8

BAB I II

PEMBAHASAN Permasalahan no.1

Di antara matriks:

a. =3 1 17 5 16 6 2

dan b. =3 2 02 3 0

0 0 5 akan diselidiki matriks yang dapat

didiagonalisasi.

Suatu matriks, katakan matriks K dapat didiagonalisasi jika dan hanya jika matriks tersebut

memiliki n buah vektor eigen yang bebas linear. Matriks P yang memuat n buah vektor eigen

yang bebas linear dapat digunakan dengan cara serupa pada 1 untuk memperoleh matriks

diagonal D, yang mana akan memuat nilai eigen pada diagonalnya. Selanjutnya suatu matriks

dapat didiagonalisasi apabila determinan matriks P tidak sama dengan nol.

a. =3 1 17 5 16 6 2

Akan dicari vektor eigen dari matriks A.

Langkah-langkah untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen:

1. Memasukkan elemen-elemen matriks A

2. Menghitung akar-akar dari persamaan karakteristik det( ) = 0

det( ) = 0

det+ 3 1 17 5 16 6 + 2

= 0

+ 3 5 + 2 + 6 + 7 + 2 6 + [7 6 6 5 ] =

0

diperoleh nilai eigen: 1 = 4, 2 = 2, 3 = 2

Dengan fungsi eig(A) pada MATLAB langsung diperoleh nilai eigen:

9

3. Menentukan vektor eigen matriks A.

P adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen dari matriks A.

= 1 2 3

= 0

4 diperoleh vektor-vektor karakteristik

1 =0

0.70710.7071

-2 diperoleh vektor-vektor karakteristik

2 =0.70710.7071

0 dan 3 =

0.70710.7071

0

maka

=0

0.70710.7071

0.70710.7071

0

0.70710.7071

0

Apakah P invertible?

Diperoleh

10

Matriks A dapat didiagonalisasi.

Akan ditentukan diagonalisasi dari matriks A:

4. Menentukan invers matriks P ( 1 1)

5. Diagonalisasi dari matriks A adalah

1 = 1 =4 0 00 2 00 0 2

yang mana matriks D1 memuat nilai eigen pada diagonalnya.

b. =3 2 02 3 0

0 0 5

Akan dicari vektor eigen dari matriks B.

Langkah-langkah untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen:

1. Memasukkan elemen-elemen matriks B

11

2. Menghitung akar-akar dari persamaan karakteristik det( ) = 0

det( ) = 0

det3 2 0

2 3 00 0 5

= 0

3 3 5 2 2 ( 5) = 0

diperoleh nilai eigen: 1 = 1, 2 = 5, 3 = 5

Dengan fungsi eig(B) pada MATLAB langsung diperoleh nilai eigen:

3. Menentukan vektor eigen matriks B.

Q adalah vektor eigen yang bersesuaian dari B.

= 1 2 3

-vektor karakteristik

1 =0.70710.7071

0

5 diperoleh vektor-vektor karakteristik

2 =0.7071

0.70710

dan 3 =001

=0.70710.7071

0

0.70710.7071

0

001

Apakah Q invertible?

Diperoleh

12

Dengan menggunakan MATLAB diperoleh:

Jadi

=0.7071 0.7071 00.7071 0.7071 0

0 0 1

Jumlah vector eigen yang bebas linear dari matriks B adalah 3 (sama dengan jumlah nilai

eigennya, yaitu 3) maka matriks B dapat didiagonalisasi.

Akan ditentukan diagonalisasi dari matriks B:

4. Menentukan invers matriks Q ( 1 1)

5. Diagonalisasi dari matriks B adalah

13

2 = 1 =1 0 00 5 00 0 5

yang mana matriks D2 memuat nilai eigen pada diagonalnya.

Permasalahan no.2

Dipilih salah satu matriks dari (1) yang dapat didiagonalisasi. Sebut matriks tersebut dengan A,

yaitu:

=3 2 02 3 0

0 0 5

Akan ditentukan , dengan n= tanggal lahir praktikan., yaitu n=10

1 =

1 10 = 10

( 1)10 10 10 = 10

10 = 10 10( 1)10

10 = 10 1

10 =0.7071 0.7071 00.7071 0.7071 0

0 0 1

1 0 00 5 00 0 5

10 0.7071 0.7071 00.7071 0.7071 0

0 0 1

Dengan MATLAB:

P1= 1

Cek hasil 10,

14

Jadi

10 =4882813 4882812 04882812 4882813 0

0 0 9765625

Permasalahan no.3

Akan dicari SVD dari

a. 0 5 52 9 06 8 8

b. 1 4 04 1 0

a. =0 5 52 9 06 8 8

i. Mencari

15

=0 2 65 9 85 0 8

ii. Menghitung

=40 66 4866 170 8948 89 89

iii. Nilai singular

Mencari nilai eigennya dulu

det ( ) = 0

Nilai singular matriks

=

1 = 1 0 0

0 2 = 2 0

0 0 3 = 3

iv. Eigen vector

16

1 =0.92070.18810.3419

, 2 =0.1714

0.59210.7874

, 3 =0.35050.78360.5129

v. Mencari matriks Q

3 3 = [ 1 2 3 ]

=1

, i=1,2,3

vi. Mencari matriks P

3 3 = [ 1 2 3 ]

=1

, i=1,2,3

vii. SVD suatu matriks A jika =

17

= A

Terbukti bahwa =

Langkah-langkah mencari SVD dari matriks A dengan MATLAB:

1. Memasukkan elemen-elemen matriks A

2. Menentukan SVD dari matriks A

Jadi didapat SVD dari matriks A adalah

18

=0.4038 0.1713 0.89870.4829 0.8742 0.05040.7770 0.4543 0.4357

, =16.055 0 0

0 5.7034 00 0 2.9486

,

=0.3505 0.1714 0.92070.7836 0.5921 0.18810.5129 0.7874 0.3419

b. =1 4 04 1 0

i. Mencari

=1 44 10 0

ii. Menghitung

=17 8 08 17 00 0 0

iii. Nilai singular

Mencari nilai eigennya dulu

det ( ) = 0

Nilai singular matriks

=1 = 1 0 0

0 2 = 2 0

19

iv. Eigen vector

1 =001

, 2 =0.7071

0.70710

, 3 =0.70710.7071

0

v. Mencari matriks V

3 3 = [ 1 2 3 ]

=1

, i=1,2,3

vi. Mencari matriks U

2 2 = 1 2

=1

, i=1,2,3

20

vii. SVD suatu matriks B jika =

= B

Terbukti bahwa =

Langkah-langkah mencari SVD dari matriks B dengan MATLAB:

1. Memasukkan elemen-elemen matriks B

2. Menentukan SVD matriks B

Jadi didapat SVD dari matriks B adalah

=0.7071 0.70710.7071 0.7071

, =5 0 00 3 0

, =0.7071 0.7071 00.7071 0.7071 0

0 0 1