aljabar linear kartika_2.pdf

Pendahuluan

Aljabar Linear dan Matriks 1

Pendahuluan

Kartika Firdausy - UAD

2

Tujuan

Melatih mahasiswa untuk berpikir secara logis dan sistematis yang akan sangat dibutuhkan untuk dapat membuat program-program komputer.

Menguasai teknik dasar aljabar linear dan mampu menggunakannya untuk menyelesaikan SPL, dapat menentukan basis dan dimensi suatu ruang vektor, dapat mencari nilai dan vektor eigen serta dapat mentransformasikan secara linear

Pendahuluan


3

Materi (1)1. Sistem Persamaan Linear Operasi Baris Elementer Eliminasi Gauss SPL Homogen Penerapan SPL

2. Matriks Operasi Matriks Jenis Matriks Aturan-aturan Ilmu Hitung Matriks SPL dan Matriks Invers

4

Materi (2)3. Determinan, Kofaktor, dan Aturan Cramer Perhitungan Determinan dengan Reduksi Baris Sifat-sifat Determinan Kofaktor dan Aturan Cramer dalam Penyelesaian

SPL4. Vektor Norma dan Ilmu Hitung Vektor Hasil Kali Titik Hasil Kali Silang

5. Ruang n-Euclidis Operasi Ruang n-Euclidis

Pendahuluan


5

Materi (3)6. Ruang Vektor

Ruang vektor umum Sub Ruang Kebebasan Linear Basis dan Dimensi Ruang Baris dan Kolom Matriks Rank

7. Basis Ortonormal Proses Gram-Schmidt

8. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Diagonaliasi Diagonalisasi Ortogonal; Matriks Simetrik

6

Ilustrasi Matriks

These windows in Philadelphia represent a beautiful block matrix. (Photo courtesy Gail Corbett) http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Mathematics/18-06Spring-2005/CourseHome/

Pendahuluan


7

Application

Matrices in Engineering Graphs and Networks Markov Matrices, Population, and Economics Linear Programming Fourier Series: Linear Algebra for Functions Linear Algebra for Statistics and Probability Computer Graphics

8

Contoh (1)

Akan dibuat 2 macam produk A dan B. Produk A memerlukan bahan 10 blok B1 dan 2 blok B2, sedangkan produk B memerlukan bahan 5 blok B1 dan 6 blok B2. Berapa jumlah produk yang dapat dihasilkan bila tersedia 80 blok bahan B1 dan 36 blok bahan B2.

Pendahuluan


9

Contoh (2) rotates a pixel by about the origin (0, 0)

scales an image in x and y directions by Sx and Sy.

10

Referensi Diktat Aljabar Linear dan Matriks,

Dewi Soyusiawaty, Teknik Informatika UAD Howard Anton, Elementary Linear Algebra, Wiley. Schaum Outlines Series, Linear Algebra. Jacob, Bill, Linear Algebra, Addison Wesley. Stahler, Wendy, Beginning Math and Physics for Game

Programmers, New Riders. Steven J.Leon, Aljabar Linear dan Aplikasinya, Erlangga,

Jakarta,2001 Introduction to Linear Algebra, 4th Edition, Gilbert Strang,

http://math.mit.edu/linearalgebra/ Gilbert Strang, MIT OpenCourseWare, 18.06 Linear Algebra

Spring 2005 http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Mathematics/18-06Spring-2005/CourseHome/

Steve Johnson, 18.06 Linear Algebra, Spring 2009 http://web.mit.edu/18.06/www/

Matriks


Matriks

Kartika Firdausy - UAD

2

Definisi Sebuah matriks adalah serangkaian

elemen dalam bentuk persegi panjang. Elemen ke-(i,j) aij dari matriks A berada

dibaris ke-i dan kolom ke-j dari rangkaian tersebut.

Order (dimensi/ukuran) dari sebuah matriks dikatakan sebesar (m x n) jika matriks tersebut memiliki m baris dan n kolom.

Misalnya:a11 a12 a1na21 a22 ... a2n: : :: : :am1 am1 ... amn

Matriks


3

Operasi1. Penjumlahan dimensi sama2. Pengurangan dimensi sama3. Perkalian matriks dengan skalar4. Perkalian matriks dengan matriks

jumlah banyaknya kolom matriks pertama sama dengan jumlah banyaknya baris matriks kedua

Misal: A memiliki dimensi ( m x r ), maka B harus memiliki dimensi ( r x n ), m dan n adalah ukuran sembarang.

4

Perkalian matriks dengan matriksJika matriks A berukuran mxp dan B matriks

pxn maka hasil perkalian A*B adalah suatu matriks C=(cij ) berukuran mxn dengan

cij = ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j + .+ aipbpj

Hukum Perkalian Matriks : Hukum Distributif, A*(B+C) = AB + AC Hukum Assosiatif, A*(B*C) = (A*B)*C Tidak Komutatif, A*B B*A

Matriks


5

TransposeJika matriks A=aij berukuran m x n maka transpose A adalah matriks AT = n x m yang di dapat dari A dengan menuliskan baris ke-i dari A sebagai kolom ke-i dari AT.

Contoh: A =

maka AT =

-2 4 7 5 1 3 0 1

6

Beberapa Sifat Matriks Transpose : (A+B)T = AT + BT

(AT) = Ak(AT) = (kA)T

(AB)T = BT AT

Matriks


7

Jenis Matriks Matriks Bujursangkar, adalah

matriks yang jumlah baris dan jumlah kolomnya sama. Barisan elemen a11, a22, a33, .anndisebut diagonal utama dari matriks bujursangkar tersebut.

Matriks Nol, adalah matriks yang semua elemennya nol Sifat-sifat :

A+0=A, jika ukuran matriks A = ukuran matriks 0

A*0=0, begitu juga 0*A=0.

8

Jenis Matriks Matriks Diagonal, adalah matriks

bujursangkar yang semua elemen di luar diagonal utamanya nol.

Matriks Identitas/Satuan, adalah matriks diagonal yang semua elemen diagonalnya adalah 1.

Sifat-sifat matriks identitas : A*I=A I*A=A

1 0 00 1 00 0 1

3 0 00 1 00 0 5

Matriks


9

Jenis Matriks Matriks Skalar, matriks diagonal

dengan semua elemen diagonal utamanya sama dengan k

Matriks segitiga atas / segitiga bawah, matriks bujursangkar yang semua elemen di atas diagonal utamanya sama dengan nol atau sebaliknya

3 0 00 3 00 0 3

1 3 2 10 1 2 30 0 4 00 0 0 1

1 0 0 04 2 0 01 2 3 01 3 2 1

10

Transformasi Elementer1. Penukaran tempat baris ke-i dan baris ke-j atau penukaran

kolom ke-i dan kolom ke-j ditulis Hij(A) untuk transformasi baris

Kij(A) untuk transformasi kolom2. Mengalikan baris ke-i dengan skalar h0, ditulis Hi (h) (A)

mengalikan kolom ke-j dengan skalar k0, ditulis Kj (k) (A)3. Menambah kolom ke-i dengan k kali kolom ke-j, ditulis

Kij(k)(A) menambah baris ke-i dengan h kali baris ke-j, ditulis Hij(h)(A).

Determinan


Determinan

Kartika Firdausy UADblog.uad.ac.id/kartikaf

2

Misalkan A adalah matriks bujur sangkar. Fungsi determinan dinyatakan oleh det(A), dan didefinisikan sebagai jumlah semua hasil kali elementer bertanda dari A. Jumlah det(A) disebut sebagai determinan A. Det(A) sering pula dinotasikan dengan |A|

Determinan


3

Jika matriks A berukuran 2x2, determinan matriks A didefinisikan sebagai:

det a11 a12a21 a22= a11 a12 = a11a22 a12a21

a21 a22

3 42 1

Contoh

B =

4

Jika matriks A berukuran 3x3, determinan matriks A didefinisikan sebagai:

det(A) = a11a22 a33 + a12a23 a31 + a13a21 a32- a31a22 a13 - a32a23 a11 - a33a21 a12

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

A = det (A) =a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

a11 a12 a21 a22a31 a32

Ilustrasi Metode Sarrus

Determinan


5

Contoh:

Hitung det(C)

1 2 34 1 53 2 4

C =

6

Beberapa sifat determinan Apabila semua unsur dalam satu baris atau satu kolom

= 0, maka harga determinan = 0. Harga determinan tidak berubah apabila semua baris

diubah menjadi kolom atau semua kolom diubah menjadi baris. Dengan kata lain |A|=|A|T .

Nilai determinan tidak berubah jika baris dan kolom dipertukarkan.

Jika B diperoleh dari A dengan mempertukarkan setiap dua barisnya(atau kolomnya), maka |B| = - |A|.

Jika dua baris (atau kolomnya) dari A adalah identik, maka |A| = 0.

Apabila semua unsur pada sembarang baris atau kolom dikalikandengan sebuah faktor (yang bukan 0), maka harga determinannya dikalikan dengan faktor tersebut.

Jika A dan B adalah dua matriks bujur sangkar maka : |AB| = |A| |B|

Determinan


7

MinorJika ada sebuah determinan dengan orde ke-n

maka yang dimaksud dengan MINOR unsur aijadalah determinan yang berasal dari determinan orde ke-n tadi dikurangi dengan baris ke-i dan kolom ke-j.

Maka MINOR elemen a32 adalah minor baris ke-3 kolom ke-2

D =

M32 =

a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24a31 a32 a33 a34a41 a42 a43 a44

a11 a13 a14a21 a23 a24a41 a43 a44

8

KofaktorKofaktor suatu unsur determinan aij adalah

cij = (-1)i+j Mij

Misal: kofaktor elemen a32 = c32 = (-1)3+2 M32

Matriks kofaktor:

c11 c12 c1nc21 c22 ... c2n: : :: : :cn1 cn2 ... cnn

Determinan


9

Teorema LAPLACEDeterminan dari suatu matriks sama dengan jumlah

perkalian elemen-elemen dari sembarang baris atau kolom dengan kofaktor-kofaktornya

Ekspansi Barisn

|A| = aijcij = ai1ci1+ai2ci2+..+ aincinj=1

Ekspansi Kolomn

|A| = aijcij = a1jc1j+a2jc2j+..+ anjcnjj=1

10

Contoh:

Hitung determinan matriks A dengan minor dan kofaktor

Misal minor dan kofaktor dicari dengan melakukan ekspansi kolom ke-1

1 2 32 3 41 5 7

Determinan


11

Matriks Adjoin

transpose dari matriks kofaktor adj(A)

12

Invers Matriks

A-1 = invers matriks Aadj(A) = matriks adjoin dari matriks Adet(A) = determinan matriks A

adj(A) A-1 = det(A)

Aturan Cramer


Aturan Cramer


2

Aturan CramerApabila [A] [X] = [B] maka nilai x dapat dicari dengan

| Ak | adalah harga determinan elemen matriks bujursangkar [A] dengan kolom ke-k diganti dengan elemen [B]

| A | adalah harga determinan matriks bujursangkar [A]

xk =| Ak |

| A |

Aturan Cramer


3

Misal diketahui persamaan:a11x1+ a12x2 + a13x3 =b1a21x1+ a22x2 + a23x3 =b2a31x1+ a32x2 + a33x3 =b3

b1 a12 a13b2 a22 a23b3 a32 a33

a11 b1 a13a21 b2 a23a31 b3 a33

a11 a12 b1a21 a22 b2a31 a32 b3

| A1 |= | A2 |=

| A3 | =

x1 = | A | | A | | A |

| A1 | | A2 | | A3 |x2 = x3 =

Invers Matriks


Invers Matriks


2

Jika diketahui 2 besaran a dan x sedemikian sehingga ax = 1, maka dikatakan x adalah kebalikandari a dan nilai x = 1/a = a-1

Matriks satuan (identitas) I beroperasisebagai besaran 1 dalam aljabar biasa

Jika [A] dan [I] keduanya matriksbujursangkar dan ordenya sama maka

[I] [A] = [A] [I] = [A]

Invers Matriks


3

Jika terdapat suatu matriks bujursangkar [X] yang berorde sama sehingga

[A] [X] = [I] maka dikatakan bahwa [X] kebalikan atau invers matriks dari [A] dan dituliskan

[X] = [A]-1

4

Contoh:Cari invers matriks A

misal

2 14 3 A =

x1 x2x3 x4X =

maka [A] [X] = [I] 2 14 3

1 00 1

x1 x2x3 x4

=

Invers Matriks


5

Matriks-matriks yang mempunyai invers adalah matriks Non Singular,yaitu matriks yang determinannya 0

Berlaku sifat :1. (A-1) -1 = A2. (AB) -1 = B-1 A-1

6

Matriks Adjoin untuk Mencari Invers

A-1 = invers matriks Aadj(A) = matriks adjoin dari matriks Adet(A) = determinan matriks A

adj(A) A-1 = det(A)

Invers Matriks


7

Teorema 15Jika A adalah matriks nxn, maka inversnya dapat dicari dengan cara mereduksi A menjadi matriks identitas (I) dengan menggunakan operasi-operasi baris dan menerapkan operasi-operasi ini secara serempak pada I untuk menghasilkan A-1.

8

Transformasi Elementer untuk mencari Invers

[ A | I ] ~ [ I | X ]

[ A-1 ] = [ X ]

setelah melalui transformasi elementer

Invers Matriks


9

Hitung A-1 jika diketahui

menggunakan Transformasi Elementer

1 2 32 5 3 1 0 8

A =

Dibentuk matriks

[ A | I ] ~ [ I | X ]x11 x12 x13x21 x22 x23x31 x32 x33

1 2 32 5 31 0 8

~1 0 00 1 00 0 1

1 0 00 1 00 0 1

10

SPL dan Matriks InversTeorema 16Jika A matriks nxn yang memiliki invers, maka untuk setiap matriks B yang berukuran nx1, sistem persamaan AX = B memiliki tepat satu penyelesaian yaitu X = A-1 B

Invers Matriks


11

Contoh:

X = A-1 B

Diketahui sistem persamaan linier sebagai berikut :

x1 + 2x2 + 3x3 =52x1 + 5x2 + 3x3 =3x1 + 8x3 = 17Akan dicari solusi untuk x1, x2, dan x3

x1x2x3

1 2 32 5 31 0 8

A = X = B =53

17

Sistem Persamaan Linear (1)


Sistem Persamaan

Linier (1)


2

Garis lurus pada bidang x1 dan x2 dapat dinyatakansebagai persamaan a1x1 + a2x2 + b = 0 persamaan linier karena pangkat-pangkat dari x1 dan x2

paling besar adalah 1

persamaan x12 + x2 5 = 0 bukan persamaan linier

x1

x2



3

Ruang dimensi 3, persamaan linier dalam x1, x2, dan x3

a1x1+a2x2+a3x3+b=0

Persamaan linier dalam ruang dimensi n dapat dinyatakan dalam bentuka1x1+ a2x2.+anxn+b=bn

4

Contoh 1Persamaan x1+x2=1

penyelesaian persamaan garis adalahtitik x1=1 dan x2=0titik x1=0 dan x2=1

(0,1)

(1,0)

x1

x2

x1 + x2 = 1



5

Contoh 2

x1=0 dan x2=1 adalah satu-satunya penyelesaian

(0,1)

(1,0)(-1,0)

x1 + x2 = 1 -x1 + x2 = 1

6

Sistem persamaan linier dalam dimensi 2 mempunyai beberapa alternatif penyelesaian, yaitu:

1. Mempunyai penyelesaian tunggal2. Mempunyai banyak penyelesaian3. Tidak mempunyai penyelesaian



7

Sistem Persamaan Linear (SPL)

a11x1+ a12x2.+a1nxn =b1a21x1+ a22x2.+a2nxn =b2

:

::::

am1x1+ am2x2.+amnxn =bm

aij dan bi masing-masing merupakan koefisien-koefisien dan konstanta persamaan linier tersebut

8

Persamaan-persamaan linier tersebut dapatdiungkapkan dalam bentuk matriks

[A] adalah matriks berorde (m,n)[x] adalah matriks berorde (n,1)[b] adalah matriks berorde (m,1)

a11 a12 a1na21 a22 ... a2n: : :: : :am1 am1 ... amn

x1x2::xn

b1b2::bm

=

[A] [x] [b]



9

AUGMENTED MATRIX

a11 a12 a1n b1a21 a22 ... a2n b2: : :: : :am1 am1 ... amn bn

10

Operasi Baris Elementer (OBE)

1. Kalikan persamaan dengan konstanta 0

2. Pertukarkan kedua persamaan3. Tambahkan kelipatan satu

persamaan ke persamaan lainnya



11

Contoh

2x + y = 84x 3y = 6

12

Eliminasi GaussJika diketahui [A][X]=[B] maka dengan menyusun matriks baru yaitu matriks [A.B] akan didapat matriks berorde (n, n+1) dimana matriks baru tersebut dikenai OBE berkali-kali sehingga diperoleh matriks [A] menjadi matriks segitiga atas yang diagonal utama elemennya bernilai 1.

Metode penyelesaian SPL dengan menggunakan metode Eliminasi Gauss:

1. Membentuk matriks lengkap SPL2. Mengubah matriks lengkap menjadi matriks eselon

dengan sejumlah OBE3. Mendapat jawaban SPL



13

Contoh

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 am3

a11x1+ a12x2 + a13x3 =b1a21x1+ a22x2 + a23x3 =b2a31x1+ a32x2 + a33x3 =b3

x1x2x3

b1b2b3

=

Matriks awal

Matriks lengkap SPL

a11 a12 a13 b1a21 a22 a23 b2a31 a32 am3 b3

14

Matriks lengkap dikenai OBE membentuk matriks eselon

Nilai 1 pada diagonal utama adalah variabel x-nyasehingga diperoleh x3= b3x2+ a23x3 =b2 x2= b2- a23x3x1+ a12x2+ a13x3 =b1 x1= b1-a12x2- a13x3

1 a12 a13 b1

0 1 a23 b2

0 0 1 b3



15

Contoh

Selesaikan sistem persamaan linier berikut :

x1 + 3x2 - 2x3 + 2x5 = 02x1 + 6x2 - 5x3 - 2x4 + 4x5 - 3x6 = -15x3 + 10x4 + 15x6 = 52x1 + 6x2 + 8x4 + 4x5 + 18x6 = 6

16

Contoh

Diketahui sistem persamaan linier sebagai berikut :

x1+x2+x3=6x1+2x2-x3=22x1+x2+2x3=10Akan dicari solusi untuk x1, x2, dan x3

Perkalian Silang 2 Vektor di R3


Perkalian silang dua vektor di R3


2

Perkalian silang antara dua vektor di R3

Diketahui u = ( u1,u2,u3 ) dan v = ( v1,v2,v3 )Perkalian silang antara u dan v didefinisikan sebagai :

u2 u3v2 v3

u1 u3v1 v3

u1 u2v1 v2

k i -

u x v =

u x v = (u2v3 u3v2)i + (u1v3 u3v1)j + (u1v2 u2v1)k

Hasil kali silang dari dua buah vektor akan menghasilkan suatu vektor tegak lurus terhadap u dan v

i j ku1 u2 u3v1 v2 v3

= j +



3

Panjang Vektor Hasil Perkalian Silang

Kuadrat dari norm u x v adalah:

|u x v|2= ( u2.v3 u3.v2 )2 + (u1.v3 u3.v1)2 + ( u1.v2 u2.v1)2= (u12 + u22 + u32 ) ( v12 + v22 + v32 ) (u1v1 + u2v2 + u3v3 )2= |u|2 |v|2 (u . v)2

identitas Lagrange

4

Dari identitas Lagrange|u x v|2 = |u|2 |v|2 (u . v)2

= |u|2 |v|2 ( |u| . |v| cos )2

( sudut yang dibentuk oleh u dan v )

= |u|2 |v|2 (1 cos )2

|u x v|2 = |u|2 |v|2 sin 2

atau|u x v| = |u|. |v|. sin



5

Perhatikan vektor u dan v berikut

|u x v| = |u|. |v|. sin merupakan luas segi empat yang dibentuk u dan vLuas segi empat = panjang alas x tinggi

= |v| x |u| sin = |u| |v| sin

Hasil kali silang dua vektor u dan v akan menghasilkan suatu vektor yang tegak lurus terhadap u dan v serta memiliki panjang sama dengan luas dari segi empat yang dibentuk oleh vektor u dan v .

6

Contoh

Diketahui a = ( 1,2,1 ) dan b = ( 2,2,3 )Hitung luas segi empat yang dibentuk oleh a dan b



7

Contoh

Diketahui segitiga ABC dengan titik titik sudut adalah :A (2,1,2 ) , B ( 0,1,0 ) dan C ( 1,2,1 )Hitung luas segitiga ABC

Ruang Vektor


Ruang Vektor


2

Syarat agar V disebut sebagai ruang vektor

1. Jika vektor vektor u , v V , maka vektor u + v V2. u + v = v + u3. u + ( v + w ) = ( u + v ) + w4. Ada 0 V sehingga 0 + u = u + 0 untuk semua u V , 0 :

vektor nol5. Untuk setiap u V terdapat u V sehingga u + ( u ) = 06. Untuk sembarang skalar k , jika u V maka ku V7. k ( u + v ) = k u + k v , k sembarang skalar8. (k + l) u = k u + l u , k dan l skalar9. k( l u ) = ( kl ) u10. 1 u = u

Ruang Vektor


3

Contoh ruang vektor :1. V adalah himpunan vektor euclidis dengan operasi standar

(operasi penjumlahan dan operasi perkalian dengan skalar ) Notasi: Rn .

2. V adalah himpunan polinom pangkat n dengan operasi standarBentuk umum polinom orde npn(x) = a0 + a1x + + anxnqn(x) = b0 + b1x + + bnxn

Operasi standar pada polinom orde npn(x) + qn(x) = a0+ b0 + (a1 + b1)x + + (an + bn)xnk pn = ka0 + ka1x + + kanxnNotasi: Pn

3. V adalah himpunan matriks berukuran mxn dengan operasi standar( penjumlahan matriks dan perkalian matriks dengan skalar ) Notasi: Mmn

4

Subruang vektorDiketahui V ruang vektor dan U subhimpunan V. U dikatakan subruang dari V jika memenuhi dua syarat berikut :

1. Jika u ,v U maka u + v U2. Jika u U , untuk skalar k berlaku ku U

Ruang Vektor


5

Kombinasi linier

Vektor v dikatakan merupakan kombinasi linier dari vektor vektor v 1, v 2,,v n bila v bisa dinyatakan sebagai :

v = k1 v 1 + k2 v 2++ kn v n , k1,k2,,kn adalah skalar

6

ContohDiketahui a = ( 1,2 ) , b = ( 2,3 ) dan c = ( 1,3 )Apakah c merupakan kombinasi linier dari a dan b ?

Ruang Vektor


7

ContohTunjukkan bahwa v =(3,9,-4,-2)merupakan kombinasi linier u1= (1,-2,0,3), u2 = (2,3,0,-1) dan u3= (2,-1,2,1)

Jawab:Bila v merupakan kombinasi linier dari u1, u2, dan u3maka dapat ditentukan x, y dan z sehingga:

v = xu1 + yu2 + zu3(3,9,-4,-2) = x(1,-2,0,3)+ y(2,3,0,-1) + z (2,-1,2,1)(3,9,-4,-2) = (1x,-2x, 0x, 3x)+ (2y,3y,0y,-1y) +

(2 z,-1z,2z,1z)

8

(3,9,-4,-2) = (x+2y+2z, -2x+3y-z, 2z, 3x-y+z)

Diperoleh persamaan:

=+=

=+=++

2342

932322

zyxz

zyxzyx

Ruang Vektor


9

Penyelesaian:

x =1, y = 3 dan z = -2

Jadi v = u1 + 3u2 2u3

Jika sistem persamaan di atas tidakmemiliki penyelesaian maka v tidakdapat dinyatakan sebagai kombinasilinier dari u1, u2, dan u3

10

Diketahui V ruang vektor dan S = { s 1, s 2 ,, s n } s 1, s 2 ,, s n V

S dikatakan membangun/merentang V bila untuk setiap v V, v merupakan kombinasi linier dari S ,yaitu :v = k1 s1 + k2 s2++ knsn

k1,k2,,kn adalah skalar

Ruang Vektor


11

Contoh

Apakah u = ( 1,2,3 ) , v = ( 2,4,6 ) dan w = ( 3,4,7 ) membangun R3

12

Kebebasan LinierVektor vektor di S dikatakan bebas linier (linearly independent) jika persamaan0 = k1 s 1 +k2 s 2++ kn snhanya memiliki penyelesaian k1= k2 == kn = 0

jika ada penyelesaian lain untuk nilai k1,k2,,kn selain 0 maka dikatakan vektor vektor di S bergantung linier (linearly dependent)

Ruang Vektor


13

Contoh

Diketahui u = ( 1,2 ) , v = ( 2,2 ) , w = ( 1,3 )a. Apakah u , v dan w membangun R2 ?b. Apakah u , v dan w bebas linier ?

14

Basis dan Dimensi

Misalkan V ruang vektor dan S = { s 1, s 2 ,, s n }. S disebut basis dari V bila memenuhi dua syarat , yaitu :

1. S bebas linier2. S membangun V

Basis dari suatu ruang vektor tidak harus tunggal tetapi bisa lebih dari satu. Ada dua macam basis yang kita kenal yaitu basis standar dan basis tidak standar

Ruang Vektor


15

Contoh basis standar :1. S = { e1, e2,, en } , dengan e1, e2,, en Rn

e1 = ( 1,0,,0) ,e2 = ( 0,1,0,,0 ),,en = ( 0,0,,1 )merupakan basis standar dari Rn

2. S = { 1, x, x2,xn } merupakan basis standar untuk Pn( polinom orde n )

1 00 0

3. S = 0 10 0

0 01 0

0 00 1

merupakan basis standar untuk M22

, , ,{ }

16

ContohMisal v1=(1,2,1), v2=(2,9,0), dan v3=(3,3,4).Tunjukkan bahwa himpunan S=(v1,v2,v3) adalah basis untuk R3

Syarat:1. S bebas linier2. S membangun V

Sebarang vektor b dapat dinyatakan sebagai kombinasi linierb = k1 v 1 +k2 v 2+ k3 v3

Sistem memiliki pemecahan untuk semua pilihan b= (b1 ,b2 ,b3 )k1 v 1 +k2 v 2+ k3 v3 = 0

Pembuktian bebas linier pembuktian sistem homogenS bebas linier dan membangun R3 matriks koefisien dapat dibalik, karena det A = .

Ruang Vektor


17

Basis ruang baris dan basis ruang kolom

Suatu matriks berukuran mxn dapat dipandang sebagai susunan bilangan yang tersusun dari bilangan dalam kolom 1 sampai kolom n atau dalam baris 1 sampai baris m.

a11 a12 a1na21 a22 ... a2n: : :am1 am1 ... amn

Jika A =

Maka A tersusun atas vektor vektor baris r i dengan r i = (ai1,ai2,,ain ) atau bisa juga dikatakan A tersusun atas vektor vektor kolom c j = (c1j,c2j,,cmj }

dengan i = 1,2,,m dan j =1,2,,n

Subruang Rn yang dibangun oleh vektor vektor baris disebut ruang baris dari A

Subruang Rm yang dibangun oleh vektor vektor kolom disebut ruang kolom dari A

18

Contoh

Vektor baris A adalahVektor kolom A adalah

2 1 03 1 -4 A =

Ruang Vektor


19

Menentukan basis ruang kolom / baris

Basis ruang kolom A didapatkan dengan melakukan OBE pada A, sedangkan basis ruang kolom A didapatkan dengan melakukan OBE pada At

Banyaknya unsur basis ditentukan oleh banyaknya satu utama pada matriks eselon baris tereduksi.

Dimensi ( ruang baris ) = dimensi ( ruang kolom ) = rank matriks

Vektor


Vektor

2

VektorKuantitas fisis yang memiliki besar dan arah

Luas

Panjang

Massa

Suhu

Skalar

Gaya

Kecepatan

Percepatan

Perubahan Letak

Vektor

Vektor


3

Jenis Vektor

Vektor Aljabar

Vektor Fisik

Vektor Geometri

a

b

v = (a, b)

v

v

(a, b)

4

Penyajian vektor geometriSegmen garis terarah (anak panah) di ruang-2 atau ruang-3

A

B

y

z

xB

AVektor AB

c = AB

AB

Vektor ekivalen punya panjang dan arah yang samaMisal: v = w

Vektor


5

A(2, 3)

B(7,4)

Q(7, 3)

P(5, 1)

Penyajian vektor aljabar

komponen dari v.

y

xv

v = (5, 1)

5 dan 1 adalah komponen dari v

v = (v1, v2) v1v2

=

v1

v2

6

Menentukan komponen vektor

Vektor dengan titik pangkal (a, b) titik akhir (c, d), maka vektor tersebut secaraaljabar adalah (c-a, d-b), komponen-komponen vektor: c-a dan d-b

y

x

A(a, b)

B(c, d)

P(c-a, d-b)

v v = (c-a, d-b)

z

x

yd-a

e-b

f-c

Komponen vektor: d-a, e-b, f-c

A(a, b, c)

B(d, e, f)

Vektor


7

Dua vektor sama jika dan hanya jika panjangdan arahnya sama, tidak tergantungposisinya pada sistem koordinat.

Kesamaan dua vektor geometri

8

Kesamaan dua vektor aljabar Dua vektor aljabar sama jika dan hanya jika komponen-

komponen yang bersesuaian sama.

a1a2

b1b2

a1a2a3

b1b2b3

=

=

Jika dan hanya jika a1 = b1dan a2 = b2

Jika dan hanya jika a1 = b1, a2 = b2 dan a3 = b3

Vektor


9

Menjumlahkan dua vektor geometri:

a

y y

b

a+b

Jumlahan Vektor

10

Menjumlahkan dua vektor aljabarMisalnya a = (a1, a2), b = (b1, b2), maka a+ b = (a1 + b1, a2 +b2)

y

b

B(b1, b2)

b = (b1, b2)x

y

aA(a1, a2)

a = (a1, a2)x

y

a+b

a+b = (a1+b1, a2+b2)x

C(a1+b1, a2+b2)

Jumlahan Vektor

Vektor


11

Contoh1.

u v

Manakah vektor yang merupakan u+v ?

Jawab: a

a b c d

u

v

a

12

2.a b

Manakah vektor yang merupakan a+b ?

d e fg

Jawab: e

Contoh

ab

e

Vektor


13

3. u = (5, 6) dan v = (3, 2)Vektor yang merupakan hasil dari u+v adalaha = (2, 4)b = (8, 8)c = (15, 12)d = (8, 4)

4. u = (5, 6) dan v = (3, 2)Vektor yang merupakan hasil dari u v adalaha = (2, 4)b = (8, 8)c = (15, 12)d = (8, 4)

Jawab: b

Jawab: a

Contoh

14

5.a

b

tentukan vektor c sedemikian hingga b = a + c

Contoh

h ij

k

a

b

Jawab: h

h?

Vektor


15

y

x

z

Vektor nolVektor nol adalah vektor dengan panjang nol, digambarkan sebagai titik, vektor nol 0. Secara aljabar vektor nol adalahvektor yang semua komponennya nol:

0 = (0, 0) pada bidang0 =(0, 0, 0) pada ruang

0 vektor nol

y

x

0 vektor nol

16

Vektor satuan adalah vektor dengan panjang 1

b

y

xj=(0, 1)i=(1, 0)

ac

Vektor satuan

Vektor


17

Perkalian vektor dengan skalar

b searah dengan a, panjang b lima kali panjang a, ditulis b = 5a

a

b

a -a 2a -1/2a 1/3a

Jika k > 0 maka ka searah dengan a, dengan panjang k kali panjang a

Jika k

Vektor


19

Hubungan tiga vektor pada bidang

c = ka + lb

cba

ka lb

clbka

cba

Diberikan a, b, c

cba

20

Basis standar bidang R2

Basis standard bidang R2 adalah: {i = (1, 0), j = (0, 1)}

Setiap vektor v = (v1, v2) dapat dinyatakan secaratunggal sebagai kombinasi linier v = v1i + v2j

y

xj=(0, 1)

i=(1, 0)

y

v=(v1, v2)v = (v1 v2)

v1i

v2j

v = v1i + v2j

Vektor


21

Basis standar R3

Basis standard bidang R3 adalah: {i = (1, 0, 0), j = (0, 1,0), k = (0, 0, 1)}

Setiap vektor (a, b, c) dapat dinyatakan secaratunggal sebagai kombinasi linier ai + bj +ck

y

z

x

P(a, b, c)

kij

y

z

x

P(ai, bj, ck)

22

Sifat-sifat Aritmetika Vektor1. Jumlahan vektor bersifat tertutup, yaitu: jumlahan

dua vektor selalu menghasilkan tepat satu vektor2. Jumlahan dua vektor bersifar komutatif.

y

xa+b

= b+a

a = (a1, a2), b = (b1, b2)

a+b = (a1+b1, a2+b2)

b+a = (b1+a1, b2+a2)

a1+b1 = b1+a1 dan a2+b2 = b2+a2( sifat komutatif penjumlahan skalar)

y

a

b

x

Vektor


23

Sifat Assosiatif Penjumlahan

3. Penjumlahan vektor bersifat assosiatif

a = (a1, a2), b = (b1, b2), c = (c1, c2) a+(b+c) = (a1+(b1+c1), a2+(b2+c2))

(a+b)+c = ((a1+b1)+c1, (a2+b2)+c2)

(sifat assosiatif penjumlahan skalar)

y

xa+

(b+c)

= (a+

b)+c

y

a

bcx

24

Vektor nol: elemen identitas4. vektor nol merupakan elemen identitas terhadap

jumlahan.

y

b

x0

y

x

b+0

b = (b1, b2), 0 = (0,0)

b+0 = (b1+0, b2+0)b+0 = (b1, b2)

( sifat identitas penjumlahan skalar)

Vektor


25

Negatif vektor5. Penjumlahan vektor dengan negatifnya menghasilkan

vektor nol.

b = (b1, b2), -b = (-b1,-b2)

b+(-b) = (b1+(-b1), b2+(-b2))

b+(-b) = (0, 0) = 0

y

b

x

-b

y

x

0

26

xx

y

x

yy

Sifat-sifat Aritmetika Vektor6. perkalian vektor dengan dua skalar berturut-turut, dapat

dilakukan dengan mengalikan skalarnya terlebih dahulu

u 3u

6u

u = (v1,v2)

v = 3u = 3(v1,v2) = (3v1,3v2)

w = 2v = 2(3v1,3v2) = (6v1,6v2)

x = (3x2)u = 6(v1,v2) = (6v1,6v2) = w

Vektor


27

Sifat aritmetika7. hasil kali skalar dengan jumlahan dua vektor dapat dilakukan dengan

mengalikan masing-masing vektor dengan skalar, baru kemudiandijumlahkan.

y

xuvu+v

y

x

2(u+v)

u = (u1,u2), v = (v1,v2)

u+v = (u1+v1,u2+v2)

y

x2u

2v2u+2v

2(u+v) = (2(u1+v1),2(u2+v2)) 2u+2v = 2(u1,u2)+2(v1,v2)= 2(u1+v1,u2+v2)= (2(u1+v1),2(u2+v2))

28

x x

x

yy

y

Sifat Aritmetika8. Hasil kali vektor dengan jumlahan dua skalar, sama

dengan jumlahan dua vektor setelah dikalikan denganmasing-masing skalar.

u3u

2u

u

u = (u1, u2)

3u = (3u1, 3u2)

(2+1)u = 2u + u

= 2(u1, u2)+(u1, u2)

= (3u1, 3u2)

Vektor


29

y

x

y

xy

x

9. Perkalian vektor dengan skalar nol, menghasilkan vektor nol.10.Mengalikan vektor dengan skalar 1 tidak mengubah vektor tersebut

Sifat Aritmetika

u0(u)

u = (u1, u2)

0u = 0(u1, u2)

= (0, 0)

1u = 1(u1, u2)

= (u1, u2)

1u

30

y

z

x

y

x

Norm (panjang) vektor

v

norm/panjang vektor v adalah ||v|| =

v

norm/panjang vektor v adalah ||v|| =

2 21 2v v+

2 2 21 2 3v v v+ +

Vektor


31

y

z

x

Norm vektor sebagai jarak dua titik

P(a1, b1, c1)

Q(a2, b2, c2)

panjang vektor v adalah jarak antara titik P ke Q

v

32

x

yHasil kali titik (dot product)

aA

B

b

C

jika titik pangkalnya berimpitmaka sudut antar dua vektordapat ditentukan.

Definisi 1: Jika adalah sudut antara a dan b, maka didefinisikan

a.b

Definisi 2: jika a, b vektor-vektor di R2, maka a. b = a1b1 + a2b2

Dapat ditunjukkan bahwa hasil kali titik dapat didefinisikan juga dengan rumus lain

a, b tidak nol, dengan 0.

||a|| ||b|| cos .

0 jika a = 0 atau b = 0

Vektor


33

Hasil kali titik di R3 z

x

v

b

a

A

B

C

Definisi 1:hasil kali titik (dot product)Jika adalah sudut antara a dan b, maka didefinisikan

0 jika a = 0 atau b = 0

a.b = ||a|| ||b|| cos .

untuk a, b vektor tak nol dengan 0 .

Definisi 2: jika a, b vektor-vektor di R3, maka a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3

34

Soal latihan1. Benar atau Salah: hasil kali titik dua vektor hasilnya vektor lain2. Diketahui a dan panjangnya dua kali b, panjang b sama dengan k

satuan, a dan b membentuk sudut 45 derajat. Tentukan a.b.a. 2k2 c. 2k2 e. 22kb. 22k2 d. 62k

3.Maka a.b adalaha. 0 c. (5, 6) e. (6, 5)b. 30 d. 1

4. Hitunglah u.v, jika u = (10, 0) dan v = (25, 0)a. 0 c. (35, 0) e. (10, 25)b. 250 d. (250, 0)

5. Diketahui ||a|| = 5, ||b|| = 6, dan sudut antara keduanya 120. Hitunga.ba. 0 c. (5, 6) e. -15b. 153 d. 15

(5, 0)

(0, 6)

a

b

Vektor


35

Sudut dan hasil kali titik dua vektor

a.b = ||a|| ||b|| cos dengan 0. Perhatikan kembali rumus pertama hasil kali titik

Panjang vektor selalu positif atau nol, sedangkancos bisa positif, negatif atau nol tergantung padanilai

x

y

cos >0

cos =0

cos 0 jika sudutnya lancip

36

Contoh:

Jika dua vektor berimpit, maka hasil kali titiknya ..

Jika salah satu vektor adalah nol, maka hasil kali titiknya .

a.b= ?

Jawab:35 cos

||a||=5

||b||=7

||a||=8

||b||=8

||b||=7

||a||=5

a.b=?

Jawab: 64x0=0

a.b=?

Jawab: -35cos(-)

0

hasil kali panjangnya

Vektor


37

Norm dan hasil kali titik

xA

v

Bv = (v1, v2)

||v|| = (v.v)1/2 =

Misal, diberikan 2 vektor v, cosinus sudut antara v dengan v adalah 1. Maka v.v = ||v|| ||v|| atau ||v|| = ( v.v)1/2

Di R3: norm/panjang vektor v adalah ||v|| = (v.v)1/2 =

2 21 2v v+

2 2 21 2 3v v v+ +

38

Hasil kali titik dan perkalian matriks Berdasarkan definisi, jika a, b vektor-vektor

di R2, maka a. b = a1b1 + a2b2. Jika a dan b, dipandang sebagai vektor-vektor baris makaa.b = abT

a = (a1,a2) dan b = (b1,b2)

a.b = a1b1 + a2b2 = = abT

Jika a, b vektor-vektor di R3

Maka a. b = a1b1 + a2b2 + a3b3 = = abT[ ]1

1 2 3 2

3

ba a a b

b

[ ] 11 22

ba a

b

Vektor


39

Sifat-sifat hasil kali titik

Diberikan u = (5,3), dan v = (4,6) Tentukan u.v dan v.u.

Perkalian titik memenuhi sifat simetri, yaitu u.v = v.u

40

Latihan:

Diberikan u = (5, 3), v = (4, 6), dan skalar k = 4. Hitunglah (ku).v dan k(u.v)

Perkalian titik memenuhi sifat(ku).v = k(u.v)

Vektor


41

Latihan:

Diberikan u = (5,3), v = (4,6), dan w = (4,7). Tentukan u.(v+w) dan u.v + u.wApakah u.(v+w) = u.v + u.w?

Perkalian titik memenuhi sifat yaituu.(v+w) = u.v + u.w

42

Sifat-sifat hasil kali titik

Diberikan v = (4, 6, 1) dan u = (0, 0, 0) Tentukan v.v dan u.u

Diberikan v = (a, b, c) vektor pada ruang Tentukan v.v? kapan v.v = 0?

Vektor


43

4 sifat penting hasil kali titik

Perkalian titik memenuhi sifat: u.v = v.u (ku).v = k(u.v) u.(v+w) = u.v + u.w v.v = ||v||||v||, dan 0 untuk v = 0

44

Hasil kali silangu = (u1,u2,u3), v = (v1,v2,v3)


= u2 u3v2 v3

u1 u3v1 v3

u1 u2v1 u2, ,

Prosedur menentukan u x v

u1 u2 u3v1 v2 v3

Komponen pertama (i): u2 u3 v2 v3

det u2 u3v2 v3

Vektor


45

Hasil kali silang

Komponen ketiga (k):

Komponen kedua (j): u1 u3v1 v3

u1 u2

v1 v2

Contoh: hitung v x w dengan v = (1,4,-4) dan w = (0,3,2)

v x w =

= (20, -2, 3) = 20i -2j +3k

4 -4

3 2

1 -4

0 2

1 4

0 3, ,

detu1 u3v1 v3

det u1 u2v1 v2

46

Hasil kali silangProsedur menentukan uxv

u1 u2 u3v1 v2 v3

Komponen pertama (i): u2 u3 v2 v3


Komponen kedua (j):u1 u3v1 v3

u1 u2

v1 v2

u2 u3v2 v3

u1 u3v1 v3

u1 u2v1 v2

Vektor


47

Prosedur menentukan v x uProsedur menentukan vxu

v1 v2 v3u1 u2 u3

Komponen pertama (i): v2 v3 u2 u3


Komponen kedua (j):v1 v3u1 u3

v1 v2

u1 u2

48

ProsedurJika dua baris A ditukat tempat maka nilai

determinannya dikalikan -1, jadi u2 u3 v2 v3

= - v2 v3 u2 u3u1 u3v1 v3

u1 u2

v1 v2

= -

= -

v1 v3u1 u3

v1 v2

u1 u2

Terlihat bahwa u x v = - (v x u)

Vektor


49

Hasil kali silang vektor satuan standard

x

y

z

(0, 1, 0)

(0, 0, 1)

(1, 0, 0)

i

ijk

j

k

jxk = i

ixj = (0x0-1x0)i (1x0 0x0)j +(1x1 0x0)k = k

jxi= -k

kxj = -i

kxk = ?

kxi = ?

ixk = ?

50

Bentuk determinan hasil kali silang

i j k

u1 u2 u3v1 v2 v3

A =

u x v = det(A)

= i j k

u1 u2 u3v1 v2 v3

i j

u1 u2v1 v2

+ + +

- --


Vektor


51

Sifat-sifat hasil kali silang uxv = -v x u Jika u // v maka uxv = -v x u= 0,

akibatnya u x u = 0 (ku) x v = u x (kv) = k(u x v) u x (v+w) = u x v + u x w u.(v x w) = (u x v).w (hasil kali triple skalar)

x

y(0, 1, 0)

(0, 0, 1)

(1, 0, 0)i

j

i x j

x

y(0, 1, 0)

(0, 0, -1)

(1, 0, 0)i

j

j x i

52

Contoh 1

Diketahui vektor:

p = 2i + 4j + 3kq = i + 5j 2k

Tentukan pxq

Vektor


53

Contoh 2Diketahui vektor a = ( 1, 3 ) dan b = ( 3k, 1 )Tentukan nilai k jika a dan b saling tegak lurus

JawabAgar a dan b saling tegak lurus, maka

a . b = 0a . b = 3k + 3 = 0 k = 1

54

Contoh 3Diketahui u = ( 2, 1,1 ) dan v = ( 1,1,2 )Tentukan besar sudut yang dibentuk oleh u dan v !

Jawab

u . v = 2 1 + 2 = 3||u|| = 22 + (1)2 +12 = 6||v|| = 12 +12 + 22 = 6u . v = ||u|| . ||u|| . cos cos = u.v / (||u|| . ||u|| )= 3/6 = 1/2 = 60oJadi sudut yang dibentuk antara u dan v adalah 60o

Basis Ortonormal


Basis Ortonormal


2

Hasil kali dalamHasil kali dalam adalah fungsi yang mengaitkan setiap pasangan vektor di ruang vektor V,misal pasangan u dan v, dinotasikan dengan bilangan riil dan memenuhi 4 aksioma, yaitu :

1. Simetris : = < v ,u >2. Aditivitas : < u+ v , w > = + < v ,w >3. Homogenitas : < k u ,v > = k , k skalar4. Positivitas : 0 dan ( = 0 u = 0 )

Ruang vektor yang dilengkapi hasil kali dalam disebut Ruang hasil kali dalam (RHD)

Basis Ortonormal


3

Pembuktian SimetrisMisala = ( a1,a2,a3 ) b = ( b1,b2,b3 )c = ( c1,c2,c3 ) maka a , b , c R3

< a ,b > = ( a . b )= (a1b1 + a2b2 + a3b3 )= (b1a1 + b2a2 + b3a3 )= 

4

Basis ortonormalDiketahui V ruang hasil kali dalam dan v 1, v 2,, v n adalah vektor vektor dalam V

Beberapa definisi penting:a. H = { v 1, v 2,, v n } disebut himpunan ortogonal

bila setiap vektor dalam V saling tegak lurus, yaitu < v i, v j > = 0 untuk i j dan i,j = 1,2,,n.

b. G = { v 1, v 2,, v n } disebut himpunan ortonormal bila

- G himpunan ortogonal- Norm dari vi = 1 , i = 1,2,,n atau < v i, v i > = 1

Basis Ortonormal


5

Metode GramSchmidtmengubah suatu himpunan vektor yang bebaslinier menjadi himpunan yang ortonormal

Syarat:Himpunan yang ditransformasikan ke himpunan ortonormal adalah himpunan yang bebas linier

Jika yang akan ditransformasikan adalah himpunan vektor yang merupakan basis dariruang vektor V maka metode GrammSchimdt akan menghasilkan basis ortonormaluntuk V.

6

Proyeksi ortogonalvektor terhadap ruang yang dibangun oleh himpunan vektorDiketahui H = { v 1, v 2,, v n } adalah himpunan vektor yang bebas linier dari ruang vektor V dengan dim n dan S = { w 1, w 2,, w n } merupakan himpunan yang ortonormal

Jika W menyatakan ruang yang dibangun oleh w 1, w 2,, w n makauntuk setiap vektor z 1 dalam W , dapat dituliskan z 1 = k1 w 1 + k2 w 2 ++ kn w n dengan k1, k2, ,kn skalar.

Basis Ortonormal


7

Jika u adalah sembarang vektor dalam V , dapat dituliskan sebagai jumlah dari dua vektor yang saling tegak lurus misalkan z 1 dan z 2 , jadi dapat dituliskan u = z 1 + z 2 . Karena z 1 dalam W , maka sebenarnya z 1 merupakanproyeksi ortogonal u terhadap W , sedangkan z 2 merupakan komponen vektor uyang tegak lurus terhadap W. Jadi untuk menentukan z 1 , maka harus ditentukan nilaik1, k2, ,kn sedemikian hingga nilai k1 merupakan panjang proyeksi u terhadap w 1 , k2 merupakan panjang proyeksi u terhadap w 2 dan seterusnya sehingga kn merupakan panjang proyeksi u terhadap w n

Proyeksi orthogonal u terhadap w i adalahproy Wi ( u ) = , dikarenakan w 1, w 2,, w n merupakan vektor vektor yang ortonormal .

8

Proyeksi ortogonal u terhadap W

proyw ( u ) = z 1= w 1 + w 2 ++ wn

{ w 1, w 2,, w n } merupakan himpunan ortonormal

Komponen u yang tegak lurus terhadap W

z 2 = u ( w 1 + w 2 ++ w n )

Basis Ortonormal


9

Misal diketahui K = { v 1, v 2, , v n } adalah himpunan yang bebas linier, maka K dapat dirubah menjadi himpunan S = { w 1, w 2, ,w n } yang ortonormal dengan menggunakan metode GramSchmidt

10

Metode GramSchmidt

proses normalisasi yang paling sederhana karena hanya melibatkan satu vektor saja. Pembagian dengan |v| bertujuan agar w i memiliki panjang = 1 akan diperoleh w 1 ortonormal

1. w1 =v1

|v1|

Basis Ortonormal


11

diperoleh dua vektor w 1 dan w 2 yang ortonormal

2. w2 =v2 -< v2,w1> w1| v2 -< v2,w1> w1 |

v3 -< v3,w1> w1 -< v3,w2> w2| v3 -< v3,w1> w1 -< v3,w2> w2 |

3. w3 =

n. wn =vn -< vn,w1> w1 -< vn,w2> w2 -< vn,wn-1> wn-1

| vn -< vn,w1> w1 -< vn,w2> w2 -< vn,wn-1> wn-1 |

12

Secara umum

dengan W merupakan ruang yang dibangun oleh w1 .wi-1

vi proy W (vi )| vi proyW (vi ) |

wi =

Basis Ortonormal


13

ContohDiketahui H = { a , b , c } dengan a = ( 1,1,1 ) , b = ( 1,2,1 ) , c = (1,1,0 )a. Apakah H basis R3 ?b. Jika ya, transformasikan H menjadi basis

orthonormal dengan menggunakan hasil kali dalam Euclides

14

Contoh

Diketahui dan a , b ,c R3 dengan a = ( 2,1,1 ) , b = ( 2,5,1 ) , c = ( 1,0,2 ) .Jika R3 merupakan RHD Euclides, transformasikan a , b , c ke basis ortonormal

Basis Ortonormal


15

Perubahan Basis

suatu ruang vektor bisa memiliki beberapa basis

jika terdapat sembarang vektor x dalam suatu ruang vektor V yang memiliki himpunan vektor A dan B sebagai basisnya maka x tentunya merupakan kombinasi linier dari vektor vektor di A dan B.

16

Jika V ruang vektor, S : { s 1, s 2,, s n } merupakan basis V maka untuk sembarangx V, dapat dituliskan :

x = k1 s 1 + k2 s 2+kn s ndengan k1, k2, , kn skalar.k1, k2, , kn juga disebut koordinat x relatif terhadap basis S.

Basis Ortonormal


17

disebut matriks x relatif terhadap basis S[x]S =k1k2: kn

[x]S = :

Jika S merupakan basis ortonormal , maka

18

Diketahui A = { v , w } dan B = { x , y } berturut turut merupakan basis R2 ,

dengan v = ( 2, 2 ) , w = ( 3, 1 ) , x = ( 1 , 3 ) dan y = ( 1 , 1 )

Tentukan:Matriks transisi dari basis A ke basis B

Ruang-n Euclidis


Ruangn Euclidis


2

Definisi 1

Jika n adalah sebuah bilangan bulat positif maka n-pasangan terurut adalah (a1,a2,..,an)dimana ai , i = 1,..,n adalah bilangan riil.Himpunan semua n-pasangan terurut ini dinamakan ruang-n dan dinyatakan dengan n

Ruang-n Euclidis


3

Teorema 1Dua vektor u = (u1,u2,...,un) dan v = (v1,v2,..,vn) pada n

Dua vektor dinyatakan sama bila u1= v1, u2 = v2,...,un = vn Jumlahan u + v = (u1 + v1, u2 + v2 , , un + vn) Jika terdapat k , k 0 maka perkalian skalar

ku = (k u1, k u2,,k un) Vektor Nol : 0 = (0,0,,0) Invers aditif (negatif) : -u = (-u1,-u2,..., -un) Pengurangan : u v = (u1 - v1, u2 - v2 , , un - vn)

4

Teorema 2Jika U, V, W n , k,l maka :(a) Jika u,v V, maka u + v V(b) u+v = v+u(c) u+(v+w) = (u+v)+w(d) Jika 0 V sehingga 0 + u = u+ 0, u V(e) u V , - u V (negatif u).

sehingga u + (-u) = (-u) + u = 0(f) Jika k,l , u V, maka k u V(g) k (u + v) = k u + k v(h) (k+l) u = k u + l u(i) k(l u) =(kl) u(j) 1 u = u

Ruang-n Euclidis


5

Definisi 2Jika U, V n maka yang disebut

sebagai Euclidean Inner product adalah

U.V = u1 v1 + u2 v2 + ... + un vn

u1:un

v1:vn

U = V = Maka U.V = U.V T

Jika

6

Definisi 3Norm Euclidis (panjang euclidis) vektor u = (u1,u2,...,un) pada n adalah:||u|| = (u.v) = u12 + u22 + + un2

Jarak Euclidis di antara titik u = (u1,u2,...,un) dan titik v = (v1,v2,...,vn) pada n adalah:

d(u,v)=||u-v|| = (u1-v1)2 + (u2-v2)2 + + (un-vn)2

Ruang-n Euclidis


7

Contoh 1Diketahui a = ( 1,1,2,3 ) dan b = ( 2,2,1,1 )Tentukan jarak antara a dan b !

Jawaba b = (1, 1,1,2 )d ( a , b ) = (1)2 + (1)2 +12 + 22

= 7

Nilai Eigen dan Vektor Eigen




2

Nilai eigen suatu matriksDiketahui A matriks berukuran n x n, x vektor taknol berukuran n x 1 , x Rn

Karena A berukuran n x n , maka A x akan berupa vektor yang berukuran n x 1 juga. Bila terdapat skalar ,

Riil sedemikian hingga

Ax = x

(Ax menghasilkan vektor yang besarnya kali x )

Semua nilai yang memenuhi persamaan tersebut sehingga ada nilai x yang nyata ( bukan

vektor 0 saja ) disebut nilai eigen ( karakteristik ).



3

Untuk menentukan nilai , dari persamaan A x = x sebelumnya dirubah dahulu menjadi persamaan

(A I ) x = 0 = ( I A ) x

det (A I )

yaitu det (A I ) = det ( I A ) = 0.

Persamaan det (A I ) = det ( I A ) = 0

disebut persamaan karakteristik.

4

Dari nilai eigen yang telah diperoleh tersebut dapat ditentukan ruang solusi untuk x dengan memasukkan nilai eigen yang diperoleh ke dalam persamaan

(A I ) x = 0

Ruang solusi yang diperoleh dengan carademikian ini disebut juga dengan ruang eigen

Dari ruang eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen tertentu tersebut dapat dicari minimal sebuah basis ruang eigen yang saling bebas linear.



5

Untuk kasus yang khusus, jika A memiliki n buah nilai eigen = , maka akan memiliki nilai eigen k

Jika banyaknya nilai eigen dari Ak sebanyak n juga maka basis ruang eigennya tatap sama,

tetapi jika jumlah nilai eigennya kurang dari n (terjadi jika ada nilai eigen yang saling berlawanan tanda ), maka salah satu nilai eigennya akan memiliki basis ruang eigen yang berbeda .

6

Diagonalisasi

penentuan matriks diagonal D danmatriks pendiagonal P yang berkaitan dengan basis ruang eigen



7

Jika A matriks bujursangkar berukuran n,dan terdapat matriks diagonal D sedemikian hingga

D = P1AP

sehingga dikatakan matriks A dapat didiagonalisasi. P merupakan matriks n x n yang kolom kolomnya merupakan vektor vektor kolom dari basis ruang eigen A. P disebut matriks yang mendiagonalisasi A , sedangkan D merupakan matriks diagonal yang elemen diagonalnya merupakan semua nilai eigen dari A.

8

Diagonalisasi ortogonal matriks ortogonal

Matriks bujur sangkar P disebutmatriks ortogonal bila berlaku

Pt = P1

Matriks A dapat didiagonalisasi secaraortogonal jika terdapat P ortogonal sehingga

P1 A P = D dengan D adalah matriks diagonal

aljabar linear kartika_2.pdf

Documents