

3) + (

1

3−

1

4) + … + (

1

2012−

1

2013) + (

1

2013−

1

2014)]

= 2 ∙ (1

1−

1

2014)

= 2 ∙ (2013

2014)

=4026

2014

Jadi, 1

1+

1

1 + 2+

1

1 + 2 + 3+

1

1 + 2 + 3 + 4+ … +

1

1 + 2 + 3 + 4 + … + 2013=

4026

2014


Halaman 6 dari 12


5. Panjang sisi-sisi suatu segitiga siku-siku adalah bilangan asli. Jika panjang salah satu sisi dari dua sisi yang saling tegak lurus adalah 8, maka luas terbesar yang mungkin dari segitiga tersebut adalah .... Pembahasan:

Perhatikan sketsa segitiga siku-siku di samping! Pada segitiga siku-siku berlaku: 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 𝑎 + 𝑏 > 𝑐 𝑐 > 𝑎 dan 𝑐 > 𝑏

Panjang salah satu sisi tegak lurus ∆𝐴𝐵𝐶 adalah 8. Misal 𝑎 = 8, maka pada segitiga berlaku:

𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 ⇒ (𝑐2 − 𝑏2) = 64 dan 𝑎 + 𝑏 > 𝑐 ⇒ (𝑐 − 𝑏) < 8𝑐 > 𝑏 ⇒ (𝑐 − 𝑏) > 0

} 0 < (𝑐 − 𝑏) < 8

Akibatnya 0 < (𝑐 − 𝑏) < 8 ⇒ 0 < (𝑐 − 𝑏)(𝑐 + 𝑏) < 8(𝑐 + 𝑏)

⇔ 0 < 𝑐2 − 𝑏2 < 8(𝑐 + 𝑏)

⇔ 0 < 64 < 8(𝑐 + 𝑏)

⇔ 0 < 8 < (𝑐 + 𝑏)

Sehingga diperoleh (𝑐 + 𝑏) > 8 Dari (𝑐 + 𝑏) > 8 dan (𝑐 − 𝑏) < 8 dan (𝑐 + 𝑏)(𝑐 − 𝑏) = 64, Jadi, diperoleh kesimpulan bahwa (𝑐 + 𝑏) dan (𝑐 − 𝑏) faktor dari 64. Sehingga kemungkinan nilai (𝑐 + 𝑏) dan (𝑐 − 𝑏) adalah sebagai berikut:

No (𝒄 + 𝒃) (𝒄 − 𝒃) (𝒄 + 𝒃)(𝒄 − 𝒃) Keterangan

(1) 64 1 64 Memenuhi



(4) 8 8 64 Tidak memenuhi

Dari (1) diperoleh:

𝑐 + 𝑏 = 64𝑐 − 𝑏 = 1

2𝑐 = 65

𝑐 =65

2

Karena 𝑐 bukan bilangan asli, maka kombinasi nilai (𝑐 + 𝑏) dan (𝑐 − 𝑏) ini tidak memenuhi.

Dari (2) diperoleh: 𝑐 + 𝑏 = 32𝑐 − 𝑏 = 2

2𝑐 = 34𝑐 = 17 ⇒ 17 + 𝑏 = 32

⇒ 𝑏 = 15

Jadi luas segitiga 𝐴𝐵𝐶 adalah:

𝐿∆𝐴𝐵𝐶 =1

2𝑎𝑏

=1

2∙ 8 ∙ 15

= 60

Dari (3) diperoleh: 𝑐 + 𝑏 = 16𝑐 − 𝑏 = 4

2𝑐 = 20𝑐 = 10 ⇒ 10 + 𝑏 = 16

⇒ 𝑏 = 6

Jadi luas segitiga 𝐴𝐵𝐶 adalah:

𝐿∆𝐴𝐵𝐶 =1

2𝑎𝑏

=1

2∙ 8 ∙ 6

= 24

B

A C

𝑐 𝑎

𝑏

Jadi jelas bahwa luas maksimum segitiga tersebut adalah 60.


Halaman 7 dari 12


6. Diberikan 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 4. Misalkan 𝑥 dan 𝑦 adalah bilangan-bilangan real positif yang memenuhi 𝑓(𝑥𝑦) + 𝑓(𝑦 − 𝑥) = 𝑓(𝑦 + 𝑥). Nilai minimum dari 𝑥 + 𝑦 adalah .... Pembahasan: 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 4, sehingga diperoleh

𝑓(𝑥𝑦) + 𝑓(𝑦 − 𝑥) = 𝑓(𝑦 + 𝑥)

⇒ (𝑥𝑦)2 + 4 + (𝑦 − 𝑥)2 + 4 = (𝑦 + 𝑥)2 + 4

⇔ 𝑥2𝑦2 + 4 + 𝑦2 − 2𝑥𝑦 + 𝑥2 + 4 = 𝑦2 + 2𝑥𝑦 + 𝑥2 + 4

⇔ 𝑥2𝑦2 + 4 − 2𝑥𝑦 = 2𝑥𝑦

⇔ 𝑥2𝑦2 − 4𝑥𝑦 + 4 = 0

⇔ (𝑥𝑦)2 − 4𝑥𝑦 + 4 = 0

⇔ (𝑥𝑦 − 2)2 = 0⇔ 𝑥𝑦 − 2 = 0⇔ 𝑥𝑦 = 2

Ingat untuk sebarang bilangan-bilangan real positif 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 berlaku:

𝐴𝑀 ≥ 𝐺𝑀 ≥ 𝐻𝑀 dengan,

𝐴𝑀 =𝑥1 + 𝑥2 + … + 𝑥𝑛

𝑛; 𝐺𝑀 = √𝑥1 ∙ 𝑥2 ∙ … ∙ 𝑥𝑛

𝑛 ; 𝐻𝑀 =𝑛

1𝑥1

+1𝑥2

+ … +1𝑥𝑛

Dari teorema AM-GM dan 𝑥𝑦 = 2 diperoleh:

𝐴𝑀 ≥ 𝐺𝑀

⇒𝑥 + 𝑦

2≥ √𝑥𝑦

⇔ 𝑥 + 𝑦 ≥ 2√𝑥𝑦

⇔ 𝑥 + 𝑦 ≥ 2√2

Jadi, dengan mudah diperoleh nilai minimum dari 𝑥 + 𝑦 adalah 2√2.


Halaman 8 dari 12


7. Diberikan lim𝑥→∞

(1 +1

𝑥)𝑥

= 𝑒 dan berlaku sifat lim𝑥→𝑐

(𝑓(𝑥))𝑘

= (lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥))𝑘.

Nilai dari lim𝑥→0

(3𝑥 + 1

𝑥 + 1)

2𝑥+23𝑥

adalah ….

Pembahasan:

lim𝑥→0

(3𝑥 + 1

𝑥 + 1)

2𝑥+23𝑥

= lim𝑥→0

((𝑥 + 1) + 2𝑥

𝑥 + 1)

2𝑥+23𝑥

= lim𝑥→0

(𝑥 + 1

𝑥 + 1+

2𝑥

𝑥 + 1)

2𝑥+23𝑥

= lim𝑥→0

(1 +2𝑥

𝑥 + 1)

43(𝑥+12𝑥

)

= lim𝑥→0

(1 +2𝑥

𝑥 + 1)

43(

12𝑥𝑥+1

)

Tinjau nilai 2𝑥

𝑥 + 1 untuk 𝑥 → 0, maka

2𝑥

𝑥 + 1→ 0.

Sehingga, misal 𝑦 =2𝑥

𝑥 + 1, maka 𝑦 → 0

Sehingga,

lim𝑥→0

(3𝑥 + 1

𝑥 + 1)

2𝑥+23𝑥

= lim𝑥→0

(1 +2𝑥

𝑥 + 1)

43(

12𝑥𝑥+1

)

= lim2𝑥𝑥+1

→0

(1 +2𝑥

𝑥 + 1)

43(

12𝑥𝑥+1

)

= lim𝑦→0

(1 + 𝑦)43(1𝑦)

= lim𝑦→0

((1 + 𝑦)1𝑦)

43

= (lim𝑦→0

(1 + 𝑦)1𝑦)

43

(Ingat lim𝑥→∞

(1 +1

𝑥)𝑥

= lim𝑥→0

(1 + 𝑥)1𝑥 = 𝑒)

= 𝑒43

Jadi nilai dari lim𝑥→0

(3𝑥 + 1

𝑥 + 1)

2𝑥+23𝑥

adalah 𝑒43 .


Halaman 9 dari 12


8. Untuk menghabiskan sebungkus kacang secara bersama-sama, Aang dan Katara memerlukan waktu 15 menit. Sedangkan Katara dan Saka memerlukan waktu 12 menit. Adapun Aang dan Saka memerlukan waktu 20 menit. Banyak kacang yang dihabiskan oleh

Saka dalam waktu 5

2 jam adalah .... bungkus.

Pembahasan: Misal 𝑣 adalah kecepatan makan kacang dengan satuan bungkus per menit. 𝑡 adalah waktu yang dibutuhkan dan 𝑛 menyatakan jumlah bungkus kacang yang dihabiskan, maka hubungan antara 𝑣, 𝑡, dan 𝑛 bisa dinyatakan dalam persamaan:

𝑣 =𝑛

𝑡⇒ 𝑣𝑡 = 𝑛

Aang dan Katara memerlukan waktu 15 menit untuk menghabiskan sebungkus kacang, bisa ditulis dalam model matematika sebagai berikut:

(𝑣𝐴 + 𝑣𝐾)15′ = 1 Katara dan Saka memerlukan waktu 12 menit untuk menghabiskan sebungkus kacang, bisa ditulis dalam model matematika sebagai berikut:

(𝑣𝐾 + 𝑣𝑆)12′ = 1 Aang dan Saka memerlukan waktu 15 menit untuk menghabiskan sebungkus kacang, bisa ditulis dalam model matematika sebagai berikut:

(𝑣𝐴 + 𝑣𝑆)20′ = 1

Ketiga persamaan membentuk sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) yaitu: (𝑣𝐴 + 𝑣𝐾)15′ = 1 ⇒ 15′𝑣𝐴 + 15′𝑣𝐾 = 1(𝑣𝐾 + 𝑣𝑆)12′ = 1 ⇒ 12′𝑣𝐾 + 12′𝑣𝑆 = 1(𝑣𝐴 + 𝑣𝑆)20′ = 1 ⇒ 20′𝑣𝐴 + 20′𝑣𝑆 = 1

} ⇒ (15′ 15′ 00 12′ 12′

20′ 0 20′)(

𝑣𝐴

𝑣𝐾

𝑣𝑆

) = (111)

Dengan menggunakan metode Crammer (determinan matriks) untuk menyelesaian SPLTV tersebut sehingga dapat diperoleh kecepatan makan si Saka tiap menit sebagai berikut:

𝑣𝑆 =

|15 15 10 12 120 0 1

|

|15 15 00 12 1220 0 20

|

=240

7200=

1

30

Sehingga jumlah kacang yang dihabiskan oleh Saka dalam waktu 5

2 jam adalah:

𝑛 = 𝑣𝑆 ∙ 𝑡 =1

30∙5

2(60′) =

60

12= 5 bungkus

Jadi, dalam waktu 5

2 jam, Saka akan menghabiskan 5 bungkus kacang.


Halaman 10 dari 12


9. Jika 20° = 𝑝, maka nilai sin 75°

sin 75° tan 10° + cos 75°−

1

cot 10° + tan75° adalah ….

(Nyatakan dalam 𝑝) Pembahasan: Ingat! Bentuk 𝑎 sin 𝑥 + 𝑏 cos 𝑥 = 𝑘 cos(𝑥 − 𝜃) dengan, 𝑘 = √𝑎2 + 𝑏2 dan tan 𝜃 =

𝑎

𝑏

Perhatikan bentuk sin 75° tan 10° + cos 75° bisa diubah menjadi 𝑘 cos(𝑥 − 𝜃),

dengan, 𝑘 = √𝑎2 + 𝑏2 = √tan2 10° + 1 = √sec2 10° = sec 10°

dan tan 𝜃 =tan 10°

1⇒ 𝜃 = 10°

Sehingga, sin 75° tan 10° + cos 75° = sec 10° cos(75° − 10°) = sec 10° cos 65°

sin 75°

sin 75° tan 10° + cos 75°−

1

cot 10° + tan 75°⇒

sin 75°

sec 10° cos 65°−

1

cos 10°sin 10°

+sin 75°cos 75°

⇔sin 75°

1cos 10°

cos 65°−

1

cos 75° cos 10° + sin 75° sin 10°cos 75° sin 10°

⇔sin 75° cos 10°

cos 65°−

cos 75° sin 10°

cos 75° cos 10° + sin 75° sin 10°

⇔sin 75° cos 10°

cos 65°−

cos 75° sin 10°

cos(75° − 10°)

⇔sin 75° cos 10°

cos 65°−

cos 75° sin 10°

cos 65°

⇔sin 75° cos 10° − cos 75° sin 10°

cos 65°

⇔sin(75° − 10°)

cos 65°

⇔sin 65°

cos 65°

⇔ tan 65°

⇔ tan1

2(90° + 40°)

⇔ √1 − cos(90° + 40°)

1 + cos(90° + 40°)

⇔ √1 + sin 40°

1 − sin 40°

⇔ √1 + sin 40°

1 − sin 40°×

1 + sin 40°

1 + sin 40°

⇔ √(1 + sin 40°)2

1 − sin2 40°

⇔ √(1 + sin 40°)2

cos2 40°

⇔1 + sin 40°

cos 40°

⇔1 + sin 2𝑝

cos 2𝑝


Halaman 11 dari 12


10. Jika |𝑥| + 𝑥 + 𝑦 = 10 dan 𝑥 + |𝑦| − 𝑦 = 12, maka 𝑥 + 𝑦 = .... Pembahasan:

|𝑥| + 𝑥 + 𝑦 = 10 {𝑥 + 𝑥 + 𝑦 = 10, untuk 𝑥 ≥ 0

−𝑥 + 𝑥 + 𝑦 = 10, untuk 𝑥 < 0

Sehingga dari persamaan |𝑥| + 𝑥 + 𝑦 = 10 akan diperoleh persamaan sebagai berikut: (1) 2𝑥 + 𝑦 = 10, untuk 𝑥 ≥ 0 (2) 𝑦 = 10, untuk 𝑥 < 0

𝑥 + |𝑦| − 𝑦 = 12 {𝑥 + 𝑦 − 𝑦 = 12, untuk 𝑦 ≥ 0 𝑥 − 𝑦 − 𝑦 = 12, untuk 𝑦 < 0

Sehingga dari persamaan 𝑥 + |𝑦| − 𝑦 = 12 akan diperoleh persamaan sebagai berikut: (3) 𝑥 = 12, untuk 𝑦 ≥ 0 (4) 𝑥 − 2𝑦 = 12, untuk 𝑦 < 0

Dari persamaan (1) dan (3) akan diperoleh:

𝑥 = 12, untuk 𝑦 ≥ 0 ⇒ 2(12) + 𝑦 = 10⇔ 𝑦 = −4

Karena jika 𝑥 = 12 maka nilai 𝑦 = −4 dan ini bertentangan dengan syarat 𝑦 ≥ 0, sehingga pasangan 𝑥 dan 𝑦 ini tidak memenuhi.


𝑦 = 10, untuk 𝑥 < 0 ⇔ 𝑥 = 12, untuk 𝑦 ≥ 0 Karena jika 𝑥 = 12 dan ini bertentangan dengan syarat 𝑥 < 0, maka pasangan 𝑥 dan 𝑦 ini juga tidak memenuhi.


𝑦 = 10, untuk 𝑥 < 0 ⇒ 𝑥 − 2(10) = 12⇔ 𝑥 = 32

Karena jika 𝑥 = 12 menghasilkan nilai 𝑦 = −4 dan ini bertentangan dengan syarat 𝑦 ≥ 0, maka pasangan 𝑥 dan 𝑦 ini juga tidak memenuhi.


2𝑥 + 𝑦 = 10, untuk 𝑥 ≥ 0 × 1 2𝑥 + 𝑦 = 10𝑥 − 2𝑦 = 12, untuk 𝑦 < 0 × 2 2𝑥 − 4𝑦 = 24

5𝑦 = −14

𝑦 = −14

5

𝑦 = −14

5⇒ 𝑥 − 2(−

14

5) = 12

⇔ 𝑥 =32

5

Karena untuk 𝑥 =32

5 dan 𝑦 = −

14

5 memenuhi 𝑥 ≥ 0 dan 𝑦 < 0, maka pasangan 𝑥 dan 𝑦

ini memenuhi.

Jadi nilai 𝑥 + 𝑦 =32

5+ (−

14

5) =

18

5


Halaman 12 dari 12


Pembahasan soal OSN Guru Matematika SMA 2013 ini sangat mungkin jauh dari sempurna mengingat keterbatasan penulis. Saran, koreksi dan tanggapan sangat diharapkan demi perbaikan pembahasan soal OSN ini.

Untuk download pembahasan soal SNMPTN, UNAS, Olimpiade, dan rangkuman materi pelajaran serta soal-soal ujian yang lainnya, silahkan kunjungi http://pak-anang.blogspot.com.

Terima kasih.

Pak Anang.



pembahasan soal osn guru matematika sma 2013 tingkat kabupaten kota

Education